Capítulo 1

Programa de Doctorado en Ingeniería Aeronáutica – Capítulo I. Fundamentos de Elasticidad
Tensores
Es aquella cantidad física que después de una transformación de coordenadas (que
obedezca ciertas reglas), se comporta de tal manera que las leyes que lo relacionan con otra
cantidad similar, se conservan.
x3
A3
3
ê3
1
2
A2
ê2
x2
ê1
A1
x1

Sea A un vector con 3 componentes, es decir

A  ( A1 , A2 , A3 )  A1eˆ1  A2 eˆ2  A3 eˆ3

A  Ai
i  1,2,3 índice libre.
notación normal cartesiana
notación indicial
por ejemplo los cosenos directores se pueden escribir en la forma:
cos( i )
i  1,2,3
es decir, cos 1 , cos  2 y cos  3 se denotará solamente por: cos  i  li 
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Ai
A
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
donde el módulo del vector es A  A12  A22  A32

*A
j índice repetido 
Ai  Ai
SUMA
A
li  i 
A
NOTA:
Ai
Aj  Aj
Cada vez que haya un índice repetido significa que se debe sumar, y no se
debe repetir el mismo índice más de 2 veces Por lo tanto los cosenos
directores se pueden escribir como
Producto Escalar:
 
A  B  A1 B1  A2 B2  A3 B3
 
A  B  Ai Bi
i  1,2,3 notación indicial
Producto vectoria
  
C  A  B  ( A2 B3  A3 B2 )eˆ1  ( A3 B1  A1 B3 )eˆ2  ( A1 B2  A2 B1 )eˆ3
que se obtiene de
 eˆ1
A  B  det  A1
 B1
eˆ2
A2
B2
eˆ3 
A3 
B3 
en notación indicial el producto vectorial tiene la siguiente expresión
 
A  B   ijk Ai B j eˆk
donde:
 ijk
 1 Rotación es cíclica

  1 Rotación es anticíclic a
 0 Índices repetidos

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ejemplo:
 123  1
 321  1
 122  0
 231  1
Consideremos el término
 ij1 Ai Bjê1
Como  ij1  0 si hay 2 índices repetidos, solo se tienen valores no nulos si los índices i, j
toman los valores 2 y 3.
Por lo tanto
 ij1 Ai Bjeˆ1   231A2 B3eˆ1   321A3 B2 eˆ1
pero
 231  1 y  321  1 por lo
tanto
 ij1 Ai Bjeˆ1  ( A2 B3  A3 B2 )eˆ1 . Análogamente se obtiene:
 ij2 Ai Bjeˆ2  ( A3 B1  A1 B3 )eˆ2
 ij3 Ai Bjeˆ3  ( A2 B1  A1 B2 )eˆ3
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Transformación de coordenadas
x3
y3
iˆ3
y2
ê1
ê2
x2
iˆ2
iˆ1
ê3
x1
y1
eˆi  aij iˆj
, iˆk  bki eˆi
reemplazando iˆk  bki aij iˆj
1 si i  j
 bki aij   ij  
0 si i  j
Las matrices que representan a los coeficientes aij
y bki son inversas
Propiedades de los Tensores
1.- Cuando en una expresión aparezca un índice repetido se entenderá que corresponde a
una suma en todo el rango del índice.
Ejemplo

B   i eˆi
i  1,2,3
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
B  1eˆ1   2 eˆ2   3 eˆ3
2.- Los índices repetidos de un miembro se llaman índices mudos y no deben repetirse más
de una vez.
Ejemplo
ek   ijk Aij
i y j son índices mudos
3.- Un índice que no se repite, toma en forma separada los valores de su rango
Ejemplo  l  ali xi
l  1,2,3
Es equivalente a 1  a1i xi
,  2  a2i xi
,  3  a3i xi
4.- El número de índices libres en miembro izquierdo y derecho deben ser los mismos en
una identidad tensorial.
Ejemplo
bjk  a jkl eˆl
j y k son índices libres
5.- Un tensor es simétrico si satisface Tij  Tji y es antisimétrico si Tij  Tji
6.- Todo tensor es la suma de uno simétrico más uno antisimétrico
En efecto
Tij  S ij  Aij donde S ij  (Tij  Tji ) / 2
S ij  S ji
y
Aij  (Tij  Tji ) / 2
ya que S ji  (Tji  Tij) / 2  S ij
Aij   Aji ya que Aji  (Tji  Tij) / 2  (Tij  Tji ) / 2   Aij
7.- Cualquier tensor simétrico de orden 2 puede ser escrito en la forma
T11 T12 T13 
T  Tij  T21 T22 T23 
T31 T32 T33 
 
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8. Diagonalización de una matriz
Significa encontrar aquel sistema de coordenadas en que los componentes de índices mixtos
son nulos.
Los valores de la diagonal reciben el nombre de valores principales.
0
T11 0

(Tij)   0 T22
0 
 0
0 T33 
Invariantes de un tensor
Un invariante es un valor independiente del sistema de coordenadas usadas, es
decir, un escalar (tensor de orden cero).
Primer invariante:
I1  Tii
i  1,2,3 y se denomina traza del tensor
Corresponde a la suma de los elementos que forman la diagonal
principal.
Segundo invariante:
I2 
Tii Tjj  TijTij
desarrollando los términos involucrados se obtiene
2
I 2  T11T22  T11T33  T22T33  (T21  T31  T32 )
2
Tercer invariante:
I3 
2
2
1
(Tii T jj Tll  3Tii T jl T jl  2Tij T jl Tli )
6
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Notación de Derivadas tensoriales
Tij
 Tij,k
xk
,
 2Tij
 Tij,kl
xk xl
Que corresponden respectivamente a las derivadas de la componente ij del tensor T
en la dirección k y la segunda derivada de la componente ij del tensor T en las direcciones
lyk
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