Diseño e implementación de talleres para la enseñanza y

Diseño e implementación de talleres
para la enseñanza y aprendizaje del
álgebra matricial y solución de
sistemas de ecuaciones lineales con
Scilab
Design and implementation of
workshops for teaching and learning
of solution of systems of linear
equations and matrix algebra with
Scilab
Germán Raúl Rosales Ordóñez
Universidad Nacional de Colombia
Facultad Ciencias Exactas y Naturales
Manizales, Colombia
Octubre, 2012
Diseño e implementación de talleres
para la enseñanza y aprendizaje del
algebra matricial y solución de
sistemas de ecuaciones lineales con
Scilab
Germán Raúl Rosales Ordóñez
Tesis presentada como requisito para optar al título de:
Magister en Enseñanza de las Ciencias
Directora:
Doctora, Francy Nelly Jiménez García
Universidad Nacional de Colombia
Facultad Ciencias Exactas y Naturales
Manizales, Colombia
2012
iii
Dedicatoria
A María Isabel y a Máyense, que estuvieron
siempre a mi lado.
iv
Agradecimientos
A la Universidad de Caldas, Facultad de Ciencias Exactas, Departamento de
Matemáticas, por el apoyo que me prestó en todo sentido; a la doctora Francy Nelly
Jiménez García por su voto de confianza, por su constante apoyo y por sus excelentes
asesorías.
v
Resumen
El trabajo muestra el diseño e implementanción de módulos o talleres didácticos de
algunos tópicos del álgebra lineal con uso del softaware matemático de dominio publico
Scilab, los cuales se aplicaron a estudiantes de Ciencias e Ingeniería de la Universidad
de Caldas en el primer semestre del año 2012. Inicialmente se diseñó un módulo básico
de matemáticas con Scilab, para ir ambientado el tema; del mismo modo se elaboraron y
se implementarón los módulos de álgebra matricial y sistemas de ecuaciones lineales. La
metodología usada es constructiva, activa y participativa donde el estudiante conjetura,
demuestra y verifica muchas propiedades del álgebra matricial y sistemas de ecuaciones
lineales, usando el Lápiz y Papel y como tambien usando Scilab. El diseño de los talleres
es integrado de tal manera que sirvan de guía para la enseñanza y el aprendizaje del
álgebra lineal haciendo uso del aula de informática.
Palabras clave. Talleres didácticos, Scilab, álgebra matricial, sistemas de ecuaciones
lineales, lápiz y papel.
Abstract
This work shows design and implementation of didactic workshops related to linear
algebra using free open source software for numerical computation Scilab. The
workshops were applied to Science and Engineering students of Universidad de Caldas,in
first semester on 2012. Firstly, a math basic module with Scilab software, components of
matrix algebra and systems of linear equations were designed. The methodology is
constructive, active and participatory where students guess, proves and verifies many
properties of matrix algebra and systems of linear equations, using pencil, paper and
Scilab software. The workshops design is integrated to guide the teaching and learning of
linear algebra using the computer room.
Keywords. Didactic workshops, Scilab software, matrix algebra, systems of linear
equations, pencil and paper.
vi
Contenido
Pág.
Dedicatoria
iii
Agradecimientos
iv
Resumen
v
Introducción
1
Capítulo 1. Preliminares
3
1.1 Justificación
3
1.2 Planteamiento del problema
3
1.3 Objetivo general
3
1.4 Objetivos específicos
4
1.5 Antecedentes
4
Capítulo 2. Marco teórico
10
2.1 Introducción
10
2.2 Historia del álgebra lineal
10
2.3 Historia del álgebra de matrices
11
2.4 Historia de las ecuaciones y de los determinantes
13
2.4.1 Ecuaciones
13
2.4.2 Determinantes
17
2.5 Didáctica de la matemática usando la computadora
21
2.6 Breve historia de Scilab
24
Capítulo 3. Metodología
3.1 Módulo o taller matemáticas con Scilab
26
28
3.1.1 Objetivo general del módulo
28
3.1.2 Objetivos específicos
28
3.1.3 Contenidos
28
vii
3.1.4 Desarrollo de los contenidos
28
3.1.5 Operaciones básicas con números
29
3.1.6 Jerarquía de las operaciones
29
3.1.7 Proposiciones y conectivos lógicos
30
3.1.8 Sistemas numéricos
30
3.1.9 Metodología empleada
31
3.2 Módulo álgebra matricial con Scilab
31
3.2.1 Objetivo general del módulo
31
3.2.2 Objetivos específicos
32
3.2.3 Contenidos
32
3.2.4 Metodología
33
3.3 Módulo sistemas de ecuaciones lineales
37
3.3.1 Objetivo general del módulo
37
3.3.2 Objetivos específicos
38
3.3.3 Contenidos
38
3.3.4 Metodología
39
3.4 Comentarios de los evaluadores
Capítulo 4.Resultados
43
46
4.1 Introducción
46
4.2 Población de estudio
46
4.3 Distribución de los datos
48
4.4 Hipótesis de estudio
48
4.5 Resultados de pruebas con lápiz y papel y ayuda de computadora
49
4.6 Análisis estadístico de la prueba
50
4.7 Comparación de medias, Prueba T
51
4.8 Análisis de los datos por carreras
52
4.8.1 Promedio por carreras
52
4.9 Análisis de Varianza
53
4.10 Análisis estadístico por género
54
4.11 Entrevistas a una muestra de la población
56
4.12 Autoevaluación
59
viii
Capítulo 5. Conclusiones y Recomendaciones
62
5.1 Conclusiones
62
5.2 Recomendaciones
63
Bibliografía
64
Anexos
67
Anexo A. Módulo matemáticas básicas usando Scilab
67
Anexo B. Módulo álgebra matricial con Scilab
102
Anexo C. Módulo sistemas de ecuaciones lineales con Scilab
130
Anexo D. Evaluaciones
186
ix
LISTA DE FIGURAS
Pág.
Figura1: Arthur Cayley (1821-1895)
12
Figura 2: Planos no paralelos
23
Figura 3: Logo Scilab
24
Figura 4: Intersección de dos planos
40
Figura 5: Distribución de la población
48
Figura 6: Comparación de promedios con LP y PC
50
Figura 7: Promedio por carreras LP y PC
52
Figura 8: Distribución población por género
55
Figura 9: Comparación de promedios
55
Figura 10: Linea recta
132
Figura11: Intersección de dos rectas
133
Figura 12: Rectas paralelas
134
Figura 13: Un plano
136
Figura 14: Dos planos no paralelos
137
Figura 15: Dos planos paralelos
138
Figura 16: Dos planos que se intersecan en una recta
140
x
LISTA DE TABLAS
Pág.
Tabla 1: Población
47
Tabla 2: Resultado de las pruebas por carreras (ver los text en anexo D)
49
Tabla 3: Número de estudiantes mujeres: 18
54
Tabla 4: Número de estudiantes hombres: 13
54
1
Introducción
En la actualidad, la enseñanza del álgebra lineal ha cambiado rotundamente en la
mayoría de las universidades en el mundo, debido a la mayor presencia de las
computadoras en la educación superior y además de la gran cantidad de programas
diseñados específicamente como ayuda para realizar los cálculos del quehacer
matemático cotidiano. Todo esto está produciendo cambios metodológicos importantes y
positivos en la enseñanza del álgebra lineal.
El uso de software libre como Scilab constituye un estupendo laboratorio matemático que
permite experimentar, suplir carencias en el bagaje matemático del alumno, desarrollar la
intuición, conjeturar, comprobar, verificar, y, en definitiva ver las situaciones matemáticas
de una forma práctica, por esta razón se ha convertido en un valioso instrumento
didáctico sin abandonar la comprensión e interpretacion de los conceptos y más bien
facilitando cálculos engorrosos cuando los estudiantes conocen el concepto. Antes de
hacer uso de la nueva tecnología, los estudiantes deben comprender los temas básicos,
trabajándolos con lápiz y papel (LP).
La enseñanza y aprendizaje del álgebra lineal en Escuelas de Ciencias e Ingeniería es
un proceso dirigido a que los alumnos adquieran conocimientos científicos, prácticos y
útiles que se unan a sus experiencias de modo que les capaciten para afrontar con éxito
los futuros cambios y avances en la tecnología, de allí que el curso de álgebra lineal debe
ser
enfocado
con
una
estructura
curricular
que
además
de
favorecer
la
conceptualizacion, permita una interrelación con las nuevas tecnologías con el objeto de
mejorar el aprendizaje y brindar una herramienta útil para el futuro profesional.
La utilización de software como recurso para apoyar los procesos de enseñanza y
aprendizaje de la matemática, se ha convertido en una necesidad y constituye una
respuesta ante la problemática que gira en torno de la comprensión de conceptos y
nociones matemáticas en el aula. El álgebra lineal continua siendo un tema difícil para la
mayoría de los estudiantes universitarios. Los motivos de dichas dificultades son
conceptuales derivadas de la propia naturaleza del álgebra y cognitivas debidas al tipo de
pensamiento necesario para su comprensión [1].
2
Se espera que esta propuesta metodológica para la enseñanza de algunos temas de
álgebra lineal conlleve a un cambio de actitud del alumno frente al estudio de la
matemática, mejorando su rendimiento académico general.
En las actividades que se presentan en este trabajo se incorporó el uso de la
computadora (PC), con el propósito de que la enseñanza sea más dinámica y efectiva, es
claro que se debe disponer de una computadora como elemento auxiliar que permita a
los estudiantes:

Mejorar la comprensión de los conceptos

Promover su participación individual

Realizar extensos cálculos en menor tiempo

Dar tiempo para analizar las soluciones

Incentivar el interés hacia el estudio de la matemática
Esto no significa el reemplazo de la enseñanza de conceptos teóricos, sino un
complemento de los mismos. El uso de esta tecnología en el aula requiere
fundamentalmente que el estudiante tenga una buena base conceptual sobre el tema de
estudio, para poder analizar con criterio los procesos aposteriori. La tarea del docente
consiste
en
diseñar
la
secuencia
de
eventos:
observaciones,
ejercitaciones,
verificaciones, referencias conceptuales, etc; para que el estudiante asimile los
conceptos y procesos de la matemática de manera más eficiente.
3
Capítulo 1. Preliminares
1.1 Justificación
Álgebra lineal es una asignatura del segundo semestre de las carreras de Ciencias
Exactas e Ingeniería de la Universidad de Caldas, los distintos antecedentes sobre bajo
rendimiento académico [11], y conocimientos previos deficientes de los alumnos, han
llevado a los docentes a cuestionamientos sobre la metodología de enseñanza que se
emplea actualmente y la necesidad de una propuesta didáctica diferente que permita a
los estudiantes superar las dificultades que presentan en el aprendizaje de esta
disciplina. La incorporación de software matemático [9] como por ejemplo el paquete
Scilab, se hace necesaria debido a la cantidad de cálculos que se requiere en esta
asignatura lo cual no deja mucho tiempo a lo realmente importante, la conceptualización,
el análisis de resultados y el planteamiento de conclusiones y nuevos cuestionamientos.
1.2 Planteamiento del problema
En los cursos tradicionales del álgebra lineal, se usa la mayoría del tiempo haciendo
tediosos y largos cálculos matemáticos, preocupándose más por el conocimiento de
técnicas numéricas para resolver sistemas lineales que no ayudan en nada al verdadero
objetivo del álgebra lineal que es la capacidad de realizar actividades en el desarrollo de
resolución de problemas propios de ingeniería, como también la capacidad de
interpretación geométrica y análisis a posteriori de estos cálculos.
1.3 Objetivo general
Incorporar el software libre Scilab para el diseño e implementación de talleres didácticos
del algebra matricial y sistemas de ecuaciones lineales para mejorar el proceso de
enseñanza- aprendizaje del álgebra matricial y los sistemas de ecuaciones lineales con
estudiantes de Ciencias e Ingeniería de la Universidad de Caldas.
4
1.4 Objetivos específicos
1. Diseñar un módulo de matemáticas básicas en el entorno Scilab, que apunten a la
familiarización de este software.
2. Diseñar un módulo didáctico de álgebra matricial que sirvan de ayuda para el
aprendizaje de las propiedades del álgebra matricial y sirvan de insumo para la solución
de sistemas de ecuaciones lineales.
3. Diseñar un módulo didáctico para mejorar y ayudar al proceso de enseñanzaaprendizaje del tema: solución de ecuaciones lineales e interpretación geométrica de los
mismos en los casos posibles.
4. Implementar los módulos diseñados en un curso de álgebra lineal en la Universidad de
Caldas.
5. Evaluar el impacto de la metodología propuesta en los estudiantes.
1.5 Antecedentes
En la Universidad Santiago del estero Argentina la Dra. María Inés Morales afirma que:
“El uso de un software matemático como herramienta computacional en cursos de
Álgebra Lineal favorece notablemente los procesos de enseñanza y aprendizaje, ya que
permite que el alumno manipule los objetos matemáticos, formule conjeturas sobre las
propiedades que los caracterizan y las valide o rechace a medida que avanza en su
exploración, de este modo es el estudiante quien descubre, apropiándose así del
conocimiento, lo que lo lleva a un aprendizaje significativo” [8].
En el portal de la web [18] la Doctora Morales muestra trabajos del álgebra lineal con
Matlab.
En la Universidad Autónoma de Madrid, el profesor Pedro Ortega Pulido analiza las
características educativas de una estrategia didáctica que incorpora el uso de software
5
Matemático en la enseñanza aprendizaje del algebra lineal [9], y afirma: “Potencia el
protagonismo de los alumnos permitiendo que el alumno reconozca los contenidos
esenciales del álgebra lineal y además facilita la simplificación de los cálculos
numéricos“.
Lo anterior afirma cuáles son las implicaciones de la sociedad de la información y el
conocimiento en el ámbito educativo y cómo en particular las tecnologías digitales están
transformando el modelo de universidad tradicional, en las instituciones de enseñanza
superior.
En la enseñanza de la matemática en particular, debe tenerse claro cuál es su fin,
precisamente por esa falta de claridad en los docentes de secundaria y de la educación
superior, se enseña con una tendencia memorística-reproductiva que aumenta más la
frustración histórica hacia ella.
Es natural entonces, que todo educador en esta área del saber conozca los tres fines de
su enseñanza: el fin instrumental, el fin práctico y el fin formativo (Toranzos, F., 1963).

El fin instrumental, se refiere al papel imprescindible que la matemática juega
dentro de la contextualización cognoscitiva de otras disciplinas, que sin su estudio
sería imposible poderlas abordar sistemáticamente

El fin práctico hace referencia a la utilidad práctica que los conocimientos
matemáticos desempeñan en la vida cotidiana

Finalmente, el fin formativo reconoce en la matemática el medio óptimo, mediante
el cual es posible desarrollar en el estudiante sus destrezas de pensamiento,
además de favorecer ciertas actitudes, tales como: orden, disciplina, desarrollo
del pensamiento, precisión en el uso del leguaje, generalización entre otras.
Definir la forma en cómo se debe enseñar matemática para estimular en los estudiantes
la investigación, el razonamiento, la exploración, la verificación de resultados, el análisis,
la síntesis y el poder de generalización y abstracción, no es una tarea sencilla, implica la
selección de metodologías y estrategias didácticas que favorezcan el desarrollo de las
capacidades para la resolución de problemas.
6
Anderson, Sweeney y Williams (1993) citados por Meza, definen la resolución de
problemas como el proceso de identificar una diferencia entre algún estado de cosas
actual y uno deseado, y emprender después una acción para eliminar la diferencia.
Estos mismos autores, indican que el proceso de resolución requiere la aplicación de los
siguientes pasos:
1. Identificar y definir el problema
2. Determinar el conjunto de soluciones en alternativa
3. Determinar el criterio o criterios que se utilizarán para evaluar las opciones
4. Evaluar tales opciones
5. Elegir una de ellas
6. Implantar la opción o alternativa seleccionada
7. Evaluar los resultados y determinar si se ha obtenido una solución satisfactoria
También Paniagua (1999: 185) define la resolución de problemas como: “un proceso que
permea la totalidad de los programas de estudio y provee el contexto en el cual los
conceptos son aprendidos y desarrolladas las destrezas matemáticas”. Esta autora
considera que el proceso de resolución de un problema implica cuatro etapas: entender
el problema, planear su solución, resolver el problema y replantear su solución.
La matemática puede favorecer el desarrollo del pensamiento y la toma de decisiones, lo
anterior se logrará en la medida en que los estudiantes aprendan a justificar sus propios
pensamientos y aprendan a confiar en su habilidad para hacer, interpretar y comunicar
resultados matemáticos.
Entonces, ¿cuál es el rol que deben asumir las nuevas tecnologías de la información y la
comunicación para favorecer el desarrollo del pensamiento lógico? Como se explicará en
el siguiente apartado, la aparición de estas tecnologías ha abierto una gama de
posibilidades inimaginables décadas atrás, para transformar los métodos de enseñanza
tradicionales por otros donde impera la participación activa del estudiante y la guía del
educador como un facilitador y no un transmisor de conocimientos.
7
Esta es una nueva sociedad caracterizada por la imagen y la interacción, por el
espectáculo y la conectividad, los cambios culturales atribuidos a la computadora
alcanzan todas las esferas; la social, la económica y desde luego la educativa. Hoy en
día existe la creencia de que las nuevas generaciones parecen tener una aceptación casi
inmediata, instintiva hacia el uso de los recursos tecnológicos, algunos autores piensan
que esto no es del todo cierto; Badilla (1998) citado por Meza expone el error de suponer
que a todos los jóvenes les gusta sentarse frente a una computadora; este investigador
detectó problemas de desinterés, asistencia y disciplina en algunos muchachos y
muchachas que formaron parte de un estudio, realizado en la enseñanza secundaria.
Otros autores han cuestionado el mito de que la incorporación de la computadora en los
procesos de la enseñanza y el aprendizaje lleva implícito un efecto positivo. Galvis (1992)
enfatiza la necesidad de sacarle el provecho adecuado a las computadoras, para lograr
un verdadero enriquecimiento de la labor educativa; “si la informática ha de tener un
papel importante en el enriquecimiento de la labor educativa, es indispensable tener claro
qué tipo de educación deseamos impulsar y cómo se puede favorecer tal enfoque
educativo” (1992: 6). Lo anterior significa que el uso de materiales educativos
computarizados en el salón de clase, no puede tener un fin en sí mismo, es necesario
analizar su impacto y los beneficios que se obtendrán en términos de objetivos de
aprendizaje.
Meza, Garita y Villalobos (2001) proponen que los procesos de enseñanza y aprendizaje
de la matemática asistida por computadora deben basarse en los siguientes principios:
a.
El uso de la computadora en el proceso de enseñanza aprendizaje de la
matemática debe enmarcarse un planteamiento educativo
b. La computadora debe incorporarse en el proceso de enseñanza aprendizaje de la
matemática sólo cuando sea más eficaz o más eficiente que otros medios
c.
La incorporación de la computadora en el proceso de enseñanza y aprendizaje
de la matemática permite aumentar la eficiencia y eficacia de algunas estrategias
que el docente utilizaba antes de incorporar la computadora
d. El empleo de la computadora en el proceso de enseñanza aprendizaje de la
matemática permite diseñar algunas estrategias didácticas que no es posible
desarrollar con otros medios.
8
Si la enseñanza de la matemática lleva implícito serios problemas cognoscitivos y
muchos docentes no conocen nuevas formas de comunicación para cambiar
sistemáticamente sus métodos tradicionales, ¿cuál debería ser el aporte de la utilización
de materiales educativos computarizados en los procesos de la enseñanza y el
aprendizaje?
La
respuesta
a
esta
pregunta
apunta
indispensablemente
al
aprovechamiento de todas las capacidades gráficas, cálculo simbólico, almacenamiento y
velocidad del computador, diseñando situaciones de aprendizaje que le permitan al
estudiante explorar, descubrir y conjeturar.
Según Calderón; “la computadora permite el uso de representaciones simbólicas, el
acceso a representaciones numéricas y visuales dinámicas, y puede ser utilizada como
un medio de exploración donde los alumnos pueden expresar ideas” (1999: 55). Harel y
Kolman (1991) citados por Calderón plantean: “se enfatiza la importancia de las
representaciones en el proceso de aprendizaje, el proceso de construcción de
significados involucra el uso de representaciones y el aprendizaje de un concepto puede
ser facilitado cuando hay más oportunidades de construir e interactuar con
representaciones externas del concepto”.
En la Universidad Privada de Santa Cruz de la Sierra en Bolivia, la profesora Ma. Isabel
Bueno realizó una propuesta metodológica para la enseñanza del álgebra lineal con
Matlab, dirigida a estudiantes de carreras en el área empresarial. Dentro de los
resultados obtenidos se concluyeron los siguientes aspectos (1999: 69):

El 100% de los estudiantes opinó que el uso de la computadora le ayudó a
mejorar su motivación por la materia

El 100% de los estudiantes recomendó que se siga empleando la metodología en
los siguientes semestres

El 83% estimó que el uso de la computadora hizo más divertida la materia

El 67% estimó que le ayudó a aprender mejor los conceptos

El 83% opinó que el uso de la computadora le ayudó a no abandonar la materia

El 100% indicó que el uso de la computadora le ayudó a resolver problemas de un
modo más eficiente.
9
En la Universidad Nacional de Salta, Argentina, el trabajo de Gilda Tirado [6], en su
artículo: Metodología Innovadora para la Enseñanza del Àlgebra, afirma:
En el marco del Trabajo de Investigación “Estrategia para mejorar el proceso de
enseñanza aprendizaje en Matemática 1”, acreditado por el Consejo de Investigación de
la Universidad Nacional de Salta, se planificaron distintas actividades, con el objetivo
general de aumentar el rendimiento académico y la retención de los alumnos de la
cátedra Matemática 1, asignatura de primer año de la Facultad de Ciencias Exactas de
la UNSA. Se propone alcanzar este objetivo a través del diseño y desarrollo de una
metodología innovadora, que motive a los estudiantes contribuyendo a que el aprendizaje
sea significativo. Las actividades desarrolladas hasta la fecha se presentan en este
trabajo. En estas actividades se incorporó la computadora como recurso didáctico, con
los siguientes objetivos: mejorar la Comprensión de los conceptos, promover la
participación individual o colectiva, hacer más eficiente y flexible los métodos de
enseñanza, entre otros. En la primera actividad se utilizó el programa ÁLGEBRA que
acompaña al libro Álgebra (Prentice Hall) y en la segunda el programa MATLAB. Se
espera que esta propuesta metodológica para la enseñanza de temas de Álgebra
contribuya a un cambio de actitud del alumno frente al estudio de la matemática,
mejorando su rendimiento académico general.
En La Universidad Pedagógica y Tecnológica de Colombia, en el artículo “TIC'S,
Software Libre y Educación Matemática “, Luis Jaime Salazar Ramírez [7] en su resumen
dice:
Los tiempos modernos han reclamado de la sociedad en general una paulatina
acomodación a los recursos de las Tecnologías de la Información y la Comunicación
(TIC), razón por la cual Latinoamérica no puede sustraerse de tal transformación,
máxime cuando la brecha digital es grande. El software libre es una opción para las
instituciones que carecen de los recursos, incluso, para su sostenimiento. Es por ende
que las TIC son alternativas para una mayor difusión del conocimiento, un recurso
efectivo para transferencia tecnológica, un factor de modernización desde el punto de
vista pedagógico y didáctico de la enseñanza de las matemáticas y una forma por medio
de la cual las instituciones públicas y privadas disminuyen sus gastos en licencias.
10
Capítulo 2. Marco teórico
2.1 Introducción
Se comenzará con un breve ensayo sobre la historia del álgebra lineal, para luego, pasar
a un estudio histórico un poco más detallado sobre las matrices, las ecuaciones y los
determinantes. Su estudio es fundamental tanto para docentes y estudiantes de la
mayoría de las carreras tanto profesionales como técnicas. No obstante, no sólo basta
con conocer la presentación que hoy día se le da a cada uno de estos temas. Se
requiere, además, de elementos de carácter histórico que motiven al interesado a
continuar estudios superiores y, con no menos importancia, a sugerir soluciones a
problemas concretos. En la parte final, se hace un estudio detallado de lo que es la
didáctica de la matemática usando la computadora.
2.2 Historia del álgebra lineal
El álgebra lineal en su desarrollo histórico, tiene sus orígenes en la teoría de
proporciones de la matemática Griega y en los problemas que se resuelven en la escuela
elemental por el procedimiento de la regla de tres. Todos estos problemas tienen en
común una variable y que cambia según los valores de otra variable x según la regla
.
Con Fermat (1601-1657) primero y luego con Descartes (1596-1650) se produce una
trasformación fundamental en las relaciones entre el álgebra y la geometría. El
descubrimiento de la correspondencia entre puntos del plano y parejas de números
reales condujo al método de las coordenadas cartesianas para plantear y resolver
problemas geométricos. Las ecuaciones de primer grado
, representan rectas
y las de segundo grado cónicas y de este modo se desarrolla un campo novedoso y
fructífero de las matemáticas: la geometría analítica, precursora del álgebra lineal
moderna.
Los
problemas
de
intersección
respectivamente por las ecuaciones de la forma
de
rectas
y
y
planos
representados
, conducen
11
al planteamiento de sistemas de ecuaciones lineales que se resuelven por los métodos
usuales de eliminación progresiva de incógnitas [10].
Posteriormente, los problemas relacionados con la determinación de curvas planas que
pasan por ciertos puntos condujeron a Cramer (1704-1752) y Bezout (1730-1783) al
estudio de los determinantes.
Los conceptos claves del álgebra lineal son espacios vectoriales, transformaciones
lineales, linealidad y dimensión. Casualmente, el concepto de linealidad se puso de
relieve con el estudio de las ecuaciones diferenciales con coeficientes constantes.
Precisamente D’Alembert (1717-1783) fue el primero en enunciar que toda ecuación
diferencial no homogénea de orden n es la suma de una solución particular y las
combinaciones lineales de soluciones de la ecuación homogénea.
El concepto de suma de vectores y de espacio de dimensión n mayor o igual que uno
aparece en los trabajos de Gauss (1777-1855) y posteriormente se aceptan en la cultura
matemática con Cayley (1829-1895) y Grassmann (1809-1877). En 1888 Peano definió
axiomáticamente
un
espacio
vectorial
sobre
los
reales,
utilizo
una
notación
completamente moderna e introdujo el concepto de transformación lineal de un espacio
vectorial en otro.
2.3 Historia del álgebra de matrices
El pionero en usar el concepto de matriz fue el matemático Británico James Joseph
Sylvester (1814-1897), quien definió una matriz como un arreglo rectangular de términos.
A su regreso de Italia en 1851, establece contacto con Arthur Cayley(1821-1895) quien
comparte las ideas matemáticas de Sylvester y pública una nota en donde aparece por
vez primera la inversa de una matriz [1].
12
Figura1: Arthur Cayley (1821-1895)
Más tarde, en 1858, Cayley publica su Memoria sobre teoría de matrices, la cual contiene
la primera noción abstracta de matriz y donde se muestra que los arreglos de
coeficientes estudiados anteriormente para las formas cuadráticas y las transformaciones
lineales son casos especiales de este concepto general.
Asimismo, Cayley desarrolla el álgebra matricial definiendo las operaciones básicas de
suma, multiplicación y multiplicación por escalares, así como la inversa de una matriz
invertible, junto con una construcción de la inversa de una matriz invertible en términos
de su determinante y prueba que, en el caso de matrices 2 x 2, una matriz satisface su
propia ecuación característica.
En 1870, el matemático francés Camille Jordan (1838-1922) publica una forma canónica
para sustituciones lineales sobre cuerpos finitos de orden primo. En este contexto
aparece por vez primera lo que hoy conocemos como la forma canónica de Jordan.
Arthur Cayley es considerado como el fundador de la teoría de matrices.
Aunque
históricamente fueron los matemáticos chinos los pioneros en esta materia y el término
matriz es debido a Sylvester. Cayley probó además que la multiplicación de matrices es
asociativa e introduce las potencias de una matriz, así como las matrices simétricas y
13
antisimétricas. Por tanto, Cayley merece ser considerado como el fundador del álgebra
de matrices.
2.4 Historia de las ecuaciones y de los determinantes
2.4.1 Ecuaciones
Los primeros rudimentos de lo que hoy se conoce como ecuaciones se han encontrado
en el documento matemático más antiguo que ha llegado a la actualidad: el papiro Rhind,
conservado en el British Museum con algunos fragmentos en el Brooklyn Museum, y
conocido también como el Libro de Cálculo, el cual fue escrito por el sacerdote egipcio
Ahmes hacia el año 1650 a.C. y exhumado en Tebas en 1855. En este valioso
documento se consideran las ecuaciones de primer grado, donde la incógnita aparece
representada por un “ibis" que significa escarbando en el suelo, posiblemente por su
primogénita aplicación a la agrimensura [19].
Este documento contiene 85 problemas redactados en escritura hierática y fue concebido
originalmente como un manual práctico para los no iniciados. Según el propio Ahmes,
este texto es una copia de uno más antiguo (2000-1800 a.C.), algunos de cuyos
documentos proceden quizá de períodos más antiguos.
Los babilonios sabían cómo resolver problemas concretos que involucraban ecuaciones
de primer y segundo grado, completando cuadrados o sustitución, así como también
ecuaciones cubicas y bicuadráticas, y sistemas de ecuaciones lineales y no lineales tales
como:
14
Un ejemplo concreto escrito en las famosas tablillas de Croquetta, que datan del último
período sumerio hacia el año 2100 a.C., es el siguiente problema:
Existen dos campos cuyas áreas suman 1800 yardas cuadradas. Uno produce granos en
razón de 2/3 de saco por yarda cuadrada, mientras que el otro produce granos en razón
de 1/2 saco por yarda cuadrada. Si la producción total es de 1100 sacos, ¿cuál es el
tamaño de cada campo?"
Por su parte, los matemáticos chinos durante los siglos III y IV a.C. continuaron la
tradición de los babilonios y nos legaron los primeros métodos del pensamiento lineal.
Por ejemplo, en el tratado Nueve capítulos sobre el Arte Matemático, publicado durante
la Dinastía Han, aparece el siguiente sistema lineal:
Así como un método para su resolución, conocido como la regla “fan-chen", la cual, en
esencia, es el conocido método de eliminación gaussiana.
Es interesante recordar el problema que dio origen a este sistema lineal, el cual es similar
al planteado por los babilonios:
Hay tres clases de granos; tres gavillas de primera clase, dos de la segunda clase y una
de la tercera hacen 39 medidas; dos de la primera, tres de la segunda y una de la tercera
hacen 34 medidas; y una de la primera, dos de segunda y tres de la tercera hacen 26
medidas. ¿Cuántas medidas de granos están contenidas en una gavilla de cada clase?
En el antiguo Egipto y Babilonia,
(
) y cuadráticas (
fueron capaces de resolver ecuaciones lineales
, así como ecuaciones indeterminadas como
con varias incógnitas. Los antiguos babilonios resolvían cualquier ecuación
cuadrática empleando esencialmente los mismos métodos que hoy se enseñan.
15
Los matemáticos alejandrinos Herón y Diofante continuaron con la tradición de Egipto y
Babilonia, aunque el libro Las aritméticas de Diofante es de bastante más nivel y
presenta muchas soluciones sorprendentes para ecuaciones indeterminadas difíciles.
Esta antigua sabiduría sobre resolución de ecuaciones encontró, a su vez, acogida en el
mundo islámico, en donde se la llamó “ciencia de reducción y equilibrio”. (La palabra
árabe al-ŷabr que significa ‘reducción’, es el origen de la palabra álgebra).
En el siglo IX, el matemático al-Jwarizmi escribió uno de los primeros libros árabes de
álgebra, una presentación sistemática de la teoría fundamental de ecuaciones, con
ejemplos y demostraciones incluidas. A finales del siglo IX, el matemático egipcio Abu
Kamil enunció y demostró las leyes fundamentales e identidades del álgebra, y resolvió
problemas tan complicados como encontrar las x, y, z que cumplen:
,
,
En las civilizaciones antiguas se escribían las expresiones algebraicas utilizando
abreviaturas sólo ocasionalmente; sin embargo, en la edad media, los matemáticos
árabes fueron capaces de describir cualquier potencia de la incógnita x, y desarrollaron el
álgebra fundamental de los polinomios, aunque sin usar los símbolos modernos. Esta
álgebra incluía multiplicar, dividir y extraer raíces cuadradas de polinomios, así como el
conocimiento del teorema del binomio.
El matemático, poeta y astrónomo persa Omar Khayyam mostró cómo expresar las
raíces de ecuaciones cúbicas utilizando los segmentos obtenidos por intersección de
secciones cónicas, aunque no fue capaz de encontrar una fórmula para las raíces. La
traducción al latín del Álgebra de al-Jwarizmi fue publicada en el siglo XII. A principios del
siglo XIII, el matemático italiano Leonardo Fibonacci consiguió encontrar una
aproximación cercana a la solución de la ecuación cúbica
. Fibonacci
había viajado a países árabes, por lo que con seguridad utilizó el método arábigo de
aproximaciones sucesivas.
A principios del siglo XVI los matemáticos italianos Scipione del Ferro, Tartaglia y
Gerolamo Cardano resolvieron la ecuación cúbica general en función de las constantes
16
que aparecen en la ecuación. Ludovico Ferrari, alumno de Cardano, pronto encontró la
solución exacta para la ecuación de cuarto grado y, como consecuencia, ciertos
matemáticos de los siglos posteriores intentaron encontrar la fórmula de las raíces de las
ecuaciones de quinto grado y superior. Sin embargo, a principios del siglo XIX el
matemático noruego Niels Abel y el francés Évariste Galois demostraron la inexistencia
de dicha fórmula.
Un avance importante en el álgebra fue la introducción, en el siglo XVI, de símbolos para
las incógnitas y para las operaciones y potencias algebraicas. Debido a este avance, el
Libro III de la Geometría (1637), escrito por el matemático y filósofo francés René
Descartes se parece bastante a un texto moderno de álgebra. Sin embargo, la
contribución más importante de Descartes a las matemáticas fue el descubrimiento de la
geometría analítica, que reduce la resolución de problemas geométricos a la resolución
de problemas algebraicos.
Su libro de geometría contiene también los fundamentos de un curso de teoría de
ecuaciones, incluyendo lo que el propio Descartes llamó la regla de los signos para
contar el número de raíces verdaderas (positivas) y falsas (negativas) de una ecuación.
Durante el siglo XVIII se continuó trabajando en la teoría de ecuaciones y en 1799 el
matemático alemán Carl Friedrich Gauss publicó la demostración de que toda ecuación
polinómica tiene al menos una raíz en el plano complejo (véase Número (matemáticas):
Números complejos).
En los tiempos de Gauss, el álgebra había entrado en su etapa moderna. El foco de
atención se trasladó de las ecuaciones polinómicas al estudio de la estructura de
sistemas matemáticos abstractos, cuyos axiomas estaban basados en el comportamiento
de objetos matemáticos, como los números complejos, que los matemáticos habían
encontrado al estudiar las ecuaciones polinómicas. Dos ejemplos de dichos sistemas son
los grupos y las cuaternas, que comparten algunas de las propiedades de los sistemas
numéricos, aunque también difieren de ellos de manera sustancial. Los grupos
comenzaron como sistemas de permutaciones y combinaciones de las raíces de
polinomios, pero evolucionaron para llegar a ser uno de los más importantes conceptos
unificadores de las matemáticas en el siglo XIX.
17
Los matemáticos franceses Galois y Agustín Cauchy, el británico Arthur Cayley y los
noruegos Niels Abel y Sophus Lie hicieron importantes contribuciones a su estudio. Las
cuaternas fueron descubiertas por el matemático y astrónomo irlandés William Rowan
Hamilton, quien desarrolló la aritmética de los números complejos para las cuaternas;
mientras que los números complejos son de la forma a + bi, las cuaternas son de la
forma a + bi + cj + dk.
Después del descubrimiento de Hamilton, el matemático alemán Hermann Grassmann
empezó a investigar los vectores. A pesar de su carácter abstracto, el físico
estadounidense J. W. Gibbs encontró en el álgebra vectorial un sistema de gran utilidad
para los físicos, del mismo modo que Hamilton había hecho con las cuaternas. La amplia
influencia de este enfoque abstracto llevó a George Boole a escribir Investigación sobre
las leyes del pensamiento (1854), un tratamiento algebraico de la lógica básica. Desde
entonces, el álgebra moderna —también llamada álgebra abstracta— ha seguido
evolucionando; se han obtenido resultados importantes y se le han encontrado
aplicaciones en todas las ramas de las matemáticas y en muchas otras ciencias [19].
2.4.2 Determinantes
Gerolamo Cardano (1501-1576) en su Ars Magna, muestra una regla para resolver
sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas, a la cual llama regula de modo y
que, esencialmente, es la conocida regla de Cramer para resolver sistemas lineales 2 por
2; sin embargo, a pesar de que Cardano no ofrece una definición formal del
determinante, y con la ventaja del tiempo a su favor, en su método se pueden apreciar
las primeras luces en esta dirección [19].
Los inicios del concepto de determinantes datan del siglo II a.C. con los matemáticos
chinos. La idea de determinante apareció en Japón y Europa casi al mismo tiempo. En
Japón, fue Takakasu Seki Kowa (1642-1708) el primero en publicar un trabajo sobre este
tema.
En efecto, en 1683, Seki escribió un manuscrito titulado Método de resolver los
problemas disimulados, en el cual se incluyen algunos métodos matriciales expuestos en
forma de tablas, al más puro estilo de los matemáticos chinos de esa época. Sin contar
18
con un término que corresponda a la idea de determinante, Seki introduce los
determinantes y ofrece métodos generales para calcularlos basados en ejemplos
concretos, siendo capaz de calcular el determinante de matrices cuadradas de hasta
orden 5.
La aparición de la noción de determinante en Europa fue durante ese mismo año de
1683, en una carta de Leibniz a Guillaume de L`Hopital (1661-1704) en donde le explica
que cierto sistema de ecuaciones lineales tiene solución. Leibniz usó la palabra
“resultante" para ciertas sumas combinatorias de términos de un determinante y probó
varios resultados sobre éstos resultantes, incluyendo uno que, en esencia, es la conocida
regla de Cramer.
Leibniz también conocía que un determinante se puede expandir usando columnas, lo
que hoy se conoce como la expansión de Laplace, y estudió los sistemas de coeficientes
de ecuaciones, principalmente aquellos ligados a las formas cuadráticas en donde usó
los determinantes.
En los años de 1730, Colin Maclaurin (1698-1746) escribió su Tratado de álgebra, el cual
fue publicado en 1748, dos años después de su muerte. En este trabajo aparecen los
primeros resultados sobre determinantes, se prueba la regla de Cramer para sistemas
pequeños 2 x 2 y 3 x 3, y se indica cómo deducir el caso 4 x 4. El propio Gabriel Cramer
(1704-1752) anuncio la regla general para sistemas n x n en su Introduction a l'analyse
des lignes courbes algebriques, publicado en 1750.
Más adelante, en 1764, Etienne Bezout (1730-1783) muestra nuevos métodos para
calcular determinantes, así como también Vandermonde (1735-1796). Al respecto, en
1772, Pierre-Simon de Laplace (1749-1827) lanza una fuerte crítica a los métodos de
Cramer y Bezout señalándolos de ser imprácticos y en un artículo en el que estudia las
orbitas de los planetas, describe un método para resolver sistemas de ecuaciones
lineales sin necesidad de calcularlos explícitamente. Además, sorprende Laplace al usar
el término “resultante" para señalar lo que se conoce como determinante, pues, como se
apunto antes, éste es el mismo término usado por Leibniz y, según algunos historiadores,
Laplace debió desconocer los trabajos de Leibniz.
19
Por su parte, Joseph-Louis Lagrange (1736-1813), en un artículo sobre Mecánica
publicado de 1773, menciona por primera vez la interpretación de determinante como un
volumen, en efecto, se demuestra que el tetaedro formado por el origen
tres puntos
,
)y
,
y los
, ) tiene volumen
Este resultado también es atribuido a Grassmann, quien prueba que el determinante del
arreglo
representa el volumen del paralelepipedo determinado por los tres vectores fila.
En 1815, Gauss publica su memoria sobre determinantes. Años antes, en 1812, Cauchy
introduce el término “determinante” en el sentido moderno. Este trabajo de Cauchy es el
más completo de la época sobre determinantes, en donde no sólo se prueban algunos
resultados bien conocidos, sino también otras nuevas propiedades sobre menores y
adjuntos. Asimismo, se prueba por primera vez el teorema de la multiplicación para
determinantes, det (AB) = det(A) det (B).
Cauchy también probó que los valores propios de una matriz simétrica con entradas
complejas son números reales e introduce la ecuación característica de una matriz
cuadrada. Un hecho por demás curioso es que durante una reunión celebrada en el
Instituto de Francia, Binet lee un artículo en el cual se incluye también una prueba del
teorema de la multiplicación, aunque esta última es menos satisfactoria que la dada por
Cauchy ([12]).
Por otra parte, Cauchy en 1826 y en el contexto de las formas cuadráticas en n variables,
usó el término “tabla" (“tableau") para la matriz de coeficientes, introdujo los valores
propios de este tipo de matrices y probó algunos resultados sobre diagonalizaciòn de una
matriz con el propósito de convertir una forma cuadrática en una suma de cuadrados.
20
También, Cauchy introduce la idea de matrices similares (pero no así el término) y
prueba que si dos matrices son similares, entonces éstas tienen la misma ecuación
característica, lo cual había sido probado anteriormente por Hamilton durante el
desarrollo de su teoría de cuaterniones. Asimismo, y de nuevo en el contexto de las
formas cuadráticas, Cauchy prueba que cada matriz real simétrica es diagonalizable.
Jacques Sturm (1803-1855) da una generalización del problema de los valores propios
en el contexto de los sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias. En efecto, el
concepto de un valor propio aparece 80 años después, también en trabajos sobre
sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias, en contribuciones de D'Alembert sobre
el movimiento de una cuerda con masas atadas a esta en varios puntos. Puede afirmarse
que ni Cauchy ni Sturm tuvieron una visión de la generalidad de sus ideas.
Carl Gustav Jacob Jacobi (1804-1851) alrededor de 1830 y más tarde Kronecker y
Weierstrass durante los años 1850 y 1860, también trabajaron con matrices, pero, de
nuevo, sólo en casos especiales, y la noción de transformación lineal que comenzaba a
surgir para la época.
En 1841, Jacobi publicó tres tratados sobre determinantes, los cuales alcanzaron singular
importancia, pues en ellos aparecen por vez primera una definición algorítmica del
determinante y con la novedad de que las entradas en el determinante no sean
especificadas, con lo cual sus resultados son igualmente aplicables tanto al caso en que
las entradas eran números como cuando estas sean funciones.
En 1841, Cayley publicó la primera contribución en idioma Inglés de la teoría de
determinantes. En este artículo se usan dos líneas verticales sobre ambos lados del
arreglo de los coeficientes de la matriz para denotar el determinante, una costumbre que
se conserva hasta hoy.
Cayley también probó que una matriz cuadrada A con entradas en un cuerpo es invertible
si y sólo si det(A)
0 La definición axiomática del determinante que hoy se conoce como
la (única) función multilineal alternada y que toma el valor 1 en la matriz identidad se
debe a Kronecker y Weierstrass.
21
Las conferencias de Weierstrass fueron publicadas después de su muerte en 1903 en la
nota sobre la teoría de determinantes. En ese mismo año, las conferencias de Kronecker
sobre determinantes fueron publicadas, también como obra póstuma, y donde se
introduce el producto tensorial de espacios vectoriales. Con estas dos contribuciones la
teoría moderna de determinantes comenzó a ocupar un lugar preponderante en la teoría
de matrices. Uno de los primeros libros publicados en el siglo XX en donde se trata a las
matrices por su propio interés es Introduction to higher algebra, escrito por B`ocher en
1907.
No se pueden olvidar los aportes de Sylvester a la teoría de determinantes. Sylvester
introdujo gran parte del lenguaje moderno del algebra lineal y probó la llamada Ley de
inercia, aunque esta ya había sido descubierta por Jacobi. A Sylvester se debe el término
matriz, como se ha mencionado, así como los primeros progresos de la teoria de auto
valores de un operador lineal.
En particular, Sylvester probó que los valores propios del operador lineal
son las
potencias n-ésimas de los valores propios de T. En los cimientos del álgebra lineal
también destacan las contribuciones de Henrich Sherz, quien demostró algunas de las
propiedades básicas de los determinantes, tales como la linealidad en cada columna:
2.5 Didáctica de la matemática usando la computadora
La didáctica de las matemáticas se refiere a la disciplina que se encarga de la
investigación y desarrollo centrada en la enseñanza de la matemática en la escuela. En
muchas universidades del mundo donde hay Facultades de Educación hay cátedras con
ese nombre. Más recientemente se introdujo la expresión metodología de la enseñanza
de la matemática para referirse a este campo.
22
Hoy en día a nivel global se habla de la educación matemática para referirse al campo de
producción de saberes que ocupa de asuntos relacionados con la enseñanza aprendizaje
y evaluación de las matemáticas en la escuela. Algunos estudiosos de la educación
matemática cuando se refieren a la didáctica de la matemática la asocian como una de
las ramas de la educación matemática que se encarga de las metodologías y colección
de técnicas para la mejora de la enseñanza y aprendizaje del área.
La utilización de software y materiales educativos computarizados como un recurso para
apoyar los procesos de enseñanza y aprendizaje de la matemática, se ha convertido en
una necesidad y constituye una respuesta ante la problemática que gira en torno de la
comprensión cognoscitiva de conceptos y nociones matemáticas en los salones de clase.
El Álgebra Lineal continúa siendo un tema difícil para la mayoría de los estudiantes
universitarios, Los motivos de dichas dificultades son: conceptuales (derivadas de la
propia naturaleza del álgebra), y cognitivas (debidas al tipo de pensamiento necesario
para su comprensión).
Según Sierpinska (1996), citado por [1]: “El uso de estos lenguajes sin articulación,
muchas veces, son el origen de algunas de las dificultades para el aprendizaje de los
conceptos del álgebra lineal”.
Por ejemplo, es frecuente ayudarse de la geometría en
o
para representar la suma
de vectores, pero es difícil usar la geometría para visualizar las sumas en espacios
vectoriales como polinomios o matrices.
El alumno se encuentra, entonces, con dos representaciones diferentes de la suma de
vectores, una geométrica con una definición puntual y otra enteramente formal para
espacios vectoriales generales.
Se presenta el siguiente interrogante: ¿Qué “posibles” ventajas tiene la incorporación de
programas matemáticos como herramienta para el aprendizaje del Álgebra Lineal?
En primer lugar, permite al profesor explicar conceptos que, de otra forma, quedarían en
un nivel de abstracción difícil de asimilar por muchos estudiantes en un tiempo breve.
23
Por ejemplo: puede mencionarse las representaciones de superficies en 3D, que ayudan
por un lado a visualizar problemas geométricos, como intersecciones de curvas y
superficies, y por otro, facilitan la interpretación de diferentes cuestiones algebraicas:
compatibilidad y número de soluciones de un sistema de ecuaciones lineales;
operaciones entre subespacios; efectos producidos por ciertas transformaciones lineales,
entre otras.
Ejemplo.
La interseccion de dos planos, se puede ver geométricamente.
Figura 2: Planos no paralelos
Lo cual no es fácil de visualizar en un curso tradicional de álgebra lineal.
En segundo lugar, el uso de un programa matemático sencillo y de calidad puede resultar
un elemento fundamental en la motivación del estudiante gracias al dinamismo y la
interactividad que se consigue en el proceso.
En relación con esto Meza (2001, p. 132), citado por [12]
Los resultados positivos que podamos obtener al utilizar computadoras en la enseñanza
y el aprendizaje de la matemática, dependerán del uso que les demos, esto significa que
la computadora no es un aparato que resolverá los problemas educativos por arte de
24
magia ... el empleo de computadoras en los procesos de enseñanza y aprendizaje debe
justificarse en el marco de un planteamiento educativo completo, lo que supone la
selección de objetivos educativos y la definición de estrategias didácticas específicas.
En este sentido, la utilización de software y materiales educativos computarizados, está
adquiriendo una importancia preponderante en la transformación de los procesos
pedagógicos que caracterizan la educación superior. Una transformación lenta pero
constante, que implica profundos cambios curriculares y administrativos, en el perfil de la
antigua Universidad y “una forma totalmente distinta de organizar las enseñanzas, lo que
puede generar rechazo en algunos docentes adversos al cambio” (Martínez Bonafé,
1993)
2.6 Breve historia de Scilab
Figura 3: Logo Scilab
La historia de Scilab software comienza en los años 80, creado por INRIA (Instituto
Nacional de Investigación en Informática y Automática) y desarrollado principalmente por
François Delebecque y Serge Steer, con el fin de proporcionar una herramienta de
control automático para los investigadores. Fue inspirado por el software Matlab y Fortran
desarrollado por Cleve Moler que más tarde fue cofundador junto a John Little "The
MathWorks" [18].
25
Actualmente, Scilab es un software matemático, con un lenguaje de programación de alto
nivel, para cálculo científico, interactivo de libre uso y disponible en múltiples sistemas
operativos (Mac OS X, GNU/Linux, Windows). Scilab fue creado para hacer cálculos
numéricos aunque también ofrece la posibilidad de hacer algunos cálculos simbólicos
como derivadas de funciones polinomiales y racionales. Posee cientos de funciones
matemáticas y la posibilidad de integrar programas en los lenguajes más usados(Fortran,
Java, C y C++). La integración puede ser de dos formas; por ejemplo, un programa en
Fortran que utilice Scilab o viceversa. Scilab fue hecho para ser un sistema abierto donde
el usuario puede definir nuevos tipos de datos y operaciones entre los mismos.
Scilab viene con numerosas herramientas: gráficos 2-D y 3-D, animación, álgebra lineal,
matrices dispersas, polinomios y funciones racionales, Simulación: programas de
resolución de sistemas de ecuaciones diferenciales (explícitas e implícitas), optimización
diferenciable y no diferenciable, tratamiento de señales, Grafos y redes. Además se
pueden agregar numerosas herramientas o toolboxes hechas por los usuarios como
Grocer una herramienta para Econometría.
En el pasado Scilab podía ser utilizado en el análisis de sistemas, pero no podía
interactuar con el exterior. Hoy en día se pueden construir interfaces para que desde
Scilab se pueda manejar un dispositivo, se conecte a la red a través de TCP (Protocolo
de Control de Transmisión) Esto brinda la posibilidad de conectar una placa de
adquisición de datos a Scilab y de esta forma el control de una planta on-line.
26
Capítulo 3. Metodología
Introducción
Para lograr la efectividad de este proyecto se contó con la ayuda del Departamento de
Matemáticas de la Universidad de Caldas, el cual facilitó la orientación del curso álgebra
lineal para estudiantes de Ciencias e Ingeniería y una sala de 20 computadoras para
hacer las prácticas. Se orientó un curso teórico-práctico guiando al alumno mediante
talleres didácticos previamente diseñados (anexos A, B y C).
El objetivo del curso era dar la posibilidad al estudiante de descubrir, conjeturar y verificar
las leyes propias de los tópicos referenciados inicialmente del álgebra lineal resolviendo
problemas propios del área y usando la velocidad de la computadora para hacer cálculos
numéricos. Con la tutoría del docente, los estudiantes verificaron, y demostraron con
lápiz y papel (LP) algunas propiedades del álgebra lineal (anexos B y C).
En este trabajo se usará la palabra didáctica como la disciplina que diseña y estudia los
procesos relacionados con la enseñanza y aprendizaje de una área del conocimiento,
entre los cuales, el estudio es el proceso fundamental. En particular el estudio del álgebra
lineal comprende la adquisición de conocimientos ya establecidos, la aplicación de dichos
conocimientos y el quehacer en el aula matemática, usando materiales prediseñados
para la ejecución de las actividades donde el docente intencionalmente apunte a que sus
alumnos, aprendan los conceptos básicos del álgebra lineal.
Desde este punto de vista, el aprendizaje como meta del estudio, es un proceso
constructivo y dinámico, en el cual el alumno es responsable directo (de su aprendizaje),
pues él es quien construye su propio conocimiento a través del papel activo que debe
asumir como protagonista de los procesos de exploración, análisis, síntesis,
generalización de los contenidos matemático. Así desde esta perspectiva, se considera
necesario estimular al estudiante para que sea agente activo de su aprendizaje, y las
actividades de descubrimiento contribuyen a tal fin, pues conllevan que él aprecie las
matemáticas como un proceso y no como un producto acabado.
27
Caracterizando en este particular el proceso constructivo, enfatiza en que, para
comprender y aprehender el conocimiento algebraico matemático, se requiere “hacer
matemáticas”; por eso, en las actividades didácticas que se proponen en este trabajo se
tiene en cuenta “el trabajo intelectual de los alumnos que debe ser en muchas
situaciones comparable con el de sus propios maestros” (Godino C., Batanero V. y
Navarro 1995) y, que el maestro debe constituirse en un mediador entre el alumno y el
conocimiento, en la medida que debe ofrecer los elementos necesarios para promover la
actividad cognitiva a partir del conocimiento responsable del los objetos de estudio y a la
vez fomentar la interacción con sus estudiantes.
La propuesta que se presenta a continuación es una didáctica de las matemáticas por
cuanto se ocupa de presentar actividades que invita a los alumnos a estudiar álgebra
matricial y sistemas de ecuaciones lineales a conjeturar y verificar teorías matemáticas
usando la computadora por medio del software libre Scilab y el Lápiz y Papel (L.P), y en
suma se trata de despertar en ellos, creatividad y pasión en la construcción del saber
matemático.
En ésta sección se discuten las diferentes tareas que concretan la metodología del
diseño e implementación de talleres didácticos del álgebra matricial y sistemas de
ecuaciones lineales con software libre Scilab, temas que pertenecen al curso de álgebra
lineal, que se está desarrollando con estudiantes de Ingeniería de la Universidad de
Caldas en el primer periodo del año 2012.
Al iniciar el curso, fue necesario dedicar unas cuatro sesiones (8 horas) a introducir a los
alumnos en el programa Scilab, para ello se diseñó un módulo de matemáticas básicas
que se describe a continuación.
28
3.1 Módulo o taller matemáticas con Scilab
3.1.1 Objetivo general del módulo
El objetivo central del módulo es dotar al alumno de las herramientas fundamentales que
le permitan manejar e interpretar los principales elementos de las matemáticas básicas
con Scilab que servirán como herramienta para el desarrollo del álgebra lineal con Scilab.
3.1.2 Objetivos específicos
1. Adquirir una visión global del entorno Scilab
2. Dominar las operaciones y propiedades básicas, de los números naturales,
enteros, racionales, reales y números complejos
3. Usar correctamente los conectivos lógicos para unir proposiciones
4. Manejar correctamente las relaciones de comparación
5. Generar aleatoriamente números reales
6. Usar correctamente los elementos básicos de programación
7. Verificar propiedades algebráicas y de orden de los números naturales, enteros,
racionales, reales.
3.1.3 Contenidos
1. Introducción al Scilab
2. Aritmética aproximada, uso de formatos
3. Lógica matemática
4. Introducción a la programación
5. Sistemas numéricos.
3.1.4 Desarrollo de los contenidos
El desarrollo del módulo esta resumido en los siguientes ítems: (anexo A)
29
1. Introducción al Scilab
2. Conceptos básicos de Scilab
3. Comentarios
4. Creación de variables
5. Uso de formatos para los números
6. Uso del punto y coma
7. Diferenciación de Mayúsculas y minúsculas
.
3.1.5 Operaciones básicas con números
Inicialmente Scilab se usa como una calculadora donde los números reales se trabaja,
con aproximaciones (usando formatos). Las operaciones básicas son:
1. Suma
2. Resta
3. Multiplicación
4. División
5. Potenciación
6. Raíz cuadrada
3.1.6 Jerarquía de las operaciones
El uso de lápiz y papel (LP) y la computadora (PC) es fundamental en este punto para
saber si hay conexión entre la computadora y los conocimientos del estudiante. El
programa Scilab está programado para realizar operaciones aritméticas con la siguiente
jerarquía:
Las expresiones se evalúan de izquierda a derecha, con la operación de potencia
teniendo el orden de precedencia más alto, seguido por multiplicación y división que
tienen ambas igual precedencia y seguidas finalmente, por suma y resta que tienen igual
precedencia. Si hay paréntesis primero se hace las operaciones que haya dentro de los
paréntesis respetando la jerarquía dicha anteriormente.
30
3.1.7 Proposiciones y conectivos lógicos
El dominio de las relaciones de comparación y los conectivos lógicos es de gran ayuda
para verificar el valor de verdad de algunas proposiciones matemáticas. Las relaciones
de comparación son:
a==b, verdadera si a=b y la respuesta en Scilab es T, en caso contrario es F
a<>b, verdadera (T), si a es diferente de b, en caso contrario es F
a<b,
verdadera (T), si a es menor que b
a>b,
verdadera (T), si a es mayor que b
a<=b, verdadera (T), si a es menor o igual que b.
Los conectores lógicos
para la disyunción, conjunción y negación
son: |, &,~
respectivamente.
Los Comandos rand() y floor() junto con los conectivos lógicos
y las relaciones de
comparación facilitan la verificación de propiedades de la matemática.

Observación
Las verificaciones no son demostraciones matemáticas, pero ayudan a comprender
mejor algunas leyes de la matemática y también sirven para conjeturar algunas de las
mismas. Las relaciones de comparación, los conectivos lógicos, los comandos floor y
rand y la programación son herramientas fundamentales en la construcción de este
trabajo.
3.1.8 Sistemas numéricos
El conocimiento de la construcción de los sistemas numéricos desde los números
naturales hasta los números complejos y la verificación, demostración y conjeturización,
usando PC y LP de propiedades algebráicas de los números, ayudan al manejo del
Scilab y como también al aprendizaje de las propiedades algebráicas y de orden de los
números. Los ítems abordados en este tema son:
31
a.
Números Naturales
b.
Números pares
c.
Números primos
d.
Factorización de números naturales
e.
Números de Fibonacci
f.
Números enteros
g.
Algoritmo de la división
h.
Números racionales
i.
Números reales
j.
Números complejos
3.1.9 Metodología empleada
La metodología empleada en este cursillo es constructiva y complementaria, esto es, el
estudiante con ayuda del módulo que sirve de guía y la computadora como complemento
va aprendiendo el conocimiento a través de de la verificación y conjetura de las leyes del
álgebra lineal. El Tiempo de la actividad del cursillo tomó una duración de 8 horas.
La evaluación de este módulo fue continua y se hizo en el aula informática donde los
alumnos mostraban los avances de la familiarización del programa Scilab resolviendo
problemas de las matemáticas básicas. Los cuestionarios y test de evaluación aparecen
en el módulo (anexo A).
3.2 Módulo álgebra matricial con Scilab
3.2.1 Objetivo general del módulo
El objetivo general de este módulo es complementar la enseñanza-aprendizaje del
álgebra matricial con Scilab como ayuda didáctica para mejorar su aprendizaje, ya que es
parte del curso álgebra lineal, asignatura obligatoria para estudiantes de ingeniería de la
Universidad de Caldas (anexo B).
32
3.2.2 Objetivos específicos
1. Identificar los números reales y los números complejos ejemplos de cuerpos
numéricos
2. Determinar cuándo un conjunto en el que se definen dos operaciones una interna
y una externa, tiene una estructura de espacio vectorial
3. Identificar una matriz A de nxm como un elemento del espacio vectorial de
Matrices F(n, m), donde F es un campo numérico
4. Generar matrices aleatorias
5. Verificar y demostrar propiedades del espacio vectorial de matrices
6. Identificar subespacios de matrices nxm
7. Multiplicar matrices
8. Verificar propiedades del producto de matrices
9. Identificar cuando una función entre espacios matriciales es una transformación
lineal
10. Identificar diferentes clase de matrices: cuadradas, diagonales, triangulares,
traspuesta, simétricas, antisimétricas, nilpotentes, idempotentes e involutivas.
3.2.3 Contenidos
1. Espacios vectoriales
1.1 Cuerpos
1.2 Espacios vectoriales
1.3 Espacio vectorial de las matrices
1.4 Matrices aleatorias
1.5 Igualdad de matrices
1.6 Subespacios
2. Producto de matrices
2.1 Producto escalar y sus propiedades
2.2 Producto de matrices
2.3 Matriz idéntica
2.4 Matriz cero
33
2.5 El producto de matrices no es conmutativo
2.6 Propiedades del producto de matrices
2.7 Divisores de cero
3. Transformaciones lineales entre espacios matriciales
3.1 Transformaciones lineales
3.2 Matrices diagonales, triangulares
3.3 Matrices traspuestas y sus propiedades
3.4 Matrices simétricas y antisimétricas
3.5 Matrices idempotentes, nilpotentes e involutivas.
3.2.4 Metodología
En el anexo B aparece el módulo álgebra matricial con Scilab, diseñado de tal manera
que su uso sea un complemento para la enseñanza y aprendizaje del tema álgebra
matricial parte de la asignatura algebra lineal. El diseño del módulo esta soportado por
[2], [3] y [4]. Su filosofía es complementaria: se abordan los temas teóricos, definiciones
ejemplos, propiedades y verificación de las propiedades en Scilab y LP
Algunas
demostraciones propias del álgebra lineal se hacen en el aula con LP y las verificaciones
se hacen en el aula informática.
El módulo 2, álgebra matricial con Scilab fue previamente gravado en sus memorias USB
para ser instalado en las computadoras tanto propias como en la sala informática de la
Universidad de Caldas. El tiempo en el desarrollo de la asignatura álgebra lineal
corresponde a 4 horas semanales que se distribuyen en dos horas teóricas LP y dos
horas aula informática. En las horas aula informática, se verifican propiedades y se
resuelven algunos problemas del álgebra lineal, aclarando que el aula informática es un
complemento didáctico de ayuda para el aprendizaje.

Temporalización
16 horas, 8 horas en el aula L.P y 8 horas en la sala informatica.
34

Evaluación
La evaluación es continua y se desarrollan en las prácticas con LP y PC que aparecen en
el módulo (anexo B). Las evaluaciones finales se hacen con los módulos 2 y 3 (anexo D).
En el Módulo 3, se describen las pruebas diseñadas con LP y PC.
Entrando en materia, se comienza definiendo el conjunto F, un campo o cuerpo numérico
base para la construcción de los espacios vectoriales. El campo o cuerpo F son los
números reales o los números complejos. En el módulo 1 se ha verificado con Scilab que
los números reales y los números complejos forman una estructura de campo, para esto
se han definido dos operaciones internas suma (+) y (
en F y que satisfacen las
propiedades de conmutatividad, asociatividad con las dos operaciones y la existencia del
uno y el cero y la existencia de opuestos e inversos y la propiedad distributiva donde se
relacionan las dos operaciones.
Después de definir el concepto de campo, se introduce el concepto de espacio vectorial
(V,+,F, ), donde se han definido una operación interna (+) para la suma de los
elementos de V y la operación ( ) para el producto de los elementos de F con los de V.
Se demuestra y verifica con (LP) y con Scilab, respectivamente que el conjunto (C,+, ,R)
forman el espacio vectorial complejo, con las operación suma (+) usual entre números
complejos y el producto usual entre un número real x y un número complejo z.
Otro ejemplo importante es el espacio vectorial
que corresponde al conjunto
de parejas (a, b) donde a y b son números reales y se generaliza para el conjunto
conjunto de vectores formado por las n-uplas
, donde los
, el
pertenecen al
campo R.
En el diseño didáctico de este taller, se limita a espacios vectoriales de las matrices
(F(n,m), +, ,F), donde F(n,m) es el conjunto de matrices con n filas y m columnas y F un
campo,(puede ser los números reales o los números complejos) y las operaciones
usuales de suma (+) de matrices y producto ( ) de una matriz por un escalar.
35
Para verificar en Scilab que el conjunto de matrices nxm sobre el campo F es un espacio
vectorial es útil definir las matrices aleatorias, por ejemplo si se quiere generar una matriz
4x4 aleatoria cualesquiera con elementos enteros positivos entre 0 y 9 es:
A=floor(10*rand(4,4))
->A=floor(10*rand(4,4))
A =
2.
6.
8.
7.
7.
6.
0.
1.
0.
8.
5.
5.
3.
6.
6.
2.
Usando las flechas del teclado arriba o abajo, puede generar cualquier matriz aleatoria,
se usa esta metodología para verificar muchas propiedades del algebra lineal.
El uso del comando rand (n,m) se usa mucho para generar matrices aleatorias, su
importancia radica en lo útil que puede ser para conjeturar muchas propiedades y no
propiedades del espacio vectorial matricial, por ejemplo el estudiante fácilmente puede
llegar a la conclusión que el producto de matrices no es conmutativo. Otro ejemplo,
empleado en clase es verificar la propiedad distributiva usando Scilab.
// Propiedad distributiva
n=floor(10*rand(1));// n es número de filas aleatorio entre 0 y 9
m=floor(10*rand(1));// m es número de columnas aleatorio entre 0 y 9
x=floor(1000*rand(1));// genera un número entero aleatorio entre 0 y 999
A=rand(n,m);// genera una matriz aleatoria nxm
B=rand(n,m);// genera una matriz aleatoria nxm
x*(A+B)== x*A +x*B // verifica una propiedad de espacio vectorial
//Ejecutando el programa con CTRL.
ans =
TTTT
TTTT
TTTT
36
La respuesta ans indica que la propiedad distributiva es verdadera (T) para la matriz A y
B aleatorias y para el escalar x aleatorio. Aunque esto no es una demostración ayuda a
verificar propiedades.
Se continúa el módulo con el concepto de subespacio, para trabajar con el conjunto de
matrices diagonales, matrices triangulares superiores y matrices triangulares inferiores,
verificando con scilab y demostrando con LP
que el conjunto de matrices nxn
mencionadas anteriormente con elementos en el campo F forman subespacios del
espacio vectorial de las matrices nxn. Para demostrar o verificar que un subconjunto S no
vacío del espacio vectorial V es un subespacio de V, se usa:

Teorema condición suficiente
Si el conjunto S no vacío, subconjunto del espacio vectorial V es cerrado con la suma y
cerrado con el producto de escalares de F con vectores de V, entonces (S,+,F, ) es un
subespacio de (V,+,F, ).
Por ejemplo el siguiente comando verifica en Scilab, que D(n, n), el conjunto de matrices
diagonales con elementos reales es un subespacio del espacio vectorial de las matrices
reales R(n,n).
-->A=diag(floor(10*rand(1,4))),B=diag(floor(10*rand(1,4))),
- -> x=floor(10*rand(1)),D1=A+B, D2=x*A
- ->// Genera dos matrices A y B diagonales aleatorias enteras 4x4, las suma y el
resultado es otra matriz diagonal, igualmente verifica que el producto de una matriz
aleatoria con un valor real aleatorio es otra matriz diagonal.
La verificación anterior también se puede hacer con matrices triangulares (anexo B).
En el proceso de enseñanza del álgebra lineal, cuando se está trabajando el concepto de
espacio vectorial matricial, es bueno hacer notar a los estudiantes que hay algunas
diferencias entre las propiedades algebraicas del espacio matricial con las propiedades
algebráicas del campo de los números reales.
37
Algunas diferencias
1. El producto de números reales es conmutativo
2. El producto de matrices no es conmutativo
3. En los números reales si a y b son no nulos a b es no nulo
4. En Las matrices ; existen A y B matrices no nulas tales que A B=0
5. En los números reales si a c=b c y c es no nulo entonces a=b
6. En las matrices el numeral 5 no es necesariamente es verdadera.

Herramientas de Scilab usadas
a. Vectores
b. Matrices
c. Operaciones, suma, resta, multiplicación, de matrices
d. Formatos
e. Comando rand( ), para generar matrices aleatorias
f.
Comando floor( ), para generar matrices aleatorias enteras, usando rand( )
g. Relaciones de comparación
h. Ciclo for
i.
Ciclo While
j.
Condicional if
k. Matriz diagonal
l.
Matriz triangular superior
m. Matriz triangular inferior
n. Matriz traspuesta
o. Matriz simétrica
p. Matriz antisimétrica.
3.3 Módulo sistemas de ecuaciones lineales
3.3.1 Objetivo general del módulo
En este módulo se pretende ayudar al estudiante a resolver sistemas de ecuaciones
lineales usando el método de eliminación empleando lápiz y papel y verificando con
Scilab.
38
3.3.2 Objetivos específicos
1. Escribir un sistema de ecuaciones lineales en su forma matricial
2. Verificar con LP y PC la solución de un sistema de ecuaciones lineales
3. Graficar un recta y un plano con LP y Scilab
4. Identificar cuando dos rectas o dos planos son paralelos
5. Graficar con Scilab planos paralelos y no paralelos
6. Usar ideas previas para solucionar un sistema de ecuaciones lineales
homogéneo, por el método de eliminación de variables
7. Verificar con ejemplos que un sistema de ecuaciones lineales puede ser
compatible o inconsistente
8. Verificar con ejemplos que un sistema compatible puede tener única solución
o infinitas soluciones
9. Resolver un sistema lineal homogéneo
10. Usar el comando rref (A) para resolver un sistema de ecuaciones lineales
11. Definir el rango de una matriz
12. Usar el rango de una matriz para ver la compatibilidad de un sistema lineal
13. Definir la matriz inversa
14. Hallar la matriz inversa por el método de eliminación gaussiana
15. Definir el determinante de una matriz 2x2
16. Definir el determinante de una matriz nxn
17. Usar Scilab para calcular determinantes nxn
18. Verificar propiedades de los determinantes con Scilab y con LP.
3.3.3 Contenidos
Capítulo 1. Sistemas de ecuaciones lineales
1.1 Definición de un sistema de ecuaciones lineales
1.2 Geometría de las soluciones en dos dimensiones
1.3 Geometría de las soluciones tres dimensiones
Capítulo 2. Solución de ecuaciones lineales
2.1 Ideas previas para resolver un sistema de ecuaciones lineales lineales
39
2.2 Técnica de eliminación para resolver sistemas de ecuaciones lineales
2.3 Matriz escalón reducida por filas
2.4 Rango de una matriz
2.5 Matriz inversa
Capítulo 3.
3.1 Determinantes 2x2
3.2 Determinantes nxn
3.3 Propiedades del determinante
3.4 Determinantes en Scilab
3.5 Propiedad de linealidad de los determinantes.
3.6 Otras propiedades de los determinantes
3.7 Teorema resumen.
3.3.4 Metodología
En el anexo C se puede ver el diseño del módulo, en él se define un sistema de
ecuaciones lineales AX=Y, donde A es una matriz que pertenece al espacio vectorial
F(n,m), F es un campo numérico real o complejo, X es la matriz incógnita que pertenece
al espacio F(m,1) e Y es el vector independiente del espacio F(n,1). si Y=0, el sistema es
homogéneo.
Es importante anotar que la geometría de las soluciones de un sistema de ecuaciones
lineales para m=2 y m=3, didacticamente ayuda a ver las soluciones de estos. Con ayuda
de Scilab se grafican rectas y planos y se observan las soluciones (anexo C).
Por ejemplo en la seccion 4.3.1 del anexo C se resuelve el sistema
2x-y+z=0
x+3y+4z=0
y su inteprtetación geométrica son dos planos que se intersecan en una linea recta
(Figura 4)
40
Figura 4: Intersección de dos planos
Para introducir el método de eliminación para resolver sistemas de ecuaciones lineales,
primero se dió un ejemplo, donde se indica en la guía las operaciones elementales, para
transformar una matriz A a su forma escalonada o escalonada y reducida, este trabajo se
hace inicialmente con LP y luego se dan las instrucciones en Scilab para hacer el
proceso de transformacion. Es bueno notar que las matrices que van cambiando son
semajantes, indicando que los sistemas lineales coorrespondientes a esta matrices
tienen las mismas soluciones.
A esta altura del curso es indicado trabajar con el comando rref(A), ya que este ayuda a
resolver sistemas lineales evitando los cálculos numéricos y mas bien hacer el análisis de
de las soluciones en los sistemas homogéneos.
Usando el comando rand(n,m) se puede generar muchos sistemas de ecuaciones
lineales homogéneos, calculando el rango de una matriz se puede verificar:
1. Un sistema homogéneo AX=0, donde A es una matriz nxm es compatible, esto es
el sistema siempre tiene solución
2. El sistema homogéneo AX=0, donde A es una matriz cuadrada nxn tiene única
solución si y solo si el rango de A es n
3. El sistema homogéneo AX=0, donde A es una matriz cuadrada nxn tiene infinitas
soluciones si y solo el rango de A es menor que n
41
4. El sistema homogéneo AX=0, donde A es una matriz cuadrada nxn tiene única
solución si y solo la matriz escalonada y reducida es la matriz idéntica I
5. El sistema AX=0, donde m>n tiene infinitas soluciones
6. El sistema AX=0, donde n<m, tiene única solución si el rango(A)=m
El docente debe buscar estrategias metodólogicas para convencer a los alumnos que los
sistemas de ecuaciones lineales no homogéneos, se escriben de la forma AX=Y y las
posibildades de soluciones del sistema no homogéneo son:

Única solución

Infinitas soluciones

Inconsistente
Continuando con el módulo, se definen los conceptos de matriz inversa y determinante,
se calcula la matriz inversa usando el proceso de elimnación Gauusiana, adjuntando la
matriz A y la idéntica I ([A I]) y aplicándole el comando rref( ) y se verifican propiedades
de la matriz inversa usando Scilab.
Se resuelven sistemas de ecuaciones lineales AX=Y, donde A es una matriz cuadrada e
invertible, para esto se usa el teorema:
A es una matriz nxn invertible si y solo si el sistema A*X=Y tiene solucion unica y la
solucion es X=inv(A)*Y
Finalmente se define el concepto de determinante como una función que va desde el
espacio vectorial F(n,m) hasta F, se verifican propiedades de los determinates y se
relaciona con los sistemas de ecuaciones lineales, usando el teorema resumen.

Teorema Resumen
Todas las siguientes proposiciones son equivalentes. A es una matriz cuadrada mxm
1. A es una matriz invertible
2. Rango(A) =m
3. Det(A)
4. La matriz rref(A)=I, I es la matriz idéntica
42
5. El sistema de ecuaciones lineales homogéneos AX=0, tiene única solución, X=0
6. El sistema de ecuaciones lineales A*X=Y, tiene única solución, X=inv(A)*Y
Y por lógica matemática las negaciones
de las proposiciones anteriores son
equivalentes
1. A es una matriz singular
2. Rango(A)<m
3. Det(A)=0
4. La matriz rref(A) I, I es la matriz idéntica
5. El sistema de ecuaciones lineales AX=0, tiene infinitas soluciones
6. El sistema de ecuaciones lineales A*X=Y, tiene infinitas soluciones o es
inconsistente.
Comandos de Scilab que se usaron:

Matriz rref(A)

Rank(A) // El rango de una matriz

Matriz inversa: inv(A)

Determinante : det(A)

Comando: plot

Temporalización
Para la realización de esta actividad se usaron ocho sesiones (16 horas), 8 horas LP y 8
horas PC.

Evaluación
La evaluación se hizo conjunta es decir los dos módulos, algebra matricial y sistemas de
ecuaciones lineales (anexo D). En el cápítulo 4 se hace el análisis de los resultados de la
evaluación.
La evaluación final consistió en dos tipos de examenes uno con PC y el otro con LP: el
primero fue con PC, el número de preguntas fue 20, de las cuales 15 tipo test y 5
preguntas abiertas. Las preguntas de LP fueron 18 de las cuales 5 abiertas y 13 tipo test.
(Ver las evaluaciones en anexo D).
43
3.4 Comentarios de los evaluadores
A continuación se presentan algunos comentarios de los evaluadores de los módulos:
Evaluador 1.
Considero que Scilab es un software matemático bien interesante para trabajar
matemáticas en la manera como se propone en este módulo, en especial a la hora de
verificar ciertos axiomas y teoremas por parte de los estudiantes.
Es importante que las respuestas de falso (F) y verdadero (T) que arroja Scilab al
momento de plantear un axioma, teorema o relación de comparación, se explique con
más detalle. De igual manera, aprovechando esta condición, sería ideal proponer a los
estudiantes la comprobación numérica de todas las propiedades de los números reales y
complejos usando Scilab. Sería importante que realizara una tabla donde se resuman
los comandos más utilizados en Scilab (incluyendo los de programación lógica) con una
breve descripción de cada uno.
Desde mi punto de vista, en primera instancia para que este módulo sea considerado de
matemáticas básicas es necesario incluir muchos más temas como por ejemplo,
ecuaciones e inecuaciones, desigualdades, factorización y simplificación de expresiones
algebraicas entre otros. En segunda instancia, tal y como está estructurado este módulo
sólo serviría para que el estudiante aprenda algunas pequeñas cosas de matemáticas
básicas como por ejemplo, comprobar axiomas y teoremas. Es necesario realizar
actividades con cuestionamientos para que el estudiantes concluya, deduzca e infiera
ciertos conceptos matemáticos.
Evaluador 2.
Considero que la idea de reforzar los conceptos relativos a los espacios vectoriales, las
transformaciones lineales y el álgebra matricial con ejemplos computacionales, es
excelente, ya que dichos ejemplos permiten al estudiante una percepción más concreta
de los conceptos. El anexo que me correspondió revisar, apunta precisamente a ese
propósito de refuerzo conceptual, y lo hace de manera adecuada. Ignoro cuál es el nivel
44
de comprensión de los conceptos que se pretende, sea alcanzado por los usuarios del
texto, pero a juzgar por el contenido del mismo, dicho nivel es bastante básico. Así por
ejemplo, no se mencionan conceptos como base y dimensión de un espacio vectorial,
dependencia e independencia lineal ni matriz de una transformación lineal. Pero aún
suponiendo que el texto es bastante básico, me atrevo a hacer algunas sugerencias que,
a mi parecer, pueden aumentar la efectividad del texto:

Aclarar la diferencia entre Campo y Espacio Vectorial

Definir de manera precisa los conceptos de n-vector y Producto Punto o Escalar
entre n-vectores

No mezclar la nomenclatura que se usa en el software, con la nomenclatura
matemática convencional (por ejemplo si u y v son vectores de Rn, la expresión
u*v resulta más bien ambigua, pues no es claro si se refiere a un producto
escalar, un producto vectorial, o alguna otra operación)

Emplear la geometría siempre que sea posible, para ilustrar los conceptos
matemáticos
Por lo demás, felicito al autor del texto por su contribución a la didáctica de las
matemáticas.
Evaluador 3.
En relación a los manuales orientados a la asignatura álgebra lineal haciendo uso del
paquete computacional Scilab, le expreso mi concepto:
El manejo conceptual específico de la disciplina es adecuado y el nivel de formalismo
apropiado para el público al que va dirigido.
Puede ser usado como manual de acompañamiento a las actividades regulares del
curso, bajo una cuidadosa supervisión del docente, con el fin de potenciar las bondades
de este software hacia la enseñanza.
45
Desde el primer instante en que se inicia la actividad es recomendable hacerle explícito
al estudiante (oral o en forma escrita en el taller) la intencionalidad de lo que se va a
hacer, lo cual ayuda a que éste pueda asumir un rol activo durante el proceso.
Como un segundo paso en la consolidación de los manuales podría pensarse en una
ampliación de la base teórica para que fueran más autocontenidos y pudieran ser usados
en forma independiente por el estudiante, así como también seguir diseñando problemas
de desafío, en los cuales el software cumpla no solo funciones de calculadora, sino que
permita y promueva el razonamiento matemático en el estudiante.
Por último, deseo resaltar esfuerzos como los que se plasman en este trabajo, los cuales
contribuyen a enriquecer los espacios de enseñanza aprendizaje de la matemática
aprovechando las diferentes representaciones (verbal, algebraica, geométrica, numérica )
de los diferentes objetos bajo estudio.
46
Capítulo 4.Resultados
4.1 Introducción
La metodología en este trabajo apuntó a un enfoque constructivista, donde el alumno
usando los módulos y las clases normales expositivas va aprendiendo los conceptos del
álgebra matricial y los sistemas de ecuaciones lineales de una forma didáctica debido al
diseño mismo de los módulos, que lo va acercando a los conceptos, conjeturado,
verificando y resolviendo problemas propios del álgebra lineal.
Para evaluar el impacto de la metodología en la enseñanza-aprendizaje de los conceptos
del álgebra lineal, se aplicaron dos pruebas o test de salida, una con LP y la otra con PC.
A continuación se presentan los resultados de dichas pruebas haciendo el análisis
cuantitativo de los mismos. Después del estudio estadístico se aplica una entrevista oral
a una muestra de estudiantes y finalmente se realizaron las observaciones del docente y
la autoevaluación para culminar el trabajo.
4.2 Población de estudio
La población fue 31 estudiantes de la Universidad de Caldas correspondientes a la
Facultad de Ciencias Exactas y Naturales y a la Facultad de Ingenierías. Los estudiantes
de Ciencias corresponden a las carreras de Geología y Licenciatura en Bioquímica (BIOQ) y los estudiantes de Ingenierías corresponden a las carreras
Sistemas.
de Alimentos y
47
Tabla 1: Población
Alumno
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
Código
Carrera
Barbosa Sebastián
601125816 Geología
Beltrán Natalia
601113780 Geología
Campiño Restrepo Natalia Yulieth
601113358 Geología
Coca Castrillón Valentina
601122486 Geología
García Jennifer Paola
601123814 Geología
Paspur Yeison Gabriel
601125204 Geología
Rendón Henao Daniela
601121987 Geología
Arroyabe Sebastián
601122433 Geología
Chaparro Vargas León Felipe
601122679 Geología
Marin Ramírez Lina marcela
601020527 Geología
Serna Yapes Mauricio
601213169 Geología
Toro Agudelo Ana María
601122312 Geología
Valencia Jesús David
601114980 Geología
Jaramillo Cano Baltazar
801020819 I. Alimentos
Largo Danny Alejandro
801110870 I. Alimentos
López Giraldo Cristian David
1701113168 I. Sistemas
Serrano Arango Dayra Maryori
801110632 I.Alimentos
Suarez Valencia Mateo
801112463 I. Alimentos
Taramuel Sandra milena
801125174 I. Alimentos
Vélez Diego Alejandro
1701022879 I.Sistemas
Acevedo Ruiz Lina marcela
801110122 I. Alimentos
Corrales Ramírez Vanessa
801111768 I. Alimentos
Cuical Nancy Liliana
801116069 I. Alimentos
Díaz Duque Valentina
801114172 I. Alimentos
Vélez Parra Laura María
801115627 I. Alimentos
Vinasco Ana Elisa
800820421 I. Alimentos
Castellano Meneses Johana
201115363 BIO-Q
Ramírez Cifuentes Alejandra
201113183 BIO-Q
Vélez Andrea Botero
201021612 BIO-Q
Arroyabe Erika
201122878 BIO-Q
Quintero Parra Hernán David
201120113 BIO-Q
48
4.3 Distribución de los datos
Carreras
Estudiantes
BIO-Q
5
Geología
13
Ingeniería
13
Total
31
Figura 5: Distribución de la población
DISTRIBUCIÓN DE LA
POBLACIÓN
BIO-Q
16%
Ingeniería
42%
Geología
42%
4.4 Hipótesis de estudio
“El uso de los talleres didácticos del álgebra matricial y sistemas de ecuaciones lineales
con Scilab diseñados en este trabajo, mejoran los resultados de las pruebas de los
tópicos del álgebra lineal.”
Para validar o rechazar la hipótesis, se aplicaron diferentes instrumentos de evaluación:

Trabajos en el aula informática

Talleres desarrolladas en casa

Evaluaciones orales

Examen con lápiz y papel

Examen usando la computadora
49
Observación. En este análisis solamente se sistematizaron los resultados de los
examenes a LP y PC.
4.5 Resultados de las pruebas con lápiz y papel y con
ayuda de la computadora
Tabla 2: Resultado de las pruebas por carreras (test en anexo D)
Alumno
Código
Carrera
nota LP
nota PC
Barbosa Sebastián
601125816 Geología
2,2
3,5
Beltrán Natalia
601113780 Geología
2,2
4,5
Campiño Restrepo Natalia Yulieth
601113358 Geología
3,3
4,3
Coca Castrillón Valentina
601122486 Geología
2,2
4,3
García Jennifer Paola
601123814 Geología
2,8
4,8
Paspur Yeison Gabriel
601125204 Geología
4,2
3,8
Rendón Henao Daniela
601121987 Geología
1,9
3,5
Arroyabe Sebastián
601122433 Geología
1,1
3,9
Chaparro Vargas León Felipe
601122679 Geología
4,7
4,5
Marin Ramírez Lina marcela
601020527 Geología
2,2
4,4
Serna Yepes Mauricio
601213169 Geología
2,8
3,9
Toro Agudelo Ana María
601122312 Geología
2,8
4,4
Valencia Jesús David
601114980 Geología
1,7
3,3
Jaramillo Cano Baltazar
801020819 Ingeniería
2,8
3,8
Largo Danny Alejandro
801110870 Ingeniería
2,2
3,5
1701113168 Ingeniería
3,3
3,8
Serrano Arango Dayra Maryori
801110632 Ingeniería
0,8
3,5
Suarez Valencia Mateo
801112463 Ingeniería
2,5
3,5
Taramuel Sandra milena
801125174 Ingeniería
4,7
4
1701022879 Ingeniería
3,3
3
Acevedo Ruiz Lina marcela
801110122 Ingeniería
2,5
3,1
Corrales Ramírez Vanessa
801111768 Ingeniería
2,8
4,2
Cuical Nancy Liliana
801116069 Ingeniería
2,8
2,8
Díaz Duque Valentina
801114172 Ingeniería
2,5
3,6
Vélez Parra Laura María
801115627 Ingeniería
2,5
3,9
López Giraldo Cristian David
Vélez Diego Alejandro
50
Tabla 2: Resultado de las pruebas por carreras
Vinasco Ana Elisa
800820421 Ingeniería
Castellano Meneses Johana
Continuación
2
2,5
201115363 Bio-Q
1,9
3
Ramírez Cifuentes Alejandra
201113183 Bio-Q
2,2
3
Vélez Andrea Botero
201021612 Bio-Q
2,7
3
Arroyabe Erika
201122878 BIO-Q
0,9
3,6
Quintero Parra Hernán David
201120113 BIO-Q
1,1
3,6
4.6 Análisis estadístico de la prueba
Hipótesis nula
Promedio LP= Promedio PC
Hipótesis alternativa.
Promedio LP < promedio PC
Total estudiantes= 31
Figura 6: Comparación de promedios con LP y PC
Comparación de promedios con
lápiz y papel y con PC
promedio LP
2,5
promedio PC
3,7
Se rechaza la hipótesis inicial en el que se supone que el promedio con LP es igual al
promedio con PC y se verifica la segunda hipótesis que el promedio con LP es menor
que con PC.
51
4.7 Comparacion de medias, Prueba T
Aplicando esta prueba en un programa estadístico, muestra los resultados de tres
ensayos de la población, que expone la relación nota promedio LP Vs.PC.
La primera prueba es un t-test de la hipótesis nula en donde la nota media LP-PC es
igual a 0,0 frente a la hipótesis alternativa en que la nota media LP-PC es menor que
cero. Dado que el valor de p para esta prueba es menos de 0,05, se puede rechazar la
hipótesis nula en el 95,0% de nivel confianza.
La segunda prueba es una prueba de los signos de la hipótesis nula, en que la nota
media LP-PC es igual a 0,0 en comparación con el hipótesis alternativa de que la nota
media LP-pc nota es inferior a 0,0. Se basa en contar el número de valores por encima y
por debajo del La hipótesis de la mediana. Dado que el valor de p para esta prueba es
inferior a 0,05, se puede rechazar la hipótesis nula en el nivel de confianza del 95,0%.
La tercera prueba es una prueba de rangos signados de la hipótesis nula de que la nota
media LP-PC es igual a 0,0 en comparación con la hipótesis alternativa que la nota
media LP-PC nota es inferior a 0,0. Se basa en la comparación de las filas medias de los
valores por encima y por debajo de la hipótesis mediana. Dado que el valor de p para
esta prueba es inferior a 0,05, se puede rechazar la hipótesis nula en el nivel de
confianza del 95,0%.
Con la prueba T se rechaza entonces la hipótesis nula y se aprueba la hipótesis alternativa
con un 95% de confianza y un 5% de error, con esta confianza estadística se puede estar
seguros en un 95% que: “El uso de los talleres didácticos del álgebra matricial y sistemas
de ecuaciones lineales con Scilab diseñados en este trabajo, mejoran los resultados de
las pruebas de los tópicos del álgebra lineal”.
52
4.8 Análisis de los datos por carreras
4.8.1 Promedio por carreras
Figura 7: Promedio por carreras LP y PC
5
PROMEDIO POR CARRERAS LP Y PC
4
3
LP
2
PC
1
0
Geologìa

Ingenierìa
BIO-Q
Observación
1. Los estudiantes de Geología superan en sus resultados en PC en promedio a
estudiantes de Ingeniería y estudiantes de Biología y Química
2. Los estudiantes de Ingeniería superan en LP a Geología y Biología y Química
3. Los estudiantes Ingeniería superan muy poco a los de Geología en la prueba LP.
53
4.9 Análisis de Varianza
Tests for nota pc by carrera
Method:95,0 percent Duncan
Carrera
Count
Mean
Homogeneous
--------------------------------------------------------BIO-Q
Ingeniería
Geología
5
13
13
3,24
3,47692
4,08462
X
X
X
----------------------------------------------------------------------Contrast
Diference
----------------------------------------------------------------------BIO-Q- Ingeniería
-0,236923
BIO-Q-Geología
*-0,844615
Ingenieria-Geología
*-0,607692
-----------------------------------------------------------------------* denotes a statistically significant difference.
Hay una diferencia significativa entre BIO-Q y Geología de 0,844615, lo que indica
estadisticamente que los estudiantes de Geología superan con un amplio margen a los
estudiantes de BIO-Q. Los estudiantes de Ingeniería y BIO-Q tiene una diferencia de
0,236923; estos dos grupos tienden a ser homogéneos. La prueba estadística indica
además que Geología supera con un amplio margen a BIO-Q y con un poco menos a
Ingeniería.
54
4.10 Análisis estadístico por género
Tabla 3: Número de estudiantes mujeres: 18
Alumno
Código
Carrera
nota LP
nota PC
Acevedo Ruiz Lina marcela
801110122 I. Alimentos
2,5
3,1
Arroyabe Erika
201122878 BIO-Q
0,9
3,6
Beltrán Natalia
601113780 Geología
2,2
4,5
Campiño Restrepo Natalia Yulieth
601113358 Geología
3,3
4,3
Castellano Meneses Johana
201115363 BIO-Q
1,9
3
Coca Castillo Valentina
601122486 Geología
2,2
4,3
Corrales Ramírez Vanessa
801111768 I. Alimentos
2,8
4,2
Cuical Nancy Liliana
801116069 I. Alimentos
2,8
2,8
Díaz Duque Valentina
801114172 I. Alimentos
2,5
3,6
García Jennifer Paola
601123814 Geología
2,8
4,8
Marin Ramírez Lina marcela
601020527 geología
2,2
4,4
Ramírez Cifuentes Alejandra
201113183 BIO-Q
2,2
3
Rendón Henao Daniela
601121987 Geología
1,9
3,5
Serrano Arango Dayra Maryori
801110632 I.Alimentos
0,8
3,5
Taramuel Sandra milena
801125174 I. Alimentos
4,7
4
Toro Agudelo Ana María
601122312 geología
2,8
4,4
Vélez Parra Laura María
801115627 I. Alimentos
2,5
3,9
Vinasco Ana Elisa
800820421 I. Alimentos
2
2,5
Tabla 4: Número de estudiantes hombres: 13
Chaparro Vargas León Felipe
601122679 geología
4,7
4,5
Jaramillo Cano Baltazar
801020819 I. Alimentos
2,8
3,8
Largo Danny Alejandro
801110870 I. Alimentos
2,2
3,5
1701113168 I.Sistemas
3,3
3,8
Paspur Yeison Gabriel
601125204 Geología
4,2
3,8
Quintero Parra Hernán David
201120113 BIO-Q
1,1
3,6
Serna Yepes Mauricio
601213169 Geología
2,8
3,9
Suarez Valencia Mateo
801112463 I. Alimentos
2,5
3,5
Valencia Jesús David
601114980 Geología
1,7
3,3
Vélez Andrea Botero
201021612 BIO-Q
2,7
3
1701022879 I.Sistemas
3,3
3
Arroyabe Sebastián
601122433 Geología
1,1
3,9
Barbosa Sebastián
601125816 Geología
2,2
3,5
López Giraldo Cristian David
Vélez Diego Alejandro
55
Figura 8: Distribución población por género
Distribución por género
mujeres
47%
hombres
53%
Figura 9: Comparación de promedios
8
7
6
3,74
5
4
mujeres
2,38
hombres
3
2
1
2,66
3,62
0
LP

PC
Análisis
1. Los hombres superan a las mujeres en LP
2. Las mujeres superan a los hombres en PC
3. Los hombres suben 0,96 en promedio de LP a PC
4. Las mujeres suben 1,36 en promedio de LP a PC.
56

Conclusión
La poblacion, tanto por carreras como por género mejora el rendimiento académico
cuando se evalua a LP y cuando se evalua con la ayuda de la computadora usando el
software Scilab.
4.11 Entrevistas a una muestra de la población
1. El software Scilab como elemento central de esta estrategia, ¿permite mejorar el
aprendizaje del álgebra lineal?
Garcia Jenifer Paola
Si, permte mejorarlo por que, es más rápido, el
software ayuda a verificar
Marín Ramírez Lina Marcela
Si me sirvió para aplicar los conceptos, si no
hubiera entendido a LP
no hubiera podido
aplicar en la PC.
Johana Castellano
Si señor, porque la clase no es monótona, y
con el programa hay más comunicación con
los compañeros
Natalia Beltran
Si porque pude comprobar los resultados.
2. ¿Cuál es el grado de interactividad que genera esta estrategia entre los alumnos y el
docente, entre alumnos y medio didáctico, entre los propios alumnos?
García Jennifer Paola
Hubo mucha interactividad entre alumno y
medio didáctico, poco entre alumno y alumno y
mucha entre alumno y docente.
Marín Ramírez Lina Marcela
Con los compañeros muy poco con el
programa si, porque desde que comenzó el
curso descargué Scilab y trabajé mucho los
talleres, prefiero hacer eso que hacerlo con
lápiz y papel.
57
Díaz Duque Valentina.
Pienso que fue más con el computador porque
yo tengo computador en mi casa, pero también
hubo comunicación con el profesor cuando le
había que hacer preguntas.
Mauricio Serna.
Hubo mucha interactividad porque a la hora de
aprender un lenguaje nuevo, se generan más
dudas y más necesidad de debatir.
Johana Castellano.
El grado fue muy elevado porque aparte de lo
que decía el profesor, podemos verificar los
datos con el programa y nuestros compañeros.
Natalia Beltrán
Muy poca interecatividad con los compañeros,
más comunicación alumno computadora.
3. El programa Scilab ¿permite prescindir del esfuerzo rutinario dedicado a desarrollar
operaciones numéricas y concentrarse en el verdadero objetivo del álgebra lineal?
García Jennifer Paola.
Si, por que es como fácil además es más corto
Marín Ramírez Lina Marcela
Si me permitió resolver los ejercicios con la PC
y no hacerlos con la PC eran muy largos
Mauricio Serna
Si, Scilab permite hacer las operaciones, pero
tiene cosas buenas y malas, las buenas uno
termina más rápido le rinde a uno y tiene la
certeza que esta bueno. Y malo porque se
vuelve
muy
perezoso
en
hacer
las
operaciones.
Johana Castellano.
Claro
que
si,
nos permite resolver
las
operaciones más fácil y tener la certeza que
están bien resueltos.
58
4. El uso de la nueva tecnología ¿genera barreras de aprendizaje usando LP?
García Jennifer Paola.
Yo creo que es más difícil hacer LP cuando se
ha manejado la computadora
Díaz Duque Valentina
No, porque con LP se aprende la teoría y con
la computadora se verifica.
Mauricio Serna.
Si, porque a la hora de hacer con matrices con
LP es algo muy complejo y con un gran
margen de error a hora de obtener las
respuestas.
5. El programa Scilab ¿es una auténtica herramienta de experimentación?
Johana Castellano.
Si, porque me ayuda a resolver problemas de
la química.
Díaz Duque Valentina
Si es buena, porque me ayuda a resolver
rapidamente algunos ejercicios.
Mauricio Serna.
Si me parece buena y no solamente para el
álgebra sino para todas las materias, geología
también.
6. La estrategia, ¿aumenta el grado de motivación del álgebra lineal?
Díaz Duque Valentina
Si, porque con la ayuda de PC se realizan los
ejercicios más fácilmente y me gusta porque
practico en mi casa en mi computadora y me
gusta.
Mauricio Serna.
Johana Castellano.
La verdad que para mi si, porque a la hora de
emplear el programa se hace menos
monótona la clase y más fácil de obtener las
respuestas con exactitud.
Si señor profe, porque nos ahorramos tiempo,
es
muy
motivante
problemas mas fácil.
porque
resuelve
los
59
4.12 Autoevaluación
Terminado este ciclo, desde el inicio del curso de álgebra lineal para estudiantes de
Ciencias exactas e Ingeniería, y hasta la escritura de estas notas, pasando inicialmente
por el cursillo de matemáticas con Scilab, continuando con el módulo álgebra matricial y
terminando con el módulo sistemas de ecuaciones lineales, se viene haciendo una
evaluación cualitativa continua y una evaluación cuantitativa reflejada en los datos
estadísticos, y por último, se realiza una entrevista oral a algunos estudiantes, con todo
esto se puede dar respuesta a la siguiente autoevaluación planteada desde el inicio del
proceso.
1. El software Scilab como elemento central de la estrategia, ¿permite mejorar el
aprendizaje del álgebra lineal?
R. Los datos cuantitativos muestran el mejoramiento del rendimiento académico, y lo
mismo las observaciones continuas en los laboratorios en el aula, las tareas dejadas para
resolver en casa y las respuestas de la entrevista que se hizo a los estudiantes.
2. ¿Cuál es el grado de interactividad que genera esta estrategia entre los alumnos y el
docente, entre alumnos y medio didáctico, entre los propios alumnos?
R. Hay mucha comunicación entre alumno y docente en el aula informatica, cuando se
están desarrollando los talleres, los estudiantes se ven muy motivados en aprender
debido a la filosofia constructiva de los talleres y preguntan mucho. La comunicación
entre compañeros vecinos es poco fluida; en algunos momentos en el desarrollo de los
talleres. Cada estudiante tiene su propio computador; sin embargo, ellos discuten las
soluciones de los problemas. La relación del estudiante con el taller didactico es muy
buena, debido a que él va aprendiendo de acuerdo con la guía.
3. La estrategia didáctica, ¿favorece el protagonismo y la autocreación del alumno frente
al medio tecnológico, evitando que el alumno sea un mero usuario del sistema?
R. La computadora ayuda mucho en resolver los problemas, pero no es suficiente, a
veces se necesita interpretación de los resultados que ésta arroja, y eso conlleva al
estudiante a ser protagonista de su propio aprendizaje, conjeturado y verificando muchas
veces propiedades del álgebra lineal.
60
4. El programa Scilab ¿permite prescindir del esfuerzo rutinario dedicado a desarrollar
operaciones numéricas que en nada ayudan al verdadero objetivo del álgebra lineal?
R. Indudablemente Scilab ayuda a resolver los cálculos núméricos, que en poco son
importantes en los objetivos del aprendizaje de los conceptos basicos del álgebra lineal,
como por ejemplo, cuando se va a resolver un sistema lineal 4x4 no homogeneo, Scilab
le ayuda a transformar la matriz aumentada del sistema a una matriz equivalente que
está en su forma escalonada y reducida. La interprtación de las soluciones del sistema
de ecuaciones lineales equivalente es responsabilidad del estudiante, la máquina ya
cumplió su trabajo.
5. El programa Scilab ¿es una auténtica herramienta de experimentación?
R. Scilab es un lenguage matemático parecido al Matlab, la ventaja de Scilab es que es
mas liviano, es libre y se considera una buena herramienta de experimentación debido a
que es un laboratorio matemático cuyo elemento principal son las matrices, entonces su
entorno se basa en todas las herramientas del álgebra lineal; además, su potencia en
graficación ayuda a interpretar geométricamente las soluciones de los sistemas lineales y
por último su potencia en programación y el uso de los comandos aleatorios y de
comparación permiten verificar muchas propiedades del álgebra lineal.
6. La estrategia didáctica usada ¿estimula a los estudiantes en adquisición de
aprendizajes significativos?
R. Un curso de álgebra lineal en forma tradicional se queda muy corto en los
aprendizajes significativos, debido a que los problemas que se resuelven son muy
limitados en la cantidad de variables y su interpretación geométrica es muy limitada. Con
la estrategia didáctica, el estudiante aprende a resolver problemas propios de la
ingeniería o las ciencias basicas que tienen aplicaciones a éstas, esto permite
significancia y motivación en el aprendizaje.
7. El uso de la nueva tecnología ¿genera barreras de aprendizaje usando LP?
R. Un problema que tiene el aprendizaje de los conceptos básicos del álgebra lineal es
debido a que el estudiante todo lo quiere hacer con la máquina y esto puede conllevar a
que haya barreras en el aprendizaje; esto se supera cuando el docente intensionalmente
usa dos estrategias, una con LP y la otra con la ayuda del PC, siendo así, las barreras de
61
aprendizaje se disminuyen. Los talleres diseñados en este trabajo estan con esa filosofia,
la computadora es una ayuda para el aprendizaje.
8. La didáctica guiada ¿genera autonomía cognitiva en los alumnos, permitiéndoles e
incitándoles a conjeturar y verificar nuevos conocimientos?
R. Los talleres didácticos, matematicas básicas con Scilab, álgebra matricial y sistemas
de ecuaciones lineales (anexos A, B y C) están diseñados con una metodología
constuctivista, esto implica que va aprendiendo los temas, verificando, y conjeturando los
conceptos y propiedades básicas de esta parte del álgebra lineal. Por ejemplo, en este
trabajo muchos estudiantes sin decirle con anterioridad, llegaron a la conclusión que dos
matrices A Y B no siempre son conmutativas.
9. La estrategia, ¿aumenta el grado de motivación para el aprendizaje del álgebra lineal?
R. El álgebra lineal es una materia nueva para los estudiantes que recien ingresan a las
Universidades a carreras técnicas y científicas. En los cursos tradicionales, según la
experiencia del autor de más 20 años como profesor univeristario, el curso en algún
momento se puede volver tedioso y aburridor para el estudiante por la cantidad de
operaciones y demostraciones que hay que hacer.
Por otro lado, cuando se llega al concepto de espacio vectorial y transformaciones
lineales con sus repectivas demostraciones, puede ser, tanto para el docente como para
sus alumnos, un curso bastante complicado. En los tres últimos años se ha venido
trabajado en la Universidad de Caldas (Manizales, Colombia) el curso de álgebra lineal
usando una metología didáctica con ayuda de softaware matemático, esta expereincia ha
mostrado un cambio de actitud en los estudiantes, y se nota en los laboratorios
informáticos en el aula, el alumno se ve más motivado y pregunta mucho más que en un
curso tradicional.
62
Capítulo 5. Conclusiones y Recomendaciones
5.1 Conclusiones
El software matemático Scilab ha permitido que los estudiantes realicen con menos
esfuerzo los cálculos repetitivos y rutinarios necesarios para resolver los problemas,
permitiendo que se centren en los verdaderos objetivos del curso, aunque la metodología
ha provocado cierta disminución en las habilidades y destrezas manuales en el cálculo.
Debido a la filosofía constructivista de los talleres didácticos, se ha favorecido el
protagonismo de los alumnos frente al medio computacional y un poco de resistencia a
resolver los problemas sin el uso de la computadora.
La interactividad que ha generado la estrategia didáctica ha sido positiva entre los tres
ámbitos de comunicación: alumnos con alumnos, alumnos con el docente y alumnos con
Scilab.
La estrategia didáctica que se ha empleado en este curso experimental ha provocado
bastante motivación entre los alumnos, como se pudo observar en varios indicadores:

Los estudiantes se encontraban bastante comprometidos en clase, las clases
resultaban entretenidas y nada aburridas y además se les pasaba rápidamente

Los alumnos han dedicado bastantes horas a la asignatura fuera del horario
habitual de clase, esto se observa en las tareas y trabajos para realizar fuera de
clase

El programa Scilab ha sido un elemento muy motivador para el aprendizaje
porque les ha facilitado el cálculo, les ha permitido llegar al final en la resolución
de los problemas y les ha dado tiempo al análisis final.
El ambiente que ha generado el curso ha sido muy participativo, invitaba al trabajo
individual y colectivo, propiciado por la estrategia empleada y por el uso de Scilab.
63
La dinámica de las clases ha sido muy activa, diferente a las clases tradicionales, no fue
necesario tomar apuntes, se disponía de los talleres didácticos que servían de guía para
el avance de los conceptos del algebra lineal.
La evolución en el aprendizaje ha sido progresiva, se ve en los resultados. Por ejemplo,
los estudiantes de geología pasaron en promedio de 2,62 hasta 4,1 en la evaluación de
LP vs. PC.
El uso de Scilab ha dejado al alumno espacio para pensar, pues se deja lo rutinario para
la computadora y permite dedicarse al alumno más a la interpretación a posteriori de los
problemas.
5.2 Recomendaciones
A lo largo de este trabajo se han observado algunos factores o elementos que podrían
haber mejorado los resultados con la aplicación de la nuestra estrategia didáctica. A
continuación se mostrarán dichos factores que proporcionan pautas para futuros trabajos:

La estrategia se podría desarrollar en dos cursos distintos de algebra lineal uno
con la ayuda PC y otro solamente con LP.

Complementar el trabajo para estudiar los espacios vectoriales
y
con la
ayuda de Scilab, para mejorar la enseñanza y aprendizaje de vectores
linealmente independientes, linealmente dependientes, bases, rectas y planos,
producto punto y producto vectorial.

Complementar el trabajo para estudiar los conceptos valores y vectores propios
con Scilab.

Aplicar la estrategia didáctica del uso de software para los cursos de cálculo
diferencial, integral y ecuaciones diferenciales.

Capacitar a los docentes de matemáticas para que se actualicen en el
conocimiento en software matemático y lo apliquen en sus respectivos cursos.
64
Bibliografía
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informáticos de cálculo algebráico. Madrid: Universidad Complutense de Madrid, Facultad
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[2] GROSMAN, Stanley I. Álgebra lineal. McGraw-HILL, sexta edición, 2007.
[3] STRANG, Gilbert. Álgebra lineal. Ediciones Paraninfo, third edition, 2003.
[4] NAKAMURA, Shoichiro. Análisis numérico y visualización gráfica con Matlab. Prentice
Hall, 1997.
[5] RUIZ, Liliana. Metodología innovadora para la enseñanza del álgebra. Disponible en:
http://www.google.com.co/search?source=ig&hl=es&rlz=&q=Ruiz++Liliana%2C+Metodolo
g%C3%ADa+innovadora+para+la+ense%C3%B1anza+del+algebra%2C+Facultad+de+C
iencias+Exactas+-+Facultad+de+Ingenier%C3%ADa+Unsa+&btnG=Buscar+con+ Google
&meta =lr%3D&aq=f&oq.
[6] TIRADO, Gilda y RUIZ, Liliana Ale. Facultad de Ciencias Exactas - Facultad de
Ingeniería - Consejo de Investigaciones de la Unsa - Universidad Nacional de Salta. Av.
Bolivia 5150 - Salta – Argentina, [email protected] - [email protected].
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Universidad Pedagógica y Tecnológica de Colombia.
[8] MORALES, María Inés. El aula virtual del álgebra lineal. Recuperado el 1 de marzo de
2009 de: http://algebra-lineal.blogspot.com/2008/03/matlab-y-los-archivos-m.html
[9] ORTEGA PULIDO, Pedro. Una estrategia didáctica para la enseñanza del álgebra
lineal con el uso del sistema del cálculo algebraico DERIVE. Madrid: Universidad
Autónoma de Madrid. Revista ISSN 1130-2496. Recuperado el 2 de mayo de 2009 de:
http://www.invenia.es/oai:dialnet.unirioja.es:ART0000110833.
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[10] RESTREPO, Guillermo. Álgebra lineal. Cali: Editorial Universidad del Valle,1998.
[11] POSSO AGUDELO, Abel E. Sobre el bajo aprovechamiento en el curso de
matemáticas I de la UTP. Scientia et Technica, año XI, no. 28, octubre de 2005. ISSN
0122-1701 169.
[12] MOSQUERA, Julio. Didáctica del álgebra lineal y de la probabilidad. Caracas:
Universidad
Nacional
Abierta.
Caracas,
junio
de
2008.
Disponible
en:
http://unamer34.files.wordpress.com/2009/02/765.pdf.
[14] POSSO, Abel y UZURRIAGA,Vivian. Articulación del bachillerato con la universidad.
Pereira:
Universidad
Tecnológica
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Pereira.
Disponible
en:
http://www.google.com.co/search?hl=es&ei=bmuhSsfwNY6y8Qap-vHdDw&sa=X&oi=
spell&resnum=0&ct=result&cd=1&q=Investigaciones+sobre+mortalidad+en+los+cursos+
matematicas+en+las+universidades&spell=1.
[15] ASTORGA DE BÁRCENA, Angélica E.; CORREA DE FIGUEROA, Blanca; FLORES,
Marta y ALIENDRO, Estela S. Una forma diferente de evaluar en álgebra lineal.
Didponible en:
http://www.google.com.co/search?hl=es&q=investigacion+bajo+rendimiento+en+algebra+
lineal&meta=lr%3Dlang_es%7Clang_en.
[16] ROBLEDO, Jaime. Formación matemática en un primer curso de matemáticas. Cali:
Universidad
del
Valle.
Disponible
en:
http://www.google.com.co/search?hl=es&q=
investigacion+bajo+rendimiento+en+algebra+lineal%2Cunivalle&meta=lr%3Dlang_es%7
Clang_en.
[17] GIL, Lucía Graciela. El uso de TIC como medio para la enseñanza del álgebra lineal.
[18] http://www.scilab.org/products/scilab/history.
[19] LUZARDO, Deivi. Historia del álgebra lineal hasta los albores del siglo XX.
Maracaibo: Universidad de Zulia, Facultad Experimental de Ciencias, Departamento de
Matemáticas. Disponible en: http://www.emis.de/journals/DM/v14-2/art6.pdf.
66
[20] HOFMANN. Historia de la matemática. Editorial Limusa.
[21] WAERDEN, B. L. A history of algebra: From al-KhwÄarizmi to Emmy Noether,
springer- verlag. Berlin, 1985.
[22] CUICAS, Marisol. El software matemático como herramienta para el desarrollo de
habilidades del pensamiento y mejoramiento del aprendizaje de las matemáticas.
67
Anexo A. Módulo
usando Scilab
matemáticas
básicas
Objetivo general del módulo
El objetivo central del módulo es dotar al alumno de las herramientas fundamentales que
le permitan manejar e interpretar los principales elementos de las matemáticas básicas
con Scilab que servirán como herramienta para el desarrollo del álgebra lineal con Scilab.
Objetivos específicos
1. Adquirir una visión global del entorno Scilab
2. Dominar las operaciones y propiedades básicas, de los números naturales, enteros,
racionales, reales y números complejos
3. Usar correctamente los conectivos lógicos para unir proposiciones
4. Manejar correctamente las relaciones de comparación
5. Generar aleatoriamente números reales
6. Usar correctamente los elementos básicos de programación
7. Verificar propiedades algebraicas y de orden de los números, naturales, enteros,
racionales, reales.
Contenidos
1. Introducción al Scilab
2. Aritmética aproximada, uso de formatos
3. Lógica matemática
4. Introducción a la programación
5. Sistemas numéricos.
Capítulo 1. Introducción al Scilab
Scilab es un software matemático diseñado en los años 80’s con algunas características
iguales que el Matlab. Este programa fue desarrollado en el Institut National de
Recherche en Informatique et Automtiue (INRIA), instituto francés de investigación.
Scilab es un software científico para computaciones numéricas provisto mediante un
poderos ambiente de desarrollo orientado a aplicaciones científicas y de ingeniería.
Scilab es utilizado en la actualidad para propósitos educacionales e industriales en todo
el mundo. Posee una multitud de toolboxes, entre los cuales se destaca SciCos, un
paquete de modelado y simulación de sistemas dinámicos similar a SimuLink. Posee
capacidad de computación paralela y conexión con CAS como Maple y MuPAD.
Características básicas
1. Software para cálculo científico
2. Interactivo
3. Programable
4. Uso libre
5. Disponible en Windows, Linux.
68
El Sitio oficial es: www.rock.iniria.fr/scilab/
Al iniciar Scilab aparece la ventana llamada consola
________________________________________
scilab-5.3.0
Consorcio Scilab (DIGITEO)
Copyright (c) 1989-2010 (INRIA)
Copyright (c) 1989-2007 (ENPC)
___________________________________________
Ejecución de inicio:
Cargando entorno inicial
-->
Al aparecer el prompt -->, el programa Scilab está disponible para hacer los cálculos
matemáticos; cada línea se termina con Enter.
Conceptos básicos Scilab
Introducción
En esta sección, familiarizamos al estudiante con algunos conceptos fundamentales de
Matemáticas con Scilab, con el objeto de conocer algunos comandos y funciones básicas
para el desarrollo de la didáctica del álgebra lineal que se desarrollara en los siguientes
capítulos.
La metodología para la implementación de este taller es conjunta, se definen algunos
conceptos, definiciones, teoremas y los ejercicios se trabajan con Lápiz y Papel (LP) y se
verifican en la computadora usando Scilab (PC). Al final de cada sección se dejan
algunos talleres didácticos para reforzar el conocimiento.
Comentarios
En Scilab se usa el símbolo // para comentar o documentar una línea, por ejemplo,>//Maestría en enseñanza de las Ciencias Exactas, Universidad Nacional
Creación de variables
La orden
-->x=10 // crea la variable x=10 y la despliega en la consola
x =
10.
Si se usa el comando (;) al final de la línea, no despliega el valor de la variable pero se ha
ejecutado la orden, es decir se ha creado una variable x con valor 10.
->x=10;// El valor x=10 no aparece en la consola.
Si quiere cambiar el valor a la variable x, solo es digitar x=, el valor que se quiera y
desaparece el valor anterior.
69
Mayúsculas y minúsculas
Scilab diferencia las letras mayúsculas de las minúsculas, por ejemplo si se ejecuta la
orden: >X // aparece error la variable X mayúscula no está definida
!--error 4
Undefined variable: X
Variables numéricas
Scilab trabaja con números reales y números complejos. Si usa format(16), el programa
reserva 16 espacios o 16 posiciones para mostrar cada número real, estos incluyen
espacio para el signo, la parte entera y el punto. El formato normal es format(10) y
reserva 10 espacios.
Por ejemplo,
-->1/3 // Como no se ha definido con una letra el valor numérico 1/3, por defecto Scilab
la nombra con ans.
ans =
0.3333333
// El número 1/3 en formato normal.
-->format(16)// formato 16
-->1/3
ans =
0.3333333333333
Operaciones Básicas y Jerarquía de las operaciones
Los símbolos +, - , , / se usan para las operaciones aritméticas. Para la potenciación se
usa ^ o también .
// Ejemplo
-->3^3
ans =
27.
-->3**3
ans =
27.
La raíz cuadrada usa el comando
-->sqrt(9)
ans =
3.
Factorial
Si n es un número natural, entonces el factorial de n es:
En caso que, n=0 y n=1 el factorial es 1. En Scilab se tiene:
->factorial (5)
ans =
120.
70
Jerarquía de las operaciones
Las expresiones se evalúan de izquierda a derecha, con la operación de potencia
teniendo el orden de precedencia más alto, seguido por multiplicación y división que
tienen ambas igual precedencia y seguidas finalmente, por suma y resta que tienen igual
precedencia. Si hay paréntesis primero se hacen las operaciones que haya dentro de los
paréntesis respetando la jerarquía dicha anteriormente.
Ejemplo.
Hallar el valor numérico de:
)
// Scilab
-->2+3*2^2-2*(2^3+10/2)
ans =
- 12.
// Verificar con Lápiz y Papel (LP)
Práctica 1
Calcular el valor numérico con LP y luego con la computadora (PC)
a)
b)
c)
d)
Práctica 2
Inicialmente con LP y luego verifique en la PC.
Calcule el valor numérico de:
a.
b.
c.
, para a=1 b=4 y c=3
, para a=3, b=4
, x=0,x=-1
d.
e.
Capítulo 2. La matemática como ciencia deductiva
Introducción a la lógica matemática
En esta sección introductoria expondremos muy brevemente algunos conceptos básicos
sobre la naturaleza lógica de las matemáticas.
71
Proposiciones
Una proposición en matemáticas es un enunciado libre de ambigüedad que es
verdadero o falso, pero no las dos a la vez.
Ejemplo 1. El enunciado
Es un enunciado verdadero.
Ejemplo 2. El enunciado
Es falso.
Notación
Si una proposición es verdadera se dice que la proposición es T y si la proposición es
falsa se indica F
Relaciones de comparación
En Scilab las relaciones de comparación son igualdad, diferente, menor que, menor o
igual que, mayor que, mayor o igual que, los símbolos, son:
a==b, es verdadera si a=b y la respuesta en Scilab es T, en caso contrario es F.
a<>b, es verdadera (T), si a es diferente de b, en caso contrario es F.
a<b, es verdadera (T), si a es menor que b.
a>b, es verdadera (T), si a es mayor que b.
a<=b, es verdadera (T), si a es menor o igual que b.
a>=b, es verdadera (T), si a es mayor o igual que b.
Ejemplos.
//Scilab
->factorial(0)==factorial(1)//compara los dos valores
ans =
T
// La respuesta T, significa que los dos factoriales son iguales
-->factorial(2)==factorial(3)
ans =
F
// La respuesta F, expresa que el factorial de 2 es diferente al de 3.
Álgebra de proposiciones
Dado el conjunto de objetos matemáticos: [P, o, y,
], donde P es el conjunto de
proposiciones y las operaciones (o) que significa disyunción, (y) es el operador
conjunción,
el símbolo negación, el símbolo ( ) significa implicación y
es la
doble implicación.
Las operaciones definidas son cerradas en el conjunto de proposiciones P, esto es:
 Si las proposiciones p y q están en P entonces (p o q) también está en P
 Si las proposiciones p y q están en P entonces (p y q) también está en P
72



Si las proposiciones p y q están en P entonces( p) también está en P
Si las proposiciones p y q están en P entonces p
también está en P
Si las proposiciones p y q están en P entonces p
también está en P
Los operadores disyunción, conjunción, negación, implicación y doble implicación
también se llaman conectores lógicos y se usan para formar nuevas proposiciones.
Ejemplo.
Sean las proposiciones p y q
,
Se pueden formar nuevas proposiciones con los conectores,
~p: 2 no es un número primo
p o q: 2 es un número primo o 2 es un número par
p y q: 2 es un número primo o 2 es un número par
Reglas de los operadores
1. La proposición (p o q) es verdadera si al menos una de ellas es verdadera
2. La proposición ( p y q) es falsa si al menos una de ellas es falsa
3. La proposición (~p) es falsa si p es verdadera y es verdadera si p es falsa
Ejemplos.
//En Scilab los conectores (o, y, ~), se escriben (|, &,~), respectivamente
-->2==2 | 3==4 // El símbolo | es el conector para la disyunción
ans =
T
// la proposición (p o q) es verdadera, debido a que por lo menos una proposición es
verdadera en este caso la proposición 2==2 es verdadera,
/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
-->2==2 & 3==4 // el símbolo & es el conector conjunción (y)
ans =
F
// La proposición (p y q) es falsa (Explique ¿Por qué?)
/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
-->~(2==2 & 3==4)// el símbolo (~), para la negación.
ans =
T
// La proposición ~(p y q) es verdadera (Explique ¿Por qué?)
/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
73
Implicación
El conector es muy importante en las matemáticas, une dos proposiciones p y q para
obtener la proposición
Se lee “si p entonces q”
Equivalente,
No es cierto (que se dé p y no se dé q)
Ejemplo.
Si x es un número natural par entonces
es un número par.
Definiciones
Las definiciones son enunciados que especifican de manera clara y precisa los
conceptos que se van a trabajar en una teoría.
Axiomas
Los axiomas son proposiciones verdaderas, no necesitan demostración, se aceptan
como leyes. La mayoría de los axiomas son de la forma
.
Teoremas
Los Teoremas son enunciados verdaderos que tienen que deducirse lógicamente de las
definiciones, axiomas o de otros teoremas. A este proceso se la llama demostración.
Tipos de demostraciones
a. Demostración directa
Enunciados de la forma
. Partiendo del enunciado
de la siguiente manera:
Donde
,
…
hay que llegar al enunciado
, son proposiciones
Ejemplos
Definición 1.
.
Definición 2.
Todos los números naturales pares son de la forma 2*k, k es un número natural.
74
Teorema 1.
Para todo n, p y q números naturales se cumple que
Teorema 2. Para todo n, p y q números naturales se cumple que
Teorema
Si n es un número natural par entonces
es un número par.
Demostración
Si n es par entonces existe un número k natural tal que
se tiene que:
, elevando al cuadrado
, Teorema 2
, Asociatividad
,
La última línea indica que
,m
es par, por definición 2.
b. Demostración por contraejemplo
Se utiliza para demostrar que un enunciado es falso. Por ejemplo, si se desea demostrar
que un enunciado de la forma
es falso, hay que encontrar un ejemplo particular
donde p sea verdadera y q falsa.
Ejemplo.
Demostrar la falsedad de la proposición “para todo número natural n la expresión
es un número primo”. Si n=1 entonces p=43 es verdadero, si n=2
entonces p=47 es verdadero, si n=41, p=41(41+1+1)=41(43), es falso, el número p no es
primo.
c. Demostración por contradicción o reducción al absurdo
Para demostrar que
es verdadero usando el método de Reducción al Absurdo
seguir los siguientes pasos:
1. Suponer que
es verdadero, es decir, que las hipótesis de la implicación se
cumplen.
2. Suponer que
es verdadero.
3. Mediante razonamientos lógicos mostrar que
también es verdadero.
4. De los pasos 1 y 3 se tiene entonces que y
son ambos verdaderos. Ya que
esto no es posible en lógica proposicional, el paso 2 es falso, es decir,
es
verdadera y por lo tanto
verdadera.
(Ver ejemplo sección 3.4)
75
Verificando en Scilab
Si n es un número par entonces
es un número par.
-->k=1:1:10// genera números naturales del 1 al 10
k =
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.
-->par=2*k,// genera los primeros 10 números pares
par =
2. 4. 6. 8. 10. 12. 14. 16. 18. 20.
// Verificando el teorema con los 10 primeros números pares
-->parcua=par^2,//números pares elevados al cuadrado
parcua =
.
4. 16. 36. 64. 100. 144. 196. 256. 324. 400.
// Note que los números son pares.
Ejercicio
1. Demuestre que si a y b son números impares entonces a +b es par. Verifique en la
computadora
2. Demuestre que la suma de tres naturales consecutivos es divisible por 3 y verificar
en Scilab.
Observación
Scilab no demuestra teoremas, pero es de gran ayuda para verificar axiomas y teoremas.
Programación lógica
En esta sección se desarrollan algunos conceptos básicos de programación en Scilab,
que serán de utilidad para el desarrollo de las didácticas de la matemática fundamental y
el álgebra matricial.
Estudiaremos los ciclos de repetición FOR y WHILE y el condicional IF.
Editor SciNotes
El editor SciNotes se usa en Scilab para editar varias líneas de comando en Scilab, éstas
se ejecutan tecleando ctrl L. Para acceder al editor SciNotes lo buscamos en la consola
de Scilab (Aplications)
Ciclo for
Cuando una operación hay que repetirla n veces se usa el ciclo for cuya sintaxis es:
-> for i=1:10 // repetir 10 veces
> Instrucciones
->end
76
Ejemplo 1
Hallar la suma: 1+2+3+4+5…n
/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
// Escribir el listado en el editor de Scilab, SciNotes
//Sumar del 1 hasta n
n=input('entre el valor n')// El comando input se usa para la entrada de datos del teclado.
suma=0; // Se inicializa la suma en 0
for i=1:n // El ciclo comienza en i=1 y termina en i= n
suma=suma+i;
end
suma
//////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
// Al ejecutar el programa tenemos
entre el valor n100
n =
100.
suma =
5050.
Ejemplo 2
Calcule la suma de los primeros n números impares positivos.
///////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
// Suma de los n primeros números impares///////
n=input('Entre el valor de n');
suma=0;
for i=1:100
suma=suma+2*i-1;
end
disp(' la suma de los primeros ')
n
disp('numero impares....es')
suma
//////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
Ciclo while
Es un ciclo que repite una acción hasta que se cumpla una condición.
Ejemplo.
Sume los primeros n números naturales, hasta que la suma sea menor que 1000.
Calcule la suma y cuántos números se necesitaron.
//////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
suma=0; i=0;
77
while suma<1000
i=i+1;
suma=suma+i;
end
// la suma es
suma-i
//y se necesitaron
i-1
//terminos
////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
Práctica en la computadora
Use la instrucción while para realizar un programa en Scilab que entre un número por el
teclado y lo sume si es positivo, si es negativo el programa termina y entrega la suma.
El comando para entrar datos es - -> n=input(‘……………..’)
/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
// Calcula una suma, de términos positivos
suma=0;
// Si el número es negativo no suma y sale del programa
n=input('entre un número cualquiera...el número suma si es positivo');
while n>0
suma=suma+n
n=input('entre un número cualquiera...el número suma si es positivo')
end
// La suma es
suma
///////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
Condicional if
El condicional if se usa cuando se necesitan tomar decisiones. El formato es:
if <condición>
then
Instrucciones
end
Si la condición es verdadera entonces haga instrucciones, si la condición es falsa no
entra y continúa a la ultima instrucción.
Ejemplo.
Entre un número entero cualquiera y que el programa diga si el número es no negativo o
negativo,
///////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
n=input('entre un número cualquiera.');
78
if n>=0 then
disp('no negativo')
end
if n<0 then
disp('El valor es negativo')
end
//////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
Práctica en la computadora
Elaborar programas en Scilab
1. Entre un número cualquiera y calcule su valor absoluto
2. Calcular las raíces de una ecuación cuadrática
3. Calcular la suma de los primeros n números impares positivos
4. Calcular la suma de los primeros n números pares positivos.
Capítulo 3. Sistemas númericos
Números naturales
Los números naturales en base 10 son:
Subconjuntos
Números Pares
Números Impares
Números de Fibonacci
La fórmula recursiva para generar los números de Fibonacci,
,
,
Números enteros
Los números enteros se denotan con la letra Z, y están formados por los números
naturales unidos con el cero y los opuestos de los naturales.
Las operaciones + y
para los enteros son operaciones internas, esto es si a y b son
números enteros entonces a+b y a b son enteros y además cumple las siguientes
propiedades.
79
Propiedades de los números enteros
1. Para todo a y b enteros, a +b=b +a
2. Existe el número cero (0), tal que a+0=a
3. Para todos a, b y c enteros, (a +b)+c=a+(b +c)
4. Para todo entero a existe –a tal que a+(-a)=0
5. Para todo a y b entero, a b=b a
6. Para todos a, b y c enteros, a (b c)=(a b) c.
7. Existe el entero uno simbolizado por 1 tal que para todo número entero a, a 1=a.
8. Para todo a, b y c números enteros, a (b + c)=a b +a c.
Verifique en Scilab
1. Para todo a, b y c entero a (b + c)=a b +a c
Algoritmo de la división
Sean a y b números enteros con b>0. Entonces existen enteros únicos q, r tales que
El entero r se llama residuo de la división a entre b y q es el cociente. Si r=0 la división es
exacta.
Ejemplo.
Si a=17 y b=5 entonces existe 3 y 2 tales que 17=5*3+2
En Scilab para hallar el residuo se usa,
-->modulo(17,5)
ans =
Divisores y múltiplos
Sean a, b números enteros con a diferente de cero. Decimos que el entero a divide a al
entero b si existe un entero c tal que b=a c y se escribe (a | b).
Ejemplo.
El numero 3 |18 porqué existe el número 6 tal que 18=6 3
También se puede decir que a es un divisor de b o que b es múltiplo de a.
Números primos
Un número natural p>1 es primo si los únicos divisores de p son 1 y p,
Números compuestos
Un entero mayor que 1 que no es primo se denomina compuesto.
80
Teorema fundamental de la aritmética
Todo número entero mayor o igual a 2, o es un número primo, o es un producto de
números primos. (Único salvo el orden de los factores)
La demostración está fuera de nuestro alcance.
Teorema
Los números primos son infinitos.
Demostración
Supongamos que los números primos son finitos, sean
, la lista ordenada en
forma creciente de los números primos y
el último número primo, Formemos el
número natural
donde
, obviamente, el número p, es
número primo ó p es un número compuesto, si p es primo y cómo p es mayor que todos
los números ,
contradice que el número
sea el último primo. Si el número
p es compuesto entonces existe un
(Teorema fundamental del aritmética) tal
que
esto implica que existe un entero c positivo tal que
, lo que es
equivalente a decir que
, donde
es un entero por definición de q y
no es
un entero puesto que 1 no divide a , entonces c no puede ser entero, contradicción.
Lo que indica que p no puede ser un número compuesto por tanto p es primo y como
p> , para todo
contradice el hecho de que
sea el último número primo.
Verificando en Scilab
En Scilab para verificar si un número es primo o un producto de números primos se usa:
- -> factor(n) // descompone el número en sus factores primos.
-->factor(21) // descompone el número en sus factores primos
ans =
3.
7.
// Indica que 21 no es un número primo porque 21=7*3, por tanto 21 es un número
compuesto
Si el número n es primo entonces - -> factor(n) es igual a n
Ejemplo en la computadora
-->factor(17)
ans =
17.
// Significa que 17 es primo
81
Ejemplo en la computadora
Verifique que el número 65537 es un número primo
Con Lápiz y papel (LP), el trabajo es bastante largo, hay que empezar a dividir por 2, 3,…
hasta la raíz cuadrada del número 65537 para verificar su primalidad.
// Verificando que 65537 es primo
-->factor(65537)//
ans =
65537.
// Indica que el número es primo.
Práctica en la computadora
//Verificar que el numero 1000001 no es primo
->factor(1000001)
ans =
101. 9901.
// El numero 1000001 no es primo, 1000001=101*9901
Ejercicios en la computadora
1. Verifique que
es un número primo para n=1, 2, 3, 4 y para n=5 no es
primo
2. // Generar los números de Fibonacci, halle su suma y calcule los primeros n
números primos de Fibonacci.
///////////////////////////////////////////////////Solución ejercicio No.2 ///////////////////////////////////////
a=0
b=1
F=[0,1]; // F es un vector que acumula la serie de Fibonacci.
suma=1;
A=[];// A es un vector que acumula los números primos de Fibonacci.
j=1;
n=input('entre n..........');
for i=3:n
c=a+b;
F(i)=c;
suma=suma+c;
if c==factor(c) & c>1 then
A(j)=c;
j=j+1;
end
a=b;
b=c;
end
82
F
suma
A'
/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
Números racionales
Los números racionales se denotan con la letra Q y son de la forma:
Los números racionales son de dos tipos:
1. Al dividir , el resultado da un número con cifras decimales periódicas infinitas con
un periodo mayor o igual a 1.
Ejemplo.
, periódo uno
, periódo dos
2. Al dividir , el resultado da un número con cifras decimales periódicas infinitas
con periodo cero.
=
Igualdad de números racionales
Un numero racional , puede tener muchas representaciones.
Ejemplo.
Dos números racionales
y
son iguales si y solo si
Proposición
Los números enteros son números racionales.
Demostración
Si x es un número entero entonces
, entonces
es un número racional.
Ejemplo
Los números, 0, 1, -1, 2,-2, 3, -3,…………………… son racionales.
Computacionalmente. Los números racionales se trabajan en formato de 2 hasta 25,
como se indicaba al principio de estas notas.
Ejemplo.
-->format(15), 1/3
ans =
0.333333333333
83
Operaciones
Suma
Producto
División
El cero racional es
Propiedades de los racionales
Sean + y operaciones internas definidas en Q, esto es si a y b son de Q entonces a+b y
a*b están en Q. Definidas estas operaciones, los números racionales cumplen las
siguientes propiedades.
1. Para todo a , b en Q, a +b=b +a
2. Existe el número cero 0 en Q tal que a+0=a
3. Para todo a, b y c en Q, (a +b)+c=a+(b +c)
4. Para todo número a en Q, existe –a en Q tal que a+(-a)=0
5. Para todo a y b en Q, a b=b a
6. Para todo a, b y c en Q, a (b c)=(a b) c
7. Existe el racional uno simbolizado por 1 tal que a 1=a, para todo a en Q
8. Para todo a, b y c en Q, a (b + c)=a b +a c.
Propiedad nueva
Para todo número racional x, no nulo existe un número racional y tal que
Ejemplo
Sea
, un número racional entonces existe el número racional y=
tal que
Notación
Al número racional y se le denomina el inverso multiplicativo de x y en Scilab se denota
como con inv(x), y entonces
El inverso de x también se puede escribir
84
Propiedades del inverso


Verificando en Scilab
-->inv(inv(5))
ans =
5.
-->inv(5*3)==inv(5)*inv(3)
ans =
T
Números irracionales
Existen números reales que no son racionales, es decir son números que no se pueden
escribir de la forma , con a y b números enteros
Ejemplo
El número sqrt(2), no es un número racional;en efecto, supongamos que sí, entonces
existen a y b enteros con,
, y el máximo común divisor de a y b es 1
entonces, si
se tiene que
y por tanto
lo que implica que
es par entonces a es par y si a es par existe un entero k tal que a=2*k entonces
implica que
,
es par y por tanto b es par. Si a y b son
números pares el máximo común divisor de a y b es mayor o igual a 2, esto contradice
que el máximo común divisor de a y b es 1.
La demostracion anterior se hizo por Demostración por Contradicción ó Reducción al
Absurdo.
Con la demostración anterior se ha verificado que existen números que no son
racionales, a estos números se les llama irracionales y se denotan con .
Ejercicicio
Demostrar que si p es un número primo entonces sqrt(p) es un número irracional.
El número
El número , que se define como
El número
es irracional. (La demostración esta fuera de nuestro alcance).
85
Computacionalmente los números irracionales se trabajan con aproximaciones. En
formato 10 el número es:
-->%pi // Note el signo % antes de pi
%pi =
3.1415927
El número de Euler
El número de Euler es un número irracional y se define,
Ejercicio en la computadora
Calculando una aproximación al número de Euler.
/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
// Calculando una aproximación de e
error=1; n=1;euler=1;
while error>0.000000000001
eulere=(1+1/n)^n;
n=n+1;
error=eulere-euler;
euler=eulere;
end
eulere
->eulere
eulere =
2.71827156
/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
En Scilab el número de Euler en formato 12 es
-->%e
%e =
2.718281828
Ejercicios con lápiz y papel
1. Demostrar que la suma de dos irracionales no necesariamente es irracional
2. Demostrar que el producto de dos irracionales no necesariamente es irracional
3. Demostrar que entre dos racionales hay otro racional
4. Demostrar que el producto de un racional no nulo con un irracional es un
irracional.
5. Demostrar que sqrt(8) es irracional
6. Hallar el número racional correspondiente para el decimal periódico
0,12121212…….
86
Números reales
La unión de los números racionales con los números irracionales da como resultado los
números reales,
Los números reales cumplen todas las propiedades de los números racionales.
Propiedad nueva
Existencia de la raíz cuadrada
Para todo x real no negativo existe un número real y único tal que
y es la raíz cuadrada de x.
. El número real
La raíz cuadrada de x se denota con y=sqrt(x).
Ejemplo
Si x=2 entonces existe una única raíz y real tal que
Observación
La ecuación
, con x
tiene dos soluciones
. El número real es y= sqrt(2).
.
Computacionalmente
El número irracional sqrt(2) es tratado como un número racional, en formato 12 se tiene:
-->sqrt(2) // En formato 12
ans =
1.414213562
Generación de números reales aleatorios entre 0 y 1
El comando rand (1), en Scilab genera números reales aleatorios entre 0 y 1, se usa
mucho para verificar propiedades y conjeturar leyes matemáticas.
Ejemplo
-->rand(1) //Genera un número real aleatorio entre 0 y 1
ans =
0.662356937
Parte entera
Dado un número real x, la parte entera de x se denota con - -> floor(x) y corresponde al
mayor entero menor igual que x.
87
Ejemplo
->x=-2:0.5:2, // genera un conjunto de números desde -2 hasta 2 con incremento de 0.5
- >y=floor(x) // Calcula la parte entera de los valore x
x =
- 2. - 1.5 - 1. - 0.5
y =
0.
0.5
1.
1.5
2.
- 2.
0.
0.
1.
1.
2.
- 2. - 1. - 1.
La combinación parte entera floor(x) y el operador rand(x) se usa para generar números
aleatorios enteros.
Ejemplo
El siguiente comando genera números enteros aleatorios entre 0 y 9 incluidos ellos
mismos.
-->floor(10*rand(1))
ans =
6.
//Note que la respuesta es 6, pero puede dar cualquier número entre 0 y 9 inclusive.
Ejemplo
Verifique en Scilab usando algunos números enteros aleatorios que la suma de tres
naturales consecutivos es divisible por 3. Usando los comandos rand(n) y floor(x).
////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
x=floor(100*rand(1)),p=x+(x+1)+(x+2),residuo= modulo(p,3)
// x es un número entero aleatorio entre 0 y 99
// p es la suma de los tres enteros consecutivos
// modulo(p,3) halla el residuo de dividir p con 3
x =
28.
p =
87.
residuo =
0.
// El residuo= 0, verifica que la suma de tres enteros positivos consecutivos es divisible
por tres.
88
// Use las flechas arriba, abajo del teclado en la ventana de Scilab para volver a correr la
línea y verificar, para muchos valores enteros que: la suma de tres números naturales
consecutivos es divisible por 3.
//////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
Geometría de la recta
A cada punto de la recta real le corresponde un número real y recíprocamente. A nivel
computacional la mayoría de los números reales se trabajan con aproximaciones
racionales.
Asumiremos que existe un subconjunto P de los números reales R llamado subconjunto
de números positivos que satisfacen los siguientes axiomas:
Axioma 1. Si x es un número real entonces una y solo una de las posibilidades siguientes
son ciertas:
,
Si
diremos que x es un número real positivo, si
número real negativo.
, diremos que x es un
Un número no puede ser positivo y negativo.
Cerradura de los números positivos
Si x, y son números positivos entonces x +y es positivo y x y es positivo
Note que 1
y si 1 fuese negativo, entonces – 1 sería positivo y por la propiedad de
cerradura de los números positivos (-1)*(-1)=1 sería positivo, lo cual es una contradicción
entonces -1 no puede ser positivo, lo que implica que 1 es positivo.
Notación
Reales Positivos =
Reales No negativos=
Reales negativos=
Otras propiedades de los números reales
a. Para todo a número real a*0=0
b. Si a*b=0 entonces a=0 ó b=0
c. (-a)+(-b)=-(a +b)
89
d. (-m)*(n)=m*(-n)=-(m*n)
e. (-m)*(-n)=m*n
f. -1*m=-m
Ejercicio en la computadora
Verificar propiedades. Propiedad c hasta f
-->// verificando propiedades
// Los números a, b, m, n son aleatorios
-->a=rand(1); b=rand(1); m=rand(1); n=rand(1);
-->(-a)+(-b)==-(a +b)
ans =
T
-->(-m)*(n)==m*(-n) & m*(-n)==-(m*n)
ans =
T
-->(-m)*(-n)==m*n
ans =
T
-->-1*m==-m
ans =
T
Más propiedades
1. Si a=b entonces a+ c=b+ c
2. Si a+ c=b +c entonces a=b
3. Si a=b entonces a c=b c, para todo entero c
4. Si (a c=b c) entonces a=b, Para todo entero c no nulo.
Ejercicio en la computadora
Verificar las propiedades anteriores, usando números reales aleatorios.
Orden de los números reales
La relación definida por,
es equivalente
 Si
y
escribimos x<y
 Si
, decimos que x es un real positivo.
90

Los números reales x que satisfacen (-x)>0 se denominan negativos, también se
escribe x<0.
Propiedades de orden
 Si x , y son positivos entonces x +y es positivo
 Si x, y son números reales una y sola una de las siguientes afirmaciones es
verdadera, x<y, x=y, x>y
 Si x<y entonces x +c<y +c, para todo c número real
 Si x<y y y<z entonces x<z
 Si x<y y a<b entonces x +a<y +b
 Si x<y entonces a x<a y si a es un número real positivo
 Si x<y entonces a x>a y si a es un número real negativo.
Verificar las dos últimas propiedades en la computadora, con valores aleatorios
-->x=rand(1); y=rand(1);
-->x<y
ans =
T
// Si la respuesta es F, debe continuar hasta obtener una respuesta T
-->a=rand(1); a*x<a*y
ans =
T
-->-a*x>-a*y
ans =
T
El valor absoluto
El valor absoluto de un número real x es un número real no negativo, denotado por
abs(x) y se define, abs(x)=x si x es positivo, abs(x)=-x si x es negativo y abs(x)=0 si x=0.
Propiedades
 abs(x)>0 si x es no nulo y abs(x)=0 si x=0
 x<=abs(x), -x<=abs(x)
 abs(x)=abs(-x)
 abs(x*y)=abs(x)*abs(y)
 abs(inv(x))=inv(abs(x)), x no nulo
 abs(x/y)=abs(x)/abs(y), y no nulo.
91
Ejercicios
Verificar las propiedades del valor absoluto con Scilab usando valores aleatorios.
Desigualdad triangular
Si a y b son números reales entonces
abs(a+b)<=abs(a)+abs(b)
La igualdad ocurre solamente cuando a y b son >=0 o ambos <=0.
Ejercicio en P.C.
Sean a, b números reales verificar que abs(abs(a)-abs(b))<=abs(a-b).
Distancia entre dos puntos
Si a y b son dos números reales, la distancia entre a y b es
D(a, b)=abs(a-b)
Ejemplo.
Calcular la distancia entre -3 y 5,
-->x=-3; y=5; D=abs(y-x)
D =
8.
Propiedades de la distancia
 abs(a-b)>=0
 abs(a-b)=abs(b-a)
 Si abs(x-a)=b entonces x-a=b ó x-a=-b, b>0
 Si abs(x-a)<b entonces –b<x-a<b
 Si abs(x-a)>b entonces x-a>b ó x-a<-b
Ejercicios
1. Hallar los valores de x que están a una distancia de 5 metros de a=12.
Solución.
Para resolver usamos, abs(x-12)=5 equivalente a x-12=5 ó x-12=-5, entonces x=17 ó
x=7.
Prueba en Scilab.
-->x1=17; x2=7; a=12;d=5; abs(x1-a)==d, abs(x2-a)==d
ans =
T
ans =
92
T
2. Hallar todo los valores x que están a una distancia menor que 10 de -3
Solución.
Resolvemos la desigualdad abs(x-(-3))<10, equivalente a: -10<x+3<10 entonces 13<x<7. La solución son todos los números reales entre -13 y 7.
Verificación Scilab
-->x=-13:0.5:7;// genera valores entre -13 hasta 7 con incrementos de 0.5
abs(x-(-3))<10
ans =
FTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTF
Note. El primer y el último de la lista son F (Por qué?)
Números complejos
Es bien sabido que no existe ningún número real x tal que =-1. Pero podemos pensar
en una extensión de los números reales tal que exista un número no real que elevado
al cuadrado dé -1. Convencionalmente éste número no real se denotó por y éste
número es tal que
y por tanto procediendo formalmente,
.
En Scilab el número es,
-->%i
%i =
i
A esta extensión de los números reales se denota con C y se llaman los números
complejos. Los números complejos C son de la forma
con a,b números
reales, al número real a se le llama parte real de z y al número real b se le llama la parte
imaginaria de z.
En Scilab
-->z=2+3*%i
z =
2. + 3.i
-->real(z)
ans =
2.
-->imag(z)
ans =
3.
93
Imaginarios puros
Los imaginarios puros son todo los números complejos de la forma a+b i, con a=0 y b no
nulo.
Ejemplo.
Números imaginarios puros:
i, 3 i, 10 i, sqrt(2) i
Igualdad de números complejos
Dos números complejos son iguales si son iguales sus partes reales y sus partes
imaginarias, es decir,
Suma de números complejos
Dados los números complejos
y
+
) se define la suma,
)=
Producto de números complejos
Dados los números complejos
y
) se define el producto,
)=
Este producto se puede justificar realizando directamente el producto, usando la
propiedad distributiva de números reales, y el hecho de que
Ejemplos.
Usando Scilab
-->z=2+7*%i, w=7+2*%i
z =
2. + 7.i
w =
7. + 2.i
-->z+w
ans =
9. + 9.i
-->z*w
ans =
53.i
Ejercicio.
Demostrar que para todo a y b números reales se tiene:
El inverso del producto
Sea
, para
el inverso de z, es
94
Demostración
Multiplicando
con se tiene:
Verificando en Scilab,
-->a=3, b=4, z=a+b*%i,
a =
3.
b =
4.
z =
3. + 4.i
-->1/z
ans =
0.12 - 0.16i
-->a/(a^2+b^2)+(-b)/(a^2+b^2)*%i
ans =
0.12 - 0.16i
Proposición
Todo número real es un número complejo.
Demostración
Sea x es un número real entonces
; por definición x es un número complejo.
Lo anterior garantiza que los números reales es un subconjunto de los números
complejos.
Propiedades de los números complejos
Sean + y operaciones internas definidas en C, esto es si z y w son números complejos
entonces
y
están en C. Definidas estas operaciones, los números complejos
cumplen las siguientes propiedades.
1. Propiedad conmutativa para la suma. Para todo z, w en C, z +w=w +z
2. Existencia del neutro. Existe el número complejo cero 0 tal que z+0=z
3. Propiedad asociativa. Para todo z, v y w en C, (z +v)+w=z + (v + w)
4. Existencia del elemento opuesto. Para todo numero w en C, existe –w en C tal
que w+(-w)=0
5. Propiedad conmutativa para el producto. Para todo z y w en C, z w=z w
6. Propiedad asociativa. Para todo z, v y w en C, z (v )=(z v)
.
7. Existe el número complejo 1=1+0 i, tal que z 1=z, para todo z en C
8. Existencia de los inversos. Para todo z complejo, no nulo, existe el inverso de z,
inv(z) o 1/z, tal que inv(z)*z=1
9. Propiedad distributiva. Para todo z, v y w en C, z (v+ w)=z v+z w
95
// Verificando propiedad 8 con Scilab
// Existencia de los inversos. Para todo z complejo, no nulo existe el inverso de z,
denotado con inv(z), tal que inv(z) z=1
// Scilab halla el inverso de z para todo z no nulo, el inverso es 1/z o inv(z)
-->z=rand(1)+%i*rand(1)// Genera un número complejo aleatorio
z =
0.050041978 + 0.748550658i
-->inv(z), // Es el inverso de z
ans =
0.088910993 - 1.329971068i
-->z*inv(z) // verificando la propiedad del inverso
ans =
1.
Práctica en la computadora
Use el comando rand(x), para verificar las propiedades de los números complejos.
Representación gráfica de los números complejos
En un número complejo z=a+b i, hay dos números reales que lo caracterizan, su parte
real a denotada Re(z) y su parte imaginaria Im(z) los cuales, de acuerdo al concepto de
igualdad en C si se intercambia entre sí, se altera el número complejo z, pues
a+b i b+a*i, si
, por lo tanto los números complejos tienen la misma caracteristica
que las parejas ordenadas en el sentido de que:
a+b i=c+d i si y solo si a=c y b=d
(a,b)=(c,d) si y solo si a=c y b=d
Lo anterior motiva a respresentar cada número complejo a+b i como la pareja (a,b)
donde la primera componente a corresponde a la parte real del número complejo y se
ubicará en el eje de las x, que se llamará eje real y la segunda componente b
representará la parte imaginaria del número complejo y se ubicará sobre el eje y, que se
llamará eje imaginario.
96
Plano Complejo
Fig.1
Ejemplos
1. El conjunto de todos los números reales como subconjunto de C se representa
mediante el eje real.
2. El conjunto de todos los imaginarios puros se representa por el eje imaginario sin
el origen.
3. El conjunto de todos los números complejos z con im(z)=5 se representa por la
recta horizontal que pasa por 5 i
4. El conjunto de todos los números complejos z con Re(z)=4 se representa por la
recta vertical que pasa por 4.
La ecuación cuadrática
La ecuación cuadrática es de la forma
soluciones de la ecuacion se usa la fórmula cuadrática,
, con
Para hallar las
Sea
, si el valor de D es positivo entonces las raíces de la ecuación
cuadrática son dos números reales diferentes. Si el número D es negativo entonces las
soluciones de la ecuación son dos raíces complejas y si D es cero hay una única raíz real
doble .
Algoritmo para resolver una ecuación cuadrática
Usamos el comando input en Scilab, para resolver cualquier ecuación cuadrática de la
forma A
, con
/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
97
A=input('Entre el coeficiente A de la ecuación')
B=input('Entre el coeficiente B de la ecuación')
C=input('Entre el coeficiente C de la ecuación')
// Resolviendo la ecuación cuadrática.
D=B^2-4*A*C;
X1=(-B+ sqrt(D))/(2*A);
X2=(-B-sqrt(D))/(2*A);
disp('solución')
X1
X2
// Solución, ctrl l
//////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
Ejemplo
Resolver La ecuación con PC.
4
-->A=input('Entre el coeficiente A de la ecuación')
Entre el coeficiente A de la ecuación4
A =
4.
-->B=input('Entre el coeficiente B de la ecuación')
Entre el coeficiente B de la ecuación-7
B =
- 7.
-->C=input('Entre el coeficiente C de la ecuación')
Entre el coeficiente C de la ecuación7
C =
7.
Solución
-->X1
X1 =
0.875 + 0.9921567i
-->X2
X2 =
0.875 - 0.9921567i
.
98
Ejercicios
Resolver las ecuaciones con Scilab y con LP.

2
.
 -3
.

4
.
Valor absoluto o módulo de un número complejo
El valor absoluto, módulo o magnitud de un número complejo z=a+b i viene dado por la
siguiente expresión:
abs(z)=sqrt((a^2)+b^2)
Por el teorema de pitagoras, el valor absoluto de un número complejo coincide con la
distancia euclidiana desde el origen del plano hasta z.
Ejemplo
Si z=8+6 i entonces abs(z)=sqrt(64+36)=sqrt(100)=10
En scilab
-->z=8+6*%i, abs(z)
z =
8. + 6.i
ans =
10.
Ejemplo
Hallar todos los números complejos tales que su valor absoluto sea 5, es decir hallar
todos los números complejos z para los cuales abs(z)=5.
Solución
Si se hace
entonces
si y solo si
que representa una circunferencia con centro en el origen y radio 5.
Propiedades del valor absoluto
1. abs(z)=0 si y solo si z =0
2. abs(z +w) ≤ abs(z) + abs(w)
3. abs(z*w)=abs(z)*abs(w)
Verificando en Scilab
// La propiedad 3
--> z=4+3*%i; w=3+4*%i; abs(z*w)==abs(z)*abs(w)
ans =
T
// Verificando propiedad 2, usando el operador rand(x)
// abs(z +w) ≤ abs(z) + abs(w)
,
99
-->z=rand(1)+%i*rand(1), w=rand(1)+%i*rand(1)// genera dos números complejos al azar
z =
0.860751464 + 0.849410165i
w =
0.525706081 + 0.993120990i
-->abs(z+w)<abs(z)+abs(w),
ans =
T
// Puede verificar la propiedad con muchos valores z y w y la respuesta siempre va ser T
// Cabe aclarar que la verificación anterior no es una demostración matemática, pero es
bueno saber que se cumple para muchos valores de z y w
Conjugado de un número complejo
El conjugado de un complejo z, conj(z) es un número complejo, definido así:
conj(z)=a-ib si y solo si z = a+ib
Se observa que ambos difieren en el signo de la parte imaginaria.
División de números complejos
Sean z y w dos números complejos, w no nulo, entonces la división de z y w se define:
Ejemplo
Si z=2+3*i, w=4+3i entonces
Verificando en Scilab
-->z=2+3*%i, w=4+3*%i , z/w
z =
2. + 3.i
w =
4. + 3.i
ans =
0.68
0.24i
Taller de refuerzo de matemáticas básicas con Scilab
1. Demuestre geométricamente que a*(b +c)=a*b+ a*c y verifique con Scilab con valores
aleatorios enteros entre 0 y 5.
2. Demuestre geométricamente que
y verifique con Scilab
con valores aleatorios enteros entre 0 y 5.
100
3. Demuestre algebraicamente que
y verifique con Scilab con
valores aleatorios enteros entre 0 y 5.
4. Si
y
calcular
, verificar en Scilab la respuesta
5. Resolver la ecuación cuadrática:
usando LP y verificar con
Scilab.
6. Verifica en Scilab que
<0, si el valor de
y n es impar, use varios valores
aleatorios tanto para n y para a.
7. Verifica en Scilab que
>0, si el valor de
y n es par, use varios valores
aleatorios tanto para n y para a.
8. Hallar los valores x que están a una distancia de 6 de de -4, verificar la respuesta
con Scilab.
9. Hallar los valores x que están a una distancia menor que 8 de -10, verificar la
respuesta con Scilab.
10. Use 4 pares de valores a y b aleatorios enteros positivos entre 0 y 5, para verificar
que
11. Demuestre que
para todo número real x, verifique en Scilab con valores
reales x aleatorios.
12. Decida si es falsa o verdadera la siguiente afirmación usando Scilab.
Si a y b >0 y a*b=1 entonces a + b<2
13. Demuestre que si abs(x)<h, para todo h>0 entonces x=0
14. Es T (verdadero) o F (Falso), abs(a+b)=abs(a)+abs(b), use Scilab con valores
aleatorios.
15. Si a<b entonces abs(a) < abs(b). ( T ó F)
16. Para todo a y b números reales abs(a+b)<abs(a)+abs(b). (T ó F)
17. Use Scilab usando diferentes valores de n naturales para verificar que
es
divisible por 15
18. Use el ciclo for para calcular la suma de 1 +3 +9 +27 + 81 +243 + 729.
19. Use el ciclo while para calcular la suma
diferencia entre
hasta que la
sea menor que 0.00001.
20. Use for para calcular la suma de los primero 1000 numero impares
21. (Desigualdad de Bernoulli). Verifique en Scilab que si x>-1 entonces
Para todo n natural
22. Use Scilab, para verificar si 99901 es primo
23. Hallar el residuo de dividir 10526 con 38 con LP y verificar en la PC.
En los ejercicios del 25 al 27 diga si la proposición es verdadera o falsa.
24. Para toda n natural
es un número primo.
25. Para todo número a y b reales se tiene que
.
26. La relación
, para todo x real
27. Considere los siguientes números complejos: z = 7+3i y w = 5-9i. Realizar las
operaciones con LP y luego verifique con Scilab.
101
 z +w,
 z-w,
 z w,
 z/w,
 abs(w),
 conj(z)
28. Dado el número complejo z = 3+4i hallar primero con L.P. y luego usando Scilab.
 Valor absoluto de z.
 Argumento principal en radianes.
 Argumento principal en grados.
102
Anexo B. Módulo álgebra matricial con Scilab
Introducción
El trabajo se basa fundamentalmente en dar algunos conceptos basicos del algebra
lineal: campos númericos, matrices, operaciones con matrices, espacio vectorial,
subespacio y transformaciones lineales, implementándos al mismo tiempo con la
herramienta computacional. Al final en cada tema se plantean los talleres didacticos de
complemento para el aprendizaje para ser desarrollados por los alumnos.
Los conceptos asociados a espacios vectoriales y a transformaciones lineales tales
como, dependencia e indepencial lineal, base, dimensión, matriz asociada a la
trasformación lineal, núcleo e imagen de una trsformacion lineal no se trabajan en este
módulo. Se recomienda el diseño de estos módulo con Scilab en futuros trabajos.
Objetivo general del módulo
El objetivo general de este módulo es complementar la enseñanza-aprendizaje del
álgebra matricial con Scilab como ayuda didáctica en el curso álgebra lineal, asignatura
obligatoria para estudiantes de Ciencias e Ingeniería de la Universidad de Caldas.
Objetivos específicos
1. Identificar: números reales y números complejos como un cuerpo numérico
2. Determinar cuando un conjunto en el que se definen dos operaciones una interna
y otra externa, tiene una estructura de espacio vectorial
3. Identificar una matriz A de nxm como un elemento del espacio vectorial de
Matrices F(n, m), donde F es un campo numérico
4. Generar matrices aleatorias
5. Verificar y demostrar propiedades del espacio vectorial de matrices
6. Identificar subespacios de matrices nxm
7. Multiplicar matrices
8. Verificar propiedades del producto de matrices
9. Identificar cuándo una función entre espacios matriciales es una transformación
lineal
10. Identificar diferentes clase de matrices: cuadradas, diagonales, triangulares,
traspuesta, simétricas, antisimétricas, nilpotentes, idempotentes e involutivas.
Contenidos
1. Espacios vectoriales
1.1 Cuerpos
1.2 Espacios vectoriales
1.3 Espacio vectorial de las matrices
1.4 Matrices aleatorias
1.5 Igualdad de matrices
1.6 Subespacios
103
2. Producto de matrices
2.1 Producto escalar y sus propiedades
2.2 Producto de matrices
2.3 Matriz idéntica
2.4 Matriz cero
2.5 El producto de matrices no es conmutativo
2.6 Propiedades del producto de matrices
2.7 Divisores de cero
3. Transformaciones lineales entre espacios matriciales
3.1 Transformaciones lineales
3.1 Matrices diagonales, triangulares
3.2 Matrices traspuestas y sus propiedades
3.3 Matrices simétricas y antisimétricas
3.4 Matrices idempotentes, nilpotentes e involutivas.
Capítulo 1. Espacios vectoriales
Cuerpos
Un cuerpo o campo F en matemática es un conjunto F no vacío de elementos, donde se
han definido dos operaciones internas, la suma (+) y la multiplicación ( ) y que tiene las
siguientes propiedades.
Los elementos a,b y c son del campo F
 La suma es conmutativa: a +b=b +a
 Existe un elemento único 0 F tal que a+0=0+a=a
 A cada a de F le corresponde un único -a de F tal que a+(-a)=0.
 La multiplicación es conmutativa: a b=b a.
 La multiplicación es asociativa: (a b) c=a (b c).
 Existe un único elemento no nulo 1 de F tal que
.
 Para todo a
de F existe un b
de F tal que
. El elemento b
se llama el inverso de a y se denota: b=inv(a).
 La multiplicación es distributiva:
Ejemplo 1
Los números reales R
forman un cuerpo.
con las operaciones suma (+) y multiplicación ( ) habituales
Recordemos que los números reales R es la unión de los números racionales Q con los
números irracionales Q*. El número pi es un número irracional, pero en Scilab es tratado
como un número racional, en formato 12, Scilab reserva 12 espacios, 10 para los dígitos,
uno para el punto y otro espacio para el signo,
-->format(12)
-->%pi
%pi =
104
3.141592654
El inverso de un número real x no nulo es inv(x),
-->b=inv(5/7)
b =
1.4
-->b*inv(b) //verificando
ans =
1.
--> sqrt(2), %pi// raíz cuadrada de 2 en formato 12
ans =
1.4142136
Ejemplo 2
Los números complejos C con las operaciones (+) y ( :
+
)=
)=
Forman un cuerpo o campo númerico.
Espacios vectoriales
En matemáticas, un espacio vectorial es una estructura algebraica creada a partir de un
conjunto no vacío, una operación interna (llamada suma, definida para los elementos del
conjunto) y una operación externa (llamada producto por un escalar, definida entre dicho
conjunto y un cuerpo matemático), con 8 propiedades fundamentales.
A los elementos de un espacio vectorial se les llama vectores y a los elementos del
cuerpo, escalares.
Un espacio vectorial sobre un cuerpo F (como el cuerpo de los números reales o los
números complejos) es un conjunto V no vacío, dotado de dos operaciones para las
cuales será cerrado:
Operación interna que cumple las siguientes propiedades:
1) Propiedad conmutativa, es decir
2) Propiedad asociativa, es decir
3) Existencia del elemento neutro 0, es decir
4) Tenga elemento opuesto, es decir
105
Y la operación producto por un escalar:
Producto
Operación externa que cumple las siguientes propiedades
5) Tenga la propiedad asociativa:
6) Existencia del elemento neutro
tal que:
7) Propiedad distributiva del producto respecto la suma de vectores:
,
8) Propiedad distributiva del producto respecto la suma de escalares:
Primer ejemplo sobre un espacio vectorial
El espacio vectorial de los números complejos sobre los números reales.
Sea V=C, los números complejos y F el campo de los números reales,se define la suma:
,
))
El producto ( ) de elementos de C con elementos del campo de los números reales R :
Producto
Donde
y
)
.
Práctica con la computadora
Generar números complejos aleatorios y verificar
vectorial sobre el campo R.
que el conjunto C, es un espacio
Segundo ejemplo: El espacio de vectorial
Sea V= el conjunto de de todas las parejas reales (x,y), la adición (+)
Y el producto ( ) :
Producto
Donde
y el vector
números reales R.
, forman el espacio vectorial
sobre el campo de los
Espacio vectorial de las matrices
Definición de Matriz
Una matriz A de n filas por m columnas es un arreglo rectangular de la forma:
106
Los elementos de la matriz A son escalares y se denotan por
hasta n y el índice j varía desde 1 hasta m.
El elemento
esta ubicado en la fila i columna j.
, el índice i varía de 1
Matrices en scilab
Matriz 3 filas x 3 columnas
-->A=[1 3 4 5; 3 4 5 6; 3 4 0 9 ]// se ha definido una matriz A en Scilab 3x4
A =
1. 3. 4. 5.
3. 4. 5. 6.
3. 4. 0. 9.
-->A(2,3)//Es el elemento
=5, 5 esta ubicado en la fila 2 columna 3
ans =
5.
-->A(1,4) // Es el elemento
=5. Esta ubicado en la fila 1 columna 4
ans =
5.
Matriz cuadrada. La matriz A nxm es cuadrada si n=m.
Notación
 Las matrices se denotan con letras mayúsculas A,B,C, o también



R(n,m) = Matrices nxm, los elementos son reales
C(n,m)= matrices nxm, los elementos de la matriz son complejos
F(n,m)= matrices nxm, los elementos de la matriz pueden ser reales o complejos.
Operaciones
Suma. Si
y
entonces la suma de A y B se define:
son matrices que pertenecen al conjunto F(n,m)
Es otra matriz de F(n,m)
Producto. Si
el producto de
,es una matriz nxm y
por A :
Es otra matriz de F(n,m).
Ejemplos.
es un escalar de F entonces se define
107
,
,
,
,
,
Espacio vectorial de las matrices
Sea V=F(n,m) el conjunto formado por las matrices nxm y la operación (+):
Y el producto (
Donde
.
Forman el espacio vectorial de las matrices nxm con elementos en el campo F.
Práctica en la computadora
Operaciones suma (+) y multiplicacion ( ).
Sean las matrices A y B del espacio vectorial R(2,3):
y
En scilab se definen:
A=[6 0 3; 5 3 1], B=[2 -1 0; 5 0 5]
//Hallar con lápiz y papel (LP) y verificar con Scilab (PC)
a. A+B
b. 10*A
c. 0.6*A- 2*B
d.
Solución
-->
A+B
ans =
8. - 1. 3.
10. 3. 6.
-->
10*A
ans =
60. 0. 30.
50. 30. 10.
-->
0.6*A- 2*B
ans =
- 0.4 2. 1.8
- 7. 1.8 - 9.4
108
Práctica en la computadora
Dadas las matrices A, B y C;
A =
1. - 1. 1.
0. 1. 0.
3. 1. 0.
B =
1. 0. - 2.
- 1. 0. 2.
C =
- 3.0
0.3.
hallar (A+2B), (-A+3B), (3C)
Solución
-->A=[1 -1 1; 0 1 0], B=[1 0 -2;-1 0 2] // Se definen las matrices A, B
A =
1. - 1. 1.
0. 1. 0.
B =
1. 0. - 2.
- 1. 0. 2.
-->C=[.3;3] // se define el vector columna C
C =
0.3
3.
-->(A+2*B), (-A+3*B), (3*C),
ans =
3. - 1. - 3.
- 2. 1. 4.
ans =
2. 1. - 7.
- 3. - 1. 6.
ans =
0.9
9.
-->(A+2*B), (-A+3*B), (3*C),
ans =
3. - 1. - 3.
- 2. 1. 4.
109
ans =
2. 1. - 7.
- 3. - 1. 6.
ans =
0.9
9.
Verificar con LP el ejercicio anterior.
Práctica en la computadora 3
Escribe la matriz cero de R(3,3) y la matriz A:
A =
2. 6. 2.
2. 3. 3.
8. 9. 3.
Verifique que A+0=0:
Solución
-->A=[2 6 2;2 3 3;8 9 6], cero=zeros(3,3) // define la matriz A y la matriz cero
A =
2. 6. 2.
2. 3. 3.
8. 9. 6.
cero
0.
0.
0.
=
0.
0.
0.
0.
0.
0.
-->A+ cero
ans =
2. 6. 2.
2. 3. 3.
8. 9. 6.
// note que A+0=A
Práctica en la computadora 4
// Verifique, A+(-A)=0
A =
2.
2.
8.
-->-A
6.
3.
9.
2.
3.
3.
110
ans =
- 2. - 6.
- 2. - 3.
- 8. - 9.
-->A+(-A)
ans =
0. 0.
0. 0.
0. 0.
- 2.
- 3.
- 3.
0.
0.
0.
Ejercicio
Verifique el resto de propiedades para que el conjunto de matrices 3x3 sea un espacio
vectorial sobre los números reales R.
Matrices aleatorias
Para generar matrices aleatorias 2x3 con elementos entre 0 y 1, en scilab es:
-->rand(2,3)//generador de matrices aleatorias
ans =
0.2113249 0.0002211 0.6653811
0.7560439 0.3303271 0.6283918
En general el comando rand(n,m) genera matrices aleatorias nxm, los elementos de la
matriz son reales y estan entre 0 y 1. Si quiere generar matrices enteras aleatorias use
el comando floor( ).
Ejemplo.
-->floor(10*rand(3,3))// genera matrices 3x3 aleatorias entre 0 y 9 con elementos enteros
ans =
2. 6. 2.
2. 3. 3.
8. 9. 3.
La funcion floor() es la función parte entera, transforma un número real en su parte
entera.
Igualdad de matrices
Las matrices A y B de F(n,m) son iguales si y solo si
, para todo i y para todo
j. En Scilab para comparar dos matrices usamos el comando: (==),si la respuesta es T
es por que
=
en caso contrario la respuesta es F, para que dos matrices sea
iguales la respuesta debe ser T para todos los .
Ejemplo. Generar dos matrices aleatorias A y B de tamaño 3x3 y compararlas para
determinar si son iguales.
-->A=rand(3,3) // genera una matriz aleatoria 3x3
A =
111
0.2639556
0.4148104
0.2806498
0.1280058
0.7783129
0.2119030
0.1121355
0.6856896
0.1531217
-->B=rand(3,3) // Genera una matriz aleatoria 3x3
B =
0.6970851 0.4094825 0.1998338
0.8415518 0.8784126 0.5618661
0.4062025 0.1138360 0.5896177
-->A==B // compara las dos matrices
ans =
FFF
FFF
FFF
La respuesta ans indica que las matrices A y B son diferentes.
Ejercicio práctico en la computadora
1. Escriba el cero del espacio R(2,3) con LP y con Scilab.
2. Escriba una matriz A aleatoria del espacio R(2,3) y verifique A+(-A)=0
3. Escriba dos matrices aleatorias A y B del espacio R(2,3) y verifique que
A+B=B+A, usando comandos de comparación.
4. Escriba tres matrices aleatorias A, B y C del espacio R(2,3) y verifique la
propiedad asociativa, A+(B+C)=(A+B)+A, usando comandos de comparación.
5. Verificar usando Scilab que el conjunto R(2,3), matrices reales 2x3 con las
operaciones usuales forman un espacio vectorial.
6. Escriba la matriz cero 4x4
7. Escriba una matriz A, aleatoria entera y verifique A+0=A
8. Genere matrices A, B, C cuadradas aleatorias enteras de tamaño 4 y verificar
usando comandos de comparación.
a. A+B=B+A
b. A+(B+C)=(A+B)+C
c. x (A+B)=x A + x B, x es un escalar aleatorio
d. 1 A=A
e. (x +y) A=x A + y A
Subespacios
Dado el espacio vectorial (V,+,F, ) y el conjunto no vacío S subconjunto de V, si el
conjunto S es un espacio vectorial sobre el mismo cuerpo F y con las mismas
operaciones suma (+) y producto ( ) definidas en el espacio vectorial V, diremos que
(S,+,F, ) es un subespacio de V.
Ejemplo1.
112
Subespacio trivial
Los subconjuntos, S=V y S={0} son subespacios de V.
Ejemplo 2.
Si V=R(4,4), el espacio vectorial de matrices reales 4x4 y el conjunto
,
es un subespacio del espacio del espacio vectorial V.
Al conjunto D se le llama el subespacio de las matrices diagonales.
En Scilab para generar matrices diagonales
///////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
/
-->d=floor(10*rand(1,4))// genera un vector fila con 4 elementos
d =
2. 7. 0. 3.
-->D=diag(d)// genera una matriz diagonal 4x4 con el vector d.
D =
2.
0.
0.
0.
0.
7.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
3.
Simplificando.
-->diag(floor(10*rand(1,4)));// genera matriz diagonal aleatoria entera con elementos
entre 0 y 9.
///////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
/
Teorema condición suficiente
Sea el conjunto S no vacío, subconjunto del espacio vectorial V, cerrado con la suma
definida en V y para el producto para escalares, entonces (S,+,F, ) es un subespacio de
(V,+,F, ).
El teorema anterior se usa para demostrar que un subconjunto S no vacío del espacio
vectorial V es un subespacio de V.
Ejercicio
Demostrar usando LP que el conjunto D(n,n), matrices diagonales nxn es un subespacio
del espacio vectorial F(n, n).
113
Práctica en la computadora
Verifique que el conjunto de matrices diagonales D (4,4) es un subespacio del espacio
vectorial R(4,4). Use matrices aleatorias enteras no negativas menores que 10 y use
escalares aleatorios entero no negativo menor que 10.
// Solución.
-->A=diag(floor(10*rand(1,4)))// Genera la matriz A diagonal
- ->B=diag(floor(10*rand(1,4))), //Genera la matriz B diagonal
- ->x=floor(10*rand(1)) // Genera un escalar x
- -> D1=A+B, D2=x*A // verificando que D(4,4) forma un subespacio de R(4,4)
A =
2. 0. 0. 0.
0. 8. 0. 0.
0. 0. 8. 0.
0. 0. 0. 5.
B =
9. 0. 0. 0.
0. 6. 0. 0.
0. 0. 9. 0.
0. 0. 0. 0.
x =
7.
D1 =
11. 0. 0. 0.
0. 14. 0. 0.
0. 0. 17. 0.
0. 0. 0. 5.
D2 =
14. 0. 0. 0.
0. 56. 0. 0.
0. 0. 56. 0.
0. 0. 0. 35.
// Note que la suma de dos matrices diagonales es una matriz diagonal y el producto de
de un escalar x por una matriz diagonal A es una matriz diagonal.
Uso de flechas
Use las flechas hacia arriba hacia abajo del teclado en la línea inicial del comando Scilab
para verificar muchas veces estas dos propiedades.
Matices triangulares
La matriz A que pertenece a F(n, m) es triangular superior si y solo si
Ejemplo.
si
114
Análogamente, La matriz A que pertenece a F(n, m) es triangular inferior si y solo
si
si
Notación.
D(n,n) = matrices diagonales nxn
U(n,n) = matrices triangulares superiores
L(n,n) = matrices triangulares inferiores
En Scilab, para generar matrices triangulares usamos:
-->tril(floor(5*rand(4,4)))//Matrices triangulares inferiores
ans =
4. 0. 0. 0.
2. 2. 0. 0.
2. 3. 2. 0.
2. 3. 1. 1.
-->triu(floor(5*rand(4,4)))//matrices triangulares superiores
ans =
0. 0. 4. 3.
0. 0. 0. 4.
0. 0. 0. 1.
0. 0. 0. 2.
Ejercicio
1. Verifique en Scilab usando matrices aleatorias, que la suma de dos matrices
triangulares superiores es otra matriz triangular superior y similarmente para
matrices triangulares inferiores
2. Demuestre usando LP que los conjuntos U y L de las matrices triangulares
superiores o inferiores respectivamente son subespacios de F(n,m).
Capítulo 2. Producto de matrices
Producto escalar
Sean A y B matrices de R(1,m) y R(m,1) respectivamente. La matriz A es una matriz de 1
fila y m columnas, que corresponde a un vector fila de m componentes y la matriz B es
una matriz de m filas y 1 columna que corresponde a un vector columna.
Y
El producto escalar de A y B es :
...
Ejemplo.
-->A=[2 4 2 7]// vector fila
115
A =
2. 4. 2. 7.
-->B=[3; 1; 0; 3] // vector columna
B =
3.
1.
0.
3.
El producto escalar entre A y B es:
A*B=A(1)*B(1)+A(2)*B(2)+A(3)*B(3)+ A(4)*B(4)
-->A(1)*B(1)+A(2)*B(2)+A(3)*B(3)+ A(4)*B(4)
ans =
31.
// Note que el producto A y B es un escalar.
Simplificando,
-->A*B
ans =
31.
Observación
Si A es un vector fila y B es un vector columna entonces el producto escalar A B esta
definido si el número de elementos de A es igual al número de elementos de B.
Ejemplo
Genere un vector A fila y un vector B columna aleatorios enteros de 4 elementos y hallar
el producto escalar A*B. Verificar las respuesta con LP.
-->A=floor(5*rand(1,4)), B=floor(5*rand(4,1)), A*B
A =
2. 3. 4. 0.
B =
4.
4.
2.
2.
ans =
28.
// use flechas del teclado hacia arriba o hacia abajo en la orden Scilab, para generar
muchos ejemplos.
// verificar con LP el ejemplo anterior
Producto de dos matrices
Si
una matriz del espacio vectorial F(n,m) y B
una matriz del espacio
vectorial F(m,p) entonces el producto de A y B, A*B = C es una matriz del espacio
vectorial F(n,p) y se define:
116
O equivalentemente:
+
En el caso en que m=n=p, tanto A*B como B*A son matrices de tipo nxn, es decir
cuadradas y pertenecientes a F(n,n).
Ejemplo
Generar matrices aleatorias enteras A y B de 3x2 y 2x3 y hallar AxB y BxA. Verificar con
LP.
-->A=floor(5*rand(3,2)), B=floor(5*rand(2,3)), M=A*B, N=B*A
A =
4. 0.
0. 3.
2. 1.
B =
2. 3. 2.
4. 0. 1.
M =
8. 12. 8.
12. 0. 3.
8. 6. 5.
N =
12. 11.
18. 1.
// La matriz M=A*B es una matriz 3x3
// La matriz N=B*A es una matriz 2x2
Ejercicio.
Generar dos matrices enteras aleatorias A y B 3x4 y 4x3 respectivamente y hallar A*B y
B*A.
Solución
-->A=floor(2*rand(3,4)); B=floor(3*rand(4,3)); M=A*B, N=B*A
M =
1. 2. 2.
0. 2. 0.
3. 2. 4.
N =
1. 0. 0. 1.
2. 3. 2. 1.
3. 4. 2. 1.
1. 0. 0. 1.
Note que M es una matriz 3x3 y N es 4x4.
117
Matriz idéntica
La matriz idéntica I es la matriz cuadrada nxn tal que:
En scilab la matriz idéntica de orden 4 es:
-->eye(4,4)// matriz idéntica 4x4
ans =
1. 0. 0. 0.
0. 1. 0. 0.
0. 0. 1. 0.
0. 0. 0. 1.
Propiedad de la matriz idéntica
Para toda matriz A de nxn, I es la matriz identica nxn entonces A*I=I*A=A.
Ejemplo.
->A=floor(4*rand(4,4)), I=eye(4,4)
A =
0. 2. 0. 1.
0. 2. 0. 1.
3. 2. 2. 1.
1. 1. 0. 2.
I =
1. 0. 0. 0.
0. 1. 0. 0.
0. 0. 1. 0.
0. 0. 0. 1.
-->A*I==A
ans =
TTTT
TTTT
TTTT
TTTT
Matriz cero
La matriz cero de orden nxm es una matriz cuyos elementos son todos ceros, en Scilab
la matriz cero de orden 3x4 es:
-->zeros(3,4)
ans =
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
118
Propiedad de la matriz cero
Si A es una matriz de F(n,m) y 0 es la matriz cero de del espacio vectorial F(m, p)
entonces A*0=0.
Propiedades del producto de matrices
Propiedad asociativa
Si el producto está definido entonces el producto de matrices es asociativo,
A (B C)=(A B) C
Propiedad distributiva
Si el producto y la suma está definidos, entonces, A (B+C)=A B+A C.
El producto de matrices no es conmutativo
Sean A y B matrices nxn entonces no siempre A B=B A.
Práctica en la computadora
1. Generar dos matrices aleatorias cuadradas y verificar que
-->A=floor(5*rand(3,3)),B=floor(5*rand(3,3)),C=A*B,D=B*A
A =
1. 2. 2.
1. 1. 2.
1. 3. 2.
B =
1. 4. 0.
2. 1. 1.
2. 2. 0.
es diferente
C =
9. 10. 2.
7. 9. 1.
11. 11. 3.
D =
5. 6. 10.
4. 8. 8.
4. 6. 8.
Nota: A*B y B*A son diferentes.
Conclusion. El producto de dos matrices cuadradas no siempre es es conmutativo.
.
119
Divisores de cero
Sea H un conjunto no vació de elementos donde se ha definido la operacion producto
, entonces decimos que H tiene divisores de cero si existen elementos a y b no nulos
de A tal que a b es igual a cero
Teorema
Si a y b son numeros reales entonces a b=0 si y solo si a=0 ó b=0
Demostración
Sea a*b=0, supongamos que a es un número real diferente de cero, entonces por ser R
un campo, existe un número real c no nulo tal que c= inv(a), multiplicando a ambos
lados de la ecuacion a*b=0 se tiene inv(a) (a b)=inv(a) 0, asociando se tiene,
(inv(a)*a)*b=0 y por la propiedad del inverso se tiene que 1*b=0 lo que equivale a que
b=0.
Ejercicio
Demostrar el recíproco del teorema
El teorema anterior indica que los numeros reales no tiene divisores de cero.
Ejemplo
El espacio vectorial R(2,2), matrices reales 2x2 tiene divisores de cero.
Práctica en la computadora
Sean
, Verifique que las matrices A y B son divisores de cero.
// Solucion en Scilab
-->A=[1 0;1 0], B=[0 0; 1 1], A*B
A =
1. 0.
1. 0.
B =
0. 0.
1. 1.
ans =
0. 0.
0. 0.
Note que A y B son elementos no nulos si embargo A B=0
Ejercicios
1. Hallar pares de matrices 2x2 que sean divisores de cero.
2. Hallar pares de matrices 3x3 que sean divisores de cero.
3. Hallar pares de matrices 4x4 que sean divisores de cero.
120
Taller didáctico
1. Demuestre con LP que si A y B son matrices cuadradas entonces
2. Verifique en Scilab la formula anterior
3. Demostrar que la matriz Idéntica I y la matriz cero de nxn conmutan con
cualquiera matriz A de nxn, ¿Qué otro tipo de matrices conmutan con cualquier
matriz A?
4. Demostrar que
solo si A y B conmutan.
5. Verificar en Scilab que la relación
es falsa siendo A y
B matrices cuadradas aleatorias enteras 4x4.
6. Demostrar usando LP que
, verificar
en Scilab
7. Demostrar que
solo si las matrices A y B conmutan
con el producto.
Capítulo 3. Transformaciones lineales
Transformación lineal
Una transformación lineal es una función T de un espacio vectorial V a un espacio
vectorial W, tal que:
Donde u y v son elementos de V y x es un escalar del campo F.
Ejemplo.
La función
,
Es una transformación lineal.
La función T transforma una matriz A de R(n,n) a otra matriz D, D es una matriz de
R(n,n) y sus elementos son los elementos de la diagonal de A.
Verificando linealidad en scilab con matices aleatorias
Se debe verificar que:
y
Primera parte.
// Genera dos matrices aleatoria A y B y calcula la suma
-->A=floor(5*rand(4,4));B=floor(5*rand(4,4)); C=A+B;
121
-->// Calcula la matriz diagonal de C=A+B
-->for i=1:4
--> for j=1:4
-->
if i<>j then
-->
C(i,j)=0;
-->
end
--> end
-->end
-->DAmasB=C;
-->// Calcula la diag de A y la diagonal de B////////
-->for i=1:4
--> for j=1:4
-->
if i<>j then
-->
A(i,j)=0;
-->
B(i,j)=0;
-->
end
--> end
-->end
-->DA=A;
-->DB=B;
-->/////////// Verifica que D(A+B)=D(A)+D(B))
-->DAmasB==DA+DB
ans =
TTTT
TTTT
TTTT
TTTT
-->// se ha verificado la primera parte de linealidad de la transformación diag(A)
Segunda Parte.
-->A=floor(5*rand(4,4)); x=floor(5*rand(1)); C=x*A;
-->// Calcula la matriz diagonal de C=x*A
-->for i=1:4
--> for j=1:4
-->
if i<>j then
-->
C(i,j)=0;
-->
end
--> end
-->end
122
-->DxporA=C;
-->///////////////////////////////
-->// Calcula la diag de A ////////
-->for i=1:4
--> for j=1:4
-->
if i<>j then
-->
A(i,j)=0;
-->
--> end
-->end
end
-->DA=A;
-->//////////////////////////////
-->/////////// Verifica que D(x*A)=x*D(A)
-->DxporA==x*DA
ans =
TTTT
TTTT
TTTT
TTTT
-->// se ha verificado linealidad de la transformación diag(A)
Ejercicio
Usando LP demostrar que la transformación diagonal es lineal.
Otro ejemplo
La función
,
no es una aplicación lineal.
Verificando en Scilab
Para que T sea lineal se debe tener que
Equivalente a:
, lo cual es falso,
.
123
Verificando en la computadora con matrices aleatorias
-->A=floor(5*rand(3,3)), B=floor(5*rand(3,3)), (A+B)^2==A^2+B^2
A =
2. 2. 4.
3. 1. 4.
4. 1. 1.
B =
1. 2. 2.
3. 1. 0.
1. 2. 1.
ans =
FFF
FFF
FFF
Matriz traspuesta
Dada la matriz
que pertenece al espacio vectorial F(n,m), entonces la matriz
traspuesta de B es , donde
y pertenece al espacio vectorial F(m,n). En
consecuencia, para hallar la traspuesta de una matriz, se cambian filas por columnas.
Ejemplo.
-->A=[1 2 3;2 3 5]
A =
1. 2. 3.
2. 3. 5.
-->A'
ans =
1. 2.
2. 3.
3. 5.
La operación traspuesta, se puede ver como una función,
Que asigna a cada matriz
del dominio su traspuesta
La operación traspuesta es una operación lineal:
1.
2.
Equivalente,
en el codominio:
124
Verificar en Scilab la propiedad de linealidad de la operación traspuesta.
-->B=[3 4 5;2 3 4]
B =
3. 4. 5.
2. 3. 4.
-->(A+B)'==A'+B'
ans =
TT
TT
TT
Ejercicio
1. Verificar en Scilab que (x*A)’= x*A’
Propiedades de la operación traspuesta
Traspuesta de una traspuesta
Si A es una matriz de R(n,m) entonces
Demostración.
Si A=
es una matriz nxm entonces
.
Verificación En Scilab
-->A=[1 2 3; 4 5 7;3 5 7],A==(A')'
A =
1. 2. 3.
4. 5. 7.
3. 5. 7.
.
es una matriz mxn entonces
ans =
TTT
TTT
TTT
Traspuesta de un producto
La traspuesta de un producto de matrices es igual al producto de las traspuestas en
orden permutado.
Sea A una matriz de orden nxp y B una matriz pxm entonces
Verificando en Scilab
-->A=floor(5*rand(3,3)),B=floor(5*rand(3,3)), (A*B)'==B'*A'
A =
3. 3. 4.
125
3.
0.
1.
1.
2.
2.
B =
1. 1.
4. 4.
0. 4.
2.
4.
3.
ans =
TTT
TTT
TTT
//Note. (A*B)'=B'*A'
Matriz simétrica
Una matriz cuadrada es simétrica si y solo si es igual a su transpuesta.
Ejemplo.
-->A=[1 1 0;1 2 3;0 3 0],TA=A'
A =
1. 1. 0.
1. 2. 3.
0. 3. 0.
TA =
1. 1. 0.
1. 2. 3.
0. 3. 0.
// Note que A=A’
Propiedad de la matriz simétrica
Si A es una matriz real nxn entonces
es simétrica.
Demostración.
Llinealidad función transpuesta.
Propiedad 1 de la función traspuesta.
Propiedad conmutativa con la suma.
Verificar la propiedad anterior con Scilab.
-->A=floor(5*rand(4,4)), S=A+A', S==S'//La matriz S es simétrica
A =
2. 0. 3. 1.
3. 1. 4. 1.
3. 2. 3. 0.
0. 3. 3. 0.
126
S =
4. 3.
3. 2.
6. 6.
1. 4.
ans =
TTTT
TTTT
TTTT
TTTT
6.
6.
6.
3.
1.
4.
3.
0.
Matriz antisimétrica
Una matriz cuadrada es antisimétrica si y solo si es igual a la opuesta de su transpuesta.
Ejemplo
La matriz
-->A=[0 1 -2;-1 0 3;2 -3 0]
A =
0. 1. - 2.
- 1. 0. 3.
2. - 3. 0.
Es antisimétrica.
// Verificar es Scilab
-->A==-A'
ans =
TTT
TTT
TTT
Ejercicio
Demostrar usando L.P que la matriz
matrices aleatorias.
es antisimétrica. Verificar en scilab con
Solución con la computadora
-->A=floor(5*rand(3,3)), AS=A-A', AS==-AS'//La matriz S es antisimétrica
127
A =
4. 2.
4. 3.
1. 0.
2.
1.
2.
AS =
0. - 2. 1.
2. 0. 1.
- 1. - 1. 0.
ans =
TTT
TTT
TTT
Taller didáctico
1. Demostrar usando LP que los elementos de la diagonal principal de una matriz
antisimétrica son cero
2. Demostrar usando LP que la matriz
es antisimétrica. Verificar en Scilab con
matrices aleatorias
3. Verificar en la computadora con muchas matrices aleatorias que los elementos de la
diagonal principal de una matriz antisimétrica son cero
4. Demostrar que
es simétrica, verificar en Scilab
5. Demostrar que si A es una matriz simétrica y x es un escalar entonces
es
simétrica. Verificar con Scilab
6. Demostrar que si A es una matriz antisimétrica y x es un escalar entonces
es
antisimétrica
7. Demostrar que toda matriz cuadrada de R(n,n) es la suma de una matriz simétrica y
una matriz antisimétrica
8. Demostrar usando LP que si A es una matriz simétrica de R(n,n) y X, Y son matrices
de F(n,1) entonces,
9. Verificar usando Scilab, con matrices enteras aleatorias el ejercicio 7.
Matrices idempotentes e involutivas
Una matriz cuadrada es idempotente si y solo si es igual a su cuadrado.
Una matriz cuadrada es involutiva si y solo si su cuadrado es la identidad.
Ejemplos.
-->A=[0.5 0.5;0.5 0.5],B=A^2,// A es una matriz idempotente
128
A =
0.5 0.5
0.5 0.5
B =
0.5 0.5
0.5 0.5
Verificar usando L.P. el ejemplo anterior.
Ejemplo.
La matriz A, es involutiva
-->A=[1 0; 0,-1], A^2
A =
1. 0.
0. - 1.
ans =
1. 0.
0. 1.
Ejercicio
Usando LP demostrar que
, sabiendo que A es una matriz cuadrada nxn
idempotente, y la matriz I es la matriz idéntica nxn.
Demostración
. Definición de potencia de matrices.
Propiedad distributiva y A I=I A=A
. A es idempotente
. Operando formalmente.
Verificacion en Scilab,
-->A=[0.5 0.5;0.5 0.5],(A-eye(2))^2==eye(2)-A
A =
0.5 0.5
0.5 0.5
ans =
TT
TT
Ejercicio
Sabiendo que la matriz A es involutiva, demostrar que la matriz
idempotente.
Verificar en scilab con la matriz .
Solución
Con Scilab
A =
1. 0.
0. - 1.
es
129
Taller final
1. Hallar la matriz X del espacio vectorial R(2,2) sabiendo que, X+A=I, A=[0 -1;2 -2].
2.
Si A=[-6 0 3;0.5 -3 -1] y B=[-2 -1 0; -0.25 0 1.5] hallar
3. Sean las matrices A=[1 -1 1;0 1 0; 3 1 0], B=[1 0 -2;-1 0 2] y C=[-3;3], hallar
4. Hallar
sabiendo que A=[-1 0 0;-1 1 0;-1 0 1]
5. Dada la matriz A=[1 1;1 0], hallar
. Que relación tiene
, con la sucesión de Fibonacci.
6. Generar muchas tripletas matrices aleatorias enteras 4x4 y verificar la propiedad
asociativa del producto de matrices, A*(B*C)=(A*B)*C
7. Dada la matriz A=[1 1;0 1], hallar
, para
, conjeture a que es
igual , para todo n.
8. Demuestre por inducción que
9. Sabiendo que A=[1 1 1;0 1 1; 0 0 1], hallar
a que es igual .
, para
.. Conjeturar
10. Demostrar usando inducción que
11. Hallar la matriz X tal que
, donde A, X, y la matriz idéntica I son 2x2 y
A=[%i 1;1 -%i].
12. Hallar todas las matrices A de tamaño 2x2 tales que
.
13. Generar 3 pares de matrices diagonales A y B aleatorias enteras de 4x4 y verificar
que A*B=B*A.
14. Demostrar que si
.
130
Anexo C. Módulo sistemas de ecuaciones
lineales con Scilab
Objetivo general del módulo
En este módulo o taller se pretende ayudar al estudiante a resolver sistemas de
ecuaciones lineales usando el método de eliminación empleando Lápiz y papel y
verificando con Scilab.
Objetivos especificos
1. Escribir un sistema de ecuaciones lineales en su forma matricial.
2. Verificar con LP y PC la solución de un sistema de ecuaciones lineales.
3. Graficar un recta y un plano con LP y Scilab.
4. Identificar cuando dos rectas o dos planos son paralelos.
5. Graficar con Scilab planos paralelos y no paralelos.
6. Usar ideas previas para solucionar
sistemas de ecuaciones lineales
homogéneos, por el método de eliminación de variables.
7. Verificar con ejemplos que un sistema de ecuaciones lineales puede ser
compatible o inconsistente.
8. Verificar con ejemplos que un sistema compatible puede tener única solución o
infinitas soluciones.
9. Resolver un sistema lineal homogéneo.
10. Usar el comando rref (A) para resolver un sistema de ecuaciones lineales.
11. Definir el rango de una matriz.
12. Usar el rango de una matriz para ver la compatibilidad de un sistema lineal.
13. Definir la matriz inversa.
14. Hallar la matriz inversa por el método de eliminación Gaussiana.
15. Definir el determinante de una matriz.
16. Verificar con Scilab las propiedades de los determinantes.
Contenidos
Capitulo 1. Sistemas de ecuaciones lineales
1.1 Definición de un sistema de ecuaciones lineales
1.2 Geometría de las soluciones en dos dimensiones
1.3 Geometría de las soluciones tres dimensiones.
131
Capitulo 2: Solución de ecuaciones lineales
2.1 Ideas previas para resolver un sistema de ecuaciones lineales lineales.
2.2
2.3
2.4
2.5
Técnica de eliminación para resolver sistemas de ecuaciones lineales.
Matriz escalon reducida por filas.
Rango de una matriz.
Matriz inversa.
Capitulo 3. Determinantes
3.1 Determinantes 2x2.
3.2 Determinantes nxn.
3.3 Propiedades de los determinantes.
3.4 Determinantes en scilab.
3.5 Linealidad de los determinantes.
3.6 Otras propiedades de los determinantes.
3.7 Teorema resumen
Capítulo 1. Sistemas de ecuaciones lineales
Definición de sistemas de ecuaciones lineales
Supóngase que F es un cuerpo. Se considera el problema de encontrar m escalares
(elementos de F)
que satisfacen las condiciones.
(1.1)
.
.
Donde los
y ,
, son elementos del campo F. Al conjunto de
ecuaciones (1.1) se le llama un sistema de n ecuaciones lineales con m incógnitas.
Toda m-tupla
de elementos de F que satisfacen las ecuaciones (1.1) se
llama una solución del sistema. Si
, se dice que el sistema es
homogéneo.
El sistema (1.1) se puede escribir con la ecuación:
, donde X, pertenece al
espacio vectorial F(m,1),
es la matriz del sistema y el vector Y pertenece al
espacio vectorial F(n,1).
Ejemplo.
El sistema lineal 3x3,
Se puede escribir de la forma
132
,
donde
,
y el vector
.
Geometría de las soluciones en dos dimensiones
El conjunto solución de la ecuación
de la recta es
, es una recta en el plano xy, la pendiente
Donde
, son dos soluciones de la ecuación
Ejemplo 1
El conjunto de todas las soluciones de la ecuación
Es una recta en el plano xy, esta recta que tiene pendiente 2 y un punto de intersección
con el eje Y cuya ordenada esl -6.
Grafica en Scilab
////////////////////////////////////////////////////////Scilab/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
//Graficamos la ecuación 2x-y=6, en el intervalo -5 hasta 5
X=-5:5;//genera un vector entero desde 5 hasta 5
Y=2*X-6;// genera el vector imagen Y, de acuerdo la función Y=2x-6
plot(X,Y)//grafica los puntos (X,Y), y traza la recta que une los puntos
xgrid() //traza una cuadrícula
Figura 10: Linea recta
133
Análisis de las soluciones
La solución de la ecuación son todos los puntos de la recta.
Matricialmente la ecuación se puede escribir
Haciendo x=0, una solución particular es el vector
.
Ejemplo 2.
Resolver gráficamente el sistema de ecuaciones:
Una solución de este sistema de ecuaciones es un punto que se encuentra en ambas
rectas. Supongamos que buscamos una solución de este sistema que tenga una
coordenada x entre 0 y 8.
///////////////////////////////// Solucion grafica usando Scilab////////////////////////////////////////////////////////////
X=0:8; // genera el vector X entero desde 0 hasta 8
Y1=7-X; // Genera el vector Y1 entero imagen de X
Y2=(1+X)/3; // Genera el vector Y2 entero imagen de X
plot(X,Y1,X,Y2) // grafica las rectas Y1,Y2
xgrid() // coloca una malla al plano cartesiano (x, y)
Figura11: Intersección de dos rectas
134
Matricialmente se escribe,
Y la solución del sistema es el vector
.
Pruebar usando Scilab.
->A=[1 1;-1 3]; X=[5;2]; A*X==[7;1]
ans =
T
T
Ejercicio de refuerzo
Dos rectas no paralelas, se cortan en un punto, hallar el punto de corte graficando con
LP y luego verificando con Scilab.
Rectas paralelas
Dos rectas son paralelas si y solo si sus pendiente son iguales.
Ejemplo.
Las rectas
Tienen pendiente 2, por tanto son paralelas
////// // Verificando en la computadora.////////////////////////////////////////////////////////////////////////
- ->x=0:3;
-->y1=2*x; y2=2*x-1;
-->plot(x,y1,x,y2)
-->xgrid()
-->xlabel('eje x')
-->ylabel('eje y')
Figura 12: rectas paralelas
135
/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
Análisis de las soluciones.
El sistema no tiene solución, no hay puntos en común. Un sistema que no tiene puntos
en común se dice que es inconsistente y la solucion es vacía.
Rectas perpendiculares.
Dos rectas
Son perpendiculares si el producto de sus pendientes es -1.
Ejercicio.
Verificar que las rectas
Son perpendiculares y graficar, con LP y Scilab.
Geometría de las soluciones tres dimensiones
Plano
El lugar geométrico de todos los puntos (x,y,z)
tal que satisface la ecuación
Donde a,b,c y d son números reales fijos forman un plano en el espacio.
Matricialmente la ecuacion del plano es
Se puede escribir
Ejemplo 1
La ecuación
, representa un plano y se grafica usando Scilab.
//////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
[X,Y]=meshgrid(-3:0.1:3);//genera una matriz cuadricula cuyos puntos son los del
producto cartesiano X con Y
Z1=-2*X+Y;// Z1 son las imágenes de [X,Y]
mesh(X,Y,Z1,'Edgecolor','black')// grafica la función Z1, en blanco y negro
xgrid()
136
xtitle("funcion 3d","x","y","z")
Figura 13: Un plano
///////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
/
Análisis de la solución
La solución de la ecuación
son todos los puntos (x,y,z) del espacio
Tal
que
. Si tomamos x, y las variables independientes reales entonces la
solucion es:
Las variables x,y sa llaman variables libres.
En particular si
y el valor de
.
Matricialmente se tiene:
entonces (1,2,0) es una solución de la ecuación
Prueba en Scilab,
-->[2 -1 1]* [1; 2;0]
ans =
0.
En general:
// la prueba se hace con valores aleatorios x e y enteros
-->x=floor(5*rand(1)); y=floor(5*rand(1)); sol=x*[1,0,-2]+y*[0,1,1]; [2 -1 1]*sol'==0
ans =
T
137
Ejemplo 2
Dados los planos
Verificar usando Scilab que los planos se intersecan
///////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
/
X=(-3:0.2:3)';
Y=(-3:0.2:3)';
[X,Y]=meshgrid(0:0.1:3);
Z1=2*X-3*Y+2;
mesh(X,Y,Z1,'Edgecolor','black')
Z2=-2*X+3*Y;
mesh(X,Y,Z2,'Edgecolor','black')
xtitle("funcion 3d","x","y","z")
xgrid()
Figura 14: Dos planos no paralelos
Solución.
La solución del sistema son todos los (x, y, z) de
ecuaciones:
Matricialmente,
tal que satisfacen las dos
138
Ejemplo 3
Graficar los planos usando Scilab.
///////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
/
//verificando
[X,Y]=meshgrid(-3:0.1:3);
Z1=X+Y;
mesh(X,Y,Z1,'Edgecolor','black')
Z2=X+Y+5;
mesh(X,Y,Z2,'Edgecolor','black')
xtitle("función 3d","x","y","z")
xgrid()
Figura 15: Dos planos paralelos
Análisis de la solución
La solución del sistema de ecuaciones lineales son todos los (x, y, z) tal que:
Equivalente:
139
Geométricamente se ve que no hay puntos comunes, significa que el sistema no tiene
solución.
Ejercicios
Usando Scilab
1. Graficar el plano
2. Graficar los planos
y hallar una solución del sistema.
Escribir el sistema en forma matricial y conjeturar las soluciones del sistema.
3. Graficar los planos
Escribir el sistema en forma matricial y conjeturar las soluciones del sistema.
4. Graficar los planos
Escribir el sistema en forma matricial y conjeturar las soluciones del sistema.
Capítulo 2. Solución de ecuaciones lineales
Ideas previas para resolver un sistema lineal
La técnica fundamental para encontrar soluciones de un sistema de ecuaciones lineales,
es la técnica de eliminación. Se puede ilustrar esta técnica en el sistema homogéneo.
Ejemplo 1
140
Si sumamos (-2) veces la segunda ecuación a la primera, se obtiene
O sea
Si se suma tres veces la primera ecuación a la segunda, se obtiene
, o sea
. Así se concluye que la solución del sistema es
,
donde z es cualquier valor real. Sustituyendo z por el parámetro t se tiene que el
conjunto de soluciones es de la forma
En particular si
la solución es (-2, -2, 2).
Para verificar que (-2,-2,2) es solución del sistema, usamos Scilab.
->A=[2 -1 1;1 3 4]; X=[-2 -2 2]'; A*X==zeros(2,1)
ans =
T
T
Geométricamente, son dos planos que se intersecan en una recta.
[X,Y]=meshgrid(-3:0.1:3);
Z1=-2*X+Y;
mesh(X,Y,Z1,'Edgecolor','black')
Z2=(-X-3*Y)/4;
mesh(X,Y,Z2,'Edgecolor','black')
xtitle("funcion 3d","x","y","z")
xgrid()
Figura 16: Dos planos que se intersecan en una recta
141
Técnica de eliminación para resolver sistemas de ecuaciones lineales
La técnica de eliminación es un proceso operativo finito para resolver sistemas de
ecuaciones lineales, en el ejemplo anterior usamos la técnica operativa, para esto se
hacen algunas operaciones como las siguientes: cambiar el orden de las ecuaciones,
multiplicar una ecuación por una constante no nula y sumar una ecuación con otra, estas
operaciones se estudiarán con detalle más adelante.
Para ambientar el tema se resolverá el siguiente sistema usando matrices.
Ejemplo 1
Solución de un sistema homogéneo usando matrices.
Escribimos el sistema en forma matricial.
Usamos solamente la matriz,
El proceso es por eliminación.
// Operaciones usando Scilab
-->A=[2 -1 1;1 3 4],// se define la matriz
A =
2. - 1.
1. 3.
1.
4.
-->A(2,:)=-0.5*A(1,:)+A(2,:)//cambia la fila 2 por -(0.5) veces la fila1 más la fila 2
A =
2.
0.
- 1.
3.5
1.
3.5
-->A(1,:)=0.5*A(1,:) //Cambia la fila 1 por (1/2) veces la fila 1
A =
1. - 0.5 0.5
0. 3.5 3.5
142
-->A(2,:)=inv(3.5)*A(2,:)//Cambia las fila 2 por inv(3.5) veces la filas2
A =
1. - 0.5
0. 1.
0.5
1.
-->A(1,:)=0.5*A(2,:)+A(1,:)// Cambia la fila 1 por (0.5) veces la fila 2 más la fila 1
A =
1. 0. 1.
0. 1. 1.
El sistema ahora queda,
Equivalente a,
Si la solución del sistema es
entonces el conjunto solución del sistema lineal, es:
La solución es el conjunto de puntos del plano múltiplos del vector (-1,-1,1), que
corresponde a una recta.
Operaciones elementales
En esta sección se limitará la atención a tres operaciones elementales.de filas de una
matriz A nxm sobre el cuerpo F
1. Multiplicación de una fila de A por un escalar no nulo
2. Intercambio de dos filas
3. Remplazo la r-ésima fila de A por la fila r más c veces la fila s, donde c es
cualquier escalar no nulo y r es diferente de s.
Definición
Si A y B son dos matrices de nxm sobre el cuerpo F, se dice que B es equivalente por
filas a la matriz A si la matriz B se obtiene de A por una sucesión finita de operaciones
elementales de filas.
143
Propiedades de los sistemas de las ecuaciones lineales
Propiedad 1
Si A y B son matrices equivalentes por filas, los sistemas homogéneos lineales AX=0 y
BX=0 tienen exactamente las mismas soluciones.
Ejemplo
Las matrices
-->A=[2 -1 1; 3 1 4], B=[1 0 1; 0 1 1]
A =
2. - 1. 1.
3. 1. 4.
B =
1. 0.
0. 1.
1.
1.
Las matrices A y B son equivalentes, de acuerdo al ejemplo 1 de ésta sección,por
propiedad 1 los sistemas homogéneos, AX=0 y BX=0, tiene las mismas soluciones.
Matriz reducida por filas
Definición
Una matriz R de mxn, se llama reducida por filas si:
1. El primer elemento no nulo de cada fila no nula de R es igual a 1
2. Cada columna de R que tiene el primer elemento no nulo de alguna fila tiene
todos sus otros elementos 0.
Ejemplo 1
La matriz idéntica I, es una matriz reducida por filas
->eye(3,3)
ans =
1. 0. 0.
0. 1. 0.
0. 0. 1.
Ejemplo 2
ans =
1.
0.
0.
0.
1.
0.
0.
0.
1.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
144
Ejemplo 3
Las siguientes matrices no son reducidas por filas,
-->A=[1 0 0 0;0 1 -1 0;0 0 1 0], B=[0 2 1;1 0 -3;0 0 0]
A =
1.
0.
0.
0. 0.
1. - 1.
0. 1.
0.
0.
0.
B =
0.
1.
0.
2. 1.
0. - 3.
0. 0.
Propiedad 2
Toda matriz mxn sobre el cuerpo F es equivalente por filas a una matriz reducida por
filas.
Ejercicio
Verificar que la matriz,
A =
1.
1.
0.
2.
2. 1. - 1.
1. 0. 2.
1. 2. - 1.
2. - 1. 2.
Es equivalente a la matriz.
B =
1.
0.
0.
0.
0.
1.
0.
0.
0. 7.
0. - 5.
1. 2.
0. 0.
Usando operaciones elementales por filas usando LP y con Scilab
Solución.
// Interpretar cada línea
-->A=[1 2 1 -1;1 1 0 2;0 1 2 -1;2 2 -1 2]// define la matriz A
145
A =
1.
1.
0.
2.
2. 1. - 1.
1. 0. 2.
1. 2. - 1.
2. - 1. 2.
-->A(2,:)=-A(1,:)+A(2,:)// cambia la fila 2 por (-1) vez la fila 1 mas la fila 2
A =
1. 2. 1. - 1.
0. - 1. - 1. 3.
0. 1. 2. - 1.
2. 2. - 1. 2.
-->A(3,:)=-2*A(1,:)+A(4,:)
A =
1. 2. 1. - 1.
0. - 1. - 1. 3.
0. - 2. - 3. 4.
2. 2. - 1. 2.
-->A=[1 2 1 -1;1 1 0 2;0 1 2 -1;2 2 -1 2]
A =
1.
1.
0.
2.
2. 1. - 1.
1. 0. 2.
1. 2. - 1.
2. - 1. 2.
-->A(2,:)=-A(1,:)+A(2,:)
A =
1. 2. 1. - 1.
0. - 1. - 1. 3.
0. 1. 2. - 1.
2. 2. - 1. 2.
-->A(4,:)=-2*A(1,:)+A(4,:)
A =
1. 2. 1. - 1.
0. - 1. - 1. 3.
0. 1. 2. - 1.
146
0. - 2. - 3.
4.
-->A(3,:)=A(2,:)+A(3,:)
A =
1. 2. 1. - 1.
0. - 1. - 1. 3.
0. 0. 1. 2.
0. - 2. - 3. 4.
-->A(2,:)=-1*A(2,:)
A =
1. 2. 1. - 1.
0. 1. 1. - 3.
0. 0. 1. 2.
0. - 2. - 3. 4.
-->A(4,:)=2*A(2,:)+A(4,:)
A =
1.
0.
0.
0.
2. 1. - 1.
1. 1. - 3.
0. 1. 2.
0. - 1. - 2.
-->A(4,:)=A(3,:)+A(4,:)
A =
1.
0.
0.
0.
2.
1.
0.
0.
1. - 1.
1. - 3.
1. 2.
0. 0.
-->A(1,:)=-2*A(2,:)+A(1,:)
A =
1.
0.
0.
0.
0. - 1. 5.
1. 1. - 3.
0. 1. 2.
0. 0. 0.
-->A(2,:)=A(3,:)-A(2,:)
147
A =
1. 0. - 1.
0. - 1. 0.
0. 0. 1.
0. 0. 0.
5.
5.
2.
0.
-->A(1,:)=A(3,:)+A(1,:)
A =
1. 0. 0. 7.
0. - 1. 0. 5.
0. 0. 1. 2.
0. 0. 0. 0.
-->A(2,:)=-1*A(2,:)
A =
1. 0. 0. 7.
0. 1. 0. - 5.
0. 0. 1. 2.
0. 0. 0. 0.
Matriz escalón reducida por filas
Definicion
Una matriz nxm, R, es llama escalón reducida por filas si:
a.) R es reducida por filas
b.) Toda fila de R que tiene todos sus elementos 0 están debajo de todas las filas
que tienen elementos no nulos;
c.) Si las filas 1, r son las filas no nulas de R, y y si el primer elemento no nulo de la
fila i está en la columna , i=1,…r, entonces
.
Ejemplo 1
La matriz A está en su forma escalonada y reducida por filas.
->[0 1 3 0 1;0 0 0 1 2;0 0 0 0 0]
ans =
0. 1.
0. 0.
0. 0.
3.
0.
0.
0.
1.
0.
1.
2.
0.
Propiedad 3
Toda matriz nxm, A, es equivalente por filas una matriz escalón por filas.
148
Matriz rref(A)
En Scilab, el comando para hallar una matriz escalonada y reducida por filas a partir de
una matriz A es
- ->rref(A).
Ejemplos
-->A
A =
1. 2. 1. - 1.
1. 1. 0. 2.
0. 1. 2. - 1.
2. 2. - 1. 2.
-->rref(A)
ans =
1. 0.
0. 1.
0. 0.
0. 0.
0. 7.
0. - 5.
1. 2.
0. 0.
Ejemplo
-->A=[4 1 2 4 5; 8 1 4 2 2; 2 1 2 6 0],R=rref(A)
A =
4. 1. 2. 4. 5.
8. 1. 4. 2. 2.
2. 1. 2. 6. 0.
R =
1. 0.
0. 1.
0. 0.
0. - 1. 2.5
0. 6.
8.
1. 1. - 6.5
Ejemplo
Resolver el sistema homogéneo
Note que el sistema es homogéneo y hay mas incógnitas que ecuaciones (n=2 y m=4),
m>n.
Solución.
A=[2 3 -1 1;4 6 2 -1], R=rref(A)
A =
2. 3. - 1. 1.
4. 6. 2. - 1.
149
R =
1. 1.5 0. 0.125
0. 0. 1. - 0.75
El sistema inicial,
Es equivalente a,
Equivalente,
Hay dos variables libres, y, w y dos variable ligadas, x y z. Si la solución del sistema es
(x, y, z, w) entonces el conjunto solución es
.
Soluciones particulares
Si y=w=0, la solución es (0,0,0,0), es la solución trivial.
Soluciones no triviales dando valores a las variable libres y, w no ambas nulas, ejemplo
y=1, w=0, se tiene (-1.5, 1, 0, 0).
Prueba.
-->X=[-1.5, 1, 0, 0]'; A*X
ans =
0.
0.
Propiedad 4
Si A es una matriz nxm con n<m, el sistema homogéneo de ecuaciones lineales AX=0
tiene solución no trivial. Esto es, existe un vector X no nulo tal que A*X=0
Note que un sistema AX=0, con más variables que ecuaciones, la matriz R, escalón y
reducida de A, siempre hay variables libres.
Práctica con Scilab
1. Generar muchas matrices aleatorias enteras tal que n es menor que m, (Número de
filas menor que el número de columnas), y hallar R, la matriz escalón reducida por filas, y
note que siempre hay variables libres, esto indica que el sistema AX=0, tiene una
solución no trivial. O que el sistema tiene infinitas soluciones.
-->A=(floor(5*rand(3,4))), R=rref(A)
A =
3. 2. 1. 0.
3. 4. 2. 3.
4. 1. 4. 1.
150
R =
1.
0.
0.
0.
1.
0.
0. - 1.
0. 1.
1. 1.
// Si X=(x, y, z, w), el sistema AX=0 es equivalente al sistema RX=0. La matriz A es 3x4
entonces el sistema AX=0 tiene 4 variables y 3 ecuaciones,
La solución se halla resolviendo,
x- w=0
y+ w=0
z+ w=0
Note que la variable w es ligada a las otras variables, hay tres variables dependientes x,
y, z y una variable independiente que es w, el sistema tiene soluciones no triviales.
La solución es X=(x, y, z, w) tal que x=w, y=-w, z=-w, w es cualquier número real, si w=1,
una solución es (1,-1,-1,1).
Prueba
Se debe verificar que A*X=0.
-->X=[1 -1 -1 1]', A*X
X =
1.
- 1.
- 1.
1.
ans =
0.
0.
0.
La solución general es:
X=(w, -w, -w, w)=w(1,-1,-1,1), w es un valor real cualquiera.
Prueba
-->w=rand(1),X=w*[1,-1,-1,1]', A*X
w =
0.7733216
X =
0.7733216
151
- 0.7733216
- 0.7733216
0.7733216
ans =
.
0.
0.
0.
Generar una matriz A aleatoria enteras tales con n=m y calcule rref(A).
-->A=floor(5*rand(4,4))
A =
1. 0. 3. 3.
4. 0. 1. 4.
2. 3. 1. 2.
1. 3. 2. 0.
-->R=rref(A)
R=
1.
0.
0.
0.
0.
1.
0.
0.
0.
0.
1.
0.
0.
0.
0.
1.
// Los sistema homogéneos AX=0 y RX=0 tienen las mismas soluciones. Como no hay
variables libres el sistema tiene única solución y la solución es X=0.
Propiedad 5
El sistema lineal AX=0, donde A es una matriz cuadrada nxn tiene solución única X=0, si
y solo si la matriz rref(A)=I, donde I es la matriz idéntica de nxn.
Propiedad 6
El sistema lineal AX=0, donde A es una matriz cuadrada nxn tiene infinitas soluciones si
y solo si la matriz rref(A) <>I, donde I es la matriz idéntica de nxn.
Ejemplo
Resolver el sistema AX=0, si la matriz A es
A =
0. 3. 3. 0.
1. 4. 3. 0.
4. 3. 2. 3.
1. 2. 4. 3.
152
Solución
-->A=[0 3 3 0;1 4 3 0;4 3 2 3;1 2 4 3]
A =
0.
1.
4.
1.
3.
4.
3.
2.
3.
3.
2.
4.
0.
0.
3.
3.
-->R=rref(A)
R =
1. 0. 0. 1.
0. 1. 0. - 1.
0. 0. 1. 1.
0. 0. 0. 0.
// Note que la matriz R=rref(A) no es la idéntica entonces por propiedad 5 el sistema
tienes soluciones no triviales, esto el sistema AX=0 tiene infinitas soluciones.
Propiedad 7
Dada la matriz A nxm donde n>m,( más ecuaciones que variables) entonces el sistema
tiene única solución si la matriz rref(A) tiene m filas no nulas.
Verificar en Scilab
-->A=floor(5*rand(5,3)), rref(A)
A =
0.
0.
2.
4.
4.
2.
4.
4.
2.
3.
1.
4.
3.
2.
0.
0.
1.
0.
0.
0.
0.
0.
1.
0.
0.
ans =
1.
0.
0.
0.
0.
El sistema AX=0, tiene única solución por propiedad 6, la matriz rref(A) tiene m=3 filas
no nulas, y la solución X=0, es la única solución.
153
Propiedad 8
Dada la matriz A nxm donde n>m, mas ecuaciones que variables entonces el sistema
tiene infinitas soluciones si la matriz rref(A) tiene r filas no nulas con r<m.
Ejemplo
-->A=[1 2 4;2 4 8;6 12 18;3 6 12;1 2 4], R=rref(A)
A =
1.
2.
6.
3.
1.
2.
4.
12.
6.
2.
4.
8.
18.
12.
4.
R =
1.
0.
0.
0.
0.
2.
0.
0.
0.
0.
0.
1.
0.
0.
0.
Note que r=2 es el número de filas no nulas de la matriz R=rref(A) y r<m, m=3. Por
propiedad 8 el sistema tiene infinitas soluciones.
Solución
El sistema AX=0 tiene las mismas soluciones que RX=0, entonces el sistema RX=0 es;
x+2y=0
z=0
Equivalente,
x=-2y
z=0
solución general
(-2y, y,0)=y(-2,1,0), y cualquier valor real
Prueba,
-->y=floor(8*rand(1)),X=y*[-2,1,0]', A*X
y =
6.
X =
154
- 12.
6.
0.
ans =
0.
0.
0.
0.
0.
Pivotes
Dada una matriz A del espacio vectorial F(n,m), y se R=rref(A),la matriz escalonada y
reducida por filas, se define pivote al primer elemento diferente de cero que hay en cada
fila no nula de R.
Ejemplo
A =
0. 3.
1. 4.
4. 3.
1. 2.
3.
3.
2.
4.
R =
1.
0.
0.
0.
0. 1.
0. - 1.
1. 1.
0. 0.
0.
1.
0.
0.
0.
0.
3.
3.
La matriz R de 4x4 tiene 3 pivotes.
Rango de una matriz
El rango de una matriz A es el número total de pivotes que hay en una matriz R=rref(A).
Ejemplo.
La matriz A del ejemplo anterior tiene rango 3.
El comando para el hallar el rango de una matriz A del espacio vectorial F(n, m) es:
->rank(A).
Ejemplo.
-->A=floor(8*rand(5,3)), R=rref(A), rango=rank(A)
155
A =
5. 2. 5.
0. 6. 7.
0. 6. 4.
5. 0. 6.
2. 3. 0.
ans =
1. 0. 0.
0. 1. 0.
0. 0. 1.
0. 0. 0.
0. 0. 0.
rango =
3.
// Note que la matriz R=rref(A), tiene 3 filas no nulas, por definición de rango el rango de
A es 3.
Propiedad 9
Las siguientes proposiciones son equivalentes.
i.
A es equivalente con B
ii.
rank(A)=rank(B)
iii.
rref(A)=rref(B)
Verificar esta propiedad con matrices aleatorias.
-->A=floor(5*rand(2,5))
A =
1. 1. 1. 1.
1. 4. 1. 2.
4. 1. 2. 2.
3. 1. 2. 2.
-->A(2,:)=-1*A(1,:)+A(2,:)
A =
1. 1. 1. 1.
0. 3. 0. 1.
4. 1. 2. 2.
3. 1. 2. 2.
-->B=A
B =
1. 1.
0. 3.
4. 1.
3. 1.
1.
0.
2.
2.
1.
1.
2.
2.
156
-->// B es equivalente con A ya que B se obtiene de A con una operación elemental
-->//Calculo de rango de A y B
-->rank(A)==rank(B)
ans =
T
// La última línea indica que los rangos de las matrices A y B son iguales.
-->rref(A)==rref(B)// Este comando verifica que sus matrices rref() son iguales.
ans =
TTTT
TTTT
TTTT
TTTT
Propiedad 10
Dada la matriz A nxn entonces el rango de A es n si y solo si la matriz rref(A) es la matriz
Idéntica.
Verificando en Scilab
->A=floor(5*rand(5,5)),R=rref(A),rango=rank(A)
A =
4. 2. 4. 2. 4.
0. 3. 0. 1. 4.
0. 0. 1. 4. 2.
3. 0. 3. 2. 4.
2. 1. 0. 3. 4.
R =
1. 0. 0. 0. 0.
0. 1. 0. 0. 0.
0. 0. 1. 0. 0.
0. 0. 0. 1. 0.
0. 0. 0. 0. 1.
rango =
5.
// La matriz A es 5x5, la matriz rref(A) es la matriz idéntica y el rango de A es 5
157
Propiedad 11
Si A es una matriz nxn, el sistema lineal AX=0, tiene única solución si el rango de A es n.
Nota. La propiedad 10 es útil cuando se vaya a resolver un sistema lineal homogéneo
AX=0, y la matriz A es nxn, solo se calcula el rango de A si el rango es n, la solución X=0
y es única, en caso que el rango se menor que n, el sistema tiene soluciones no triviales.
Propiedad 12
Si A es una matriz del espacio vectorial F(n, m) el rango de A es menor o igual que n,
Observación
Si la matriz A es cero, el rango de A es cero.
-->A=zeros(3,3)
A =
0. 0. 0.
0. 0. 0.
0. 0. 0.
-->rank(A)
ans =
0.
Verificación propiedad 12 en la computadora, con muchas matrices aleatorias
// La siguiente rutina, genera matrices aleatorias 3x5 de rango 1
A=floor(5*rand(3,5));,r=rank(A);
contador=0
while ((r==3) | (r==2))
A=floor(5*rand(3,5));,r=rank(A);
contador=contador+1;
end
A, rref(A),r, contador
// Ejecutado el programa con ctrl L
-->A, R=rref(A),r, contador
A =
0.
2.
2.
0.
4.
4.
0.
2.
2.
0.
2.
2.
0.
2.
2.
R =
1. 2.
0. 0.
0. 0.
1.
0.
0.
1.
0.
0.
1.
0.
0.
158
r =
1.
contador =
3601345.
Observación
La probabilidad de generar una matriz de rango 1 es muy baja, en este caso tuvieron que
pasar 3601344 matrices de rango 2 o rango 3 para encontrar la matriz A de rango 1
// Genera matrices aleatorias 3x5 de rango 2
A=floor(5*rand(3,5));,r=rank(A);
contador=0
while ((r==3)|(r==1))
A=floor(5*rand(3,5));,r=rank(A);
contador=contador+1;
end
A, rref(A),r, contador
// ctrl
// Genera matrices de rango 2
->A, rref(A),r, contador
A =
2. 2. 1. 2. 3.
1. 4. 2. 4. 3.
3. 0. 0. 0. 3.
ans =
1. 0. 0.
0. 1.
0. 1. 0.5 1. 0.5
0. 0. 0.
0. 0.
r =
2.
contador =
380.
-->// ctrl
-->// Genera matrices de rango 2
Observación
Generar matrices de rango 2 tiene mayor opción que las de rango 1, en este caso
debieron pasar 380 matrices de rango 3 ó rango 1 para hallar una rango 2.
///////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
/
// generación de matrices de rango 3
A=floor(5*rand(3,5));,r=rank(A);
159
contador=0
while ((r<>3))
A=floor(5*rand(3,5));,r=rank(A);
contador=contador+1;
end
A, rref(A),r, contador
-->A, rref(A),r, contador
A =
0. 1. 0. 1. 4.
0. 4. 2. 2. 0.
0. 4. 3. 0. 3.
ans =
0. 1. 0. 0. 15.
0. 0. 1. 0. - 19.
0. 0. 0. 1. - 11.
r =
3.
contador =
0.
//////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
Observación. El contador de matrices se quedó en cero significa que no entró en el ciclo
while, encontró la matriz de rango 3 en la primera instrucción.
Propiedad 13
El rango de una matriz A nxm es igual al rango de la matriz traspuesta
// Verificacion en Scilab.
-->n=input('entre n, número de filas de la matriz A ')
entre n, número de filas de la matriz A 3
n =
3.
-->m=input('entre m, número de columnas de la matriz A')
entre m, número de columnas de la matriz A5
m =
5.
-->// cálculo de rangos matrices A y A'
-->A=floor(5*rand(n,m)),
160
A =
4.
2.
2.
3.
1.
4.
0.
4.
1.
4.
1.
3.
1.
1.
3.
-->rangoA=rank(A),rangoAT=rank(A')
rangoA =
3.
rangoAT =
3.
// Note que los rangos de A y A’ son iguales
Matriz inversa
La matriz A que pertence a al espacio vectorial F(n,n) es inversible o no singular, si y solo
si existe una matriz B que pertenece a F(n,n) tal que su producto por A, a la izquierda y a
la derecha es la identidad.
La inversa de A, si existe, se denota mediante inv(A).
Siendo por definición
A*inv(A)=inv(A)*A=I
Observemos que A y inv(A) son inversas entre si, y en consecuencia
Ejemplo. Calcule la inversa de A, usando Scilab
A =
4. 0. 0. 0.
0. 3. 0. 0.
2. 1. 4. 0.
4. 1. 2. 3.
-->B=inv(A)
B =
0.25
0.
0.
0.3333333
- 0.125 - 0.0833333
0.
0.
0.25
0.
0.
0.
161
- 0.25
- 0.0555556 - 0.1666667
0.3333333
-->A*B // verificando
ans =
1. 0. 0. 0.
0. 1. 0. 0.
0. 0. 1. 0.
0. 0. 0. 1.
Ejercicio
Generar en Scilab muchas matrices aleatorias enteras de 4x4 y verificar si son invertibles
Observaciones
1. Una matriz que no es invertible se le denomina singular y una matriz invertible se
llama no singular
2. No toda matriz tiene inversa.
Ejemplo
-->A=[1 2 3; 2 4 6; 1 0 1], inv(A)
A =
1. 2. 3.
2. 4. 6.
1. 0. 1.
!--error 19
El problema es singular.
Propiedades de la matriz inversa
Propiedad 1
Si una matriz A es invertible su inversa es única.
Demostración
Suponga que B y C son dos inversas de A, entonces por definición se tiene que
A*B=B*A=I y A*C=C*A=I, multiplicando por B, la última ecuación se tiene
B*(A*C)=B*(C*A), por ley asociativa se tiene que (B*A)*C=B*(C*A), equivalente a
I*C=B*I, y por definición de matriz idéntica se tiene que C=B.
Propiedad 2
Inversa de un producto. Si dos matrices A y B son invertibles, entonces la inversa del
producto es igual al producto de las inversas en orden permutado.
En efecto, siendo
162
Resulta
Verificando en Scilab
-->A=floor(6*rand(3,3)); B=floor(6*rand(3,3)); H=inv(A*B),P=inv(B)*inv(A)
H =
- 0.2857143 - 0.3809524 2.6190476
0.
0.1666667 - 0.3333333
0.4285714 - 0.0952381 - 2.0952381
P =
- 0.2857143 - 0.3809524 2.6190476
0.
0.1666667 - 0.3333333
0.4285714 - 0.0952381 - 2.0952381
// Note que H=P y esto verifica la propiedad
Ejercicio
a. Demostrar que:
inv(A*B*C)=inv(C)*inv(B)*inv(A)
b. Verificar en Scilab
Propiedad 3
Si A es una matriz invertible entonces la matriz escalonada y reducida de A, rref(A)=I, I
es la matriz idéntica
Verificación
->A
A =
5. 0. 4.
2. 0. 5.
5. 2. 4.
-->inv(A)
ans =
0.2941176 - 0.2352941
- 0.5
0.
- 0.1176471 0.2941176
// La matriz A es invertible
-->rref(A)
0.
0.5
0.
163
ans =
1.
0.
0.
0.
1.
0.
0.
0.
1.
// Note que la matriz rref(A) es la matriz idéntica.
Propiedad 4
Si la matriz A nxn es invertible entonces el rango de A es n
Verificación
-->A=floor(6*rand(3,3))
A =
5. 4.
4. 4.
0. 3.
3.
3.
0.
-->InvA=inv(A), rango=rank(A)
InvA =
1.
0.
- 1.3333333
- 1.
1.110D-16
0.
0.3333333
1.6666667 - 0.4444444
rango =
3.
// Note que la matriz A de 3x3 es invertible y el rango de A es 3
Propiedad 5
Si A es una matriz invertible nxn entonces el sistema A*X=0, tiene única solución y la
solución es X=0.
Demostración
Si A es invertible, la matriz rref(A)=I, entonces los sistemas AX=0 y IX=0 tienen las
mismas soluciones, entonces X=0.
Propiedad 6
Si la matriz A es invertible nxn, el sistema A*X=b, tiene única solución y la solución es
X=inv(A)*b.
164
Demostración
Si A es una matriz invertible, existe la matriz inversa inv(A) y es única, multiplicando a
ambos lados de A*X=b, se tiene inv(A)(A*X)=inv(A)*b, asociando, (inv(A)*A)*X=inv(A)*b,
lo que implica que I*X=inv(A)*b, finalmente se obtiene, X=inv(A)*b
Ejemplo.
Resolver el sistema.
2x+4y+3z = 6
y - z = -4
3x+5y+7z = 7
Matricialmente,
Solución en la computadora
-->A=[2 4 3;0 1 -1;3 5 7], b=[ 6 -4 7]'
A =
2. 4. 3.
0. 1. - 1.
3. 5. 7.
b =
6.
- 4.
7.
-->X=inv(A)*b
X =
25.
- 8.
- 4.
Prueba
-->A*X
ans =
6.
- 4.
7.
Cálculo de la matriz inversa usando la matriz aumentada
Sea A una matriz nxn entonces para calcular la matriz inversa de A, si existe, usamos la
matriz aumentada [A I], donde A es la matriz de nxn y la matriz I es la matriz idéntica de
165
nxn, si se le aplica la operación rref([A I]) a la matriz aumentada y si la matriz A se
transforma en la matriz idéntica entonces la matriz A es invertible y la matriz inversa de A
es la matriz donde estaba inicialmente la matriz idéntica.
rref([A I])= [I inv(A)])
En caso que la matriz A no se transforme en la matriz idéntica, entonces se dice que la
matriz A no es invertible o que la matriz es singular.
Ejemplo
Dada la matriz
, verifique si la matriz A es invertible, en caso afirmativo
halle la matriz inversa.
Solución usando Scilab.
-->A=[1 4 0;3 2 2;2 0 1]
A =
1.
3.
2.
4.
2.
0.
0.
2.
1.
-->[A eye(3,3)] // Matriz aumentada
ans =
1.
3.
2.
4.
2.
0.
0.
2.
1.
1.
0.
0.
0.
1.
0.
0.
0.
1.
-->rref([A eye(3,3)]) // Se le aplica rref a la matriz aumentada
ans =
1.
0.
0.
0.
1.
0.
0. 0.3333333 - 0.6666667 1.3333333
0. 0.1666667 0.1666667 - 0.3333333
1. - 0.6666667 1.3333333 - 1.6666667
// Note que la matriz A se transformó en la matriz idéntica, por tanto la matriz A es
invertible y la matriz a la derecha de la idéntica es la matriz inversa y se denota;
B=
0.3333333
0.1666667
- 0.6666667
- 0.6666667
0.1666667
1.3333333
1.3333333
- 0.3333333
- 1.6666667
166
Ejercicio
a. Use (LP), para hallar la matriz inversa de la matriz A del ejemplo anterior.
b. Demuestre que la matriz
es singular usando la matriz aumentada
c. Verifique con Scilab que la matriz
es invertible y halle la matriz inversa
Matrices ortogonales
Una matriz cuadrada es ortogonal si y solo si su matriz inversa es igual a su traspuesta.
Sea A una matriz nxn no singular ,
Ejercicios
Demuestre que si A es una matriz ortogonal entonces
.
1. Sea x un número real, entonces demuestre y verifique que la matriz:
es ortogonal.
2. Escriba una matriz A idempotente 2x2 y una matriz ortogonal B 2x2 y verifique que
es idempotente.
3. Usando LP demostrar que si A es idempotente y B es ortogonal, entonces
idempotente.
Práctica en Scilab
Verifique que para cualquier x numero real la matriz
Q=
Es ortogonal.
Solución
-->x= rand(1); A=[cos(x) sin(x) 0;-sin(x) cos(x) 0;0 0 1], A*A'
A =
0.7315170 0.6818232 0.
- 0.6818232 0.7315170 0.
0.
0.
1.
es
167
ans =
1.
0.
0.
0.
1.
0.
0.
0.
1.
Propiedad de las matrices ortogonales
El producto de dos matrices ortogonales es ortogonal.
En efecto:
, propiedad transpuesta
, Asociatividad del espacio vectorial de las matrices
, B es una matriz ortogonal
, Propiedad de la matriz idéntica
, A es una matriz ortogonal
Analogamente es
Lo que demuestra que
Práctica en scilab
Verificando en Scilab con ejemplos.
-->x=%pi/4
x =
0.7853982
-->A=[cos(x) sin(x) 0;-sin(x) cos(x) 0;0 0 1]// genera una matriz ortogonal
A =
0.7071068 0.7071068 0.
- 0.7071068 0.7071068 0.
0.
0.
1.
-->x=%pi/6
x =
0.5235988
-->B=[cos(x) sin(x) 0;-sin(x) cos(x) 0;0 0 1]// genera otra matriz ortogonal
B =
0.8660254
- 0.5
0.
0.5
0.8660254
0.
0.
0.
1.
-->(A*B)*(A*B)' // verifica que el producto de dos matrices ortoganales es ortogonal.
168
ans =
1.
0.
0.
0.
1.
0.
0.
0.
1.
Matrices inversas y su rango
Teorema
La matriz A nxn es no singular si y solo el rango de A es n.
Verificar en la computadora
-->A=floor(6*rand(4,4))// Genera una matriz aleatoria de tamaño 4x4
A =
4. 3. 0. 1.
0. 5. 3. 3.
1. 4. 3. 1.
3. 5. 4. 1.
-->rref(A)// Calcula su matriz escalonada y reducida
ans =
1.
0.
0.
0.
0.
1.
0.
0.
0.
0.
1.
0.
0.
0.
0.
1.
// La matriz escalonada y reducida es la matriz idéntica, esto implica que la matriz es
invertible.
-->rank(A)// Calcular el rango de la matriz A
ans =
4.
Note que el rango es n=4 y la matriz A es de tamaño 4x4 esto verifica la propiedad
anterior.
Taller final
1. Resolver el sistema lineal,
x+ 2y -3z =3
2x-y+1z =4
1x-3y+5z=0
2. Resolver el sistema lineal,
169
3. Calcular la inversa de la matriz A, usando la computadora.
A=
4. Cuáles de las siguientes matrices son invertibles.
b)
c)
d)
5. Calcular el rango de la matriz A.
6. Dadas las matrices A=
y B=
entonces una de las siguientes
relaciones es falsa.
a.
b.
c.
d.
A*B=B*A
A*B=I, I es la matriz idéntica, 3x3
Inv(A)=B
Rango(A*B)=2
7. Una matriz A es involutiva si A^2=I entonces si la matriz A=
es involutiva se
tiene que (I-A)(I+A) es:
a.
b.
c.
d.
8. Teorema de Kronecker. Un sistema lineal AX=b donde A pertenece a R(n, m), X
pertenece R(m,1) y b pertenece a R(n,1) y C es la matriz ampliada C= [A b], tiene
solución o es compatible si el rank(A)=rank(C). Usando la proposición anterior con el
170
sistema AX=b, donde A=
y b=
. Una de las proposiciones siguientes, es
falsa.
a. El sistema tiene solución
b. El sistema no tiene solución.
9. Con las condiciones del teorema anterior (ejercicio-8) y si el rank(A)=rank(C)=m
entonces el sistema tiene única solución y si el rank(A)<rank(C) el sistema es
incompatible o inconsistente y si el rank(A)=rank(C)<m el sistema es compatible con
infinitas soluciones.
10. Usando estos conceptos teóricos sin resolver el sistema:
Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera:
a. El sistema AX=b tiene única solución
b. El sistema AX=b tiene infinitas soluciones
c. El sistema AX=b es inconsistente.
11. Dada la matriz A=
y la matriz idéntica I=
Una de las siguientes
afirmaciones es falsa.
a.
b. rref(A)=I
c. det(A)=6
d.
es simétrica
12. Sean A=
a.
b.
c.
d.
y
X=(0.1, 0.5, 0.7)
X=(-0.2, 0, 0.4)
X=(0.9, 0.5, 0.8)
X=(0.1, 0.5, 0.6)
, el valor de X, sabiendo A X=b es:
171
Capítulo 3. Determinantes
Objetivos
a. Calcular determinantes 2x2
b. Calcular la inversa de una matriz 2x2
c. Calcular el determinante de una matriz 3x3 con LP
d. Relacionar el determinante de una matriz con la matriz inversa
e. Usar Scilab para calcular detrminantes
f. Usar Scilab para verificar propiedades de los determinates
Contenido
a. Determinantes 2x2
b. Determinantes nxn
c. Propiedades del determinante con relación matriz inversa
d. Determinantes en scilab
e. Propiedad de linealidad de los determinantes
f. Otras propiedades de los determinantes
g. Teorema resumen.
Determinantes 2x2
Hay una forma sencilla para determinar si una matriz 2x2 es invertible, así como una
formula sencilla para hallar la matriz inversa, inv(A). Primero presentemos la fórmula. Sea
A=
y supongamos que el valor
, entonces
Esto se comprueba facilmente mediante la multiplicación de inv(A) con A. Por lo tanto A
es invertible cuando
es un número no nulo.
Ejemplo
Dada la matriz
, el determinante de A es:
entonces la matriz A es invertible y la matriz inversa es:
=
Prueba Scilab
-->A=[3 4;3 3]
A =
3. 4.
3. 3.
-->invA=[-1 4/3;1 -1]
,
172
invA =
- 1. 1.3333333
1. - 1.
-->A*inv(A)
ans =
1. 0.
0. 1.
De la misma forma se puede verificar que inv(A)*A=I, donde I es la matriz idéntica 2x2.
De este análisis resulta claro que el número
es una cantidad importante para
matrices de 2x2.
Definición 3.1
El determinante de la matriz A de 2x2 es
det(A)=
Ejemplo
det(A)= 5*2-3*2=4
Propiedades
El determinante de una matriz triangular es el producto de los elementos diagonales.
Los determinantes de una matriz y su transpuesta son iguales
det(A B)=det(A) det(B).
Ejercicio
Demustre con LP las propiedades de determinante para matrices 2x2 y verifique con
Scilab.
En scilab para calcular el determinante de una matriz A 2x2 y en general nxn, se usa el
comando - -> det(A).
Ejemplo
Genere una matriz aleatoria 2x2 y calcule el determinante con Scilab
-->A=floor(5*rand(2,2)), D=det(A)
A =
4. 2.
0. 3.
D =
12.
173
Ejercicio en la computadora
Verificar que si A y B son matrices cuadradas entonces:
a. det(A*B)=det(A)*det(B).
b. det(A)=det(A’).
Solución
// Primero generar dos matrices A y B aleatorias.
->A=floor(5*rand(2,2)), B=floor(5*rand(2,2))
A =
1. 1.
4. 1.
B =
1. 2.
1. 2.
// Verificando las propiedades
-->det(A*B)==det(A)*det(B)
ans =
T
-->det(A)==det(A')
ans =
T
Teorema 3.1
Una matriz de 2x2 es invertible si y solo si
.
Demostración
Si A es invertible, entonces A*inv(A)=I, por propiedad 3 de los determinantes,
det(A) det(inv(A))=det(A inv(A))=det(I)=1
Por lo tanto el det(A) es no nulo.
Reciprocamente si det(A) es no nulo significa que A es invertible (¿porqué?)
Taller No.1
1. Halle la inversa de A=
2. Halle la inversa de A=
usando el comando inv(A).
3. Halle la inversa de A=
usando la fórmula.
174
4. Sea A=
, pruebe que la matriz rref(A)=I, I es la matriz idéntica 2x2 si y solo si
det(A) es no nulo.
5. Demuestre que det(inv(A))=1/det(A). Verifique en Scilab
6. Use los comandos floor y rand para generar matrices 2x2 aleatorias enteras y verifique
si son invertibles usando el comando det(A).
Determinantes nxn
Definición 3.2
Un determinante de una matriz cuadrada A de nxn es un número real que
satisface estas tres propiedades:
a. Si
es triangular inferior, el determinante de A es el producto de
las entradas diagonales; esto es,
Det(A)=
b, det(A)=det(A’)
c. Si B es una matriz nxn. Entonces
det(A B)=det(A) det(B)
Teorema 3.1 Existe una función determinante única que satisface las tres propiedades
de la definición 3.2. La demostracion está fuera del alcance de éste módulo.
Fórmula inductiva para calcular determinantes
En esta sección presenteremos una fórmula inductiva para el cálculo del determinante;
es decir,suponemos que se conoce el determinante para matrices cuadradas (n-1)x(n-1)
y utilizamos esta fórmula para definir el determinante para matrices nxn. La fórmula es
inductiva y se denomina expansión por cofactores.
175
Sea A=(
una matriz de nxn. Se
la matriz de (n-1)x(n-1) obtenida al eliminar la i-
ésima y la j-ésima columna. Las matrices
cofactores de A.
reciben el nombre de matrices de
Inductivamente definimos el determinante de una matriz A de nxn por
(3.2)
Ejemplo.
Para n=3, usando la fila 1 se tiene,
Sea A=
una matriz A 3x3, entonces el determinante de A es:
Se puede verificar que la función
propiedades de la definición 3.2.
+
definida en la formula (3.2) satisface las tres
Observación
El determinante de una matriz A se puede calcular por cualquier fila o columna.
Ejemplo.
Sea A=
, el determinante de A por la columna 2 es:
Observación
 Para calcular un determinante 3x3 hay que calcular 3 determinantes 2x2
 Para calcular un determinante 4x4 hay hay que calcular 4 determinantes 3x3
 Generalizando para calcular un determinante nxn hay que calcular n
determinantes (n-1)x(n-1)
Propiedades del determinante en relación con la una matriz inversa
Propiedad 1
Sea A es una matriz de nxn invertible entonces
Demostración
Si A es una matriz de nxn invertible entonces A*inv(A)=I, I es la matriz idéntica, por
propiedad 3 de la función determinante, det(I)=det(A)*det(inv(A)) esto implica que
1=det(A)*det(inv(A)) entonces
Propiedad 2
176
A es una matriz invertible si y solo si
Propiedad 3
A es una matriz singular entonces
Práctica con lápiz y papel
Calcular el determinante de la matriz
y el determinante de la matriz
inversa de A.
Solucion
det(A)=2*(-1*-2-6*3)-1*(1*-2-5*3)+4*(1*6-5*-1)
ans =
29.
Si el determinante de A es 29 entonces el detrminante de la matriz inversa de A es
Ejercicios
1. Calcule el determinante de
2. Calcule det(A’), donde A es la matriz del ejercicio 1
3. Verifique que det(A)=det(A’)
4. Calcule el determinante de la matriz inversa de A del ejercicio 1
5. Usando la propiedad Si
es triangular inferior, el determinante de A es el
producto de las entradas diagonales; esto es,
Det(A)=
Calcular el determinante de:
6. Sea
, calcule el det(A), det(inv(A))
177
7. Sea
, calcular
,
8. Use la función determinante para demostrar que la matriz
es invertible.
9. Use la función determinante para demostrar que la matriz
no es invertible.
10. Use determinantes para demostrar que si la matriz A de nxn es invertible y la matriz B
de nxn es singular entonces AB es singular.
11. Sea
, calcule el det(A), det(inv(A)).
12. Sea
, calcule el det(A) y el rango de A.
13. Genere varias matrices ortogonales 3x3 con la fórmula
Q=
y halle su determinante.
14. Una matriz Q de nxn es ortogonal si Q*Q’=I, use el hecho de que
det(A*B)=det(A)*det(B), para demostrar que abs(det(Q))=1
Determinantes en Scilab
La función determinante se ha programado en scilab y es fácil de usar. Por ejemplo el
determinate de la matriz
->A=[2 1 4; 1 -1 3;5 6 -2]
A =
2. 1. 4.
1. - 1. 3.
5. 6. - 2.
178
-->det(A)
ans =
29.
Práctica en la computadora
Sea la matriz,
, use Scilab para verificar si la matriz A es invertible o la
matriz A es singular.
Solucion
-->A=[-2 1 3;1 -1 4; 5 6 -2],
A =
- 2. 1. 3.
1. - 1. 4.
5. 6. - 2.
-->det(A)
ans =
99.
-->//Note det(A) es diferente de cero
-->// Esto implica que la matri A es invertible
-->//Calculando la matriz inversa
-->InvA=inv(A)
InvA =
- 0.2222222 0.2020202
0.2222222 - 0.1111111
0.1111111 0.1717172
0.0707071
0.1111111
0.0101010
Propiedad de linealidad de los determinantes
a.
b.
Verificacion en Scilab con matrices aleatorias.
a.
-->a=rand(1);b=rand(1);c=rand(1);d=rand(1);e=rand(1);f=rand(1);
179
-->A=[a+b e;c+d f], B=[a e; c f], C=[b e; d f]
A =
1.1592442 0.1751204
1.434804 0.2554535
B =
0.7760249 0.1751204
0.5034950 0.2554535
C =
0.3832193 0.1751204
0.9313090 0.2554535
-->det(A), det(B)+det(C)
ans =
0.0448696
ans =
0.0448696
// Note los dos últimos valores iguales, verifican linealidad de determinantes 2x2. Se
puede vericar igualmente para nxn
Verificación propiedad 2 de linealidad
Solución
-->a=rand(1);b=rand(1);c=rand(1);d=rand(1);
-->k=rand(1); // La constante
-->A=[k*a c;k*b d], B=[a c; b d]
A =
0.1381904 0.5116910
0.1049162 0.4031415
B =
0.1670194 0.5116910
0.1268036 0.4031415
-->det(A), k*det(B)
ans =
0.0020256
ans =
0.0020256
// Note los dos valores finales iguales, verifica la segunda propiedad de linealidad de los
determinantes.
Otras propiedades de los determinantes
Sea A una matriz de nxn
180
a.
b.
c.
d.
e.
f.
El determinate de la matriz cero es cero.
El determinate de la matriz idéntica I, es uno.
Si A es una matriz nxn entonces el
.
Si A es una matriz nxn entonces el
.
Si la matriz A tiene dos o mas filas (columnas) repetidas el determinante es cero.
Si la matriz A tiene dos filas (columnas) una múltiplo de otra, el determinate es
cero.
g. Si el det(A) es no nulo entonces el rango de A es n.
h. Si el det(A) es cero entonces el rango de A es menor que n.
i. Si el det(A) es no nulo la matriz escalonada y reducida de A, rref(A)= I, I es la
matriz idéntica nxn.
j. El det(A)=det(A’)
Práctica en la computadora
Veriificar las diez propiedades anteriores.
Solución. Propiedad a
->// Matriz cero
-->cero=zeros(4,4), det(A)
cero =
0. 0. 0. 0.
0. 0. 0. 0.
0. 0. 0. 0.
0. 0. 0. 0.
ans =
0
Soución. Propiedad b
-->//2. El determinate de la matriz identica I, es uno
-->I=eye(4,4), det(I)
I =
1. 0.
0. 1.
0. 0.
0. 0.
ans =
1.
0.
0.
1.
0.
0.
0.
0.
1.
181
Solución. Propiedad c
-->A=floor(5*rand(4,4)), c=floor(5*rand(1))
A =
4. 2. 1. 3.
0. 1. 0. 4.
2. 0. 3. 2.
1. 3. 0. 2.
c =
4.
-->det(c*A)==c^4*det(A)
ans =
T
Solución. Propiedad d
-->n=floor(10*(rand(1))), A=floor(10*rand(4,4)),
n =
4.
A =
3. 6. 0. 4.
0. 1. 8. 7.
5. 0. 0. 9.
8. 8. 1. 2.
-->det(A^n
),det(A)^n
ans =
5.678D+13
ans =
5.678D+13
Solución. Propiedad e
Si la matriz A tiene dos mas filas (columnas) repetidas el determinante es cero.
--> A=floor(10*rand(4,4)),// Matria aleatoria
A =
0. 6. 7. 2.
8. 2. 1. 9.
1. 5. 7. 8.
182
9. 8. 3. 2.
// Cambiamos la fila 1 de la matriz A por fila 2, para obtener dos filas repetidas
-->A(1,:)=A(2,:)
A =
8. 2. 1. 9.
8. 2. 1. 9.
1. 5. 7. 8.
9. 8. 3. 2.
// Calculamos el determinante de A
-->det(A)
ans =
0.
Solución. Propiedad f
Si la matriz A tiene dos filas (columnas) una multiplo de otra, el determinante es cero.
--> A=floor(10*rand(4,4)),
A =
3.
5.
2.
1.
0.
4.
0.
1.
2.
3.
2.
3.
2.
2.
5.
2.
-->c=floor(5*rand(1)), A(1,:)=c*A(3,:)
c =
3.
A =
6. 0.
5. 4.
2. 0.
1. 1.
-->det(A)
ans =
0.
6.
3.
2.
3.
15.
2.
5.
2.
Solución. Propiedad g
Si el det(A) es no nulo entonces el rango de A es n
--> n= floor(5*rand(1)), A=floor(10*rand(n,n)),D=det(A), rango=rank(A), n
n =
4.
183
A =
8. 1.
4. 5.
7. 4.
1. 6.
D =
- 1287.
rango =
4.
n =
4.
9.
0.
4.
9.
0.
9.
9.
9.
Solución. Propiedad h
Si el det(A) es cero entonces el rango de A es menor que n
n= floor(6*rand(1)), A=floor(10*rand(n,n));
det(A);
while det(A)<>0
A=floor(10*rand(n,n));
end
n,A, D=det(A),rango=rank(A), rank(A)<n
Ejecutando el programa con ctrl,
n =
3.
A =
1. 9.
1. 9.
7. 7.
D =
9.
9.
5.
0.
rango =
2.
ans =
T
// Note el rango de A es 2 y el det(A) es cero.
184
Solución. Propiedad i
Si el det(A) es no nulo la matriz escalonada y reducida de A, rref(A)= I, I es la matriz
idética nxn.
-->n= floor(6*rand(1)), A=floor(10*rand(n,n)), D=det(A), R=rref(A),
n =
5.
A =
6. 7. 4. 1. 2.
6. 7. 1. 2. 2.
1. 3. 1. 8. 6.
4. 0. 0. 2. 1.
0. 9. 3. 4. 0.
D =
- 3162.
// Note el determinante de A, D=-3162 es no nulo.
R =
1.
0.
0.
0.
0.
0.
1.
0.
0.
0.
0.
0.
1.
0.
0.
0.
0.
0.
1.
0.
0.
0.
0.
0.
1.
// Note R la matriz rref(A) es la matriz identica.
Taller final
1. Dada la matriz siguiente, calcular el determinante
A =
1. 2. 0. 1.
0. 2. 1. 0.
- 2. - 3. 3. - 1.
1. 0. 5. 2.
2. Sea A la matriz del ejercio 1, calcule det(inv(A))
3.Cambie la fila 2 de la matriz A por tres veces la fila 4 de la matriz A y calcule el
determinante de la matriz A resultante
4.Verifique que det(A)=det(A’)
5. Verifique det(A^3)= (det(A))^3
6. Verifique det(3*A)=(3^4)*det(A)
185
7. Diga Verdadero o falso: Para todas las matrices A y B de nxn se cumple que
det(A+B)=det(A)+det(B)
8. Dada la matriz
B =
3. 3.
1. 0.
4. 0.
2. 4.
3.
4.
0.
3.
3.
2.
1.
2.
Verifique: det(A*B)=det(A)*det(B), donde A es la matriz del ejercicio 1
9. Genere una matriz aletoria A 4x4 con elementos enteros y verifique det(A)=det(A’)
10. Genere dos matrices aletorias A y B de 4x4 con elementos enteros y verifique
det(A*B)=det(A)det(B)
11. Genere matrices aleatorias triangulares inferiores y verifique que el determinate es
el producto de los elementos de la diagonal principal.
Teorema resumen
Sea A una matriz nxn entonces todas las siguientes proposiciones son equivalentes.
1. A es una matriz invertible
2. rango(A) =n
3. det(A)
4. La matriz rref(A)=I, I es la matriz idéntica
5. El sistema de ecuaciones lineales homogéneo AX=0, tiene única solución, X=0
6. El sistema de ecuaciones lineales A*X=Y, tiene única solución, X=inv(A)*Y
Las negaciones tambien son equivalentes
1. A es una matriz singular
2. rango(A)<n
3. det(A)=0
4. La matriz rref(A) I, I es la matriz idéntica
5. El sistema de ecuaciones lineales AX=0, tiene infinitas soluciones
6. El sistema de ecuaciones lineales A*X=Y, tiene infinitas soluciones o es
inconsistente.
186
187
Anexo D. Evaluaciones
Universidad de Caldas
Examen Álgebra lineal
Prueba No.1
Usando La computadora
Estudiante._____________________________________________
código______________________
Carrera_____________________
Nota_______________________
Manizales Mayo 25 2012
Cuestionario
1. Hallar una solución del sistema
2. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera sobre el sistema dado?
a. Tiene única solución x=1,y=1, z=1
b. Es inconsistente
c. Tiene infinitas soluciones
3. Resolver el del sistema AX=b, donde A y b es respectivamente son;
A =
0. 2. - 1. - 4.
1. - 1. 5. 2.
3. 3. - 7. - 1.
- 1. - 2. 3. 0.
b=[2 -4 4 -7]'.
4. Sean
y B=
, hallar La matriz solución X de la ecuación,
3(2A+B+X)=5(X-A+B).
b)
c)
d)
188
5. Dado el sistema lineal
Hallar todas las soluciones del sistema.
6. Encuentre una matriz A de 2x2 tal que A*B=I, B=
7. La inversa de la matriz A=
b)
, I es la matriz idéntica.
es:
c)
d)
8. Cuál de la siguientes matrices no es invertible
b)
c)
d)
9. El rango de la matriz
a.
b.
c.
d.
es :
0
1
2
3
10. Dadas las matrices A=
y B=
entonces una de las
siguientes relaciones es falsa.
a. A*B=B*A
b. A*B=I, I es la matriz idéntica, 3x3
c. inv(A)=B
d. Rango(A*B)=2
11. Una matriz A es involutiva si A^2=I. Pruebe que la matriz A=
y al operar (I-A) (I+A) se obtiene:
es involutiva
189
12. Dada la matriz A=
y la matriz idéntica I=
Una de las
siguientes afirmaciones es falsa
a. El rango de A es menor o igual a 3
b. La matriz rref(A)=I.
c. El det(A)=6
d. A*A’ es simétrica
13. Sean A=
b.
c.
d.
e.
y
, el valor de X, sabiendo A*X=b es:
X=(0.1, 0.5, 0.7)
X=(-0.2, 0, 0.4)
X=(0.9, 0.5, 0.8)
X=(0.1, 0.5, 0.6)
14. Un sistema lineal AX=b donde A pertenece a R(n, m), X pertenece R(m,1) y b
pertenece a R(n,1) y C es la matriz ampliada C= [A b] , tiene solución si el
rank(A)=rank(C).
Usando la proposición anterior con el sistema AX=b, donde A=
y b=
. Una de las proposiciones siguientes es falsa.
b. El sistema tiene solución.
c. El sistema no tiene solución.
15. Con las condiciones del problema 14 y si el rank(A)=rank(C)=n entonces el sistema
tiene única solución y si el rank(A)<rank(C) el sistema es incompatible o inconsistente
y si el rank(A)=rank(C)<n el sistema es compatible con infinitas soluciones. Sin
resolver el sistema:
190
a. El sistema AX=b tiene única solución
b. El sistema AX=b tiene infinitas soluciones
c. El sistema AX=b es inconsistente.
16. Si la matrices A y b son respectivamente,
-->A
A =
6. - 3.
6. - 9.
0. 6.
6. - 3.
4.
4.
0.
4.
-->b
b =
1.
0.
1.
1.
a. Entonces el sistema AX=b, tiene: El sistema AX=b tiene única solución
b. El sistema AX=b tiene infinitas soluciones
c. El sistema AX=b es inconsistente.
17. Dada la matriz A de R(n,m), y X de R(m,1), el sistema homogéneos, AX=0 tienen dos
posibilidades: única solución o infinitas. Si rank(A)=r=m, existe solución única X=0 y si
el rank(A)=r<m el sistema tiene infinitas soluciones. Sea el sistema cuya matriz A es:
A=
4. 2. 2.
2. 6. 3.
5. 7. 8.
5. 0. 5.
1. 6. 4.
entonces el sistema de ecuaciones lineales AX=0 tiene,
a. Única solución
b. Infinitas soluciones.
18. Dado el sistema lineal AX=b, donde la matriz A es:
A =
1. 1. 1. 1. 1.
3. 2. 1. 1. - 3.
0. 1. 2. 2. 6.
5. 4. 3. 3. - 1.
191
y el vector es b=[7 -2 23 12]'
Entonces el sistema tiene:
a. Única solución
b. Infinitas soluciones
c. Es inconsistente
19. Hallar una matriz C 3x3 tal que C*A=B, donde A=
20. Para que valores de k tendrá infinitas soluciones el sistema?
c.
d.
e.
f.
2
3
4
0
, B=
192
Universidad de Caldas
Examen Álgebra lineal
Prueba No.2
Usando el lápiz y el papel
Estudiante._____________________________________________
código______________________
Carrera_____________________
Nota_______________________
Manizales Mayo 18-2012
1. Representar el sistema matricialmente y hallar una solución del sistema.
2. Dado el sistema lineal, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?
a. Tiene única solución x=1,y=1, z=1
b. Es inconsistente
c. Tiene infinitas soluciones.
3. Resolver el sistema lineal
4. Dados
y B=
, hallar
b)
c)
d)
5. Resolver el siguiente sistema lineal :
.
6.
Encuentre una matriz A de 2x2 tal que A*B=I, B=
, I es la matriz idéntica.
193
7. La inversa de la matriz A=
es:
b)
c)
d)
8. El rango de la matriz
a.
b.
c.
d.
es :
0
1
2
3
9. Dadas las matrices A=
y B=
entonces una de las siguientes
relaciones es falsa.
a. 2*A-B=
1. 0. - 6.
0. 1. 9.
6. 0. 1.
b. A es una matriz invertible
c. El rango de la matriz (A+B) es 3
d. A*B=B*A
10. Si la matriz A=
a.
entonces
,
,
, donde I es la matriz idéntica es:
,
194
11. Dada la matriz A=
y la matriz idéntica I=
, una de las siguientes
afirmaciones es verdadera.
a.
b.
c.
d.
El
rref(A) , I es la matriz idéntica.
A+A’
El sistema AX=0, tiene única solución.
12. Sean A=
a.
b.
c.
d.
y
, el valor de X, sabiendo A*X=b es:
X=(0.1, 0.5, 0.7)’
X=(0.9, 0.5, 0.8)’
X=(0.1, 0.5, 0.6)’
X=(-0.2, 0, 0.4)’
13. Un sistema lineal AX=b donde A pertenece a R(n, m), X pertenece R(m,1) y b
pertenece a R(n,1) y C es la matriz ampliada C= [A b] , tiene solución o es
compatible si el rank(A)=rank(C). Usando la proposición anterior con el sistema
AX=b, donde A=
y b=
. Una de las proposiciones siguientes es falsa.
a. El sistema no tiene solución.
b. El sistema tiene solución.
14. Con las condiciones del problema 12 y si el rank(A)=rank(C)=m entonces el sistema
tiene única solución y si el rank(A)<rank(C) el sistema es incompatible o inconsistente
y si el rank(A)=rank(C)<m el sistema es compatible con infinitas soluciones. Usando
estos conceptos teóricos sin resolver el sistema:
Se tiene:
a. El sistema AX=b tiene única solución
b. El sistema AX=b tiene infinitas soluciones
c. El sistema AX=b es inconsistente.
195
15. Si la matrices A y b son respectivamente,
-->A
A =
1. - 3. 3.
6. - 9. 4.
0. 6. 0.
-->b
b =
1.
0.
1.
a. El sistema AX=b tiene única solución
b. El sistema AX=b tiene infinitas soluciones
c. El sistema AX=b es inconsistente.
16. Dada la matriz A de R(n,m), y X de R(m,1), el sistema homogéneo AX=0 tienen dos
posibilidades: única solución o infinitas. Si rank(A)=r=m, existe solución única X=0 y
si el rank(A)=r<m el sistema tiene infinitas soluciones.
Dado el sistema AX=0, cuya matriz A es:
A=
4.
2.
2.
6.
2.
3.
Entonces el sistema AX=0 tiene
a. Única solución
b. Infinitas soluciones.
17. Hallar una matriz C 3x3 tal que C*A=B, donde A=
y B=
18. ¿Para qué valores de k tendrá infinitas soluciones el sistema siguiente?
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4 e) 0.