Lugares geométricos

Lugares geométricos
Se llama lugar geométrico del plano al conjunto de puntos que cumplen una misma condición.
El punto medio M(x, y) de un segmento AB, es aquel punto que se halla a la misma distancia de
los extremos de dicho segmento. Si los extremos del segmento son A(x1, y1) y B(x2, y2), se
calcula así:
Ejercicio 1
La mediatriz de un segmento AB, de extremos A(x1, y1) y B(x2, y2), es la recta que contiene los
puntos que equidistan de los extremos de dicho segmento. Es una recta perpendicular al
segmento AB y que pasa por el punto medio de dicho segmento. (Ver la línea vertical en el
dibujo de aquí abajo).
Ejercicio 2
La bisectriz de un ángulo formado por dos rectas es aquella recta formada por los puntos que
equidistan de las dos rectas. (Ver línea central en el dibujo de aquí abajo). Todo ángulo
formado por dos rectas tiene dos bisectrices perpendiculares entre sí.
Ejercicio 3
Circunferencia es el lugar geométrico de los puntos equidistante de un punto fijo llamado
centro, C. La distancia al centro de cualquiera de los puntos de una circunferencia recibe el
nombre de radio, r.
Si conocemos las coordenadas del centro C(a, b) y el radio de la circunferencia r, su ecuación
será:
(x-a)2 + (y-b)2= r2
(Ecuación 1)
1
Ejercicio 4a
Si desarrollamos la ecuación obtenemos la forma implícita de la circunferencia:
Ax2 + Ay2 + Bx + Cy+ D= 0
Si dividimos los dos primeros términos para que su coeficiente sea 1 la ecuación resultante es:
x2 + y2 + Mx + Ny+ S= 0
De aquí se puede deducir comparándola con la ecuación 1 de la hoja anterior, que el centro
C(a,b) es entonces a=-M/2 y b=-N/2 y el radio es:
NOTA: Observa que la forma implícita no tiene término en xy y que tiene que cumplirse que el
valor del radicando de r en la fórmula anterior tiene que ser positivo para que tenga solución.
Ejercicio 4b
Posiciones relativas de una recta y la circunferencia
Una circunferencia x2 + y2 +Mx +Ny+ S= 0 y una recta Ax+By+C=0 pueden ser :
-
Exteriores (no se tocan).
Secantes (se cortan en dos puntos).
Tangentes (se cortan en un solo punto).
Para deducir la posición analíticamente podemos hacer:
1) Comparar la distancia desde el centro a la recta, d, con el radio de la circunferencia, r y
entonces si:
a. d > r son exteriores.
b. d= r son tangentes.
c. d < r son secantes.
2) Resolver el sistema formado por las ecuaciones de la circunferencia y la recta y
entonces si:
a. Si no tiene solución son exteriores.
b. Si tiene una sola solución son tangentes.
c. Si tiene dos soluciones son secantes.
Ejercicio 5
Recta tangente a una circunferencia
Se puede deducir fácilmente la ecuación de la recta tangente a una circunferencia en un punto
de la misma (x1, y1) sabiendo que la recta tangente buscada es perpendicular al radio que pasa
por el punto de tangencia dado.
Ejercicio 6
2
Ejercicios
1. Hallar el punto medio, M (x,y), del segmento de extremos A(-3,4) y B(1,0)
2. Hallar la ecuación de la mediatriz del segmento de extremos A(-3,4) y B(1,0).
3. Hallar la ecuación de la bisectriz del ángulo formado por las rectas:
r= 4x+3y -5= 0 y s= 3x+4y-2=0
4. a. Hallar la ecuación de la circunferencia de centro O(1,3) y tiene de radio 2.
4. b. ¿Corresponde a una circunferencia la ecuación: x2 +y2 – 4x – 2y -4=0?
5. Hallar la posición relativa de la recta s=x – y + 2= 0 y la circunferencia x2 + y2 -2x -2y = 0
6. Hallar la ecuación general y paramétrica de la recta tangente a la circunferencia:
x2+ y2 -4x -2y +3 =0 en el punto A(3,2).
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