problemas resueltos tendencia central

Notación de sumatoria
3.1
Escriba los t é r m i n o s explícitos de cada una de las siguientes sumas indicadas:
a)
b)
¿ A }
j=\
¿ ( F
c)
2
- 3 )
y
¿ >
./=i
d)
¿
7=1
/
^
2
3
4
5
2
6
2
2
«
(K, - 3) + (K, - 3 ) + (K - 3) + ( l i - 3)
c)
a + a + a + - - + a = /Va
2
3
<0 / • * . + / A
e)
ÍT(Xj-a)
j=\
k=\
SOLUCIÓN
a) X , + X + X + X + X + X
3.2
e)
+/3X3
+/4X + / X
4
5
5
(X, - a) + (X - a) + (X - a) = X, + X + X - 3a
2
3
2
3
Exprese en notación de sumatoria cada uno de los siguientes términos:
2
a)
X\ + X\ + XI. + • • • + X
b)
(x + y ) + (x + y ) + --- + ( x + y )
1
1
2
c) f X\ +f X¡
x
2
+ •••
2
W
8
8
+f X¡
20
0
d) a b + a 0 + a » + • • • + a b
í
e)
2
l
2
3
3
N
/,x y +/ x y +/ x y +/ x y
1
1
2
2
2
3
3
3
4
4
N
4
SOLUCIÓN
10
¡=\
b)
¿(A} + r )
20
4
1=1
7=1
d) f > , ¿ ,
y
7=1
3.3
Pruebe que Z £ , ( o X , + 0^ - cZ,) =
son cualesquiera constantes.
aZjy X +
F) -
;
c X " , Z;, donde a, ¿ y e
SOLUCIÓN
N
] T (aXj +bYj - cZ ) = (aX, + bY - eZ,) + (aX + ¿ > r - c Z ) + • • • + (oX , + bY
y
t
2
2
2
A
= (aX, + aX + • • • + aX ) + ( ¿ y , + bY 4- • • • + bY )
2
N
2
N
N
2
N
x
N
b
Y
c
7=1
; V
z
=°¿2 J+ ¿2 >- ¿2 i
7=1
2
N
i=\
o, más breve, X(aX + ¿ y - cZ) = « X x +
bZY-cZz.
cZ )
N
- (cZ, + cZ + • • • +
= a ( x , + x + • • • + x ) + b{ y, + y + • • • + y ) - c ( z , + z
•N
-
2
2
+ •••+
z)
N
3.4
Dos variables, Xy Y, toman los valores X , -2,X -
- 5 , X = 4,X =
2
1
A
Y - - 8, F = 10, Y - 6, respectivamente. Calcule a) X * . b)'_Y.
2
3
2
e) XY ,/)
2
(Zxy&Y),
g) XXY
h) X ( X + Y)(x-
y
_ 11
4
.
_
Y).
SOLUCIÓN
Obsérvese que en cada caso el subíndice j de X y Y ha sido omitido y que X es entendida
como X)=i- Así, por ejemplo, XX es la abreviatura de XjLi X,.
a)
X x = (2) + ( - 5 ) + (4) + ( - 8 ) = 2 - 5 + 4 - 8 = - 7
¿>)
X 3 = ( - 3 ) + ( - 8 ) + (10) + (6) = - 3 - 8 + 1 0 + 6 = 5
c)
Xxy = ( 2 ) ( - 3 ) + ( - 5 ) ( - 8 ) + (4)(10).+ .(-8)(6) = - 6 + 40 + 40 - 4 8 = 26
d)
XX
/
2
2
2
2
2
= (2) + ( - 5 ) + (4) + ( - 8 ) = 4 + 25 + 16 + 64 = 109
e) X ^ = ( - 3 ) + ( - 8 ) + (10) + (6) = 9 + 64 + 100 + 36 = 209
2
2
2
2
f)
( X X ) ( X Y) = ( - 7 ) ( 5 ) = - 35, utilizando los incisos d)yb). Véase que (£X) ( X Y) * XXK
g)
Xxy
h)
2
2
2
2
2
= ( 2 ) ( - 3 ) + ( - 5 ) ( - 8 ) + (4)(10) + ( - 8 ) ( 6 ) = - 1 9 0
2
2
2
2
X ( X + Y)(X - Y) = X ( X - y ) = XX - X y = 109 - 209 = - 1 0 0 , usando los incisos
d)ye).
2
3.5
Si X % , X,. = - 4 y £ « . , X = 10, calcule a) £ j L i (2X, + 3), o )
c) X 5
W
- 1) y
2
= 1
(X -5) .
y
SOLUCIÓN
a)
¿(2X
+ 3) = ¿
y
7=1
*)
£(*}
-
X,. + (6)(3) = 2 ( - 4 ) + 18 = 10
;=1
= £ * ? - £ * ; = 10 - ( - 4 ) = 14
f \
j=\
i=\
6
)
3 = 2¿
7=1
- !) = £ W /
>=\
C
2X¡ + ¿
7=1
6
-
7=1
5
)
2=
6
£(*/
-
J+ )
IOX
25
= £
X
6
J -
1
0
y=l
7=1
£
25
6
+ ()
=
1 0
-
10
4
25
6
(- )+ ( )
=
2
0
0
7=1
Si así se desea, se puede omitir el subíndice j y utilizar X en lugar de X;=i, siempre y
cuando se comprendan bien estas abreviaturas.
La media aritmética
3.6
Las calificaciones de un estudiante en seis e x á m e n e s fueron: 84, 9 1 , 72, 68, 87 y
78. Encuentre la media aritmética.
SOLUCIÓN
x
¿2*
- i r -
84 + 91 + 7 2 + 68 + 87 + 78
6
480
=-6"
o
=
8
n
°
Con frecuencia el término promedio se utiliza como sinónimo de media aritméaca.
Sin embargo, estrictamente hablando, esto es incorrecto, dado que existen otros p w f
dios además de la media aritmética.
3.7
U n científico registró diez mediciones del d i á m e t r o de un cilindro: 3.88. 4 J R .
3.92, 3.97, 4.02, 3.95, 4.03, 3.92, 3.98 y 4.06 c e n t í m e t r o s [cm). D I I I I M T
media aritmética.
m
CAPÍTULO 3
•
Media,
mediana,
moda y otras medidas de tendencia
central
SOLUCION
é
X
yx
= ^
3.88 + 4.09 + 3.92 + 3.97 + 4.02 + 3.95 + 4.03 + 3.92 + 3.98 + 4.06
39.82
„ „„
=
IÖ
= _ = . 9 8 c m
:
3
3.8
E l siguiente resultado con M i n i t a b muestra el tiempo por semana que pasaron en
línea 30 usuarios de Internet, y t a m b i é n la media de los 30 tiempos. ¿Diría usted
que este promedio es típico de los 30 tiempos?
MTB > p r i n t
el
Data Display
t ime
3 4
6 6
9 10
4
6
10
5
7
10
5 5 5 5 5 6
7 7 7 7 8 8
10 10 10 12 55 60
MTB > mean e l
Column Mean
Mean of t i m e = 10.400
SOLUCION
La media de 10.4 horas no es típica o representativa de los tiempos. Obsérvese que 21 de
los 30 tiempos son de un solo dígito, pero la media es de 10.4 horas. Una gran desventaja
de la media es que se ve fuertemente afectada por valores extremos.
3.9
Encuentre la media aritmética de los n ú m e r o s 5, 3,6, 5,4, 5, 2, 8 , 6 , 5 , 4 , 8 , 3 , 4 , 5 ,
4, 8,2, 5 y 4.
SOLUCIÓN
Primer método
i
, _ E X _ 5 + 3+ 6+ 5+ 4 + 5+ 2+ 8+ 6+ 5+ 4+ 8+ 3+ 4 + 5+ 4+ 8+ 2+ 5+4
~ ~ Ñ ~ ~
96
_
20
2 0 "
a
q
4
8
Segundo método
Hay seis 5, dos 3, dos 6, cinco 4, dos 2 y tres 8. Por lo tanto,
v _
=
\Zf
3.10
\ZfX
=
(6)(S) + (2)(3) + (2)(6) + (5)(4) + (2)(2) + (3)(8) ^ 96
N
6+ 2+ 2+ 5+ 2+ 3
2 0 '
De un total de 100 n ú m e r o s , 20 eran cuatros, 40 eran cincos, 30 eran seises, y los
restantes eran sietes. Obtenga la media aritmética de los n ú m e r o s .
SOLUCIÓN
y
'S
Y.PC _ Y.fX
"£/
3.11
N
=
(20)(4) + (40)(5) + (30)(6) + (10)(7) _ 530 _
100
^
~ 100
Las calificaciones finales de un estudiante en m a t e m á t i c a s , física, inglés e higiene
son, en ese orden, 82, 86, 90 y 70. Si los créditos respectivos recibidos por estos
cursos son 3, 5, 3 y 1, determine un promedio de calificaciones apropiado.
Problemas!
i IÉ
•
67
SOLUCION
Se utiliza una media aritmética ponderada, con pesos asociados a<
derada, como el número de créditos recibidos. Así, pues,
- ••' ZwX
5 >
3.12
_ (3)(82) + (5)(86) + (3)(90) + (l)(70) _
3+ 5+ 3+ 1
Una empresa tiene 80empleados, 60 ganan $10.00 por hora y 20, $13.00 por h a n .
a)
Determine la ganancia media por hora.
b)
¿Sería igual la respuesta en a) si los 60 empleados tuvieron un salario medio
de $10.00 por hora? Compruebe su respuesta.
c)
¿ C o n s i d e r a que el salario medio por hora es representativo?
SOLUCIÓN
y. _ E / y _ ( 6 0 ) ( $ 1 0 - 0 0 ) + (20)($13.00)
a )
~Ñ~
b)
60T20
-
$ 1
°-
7 5
Sí, el resultado es el mismo. Para probarlo, supóngase que/] números tienen media m
y que/ números tienen media m . Debe probar que la media de todos los números es
x
2
2
- /iWi
=
h
+f m
2
2
+h
Considere que la suma de l o s / números sea M, y la suma de l o s / números sea
A/ . Entonces, de acuerdo con la definición de la media aritmética, el resultado es:
2
2
Mi
w, = —
h
M,
m = —
Ji
y
1
o Mi = /¡mi y M = / m . Siendo que los (/i + / ) números se suman (M, + M ) ,
la media aritmética de todos los números es
2
2
2
2
fy
+Í2
'
h
2
+fi
como se pidió. El resultado se generaliza fácilmente.
c)
Se puede decir que $10.75 es un salario por hora "representativo", en el sentido de
que la mayoría de los empleados ganan $10.00, que no se aleja mucho de $10.75 por
hora. Es necesario recordar que siempre que se resumen datos numéricos en un solo
número (como sucede en un promedio), es posible que se cometa algún error. Sin
embargo, el resultado no es tan engañoso como el del problema 3.8.
En realidad, para asegurarse, se deben dar ciertos estimados de la "dispersión" o
"variación" de los datos respecto de la media (u otro promedio). Esto se conoce como
dispersión de los datos. En el capítulo 4 se presentan diversas medidas de dispersión.
3.13
Cuatro grupos de estudiantes, consistentes de 15, 20; 10 y 18 individuos, reportaron pesos medios de 162, 148, 153 y 140 libras (Ib), respectivamente. Encuentre el
peso medio de todos los estudiantes.
SOLUCIÓN
,Y_ ^
X
Yj
3.14
_ (15X162) + (20X148) + (10)(153) + (18X140) _
1
5
(
H
b
15 + 2 0 + 1 0 + 1 8
Si los ingresos medios anuales de trabajadores agrícolas y no agrícolas son de
$25 000 y $35 000, respectivamente. ¿El ingreso medio anual de ambos grupos
sería de $30 000?
CAPÍTULO 3
•
Media,
mediana, moda y otras medidas de tendencia
central
SOLUCIÓN
Sería de $30 000 sólo si el número de trabajadores agrícolas y no agrícolas fuera el
mismo. Para determinar la media verdadera del ingreso anual, se tendría que conocer
el número relativo de trabajadores en cada grupo. Suponga que 10% de todos los trabajadores son agrícolas, entonces la media seria (0.10)(25 000) + (0.90)(35 000) = $34 000.
Si hubiera el mismo número de ambos tipos de trabajadores, entonces la media sería
(0.50)(25 000) + (0.50X35 000) = $30 000.
3.15
Utilice la distribución de frecuencias de estaturas de la tabla 3-1 para encontrar la
estatura media de los 100 estudiantes hombres de la universidad X Y Z .
SOLUCIÓN
En la tabla 3-1 se indica la forma de resolverlo. Obsérvese que todos los estudiantes con
estaturas de 60 a 62 pulgadas (pulg), de 63 a 65 pulgadas, etcétera, se consideran con estaturas de 61 pulgadas, 64 pulgadas, etcétera. Entonces, el problema se reduce a encontrar la
estatura media de 100 estudiantes donde 5 miden 61 pulgadas, 18 miden 64, etcétera.
Los cálculos necesarios suelen resultar tediosos, especialmente en casos en que los
números son grandes y en los que existen muchas clases. Hay técnicas breves que reducen
el trabajo en tales situaciones; por ejemplo, véanse los problemas 3.20 y 3.22.
Tabla 3-1
Estatura (pulg)
Marca de clase (X)
60-62
61
Frecuencia (/)
fx
5
305
63-65
64
18
1 152
66-68
67
42
2 814
69-71
70
27
1 890
72-74
73
8
584
/ V = X / = 100
„ IfX
IfX
X =— - =
Tf
N
/ v - = X / = 6 745
6 745
=
= 67.45 pulg
100
Propiedades de la media aritmética
3.16
Pruebe que la suma de las desviaciones de X¡, X ,...,
igual a cero.
2
X , respecto de su media, es
N
SOLUCIÓN
Sean d¡ = X\ -X, d = X -X,...,
media X. Entonces
2
d = X -Xlas
2
N
desviaciones d e X X ,...,X ,
N
b
Suma de las desviaciones = £ d ¡ = X(Xj-X)
2
N
a partir de su
= Yji¡ - NX
donde se ha usado X en lugar de ¿J¡.\- Se hubiera podido omitir el subíndice j en X¡, dado
que queda X¡ sobreentendido.
3.17
Si^
+ YZ
V
2
= X + Y ,...,Z
2
2
N
= X + Y , pruebe que Z = X + Y.
N
N
SOLUCION
Por definición,
£*
N
Y =
£
Y
N
Z =
£ z
N
Problemas resueltos
Luego:
£ Z
=
E ( X + Y)
=
N
¿Z X - ^
=
N
Y
69
•
£
N
S
v
"
donde los subíndices j de X, Y y Z se han omitido y donde _
3.18
a)
Si N números X X ,...,X
tienen desviaciones respecto de a n h p B t r i
A, dadas por d¡ = X, -A,d2 = X —A,...,d =X —A,
rr [ r i r i i n i m
\mmbí
U
2
N
2
N
N
N
X - ^ +
o)
^
= ¿ +
^
E n caso de que X , , X . . . , Xj¡- tengan, en ese orden, las f r e c u e n c i a s / j , / , . . . , / , .
y d¡ = X¡ - A,...,
d - X - A, demuestre que el resultado del inciso á) es
sustituido por
2 )
2
K
X = ^ + ^ i
k
= ^
+
^
donde
£
¿
=
E
/
=
i
V
7=1
SOLUCION
a)
Primer método
Dado que d¡ = X¡- Ay X¡ = A + d¡, por ello,
Y
=
E ^ J
N
=
lZ(A+dj)
N
ZA
=
+ Edj
N
_NA
+ Zdj
N
=
E4
N
donde se utiliza X en lugar de X%¡ por brevedad.
Segundo método
Se tiene d = X- AoX
problema 3.17,
= A+d,
omitiendo los subíndices en d y X. Así, por el
X = A+d
= A + ^
N
dado que la media de varias constantes todas iguales a A es A.
K
.
^
=
b)
U_
=
K
E fM
Efj(A
=
N
+ dj)
E Afj+
N
E fj dj _AZfj
N
+Z
/Y
fjdj
7=1
-
/V
_
/
Í
+
TV
+
N
Obsérvese que formalmente el resultado se obtiene del inciso a) sustituyendo d¡ por
f¡d¡, y sumando desde j = 1 hasta K, en lugar de hacerlo desde j = 1 hasta N. El
resultado es equivalente a X = A + d, donde 2 = (Zjd)IN.
Cálculo de la media aritmética
para datos agrupados
3.19
Utilice el m é t o d o del problema 3.18a) para encontrar la media aritmética de los
n ú m e r o s 5, 8, 11, 9, 12, 6, 14 y 10, eligiendo como la "media supuesta" A k »
valores á) 9 y b) 20.
70
CAPÍTULO 3
Media,
mediana, moda y otras medidas de tendencia
central
SOLUCIÓN
a)
Las desviaciones de los números dados respecto de 9 son —4, - 1 , 2, 0, 3, —3, 5 y 1.
La suma de las desviaciones es X d = - 4 - 1 + 2 + 0 + 3 - 3 + 5 + 1 = 3. Por lo tanto.
x
b)
A
= + h r
N
=
9
+ o = 9.375
8
Las desviaciones de los números dados respecto de 20 son —15, —12, —9, —11, —8,
- 1 4 , - 6 y - 1 0 , lo mismo que X ¿ = 8 5 . Por lo tanto,
_
X = A+^
3.20
TV
= 20 +
= 9.375
8
Utilice el m é t o d o del problema 3.18b) para encontrar la media aritmética de las estaturas de 100 estudiantes hombres de la universidad X Y Z (véase el problema 3.15).
SOLUCION
El procedimiento puede ordenarse como en la tabla 3-2. Aquí se consideró la marca de
clase 67 (con la mayor frecuencia) como la media supuesta A, aunque es posible utilizar
cualquier marca de clase para A. Obsérvese que los cálculos son más sencillos que los del
problema 3.15. Para abreviar el trabajo aún más, se procederá como en el problema 3.22,
donde se usa el hecho de que todas las desviaciones (columna 2 de tabla 3-2) son múltiplos
enteros del tamaño del intervalo de clase.
Tabla 3 - 2
Marca de clase (X)
Desviación
d =X - A
61
-6
5
-30
64
-3
18
-54
0
42
0
70
3
27
81
73
6
8
48
A—.67
Frecuencia (/)
N = Zf=
* = ^
3.21
+
fd
T,fd
100
= 45
4
^ = 67 + - A = 67.45 pulg
Sea que d¡ -X¡-A
represente las desviaciones de cualquier marca de clase X¡, en
una distribución de frecuencias respecto de una marca de clase dada A . Pruebe que
si todos los intervalos de clase son del mismo t a m a ñ o c, entonces a) todas las
desviaciones son múltiplos de c (es decir, d¡ = cu donde u¡ - 0, ± 1 , ±2,...) y b) la
media aritmética puede calcularse a partir de la fórmula
p
A +
Ufi*
N
SOLUCIÓN
a)
El resultado se ilustra en la tabla 3-2 del problema 3.20, donde se observa que todas las
desviaciones en la columna 2 son múltiplos del tamaño del intervalo de clase c = 3 pulg.
Para ver que el resultado es verdadero casi siempre, nótese que si X¡, X , X . . .
son marcas de clase sucesivas, su diferencia común será, para este caso, igual a c, de
manera que X = X¡ + c, X = X¡ + 2c y, en general, X¡ = X¡ + (j - 1 )c. Entonces,
cualquier par de marcas de clase, por ejemplo, X y X , diferirán en
2
2
}
p
X -X =[X,
p
q
que es un múltiplo de c.
+ (p-l)c]-[X,
q
+ (<7- l)c] =
(p-q)c,
3>
Problemas resucitas
b)
•
Por el inciso a), las desviaciones de todas las marcas de ci a
ellas, son múltiplos de c (es decir, d¡ = cu¡). Entonces, utilizando el problema 3.1 S¿
N
N
N
\
N
)
Nótese que esto es equivalente al resultado X = A + cü, que es posible obtener a
partir deX=A +3, colocando d=cu y observando qued=c¡¡ (véaseel problema
3.22
Utilice el resultado del problema 3.21¿>) para encontrar la estatura media de 100
estudiantes hombres de la universidad X Y Z (véase el problema 3.20).
SOLUCIÓN
El procedimiento puede ordenarse como en la tabla 3-3. El método se denomina método
de compilación y debe utilizarse siempre que sea posible.
T a b l a 3-3
A
/
X
u
61
-2
64
-1
-»
5
-10
18
-18
67
0
42
0
70
1
27
27
73
2
8
16
N=
3.23
fu
100
£ / " =
15
Calcule el salario semanal medio de los 65 empleados de la empresa P & R , a partir
de la distribución de frecuencias de la tabla 2-5, usando a) el m é t o d o largo y b) el
m é t o d o de codificación.
SOLUCIÓN
Las tablas 3-4 y 3-5 contienen las soluciones para a) y b), respectivamente.
T a b l a 3-4
X
/
T a b l a 3-5
fx
X
u
/
fu
8
$2 040.00
$255.00
-2
8
-16
265.00
10
2 650.00
265.00
-1
10
-10
275.00
16
4 400.00
A - —• 275.00
0
16
0
1
14
14
285.00
14
3 990.00
285.00
295.00
10
2 950.00
295.00
2
10
20
305.00
5
1 525.00
305.00
3
5
15
315.00
2
630.00
315.00
4
2
8
Ar = 65
II
$255.00
N = 65
¿ZfX
= $lS 185.00
CAPÍTULO 3
•
Media,
mediana,
moda y otras medidas de tendencia
central
Puede suponerse que se han introducido errores en estas tablas, dado que las marcas
de clase en realidad son $254.995, $264.995, etcétera, en lugar de $255.00, $265.00... Si
se utilizan las marcas de clase verdaderas en la tabla 3-4, entonces la marca de clase
resulta ser $279.76 en vez de $279.77, cuya diferencia es insignificante.
XfX
x=
=
$
1 8
1
5
0
0
=
N
3.24
8
$
2
7
9
7
$ =A +
7
c
65
V
N
= $275.00 + H ($10.00) = $279.77
6
)
5
Utilizando la tabla 2-9d), encuentre el salario medio de los 70 empleados de la
empresa P & R .
SOLUCIÓN
En este caso, los intervalos de clase no son del mismo tamaño, por lo que habrá que
utilizar el método largo, como se indica en la tabla 3-6.
T a b l a 3-6
X
/
fx
$255.00
8
$2 040.00
265.00
10
2 650.00
275.00
16
4 400.00
285.00
15
4 275.00
295.00
10
2 950.00
310.00
8
2 480.00
350.00
3
1 050.00
N = 70
\ZP<
$19 845.00
_ YfX
$19 845.00 „,„„„ „„
X = =!— =
= $283.50
N
70
La mediana
3.25
E l siguiente resultado de Minitab
pasaron realizando b ú s q u e d a s en
Verifique la mediana. ¿ C o n s i d e r a
tiempos? Compare sus resultados
MTB > p r i n t
muestra el tiempo que 30 usuarios de Internet
línea, a s í como la mediana de los 30 tiempos.
que este promedio es representativo de los 30
con los del problema 3.8.
el
DataDisplay
time
3
6
9
4
6
10
4
6
10
5
7
10
5
7
10
5
7
10
5
7
10
5
7
12
5
8
55
6
8
60
MTB > m e d i a n e l
Column Median
Median o f t i m e = 7.0000
SOLUCIÓN
Obsérvese que los dos valores intermedios son 7 y que la media de los dos valores intermedios es 7. En el problema 3.8 la media fue de 10.4 horas. La mediana es más representativa de los tiempos que la media.
Problemas resueltos
3.26
•
7 3
Se registró el n ú m e r o de transacciones de A T M por día en 15 lagares de una gran
ciudad. Los datos fueron: 35, 49, 225, 50, 30, 65, 40, 55. 52 " - - - - 25. 47, 32 y
60. Encuentre a) la mediana de las transacciones y b) la media de las transacciones.
SOLUCIÓN
3.27
a)
Los datos ordenados son: 30, 32, 35,40,47,48,49, 50,52, 55, 60.65. ~e 225 j 325
Debido a que el número de datos es impar, sólo existe un valor intermedio. 50. qoe es
la mediana.
b)
La suma de los 15 valores es 1 189. La media es 1 189/15 = 79.267'.
Obsérvese que la mediana no se ve afectada por los dos valores extremos 225 •
325, mientras que la media sí. En este caso, la mediana es un mejor indicador del
promedio del número de transacciones diarias de ATM.
Si a.) 85 y b) 150 n ú m e r o s se ordenan, ¿ c ó m o calcularía la mediana de dichos
números?
SOLUCIÓN
3.28
á)
Dado que son 85 datos, que es un número impar, sólo existe un valor intermedio con
42 números por debajo y 42 por encima. Por lo tanto, la mediana es el número 43.
b)
Puesto que son 150 datos, un número par, hay dos valores intermedios con 74 números por debajo y 75 por encima de ellos. Los dos valores intermedios son los números
75o. y 76o., y su media aritmética es la mediana.
A partir del problema 2.8, encuentre la mediana de los pesos de los 40 estudiantes
de la universidad estatal; utilizando á) la distribución de frecuencias de la tabla
2-7 (reproducida a q u í como tabla 3-7), y b) los datos originales.
SOLUCIÓN
a)
r
Primer método (por interpolación)
Se supone que los pesos en la distribución de frecuencias de la tabla 3-7 se distribuyen de manera continua. En tal caso, la mediana es aquel peso que deja por encima a
la mitad de la frecuencia total (40/2 = 20) y por debajo a la otra mitad.
T a b l a 3-7
Peso (Ib)
118-126
Frecuencia
3
127-135
5
136-144
9
145-153
12
154-162
5
163-171
4
172-180
2
Total 40
La suma de las primeras tres frecuencias de clase es 3 + 5 + 9 = 17. Por lo tanto,
para llegar al valor deseado, 20, se requieren tres más de los 12 casos de la cuarta
clase. Dado que el cuarto intervalo de clase, 145-153, en realidad corresponde i ios
pesos de 144.5 a 153.5, la mediana debe estar a 3/12 de distancia entre 144.5 y 155-5.
es decir, la mediana es
3
3
144.5+ — (153.5 - 144.5) = 144.5+ — (9) = 146.81b
74
ZAPÍTULO 3
•
Media,
mediana,
moda y otras medidas de tendencia
central
Segundo método (utilizando la fórmula)
Debido a que la suma de las primeras tres y las primeras cuatro frecuencias de clase
son 3 + 5 + 9 = 1 7 y 3 + 5 + 9 + 12 = 29, respectivamente, queda claro que la mediana se
encuentra en la cuarta clase, la cual es, por lo tanto, la clase de la mediana. Entonces:
L, = frontera inferior de la clase de la mediana = 144.5
N = número de datos = 40
( X / ) i = suma de todas las clases inferiores a la clase de la mediana = 3 + 5 + 9 = 1 7
/mediana = frecuencia de la clase de la mediana = 12
c = tamaño del intervalo de clase de la mediana = 9
por lo tanto,
Mediana = L +
t
W2-(E/)A
c
=
1
4
4
,
/40/2 17\
5
:
(9) = 146.8 Ib
\
/mediana
/
\
*í
J
b) Los pesos originales ordenados son
119, 125, 126, 128, 132, 135, 135, 135, 136, 138, 138, 140, 140, 142, 142, 144, 144,
145, 145, 146, 146, 147, 147, 148, 149, 150, 150, 152, 153, 154, 156, 157, 158, 161,
163, 164, 165, 168, 173, 176
La mediana es la media aritmética de los pesos 20 y 21, en ese orden, y es igual a
146 Ib.
Muestre
c ó m o se puede obtener la mediana del peso en el problema 3.28, a partir
3.29
de á) un histograma y b) una ojiva de porcentajes.
SOLUCION
a)
La figura 3-3a) es el histograma correspondiente a los pesos del problema 3.28. La
mediana es la abscisa correspondiente a la línea LM, que divide el histograma en dos
áreas iguales. Ya que en un histograma el área corresponde a la frecuencia, el área a
la derecha y a la izquierda de L M representan, cada una, la mitad de la frecuencia
total o 20. Así, las áreas AMLD y MBEL tienen que ver con las frecuencias de 3 y 9.
Entonces A M = t¡AB = ís(9) = 2.25, en tanto que la mediana es 144.5 + 2.25 = 146.75
o 146.8 Ib, redondeando a la décima de libra. El valor también puede leerse de manera aproximada en la gráfica.
FIGURA 3-3
¿100—1
ra
ra
T3
a 80E
3
o
^ 5 0 %
ra 60—
15Mediana
T
PJ
• 10-
5-
B
T 122
131
140
149
i
158
1
r
167 176
£
40-
o
c
0)
3
O
u
20-
R¿.
/
s
P
i
.Mediana
i
i
i
i
i
r
117.5 126.5 135.5 144.5 153.5 162.5 171.5 180.5
Peso (libras)
Peso (libras)
a)
b)
Problemas resueltos
b)
•
La figura 3-3fc) forma el polígono de frecuencias relativas acumuladas
porcentajes) correspondiente a los pesos del problema 3.28. La mediana es la a h f ñ r
del punto P en esta ojiva, cuya ordenada es 50%. Para calcular su valor, véase de los
triángulos semejantes PQR y RST que
RQ
PQ
RS = Sf
°
RQ
50% - 42.5%
1
T = 72.5% - 4 2 . 5 % = 4
Por lo tanto:
,
3 5 1
^
9
*<? = 4 =
2
2
5
Mediana = 144.5 + RQ = 144.5 + 2.25 = 146.75 Ib
o 146.8 Ib, redondeando a la décima de libra. Este valor también puede leerse, de
manera aproximada, directamente en la gráfica.
3.30
Encuentre la mediana del sueldo de los 65 empleados de la empresa P & R (véase el
problema 2.3).
SOLUCIÓN
Aquí N = 65 y Nfl = 32.5. Dado que la suma de las primeras dos y de las primeras tres
frecuencias de clase son 8 + 10 = 18 y 8 + 10 + 16 = 34, respectivamente, la clase de la
mediana es la tercera clase. Utilizando la fórmula:
N
Mediana = L , + ( ^ ~ ^ ^ M c = $269.995 + ( ^ y g - ^ ) ($10.00) = $279.06
\
./mediana
/
r - . „•
La moda
3.31
Encuentre media, mediana y moda de los conjuntos a) 3,5, 2 , 6 , 5 , 9 , 5 , 2 , 8, 6 y b)
51.6, 48.7, 50.3,49.5,48.9.
SOLUCIÓN
a)
Los números ordenados son 2, 2, 3, 5, 5, 5, 6, 6, 8 y 9.
Media = rs(2 + 2 + 3 + 5 + 5 + 5 + 6 + 6 + 8 + 9) = 5.1
Mediana = media aritmética de los dos números centrales =£(5 + 5) = 5
Moda = número que aparece con mayor frecuencia = 5
b)
Los números ordenados son 48.7, 48.9, 49.5, 50.3 y 51.6.
Media = K48.7 + 48.9 + 49.5 + 50.3 + 51.6) = 49.8
Mediana = número central = 49.5
Moda = número más frecuente (aquí no existe)
3.32
Desarrolle una fórmula para determinar la moda de datos presentados en una distribución de frecuencias.
SOLUCIÓN
Suponga que la figura 3-4 representa tres rectángulos del histograma de la distribución de
frecuencias, donde el rectángulo central corresponde a la clase modal. Considérese también que los intervalos de clase son del mismo tamaño.
Defina la moda como la abscisa del punto de intersección P de las líneas QS > RT
construidas.
Sean X = L , y X = U¡ las fronteras inferior y superior de la clase modal, así como A
y A las diferencias de la frecuencia de clase modal con las frecuencias de clase, a b
derecha y a la izquierda de la clase modal.
2
A partir de triángulos PQR y PST semejantes, el resultado es:
EP__PF_
RQ~ST
°
*LzA±
A,
=
_
k'i ~
A
:
x
-- /TL/lO
=
3
•
Medio, mediana,
moda y otras medidas de tendencia
central
R
FIGURA 3-4
Î
F
\
o
y/
Moda =: X'
Entonces A ( X - L , ) = A,(Í7 -X)
2
1
A X - A L , = A,(7,-A,X
2
(A, + A )X= A, t/, + A L,
2
2
2
A ^ i + A ¿,
X =
I
7
A, + A
2
O
2
Debido a que U¡= L¡+c, donde c es el tamaño del intervalo de clase, esto se convierte en
^ _ Ai(¿i + c ) + A ¿ ! _ (A, + A ) ¿ , + A
A! + A
A, + A
2
2
2
| C
2
|
/
A,
V^i + A
El resultado tiene la siguiente interesante interpretación: Si se traza una parábola que
pase por los tres puntos medios de los techos de los rectángulos de la figura 3-4, la abscisa
del máximo de esta parábola será igual a la moda que se obtuvo antes.
3.33
Calcule el salario modal de los 65 empleados de la empresa P & R (véase el problema 3.23) utilizando la fórmula desarrollada en el problema 3.32.
SOLUCIÓN
Aquí L, = $269.995, A , = 1 6 - 10 = 6, A = 1 6 - 1 4 = 2, y c = $10.00. Por tanto:
2
Moda = Li + (
$10 00
A
) c = $269.995 + (j^lj( - )
= $277.50
Relación empírica entre media, mediana y moda
3.34
a)
Use la fórmula e m p í r i c a media - moda = 3(media - mediana) para calcular el
salario modal de los 65 empleados de la empresa P & R .
b)
Compare su resultado con la moda obtenida en el problema 3.33.
SOLUCIÓN
a)
En los problemas 3.23 y 3.30 se obtuvo una media = $279.77 y una mediana = $279.06.
Por ello,
Moda = media - 3(media - mediana) = $279.77 - 3($279.77 - $279.06) = $277.64
b)
En el problema 3.33 se obtuvo un salario modal de $277.50, por lo tanto, hay una
buena concordancia con el resultado empírico en este caso.
La media geométrica
3.35
Encuentre a) la media g e o m é t r i c a y b) la media aritmética de los n ú m e r o s 3, 5, 6,
6, 7, 10 y 12. Suponga que los n ú m e r o s son exactos.
Problemas
resueltos
•
SOLUCIÓN
a)
Media geométrica = G = V(3)(5)(6)(6)(7)(10)(12) = V 4 5 3 600. Usando i : ¡
mos comunes, log G = } l o g 453 600 = K5.6567) = 0.8081, entonces. G = 6 - . redondeado a la centésima más cercana). Alternativamente puede utilizarse una calculadora.
:
Otro método
log G = ?(log 3 + log 5 + log 6 + log 6 + log 7 + log 10 + log 12)
= K0.4771 +0.6990 + 0.7782 + 0.7782 + 0.8451 + 1.0000+ 1.0792)
= 0.8081
Entonces
b)
3.36
G = 6.43
Media aritmética = X = ^(3 + 5 + 6 + 6 + 7 + 1 0 + 1 2 ) = 7. Esto ilustra el hecho de que
la media geométrica de un conjunto de números positivos distintos es menor que la
media aritmética.
Los n ú m e r o s X¡, X ,..., X ocurren
+f = N es la frecuencia total.
2
K
con frecuencias/,,/,...,f ,
donde/ + / + • • •
K
2
K
a)
Encuentre la media g e o m é t r i c a G.
b)
Obtenga una expresión para log G.
c)
¿ D e q u é manera se pueden utilizar los resultados para encontrar la media geom é t r i c a de los datos agrupados en una distribución de frecuencias?
SOLUCIÓN
a)
G= \¡X,X ---\
XX-
x
2
/ i veces
2
•• X ••• XX2
K
••X
K
/, veces
K
logG = i log {X{'X£
•
;
f
f
X <X {
f
• • • X*
f veces
K
donde N = ^f. A esto se le denomina media geométrica
b)
=
ponderada.
1 ( / , log A-, + f \ogX
2
2
+ ••• + f
K
\ogX )
K
7=1
donde se considera que todos los números son positivos; de lo contrario, no estarían
definidos los logaritmos.
Obsérvese que el logaritmo de la media geométrica de un conjunto de números
positivos es la media aritmética de los logaritmos de dichos números.
c)
El resultado puede usarse para calcular la media geométrica de datos agrupados,
tomando X¡, X , . . . , X como marcas de clase y / i , / , . . . , / f como las frecuencias de
clase correspondientes.
2
3.37
K
2
Durante un a ñ o la p r o p o r c i ó n del precio de un cuarto de leche, respecto del precio de
unarebanadade pan, fue de $3.00, mientras que durante el siguiente año fue de $2.00.
a)
b)
Calcule la media aritmética de estas dos proporciones en un periodo de dos
años.
Determine la media aritmética de las proporciones de los precios del pan j de
la leche, en el periodo de dos a ñ o s .
c)
Discuta la conveniencia de usar la media aritmética para promediar proporciones.
d)
Analice q u é tan adecuada es la media g e o m é t r i c a para promediar proporciones.
SOLUCIÓN
a)
Proporción media del precio de la leche con el del pan = í(3.00 + Z
CAPÍTULO 3
•
Media,
mediana,
b)
moda y otras medidas de tendencia
central
Dado que la proporción del precio de la leche con respecto al del pan durante el
primer año es de 3.00, la proporción del precio del pan en relación con el de la leche
es de 1/3.00 = 0.333. De manera similar, la proporción del precio del pan en cuanto al
de la leche en el segundo año es 1/2.00 = 0.500.
Por lo tanto,
Proporción media del precio del pan
con respecto al de la leche
0.500) = 0.417
=
c)
Se esperaría que la proporción del precio de la leche en cuanto al del pan fuese el
recíproco de la proporción media del precio del pan sobre el de la leche, si la media
es un promedio adecuado. Sin embargo, 1/0.417 = 2.40 * 2.50. Esto muestra que la
media aritmética es un promedio inadecuado para las proporciones.
d)
Media geométrica de la proporción d e l
precio de la leche respecto al del pan
„
=
V
ó
0
Q
Media geométrica de la proporción del
/
/—/
. 7.
.
, V , . . = V(0.333)(0.500) = V 0 . 0 1 6 7 = 1/V6.00
precio del pan en relación al de la leche
Como estos promedios son recíprocos, se concluye que la media geométrica es más
adecuada que la media aritmética para promediar proporciones en este tipo de problemas.
3.38
E l conteo de bacterias en cierto cultivo se i n c r e m e n t ó de 1 000 a 4 000 en 3 días.
¿ C u á l fue el promedio del porcentaje de incremento diario?
SOLUCIÓN
Ya que un incremento de 1 000 a 4 000 es de 300%, se podría pensar que el promedio del
porcentaje de incremento diario es de 300%/3 = 100%. Sin embargo, esto implicaría que
durante el primer día el conteo aumentó de 1 000 a 2 000, durante el segundo de 2 000 a
4 000 y en el tercero de 4 000 a 8 000, lo cual no es verdad.
Para determinarlo, se denotará al promedio del porcentaje de incremento como r.
Entonces:
Conteo total de bacterias después de 1 día = 1 000 + 1 OOOr = 1 000(1 + f)
Conteo total de bacterias después de 2 días = 1 000(1 + r) + 1 000(1 + r)r = 1 000( 1 + rf
2
Conteo total de bacterias después de 3 días = 1 000( 1 + r) + 1 000( 1 + rfr = 1 000 (1 + rf
Esta última expresión debe ser igual a 4 000. Por ello, 1 000(1 + rf = 4 000, (1 + rf = 4,
1 + = ^ 4 , y r = ^4 - 1 = 1.587 - 1 = 0.587, así que r = 58.7%.
r
En general, si se inicia con una cantidad P y se incrementa a una razón constante r
por unidad de tiempo, después de n unidades de tiempo se tiene la cantidad
A = P{\ + rf
Esta se denomina fórmula del interés compuesto (véanse los problemas 3.94 y 3.95).
La media armónica
3.39
Encuentre la media a r m ó n i c a H de los n ú m e r o s 3, 5, 6, 6, 7, 10 y 12.
SOLUCIÓN
!
J_
1 _ i /]
W~/V^A-"7V3
1 i
=
501
2 940
2 940
H =
501
=5.87
+
5
+
6
1 1
+
6
+
+
j _ J_\
7 10
+
I /140 + 84 + 70 + 70 + 60 + 42 + 35
"Í2; ~ 7 V
420
Problemas resueltos
•
Es conveniente expresar las fracciones en forma decimal primero. Por lo tamo
— = i (0.3333 + 0.2000 + 0.1667 + 0.1667 + 0.1429 + 0.1000 + 0.0833
H
1.1929
7
y
5
" = lÍ29 = -
8 7
La comparación con el problema 3.35 ilustra el hecho de que la media armónica de
varios números positivos diferentes es menor que su media geométrica, la cual es menor
que su media aritmética.
3.40
Por 4 a ñ o s consecutivos el propietario de una casa c o m p r ó combustible para su
calefacción a $0.80, $0.90, $1.05 y $1.25 por galón (gal). ¿ C u á l fue el costo promedio del combustible en los 4 a ñ o s ?
SOLUCIÓN
Caso 1
Supóngase que el propietario compró la misma cantidad de combustible cada año, por
ejemplo, 1 000 gal. Entonces
costo total
$800+ $900 + 1 050 + $1 250
Costo promedio =
=
cantidad total comprada
„,„„, ,
= $ 1.00 / gal
4 000 gal
Esto es igual a la media aritmética del costo por galón; es decir, i($0.80 + $0.90 + $1.05
+ $1.25) = 1.00/gal. El resultado sería idéntico aun cuando se utilizaran x galones al año.
Caso^
Considérese que el propietario gasta la misma cantidad de dinero cada año, por ejemplo,
$1 000. Entonces:
costo total
$4 000
Costo promedio =
F
=
cantidad total comprada
.
= $0.975 / gal
(1 250 + 111 l + 952 + 800)gal
Esto es igual a la media armónica del costo por galón.
1
0~80
4
1
1
+
0^90
+
0.975
1
L05
+
L25
El resultado sería idéntico aun cuando se gastaran y dólares cada año.
Ambos procedimientos son correctos, aunque cada uno fue calculado de diferente
manera.
Debe indicarse que en caso de que el número de galones usados cambie de un año a
otro, la media aritmética del caso 1 se reemplazaría por una media aritmética ponderada.
De forma similar, si la cantidad gastada cambia de un año a otro, la media armónica del
caso 2 se reemplazaría por una media armónica ponderada
3.41
U n a u t o m ó v i l viaja 25 millas a 25 mph, 25 millas a 50 mph y 25 millas a 75 mph.
Calcule la media aritmética y la media a r m ó n i c a de las tres velocidades. ¿Cuál es
la correcta?
SOLUCIÓN
La velocidad promedio es igual a la distancia recorrida entre el tiempo total y es igual a.
75
'4
= 40.9 mph
LA-
ULO 3
•
Media,
mediana,
moda y otras medidas de tendencia
central
La media aritmética de las tres velocidades es:
25 + 50 + 75
= 50 mph
La media armónica se calcula de la siguiente manera
1
H
1
=
^
Ñ^X
1
=
1/1
3[25
1
+
T0
+
1\
15)
11
450
=
„
>
450
17
=
, „
La media armónica es la medida correcta de la velocidad promedio.
La media cuadrática
3.42
Calcule la media cuadrática de los n ú m e r o s 3, 5, 6, 6, 7, 10 y 12.
SOLUCIÓN
Media cuadrática = MC = ^
3.43
+ *
+
*
+
+
* + *
+
^
= ^57 = 7.55
Pruebe que la media cuadrática de dos n ú m e r o s positivos distintos, a y b, es mayor
que su media geométrica.
SOLUCIÓN
2
2
Se requiere demostrar que \/\(a
+ b ) > \/ab. Si esto es cierto, entonces, elevando al
cuadrado ambos lados, h(a + b ) > ab, de tal modo que a + b > lab, a - lab + b > 0o
(a - b) > 0 Esta última desigualdad es verdadera, dado que el cuadrado de cualquier
número real distinto de cero debe ser positivo.
2
2
2
2
2
2
2
La prueba consiste en invertir el procedimiento anterior. Así, comenzando con (a b) > 0 que se sabe es cierto, se puede demostrar que a + b > lab, h(a + b ) > ab y,
finalmente, V j (a + b ) > Vab, como se pidió.
2
2
2
2
2
2
2
2
2
Obsérvese que V $ ( Í J +b ) = V a ¿ , si y sólo si a = b.
Cuartiles, deciles y percentiles
3.44
Encuentre a) I o í cuartiles Q¡, Q y Q , y b) \os deciles D¡, D ,...,
D para los salarios de los 65 empleados de la empresa P & R (véase el problema 2.3).
2
}
2
9
SOLUCIÓN
a)
El primer cuartil Q¡ es el salario obtenido contando N/4 = 65/4 = 16.25 de los casos,
empezando con la primera clase (la inferior). Ya que la primera clase incluye 8 casos,
debe tomar 8.25 (16.25 - 8) de los 10 casos de la segunda clase. Por el método de
interpolación lineal se tiene
Q = $259.995 + ^
x
($10.00) = $268.25
El segundo cuartil Q se obtiene contando los primeros 2N/4 = N/2 = 65/2 =
32.5 casos. Dado que las dos primeras clases incluyen 18 casos, habrá que tomar
32.5 - 18 = 14.5 de los 16 casos de la tercera clase; por lo tanto,
2
Q =$269.995 + ^ ( $ 1 0 . 0 0 ) =$279.06
16
2
Véase que Q es, en realidad, la mediana.
2
Problemas resueltos
•
El tercer cuartil Q¡ se obtiene contando los primeros 3AV4 = 1(65) = casos. Puesto que las cuatro primeras clases comprenden 48 casos, se tiene que lomar 48.75 - 48 = 0.75 de los 10 casos de la quinta clase; entonces
Q = $289.995 +
($10.00) = $290.75
}
Por lo tanto, 25% de los empleados reciben $268.25 o menos, 50% g¿ris > I "
o menos y 75% perciben $290.75 o menos.
b)
-
El primero, segundo,..., noveno deciles se obtienen contando /V/10, 2AV10,..., 9A//10
de los casos, comenzando con la primera clase (inferior). Así:
Di = $249.995 + —($10.00) = $258.12
8
D„ = $279.995 + —($10.00) = $283.57
14
D = $259.995 + —($10.00) = $265.00
10
£> = $279.995 + — ( $ 1 0 . 0 0 ) = $288.21
14
D = $269.995 + —($10.00) = $270.94
16
D = $289.995 + —($10.00) = $294.00
10
D = $269.995 + —($10.00) = $275.00
16
D = $299.995 + —($10.00) = $301.00
5
2
3
4
7
8
9
Ds = $269.995 + ^ ( $ 1 0 . 0 0 ) = $279.06
16
Por lo tanto, 10% de los empleados gana $258.12 o menos, 20% recibe $265.00
o menos,..., 90% obtienen $301.00 o menos.
Obsérvese que el quinto decil es la mediana. El segundo, cuarto, sexto y octavo
deciles, que dividen la distribución en cinco partes iguales y que se denominan
quintiles, tienen un uso práctico.
3.45
Determine a) el percentil 35o. y b) el percentil 60o. de la distribución en el problema 3.44.
SOLUCIÓN
a)
El percentil 35o. denotado por P , se obtiene contando los primeros 35M100 = 35(65)/
100 = 22.75 casos, comenzando con la primera clase (inferior). Entonces, igual que
en el problema 3.44,
35
P
35
= $269.995 +
16
($10.00) = $272.97
Esto significa que 35% de los empleados gana $272.97 o menos.
b)
3.46
El percentil 60o. es P = $279.995 +ft($10.00) = $283.57. Obsérvese que esto coincide con el sexto decil y el tercer quintil.
w
Explique c ó m o pueden obtenerse los resultados de los problemas 3.44 y 3.45 de
una ojiva de porcentajes.
SOLUCIÓN
En la figura 3-5 se muestra la ojiva de porcentajes correspondiente a los datos de los
problemas 3.44 y 3.45.
El primer cuartil es la abscisa del punto de la ojiva cuya ordenada es 25%, el segundo
y tercer cuartiles son las abscisas de los puntos de la ojiva con ordenadas 50% y 75%.
respectivamente.
Los deciles y percentiles pueden obtenerse de forma similar. Por ejemplo, el séptimo
decil y el percentil 35o. son las abscisas de los puntos de la ojiva que corresponden a tas
ordenadas 70% y 35%, respectivamente.
Salarios (dólares)