TRATAMIENTO DE SEÑALES

TRATAMIENTO DE SEÑALES
Escuela de Ingenierías Eléctrica, Electrónica y de Telecomunicaciones
Función propia y valor propio de
sistemas LIT continuos
Respuesta de un sistema LIT continuo a exponenciales
complejas
x( t ) = e
st
Sistema LIT
h(t)
∞
y(t)
∞
∫ x ( t − τ )h (τ ) d τ = ∫ e h (τ ) d τ
τ
(
)
y t = e ∫ e h (τ ) d τ = e H ( s )
y(t ) =
∞
−∞
−∞
st
−s
st
−∞
H ( s) =
∞
− st
(
)
∫ h t e dt
−∞
Tratamiento de Señales
s(t −τ )
Transformadas de Laplace y Fourier
de señales y sistemas continuos
Función propia: e
st
Valor propio:
H ( s)
¾ Transformada de Laplace:
H ( s) =
∞
− st
(
)
h
t
e
dt
∫
s = σ + jω
−∞
¾ Transformada de Fourier:
H ( jω ) =
∞
− jω t
(
)
h
t
e
dt
∫
−∞
Tratamiento de Señales
s = jω
LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
Imag(s)
X(t)
O
x
x
real(s)
x
t
Dominio t
Tratamiento de Señales
O
Dominio s
LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
BILATERAL
Definida como:
∞
X (s) =
x
(
t
)
e
∫
− st
dt
−∞
Donde:
s = σ + jω
σ=0
Tratamiento de Señales
Transformada de
Fourier
Función propia y valor propio de
sistemas LIT discretos
Respuesta de un sistema LIT discreto a exponenciales
complejas
x[n] = z
n
y [n ] =
y[n]
Sistema LIT
h[n]
∞
∞
k = −∞
k = −∞
∑ x [n − k ]h [k ] = ∑ z
y [n ] = z
n
∞
∑ h [k ]z
k = −∞
H (z ) =
∞
= z H (z )
∑ h [n ]z
n = −∞
Tratamiento de Señales
−k
n−k
n
−n
h [k ]
Transformadas Z y de Fourier de
señales y sistemas discretos
Función propia: z
n
Valor propio:
H (z )
¾ Transformada de Z:
H (z) =
∞
∑
h[ n ] z
−n
z = re
n = −∞
z = e jω
¾ Transformada de Fourier:
( ) = ∑ h [n ]e
H e
jω
∞
n = −∞
Tratamiento de Señales
− jω n
jω
LA TRANSFORMADA Z
Im
1
x[n]
Re
-10 -8 -6 -4 -2
0
2
4
6
n
8 10
Dominio n
Tratamiento de Señales
Dominio Z
LA TRANSFORMADA Z BILATERAL
Definida como:
X (z) =
∞
∑
x[ n ] z
−n
n = −∞
Donde:
z=re
jω
r =1
Tratamiento de Señales
Transformada de
Fourier
LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
BILATERAL
Polos y ceros de la Transformada de Laplace:
∞
X (s) =
∫ x (t )e
− st
dt
−∞
Dado que en la mayoría de los casos la Transformada de
Laplace X(s) es un racional:
N(s)
X (s) =
D(s)
Las raíces del polinomio N(s), es decir los valores de s
para los cuales N(s) = 0 son los ceros de X(s).
Las raíces del polinomio D(s), es decir los valores de s
para los cuales D(s) = 0 son los polos de X(s).
Tratamiento de Señales
LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
BILATERAL
Convergencia de la Transformada de Laplace:
Para que la Transformada de Laplace converja, x (t ) e − σ t
debe ser absolutamente integrable, es decir:
∞
∫
x (t ) e −σt dt < ∞
−∞
Si la Transformada de Laplace es racional, los valores
de s correspondientes a los polos de X(s) hacen que
X(s) diverja.
La región del plano S para la cual X(s) converge se
conoce como la Región de Convergencia ROC de X(s).
Tratamiento de Señales
LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
BILATERAL
Propiedades de la región de convergencia
de X(s)
1. La ROC de X(s) son franjas paralelas al eje jω en el
plano S.
2. Si la Transformada de Laplace es un racional, la ROC
será una región acotada por la ubicación de los polos
de X(s) o se extendera al infinito.
3. Si X(s) es un racional, la ROC no debe contener
ningún polo y estará limitada por las rectas paralelas
al eje jω ubicadas en polos de X(s).
4. Si x(t) es una señal de longitud finita, la ROC es todo
el plano S.
Tratamiento de Señales
LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
BILATERAL
Propiedades de la región de convergencia
de X(s)
5. Si x(t) es una señal de lado derecho y X(s) es
racional, la ROC sera la parte del plano S a la derecha
de la recta paralela al eje jω ubicada en el polo que
este mas a la derecha (esta recta no se incluye en la
ROC).
6. Si x(t) es una señal de lado izquierdo y X(s) es
racional, la ROC sera la parte del plano S a la
izquierda de la recta paralela al eje jω ubicada en el
polo que este mas a la izquierda (esta recta no se
incluye en la ROC).
Tratamiento de Señales
LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
BILATERAL
Propiedades de la región de convergencia
de X(s)
7. Si x(t) es una señal bilateral y X(s) es
racional, la ROC sera una franja finita del
plano S limitada por rectas paralelas al eje
jω ubicadas en polos de X(s).
8. La ROC de una Transformada de Laplace
siempre debe ser una región conectada.
Tratamiento de Señales
LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
BILATERAL
EJEMPLO
∞
X ( s ) = ∫ e e u (t )dt
− at − st
− at
x1 (t ) = e u (t )
X (s )
−∞
∞
X ( s ) = ∫ e −( s + a )t dt
0
1
X (s) =
s+a
Tratamiento de Señales
Existe sólo sí
Re( s ) > − Re{a}
LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
BILATERAL
− at
x2 (t ) = −e u (−t )
EJEMPLO
∞
X ( s ) = − ∫ e e u (−t )dt
− at − st
X (s )
−∞
0
X ( s ) = − ∫ e −( s + a ) t dt
−∞
1
X (s) =
s+a
Tratamiento de Señales
Existe sólo sí
Re( s ) < − Re{a}
LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
BILATERAL
-a
− at
e u (t )
Imag(s)
Imag(s)
Plano s
Plano s
0
-a
real(s)
1
s+a
Tratamiento de Señales
− at
− e u (−t )
0
real(s)
1
s+a
LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
BILATERAL
−2 t
3
4
−
s+2 s−1
3e u (t ) + 4e u (−t )
t
Imag(s)
Plano s
-2
Tratamiento de Señales
0
1
real(s)
LA TRANSFORMADA Z BILATERAL
Polos y ceros de la Transformada Z:
X (z) =
∞
∑
x[ n ] z
−n
n = −∞
Dado que en la mayoría de los casos la Transformada Z
X(z) es un racional:
N ( z)
X ( z) =
D(z)
Las raíces del polinomio N(z), es decir los valores de z
para los cuales N(z) = 0 son los ceros de X(z).
Las raíces del polinomio D(z), es decir los valores de z
para los cuales D(z) = 0 son los polos de X(z).
Tratamiento de Señales
LA TRANSFORMADA DE Z BILATERAL
Convergencia de la Transformada Z:
[]
Para que la Transformada Z converja, x n r − n
debe ser absolutamente sumable, es decir:
∞
−n
∑
x[ n ] r
< ∞
n = −∞
Si la Transformada Z es racional, los valores de z
correspondientes a los polos de X(z) hacen que X(z)
diverja.
Los valores de z para los cuales X(z) converge se
conoce como la Región de Convergencia ROC de X(z).
Tratamiento de Señales
LA TRANSFORMADA DE Z BILATERAL
Propiedades de la región de convergencia
de X(z)
1. La ROC de X(z) son coronas circulares centradas
en el origen del plano Z.
2. Si la Transformada Z es racional, la ROC será una
región acotada por la ubicación de los polos de X(z) o
se extenderá al infinito.
3. Si X(z) es racional, la ROC no debe contener ningún
polo y estará limitada por circunferencias centradas
en el origen del plano Z con radio igual a la magnitud
de polos de X(z).
Tratamiento de Señales
LA TRANSFORMADA DE Z BILATERAL
Propiedades de la región de convergencia
de X(z)
4. Si x[n] es una secuencia de duración finita, la ROC
es todo el plano Z, excepto posiblemente z = 0 y/o
z = infinito
5. Si x[n] es una secuencia de lado derecho y X(z) es
racional, la ROC será la parte del plano Z exterior a la
circunferencia centrada en el origen del plano Z con
radio igual a la magnitud del polo más alejado del
origen (esta circunferencia no se incluye en la ROC).
Tratamiento de Señales
LA TRANSFORMADA DE Z BILATERAL
Propiedades de la región de convergencia
de X(z)
6. Si x[n] es una secuencia de lado izquierdo y X(z) es
racional, la ROC será la parte del plano Z interior a la
circunferencia centrada en el origen del plano Z con
radio igual a la magnitud del polo más cercano del
origen (esta circunferencia no se incluye en la ROC).
7. Si x[n] es una secuencia bilateral y X(z) es racional, la
ROC será una corona circular del plano Z limitada por
circunferencias centradas en el origen del plano Z con
radio igual a la magnitud de polos de X(z).
8. La ROC de una Transformada Z siempre debe ser una
región conectada.
Tratamiento de Señales
LA TRANSFORMADA DE Z BILATERAL
x[n] = δ[n − m] ←
⎯→ X(z ) =
z
∞
∑ δ[n − m]z
−n
=z
−m
n = −∞
δ[n−m] ←
⎯→ z ;
z
−m
ROC: El plano Z, excepto
z = 0, si m es positivo o
z = ∝ si m es negativo
Im
1
•••
•••
0
m
Tratamiento de Señales
Re
n
Plano Z
LA TRANSFORMADA DE Z BILATERAL
x[n ] = α u[n ] ←
⎯→ X ( z ) =
n
z
∞
∑α
n=0
n
z
−n
1
=
; z > α
−1
1 − αz
1
z
α u[n]←
⎯→
=
; ROC: z > α
−1
1 − αz
z−α
Im
n
z
x[n]
α real
0<α<1
1
|α|
α
-10 -8 -6 -4 -2
0
2
4
6
8 10
Tratamiento de Señales
n
Re
Plano Z
LA TRANSFORMADA DE Z BILATERAL
−1
x[n] = −α u[−n −1] ←
⎯→ X ( z) = − ∑ α z
z
n
n −n
=
n=−∞
1
1−αz
−1
; z <α
1
z
− α u[ − n − 1 ] ←
⎯→
=
; ROC : z < α
−1
1 − αz
z−α
n
z
Im
x[n]
-10 -8 -6 -4 -2
0
2
4
6
8 10
n
α real
α>1
-1/α
Tratamiento de Señales
α Re
Plano Z
LA TRANSFORMADA DE Z BILATERAL
n
n
⎛3⎞
⎛1⎞
x[n] = 4⎜ ⎟ u[n] − 2⎜ ⎟ u[− n − 1]
⎝2⎠
⎝2⎠
7
⎛
⎞
6 ⎜ 1 − z −1 ⎟
6
⎝
⎠
X (z ) =
1 −1 ⎞ ⎛
3 −1 ⎞
⎛
1
1
−
z
−
z ⎟
⎜
⎟⎜
2
2
⎝
⎠⎝
⎠
4
2
X (z ) =
+
1 −1
3 −1
1− z
1− z
2
2
1
3
< z <
2
2
Im
1/2 7/6 3/2
Re
Plano Z
Tratamiento de Señales
LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
INVERSA
Definida por:
1
x (t ) =
2π j
σ + j∞
X ( s )e
∫
σ
st
ds
− j∞
Utilizando la división en fracciones parciales:
m
Ai
N (s)
X (s) =
=∑
D( s ) i =1 s + ai
Tratamiento de Señales
LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
INVERSA
EJEMPLO
2s + 1
X (s) = 3
2
( s + 3s − 4 s )
ℜe(s ) > 1
A1 = −
A3
A1
A2
+
+
X( s ) =
s
s+4 s−1
A
A
2
= −
3
=
⎛ 1 7 − 4t 3 t ⎞
x(t ) = ⎜ − − e + e ⎟u (t )
5 ⎠
⎝ 4 20
Tratamiento de Señales
3
5
1
4
7
20
LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
INVERSA
EJEMPLO
2s + 1
X ( s) = 3
2
( s + 3s − 4 s )
ℜe(s ) < −4
A1 = −
A3
A1
A2
+
+
X( s ) =
s
s+4 s−1
A
A
2
= −
3
=
⎛ 1 7 − 4t 3 t ⎞
x(t ) = ⎜ + e − e ⎟u (−t )
5 ⎠
⎝ 4 20
Tratamiento de Señales
3
5
1
4
7
20
LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
INVERSA
EJEMPLO
2s + 1
X ( s) = 3
2
( s + 3s − 4 s )
− 4 < ℜ e (s ) < 0
A1 = −
A3
A1
A2
+
+
X( s ) =
s
s+4 s−1
A
A
2
= −
3
=
3
5
7 − 4t
⎛1 3 t⎞
x(t ) = − e u (t ) + ⎜ − e ⎟u (−t )
20
⎝4 5 ⎠
Tratamiento de Señales
1
4
7
20
LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
INVERSA
EJEMPLO
2s + 1
X ( s) = 3
2
( s + 3s − 4 s )
0 < ℜe(s ) < 1
A1 = −
A3
A1
A2
+
+
X( s ) =
s
s+4 s−1
A
A
2
= −
3
=
3
5
3 t
⎛ 1 7 − 4t ⎞
x(t ) = ⎜ − − e ⎟u (t ) − e u (−t )
5
⎝ 4 20
⎠
Tratamiento de Señales
1
4
7
20
LA TRANSFORMADA Z INVERSA
Definida por:
x[n ] =
1
2π j
∫
X (z) z
n −1
C
Utilizando la división en fracciones parciales:
Ai
N ( z) m
X ( z) =
=∑
−1
D( z ) i =1 1 − ai z
Tratamiento de Señales
dz
LA TRANSFORMADA Z INVERSA
EJEMPLO
X (z) =
5 −1
3− z
6
z >
1 −1
1 −1
(1 −
z )( 1 − z )
4
3
A1
A2
X (z) =
+
1 −1
1 −1
1− z
1− z
4
3
A1 = 1
A2 = 2
n
⎛ ⎛ 1 ⎞n
⎞
1
⎛
⎞
x[n] = ⎜ ⎜ ⎟ + 2⎜ ⎟ ⎟u[n]
⎜⎝ 4 ⎠
⎟
3
⎝
⎠
⎝
⎠
Tratamiento de Señales
1
3
LA TRANSFORMADA Z INVERSA
EJEMPLO
X (z) =
5 −1
3− z
6
1 −1
1 −1
(1 −
z )( 1 − z )
4
3
A1
A2
X (z) =
+
1 −1
1 −1
1− z
1− z
4
3
z <
A1 = 1
A2 = 2
⎛ ⎛ 1 ⎞n ⎛ 1 ⎞n ⎞
x[n] = ⎜ − ⎜ ⎟ − 2⎜ ⎟ ⎟u[− n − 1]
⎜ ⎝4⎠
⎟
3
⎝
⎠
⎝
⎠
Tratamiento de Señales
1
4
LA TRANSFORMADA Z INVERSA
EJEMPLO
X (z) =
5 −1
3− z
6
1 −1
1 −1
(1 −
z )( 1 − z )
4
3
A1 = 1
A1
A2
X (z) =
+
1 −1
1 −1
1− z
1− z
4
3
n
1
1
< z <
4
3
A2 = 2
n
⎛1⎞
⎛1⎞
x[n] = ⎜ ⎟ u[n] − 2⎜ ⎟ u[− n − 1]
⎝3⎠
⎝4⎠
Tratamiento de Señales
LA TRANSFORMADA Z INVERSA
Expansión en Series de Potencias
X (z ) =
∞
∑
x[n ] z
−n
n = −∞
X( z ) =
.... + x[ − 2 ]z + x[ − 1]z + x[ 0 ] + x[1]z + x[ 2 ]z
−1
2
X(z ) =
1
1 − 1 .5 z − 1 + 0 .5 z − 2
=1+
0 .5 z − 2
+ ....
3 − 1 7 − 2 15 − 3 31 − 4
z + ...
z +
z + z +
16
8
4
2
7
3
⎧
x[n ] = ⎨1 , ,
,
↑
2
4
⎩
X(z ) =
−2
15
31
⎫
,
, ... ⎬
8
16
⎭
1
2
3
4
5
6
=
2
z
+
6
z
+
14
z
+
30
z
+
62
z
+ ...
−1
− 1 .5 z + 1
{
x[ n ] = ... 62 , 30 , 14 , 6 , 2 , 0 , 0
Tratamiento de Señales
↑
}
PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA
DE LAPLACE
1. Linealidad
x1 (t ) ↔ X 1 ( s )
ROC = R1
x2 (t ) ↔ X 2 ( s )
ROC = R2
ax 1 ( t ) + bx 2 ( t ) ↔ aX 1 ( s ) + bX 2 ( s )
ROC
Tratamiento de Señales
= R1 ∩ R2
PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA
DE LAPLACE
2. Desplazamiento en el tiempo
x(t ) ↔ X ( s )
ROC = R
x(t − t0 ) ↔ e − st0 X ( s )
ROC = R
3. Desplazamiento en el dominio S
x(t ) ↔ X ( s )
e s0t x(t ) ↔ X ( s − s0 )
e jω 0t x(t ) ↔ X ( s − jω 0 )
Tratamiento de Señales
ROC = R
ROC = R + ℜe{s0 }
ROC = R
PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA
DE LAPLACE
4. Escalamiento en el tiempo
x(t ) ↔ X ( s )
1 ⎛s⎞
x(at ) ↔ X ⎜ ⎟
a ⎝a⎠
5.
ROC = R
ROC = aR
Conjugada
x(t ) ↔ X ( s )
ROC = R
x (t ) ↔ X ( s )
*
Si
x(t )
*
es real:
Tratamiento de Señales
ROC = R
*
( )
X (s ) = X s
*
*
PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA
DE LAPLACE
6. Convolución
x(t ) ↔ X ( s )
h(t ) ↔ H ( s )
ROC = R x
ROC = Rh
y(t ) = x(t) *h(t) ↔Y(s) = X (s)H(s)
R y = Rx ∩ Rh
Tratamiento de Señales
PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA
DE LAPLACE
7. Derivación en el dominio del tiempo
x(t ) ↔ X ( s )
dx(t )
↔ sX ( s )
dt
ROC = R
ROC = R
8. Derivación en el dominio s
x(t ) ↔ X ( s )
dX ( s )
− tx(t ) ↔
ds
Tratamiento de Señales
ROC = R
ROC = R
PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA
DE LAPLACE
9. Integración en el dominio del tiempo
x(t ) ↔ X ( s )
ROC = R
t
1
∫−∞x(τ )dτ ↔ s X (s)
R = R ∩ {ℜe{s} > 0}
Tratamiento de Señales
PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA
DE LAPLACE
10. Teorema del valor inicial
Si
x(t ) = 0
t<0
+
x( 0 ) =
lim
s→∞
[ sX ( s )]
11. Teorema del valor final
Si
x(t ) = 0
lim
t→∞
t<0
x( t ) =
Tratamiento de Señales
lim
s→0
[ sX ( s )]
PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA Z
1. Linealidad
x1 [n] ↔ X 1 ( z )
ROC = R1
x2 [n ] ↔ X 2 ( z )
ROC = R2
ax1 [n ] + bx2 [n ] ↔ aX 1 ( z ) + bX 2 ( z )
ROC
Tratamiento de Señales
= R1 ∩ R2
PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA Z
2. Desplazamiento en el tiempo
x[n] ↔ X ( z )
x[n − m] ↔ z − m X ( z )
ROC = R
ROC = R
3. Escalamiento en el dominio z
x[n] ↔ X ( z )
ROC = R
z
n
z0 x[n ] ↔ X ( )
ROC = z0 R
z0
jω 0 n
− jω 0
e x[n ] ↔ X (e
z)
ROC = R
Tratamiento de Señales
PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA Z
4. Inversión de tiempo
x[n] ↔ X ( z )
1
x[− n ] ↔ X ( )
z
ROC = R
1
ROC =
R
5. Expansión en el tiempo
x[n] ↔ X ( z )
⎧ x [n / k
x ( k ) [n ] = ⎨
0
⎩
ROC = R
]
x(k ) [n ] ↔ X ( z )
Tratamiento de Señales
k
Si n es un múltiplo
Si n no es un múltiplo
ROC = R
1/ k
de k
de k
PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA Z
6.
Conjugada
x[n] ↔ X ( z )
x [n] ↔ X ( z )
ROC = R
* *
X (z ) = X z
x[n ] es real:
*
Si
ROC = R
*
*
( )
7. Derivación en el dominio z
x[n] ↔ X ( z )
dX ( z )
nx[n] ↔ − z
dz
Tratamiento de Señales
ROC = R
ROC = R
PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA Z
8. Convolución
x[n] ↔ X ( z )
h[n] ↔ H ( z )
ROC = R x
ROC = Rh
y[n] = x[n]*h[n] ↔Y(z) = X (z)H(z)
R y = Rx ∩ Rh
Tratamiento de Señales
PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA Z
9. Teorema del valor inicial
Si x [ n ] = 0 para n < 0
x [ 0 ] = lim X ( z )
z→ ∞
10. Teorema del valor final
Si x[ n ] = 0 para n < 0
(
)
lim x[ n ] = lim ( z − 1) X ( z ) = lim 1 − z −1 X ( z )
n→ ∞
z →1
Tratamiento de Señales
z →1
FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA DE
SISTEMAS CONTINUOS LIT
x(t)
X(s)
y(t)=h(t)* x(t)
h(t)
LTI
Y(s)=H(s)X(s)
H(s)
LTI
Y (s)
H (s) =
=
X (s)
∞
− st
(
)
h
t
e
dt
∫
−∞
H(s) es la función de transferencia del sistema LIT
Tratamiento de Señales
Causalidad de sistemas continuos LIT
“Un Sistema Continuo Lineal e Invariante (LIT), es Causal
si y sólo si La ROC de su Función de Transferencia
está a la derecha del polo que esté más a la derecha y
H(s) es un racional.
Imag(s)
Plano s
0
Tratamiento de Señales
real(s)
Estabilidad de sistemas continuos LIT
“Un Sistema Continuo Lineal e Invariante (LIT), es Estable
si y sólo si la ROC de su Función de Transferencia Incluye
el eje jω”
Imag(s)
Plano s
-2
Tratamiento de Señales
0
1
real(s)
Causalidad y estabilidad de sistemas
continuos LIT
“Un Sistema Continuo LIT CAUSAL con función de
transferencia racional es ESTABLE si y sólo si todos los
polos de H(s) están en el semiplano izquierdo del plano s
Imag(s)
Plano s
-a
Tratamiento de Señales
0
real(s)
ESTABILIDAD DE SISTEMAS LIT
CAUSALES
Sistemas estables
“BIBO”
A1
A2
AN
H( s ) =
+
+ ........ +
s − s1 s − s 2
s − sN
hk (t ) = Ak e
Tratamiento de Señales
[ sk t ]
u (t )
ESTABILIDAD DE SISTEMAS LIT
CAUSALES
1. Polos simples en el semi-plano izquierdo
s k = σ k + jω k ,
[
hk ( t ) = Ak e
[( σ k + j ω k ) t ]
h k ( t ) = 2 Ak e
Tratamiento de Señales
[σ k t ]
σk < 0
+ A e
*
k
[( σ k − j ω k ) t ]
]u (t )
cos( ω k t + β k ) u (t )
ESTABILIDAD DE SISTEMAS LIT
CAUSALES
2. Polos simples sobre el eje imaginario
s k = σ k + jω k ,
σk = 0
h k ( t ) = 2 Ak cos( ω k t + β k ) u (t )
Tratamiento de Señales
ESTABILIDAD DE SISTEMAS LIT
CAUSALES
3. Polos simples en el semi-plano derecho
s k = σ k + jω k ,
σk > 0
h k ( t ) = 2 Ak e [ σ k t ] cos( ω k t + β k ) u (t )
Tratamiento de Señales
ESTABILIDAD DE SISTEMAS LIT
CAUSALES
4. Polos múltiples en el semi-plano izquierdo
m = numero de polos múltiples
s k = σ k + jω k ,
h k ( t ) = Ak t
σk < 0
m −1 [ σ k t ]
e
Tratamiento de Señales
cos( ω k t + β k ) u (t )
ESTABILIDAD DE SISTEMAS LIT
CAUSALES
5. Polos múltiples sobre el eje imaginario
m = numero de polos múltiples
s k = σ k + jω k ,
h k ( t ) = Ak t
m −1
Tratamiento de Señales
σk = 0
cos( ω k t + β k ) u ( t )
ESTABILIDAD DE SISTEMAS LIT
CAUSALES
6. Polos múltiples en el semi-plano derecho
m = numero de polos múltiples
s k = σ k + jω k ,
h k ( t ) = Ak t
σk > 0
m −1 [ σ k t ]
e
Tratamiento de Señales
cos( ω k t + β k ) u ( t )
Función de Transferencia de Sistemas
LIT,Descritos Mediante Ecuaciones Lineales
Diferenciales con Coeficientes Constantes.
d k y (t ) M
d k x(t )
ak
= ∑ bk
∑
k
k
dt
dt
k =0
k =0
N
M
⎛ N
⎞
⎛
k
k ⎞
⎜ ∑ ak s ⎟Y ( s ) = ⎜ ∑ bk s ⎟ X ( s )
⎝ k =0
⎠
⎝ k =0
⎠
M
Y (s )
H (s) =
=
X (s )
k
b
s
∑k
k =0
N
k
a
s
∑ k
k =0
Tratamiento de Señales
FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA DE
SISTEMAS DISCRETOS LIT
x[n]
X(z)
y[n]=h[n]* x[n]
h[n]
LTI
Y(z)=H(z)X(z)
H(z)
LTI
Y (z)
H (z) =
=
X (z)
∞
∑
h[ n ] z − n
n = −∞
H(Z) es la función de transferencia del sistema LIT
Tratamiento de Señales
Causalidad de sistemas discretos LIT
“Un Sistema Discreto Lineal e Invariante (LIT), es Causal
si y sólo si La ROC de su Función de Transferencia
incluye z=∞
Im
r1
Re
Plano Z
Tratamiento de Señales
Causalidad de sistemas discretos LIT
“Un Sistema Discreto Lineal e Invariante (LIT), con
función de transferencia racional es causal si la ROC de
su Función de Transferencia H(z) es el Exterior de la
circunferencia con radio igual a la magnitud del polo más
alejado e incluye z=∞
“Un Sistema Discreto Lineal e Invariante (LIT), con
función de transferencia H(z) racional es causal si el
orden del polinomio en z del numerador es menor o igual
que el orden del polinomio en z del denominador
Tratamiento de Señales
Estabilidad de sistemas discretos LIT
“Un Sistema Discreto Lineal e Invariante (LIT), es Estable
si y sólo si La ROC de su Función de Transferencia
Incluye La Circunferencia de Radio Unidad”
Im
r1
1
r2
Re
Plano Z
Tratamiento de Señales
Causalidad y estabilidad de sistemas
discretos LIT
“Un Sistema Discreto Lineal e Invariante (LIT), con
Función de Transferencia racional es causal y estable si
y sólo si todos los polos de H(z) están dentro del circulo
de Radio
Unidad”
Im
r1
1
r2
Re
Plano Z
Tratamiento de Señales
Localización de polos y comportamiento en
el dominio del tiempo
Plano Z
Im
h[n]
1 Re
Plano Z
Im
0
n
0
n
h[n]
1 Re
Tratamiento de Señales
Localización de polos y comportamiento en
el dominio del tiempo
Plano Z
Im
h[n]
1
•••
1 Re
0
Plano Z
n
h[n]
Im
1
•••
1 Re
Tratamiento de Señales
0
n
Localización de polos y comportamiento en
el dominio del tiempo
Plano Z
Im
h[n]
1 Re
0
Plano Z
Im
n
h[n]
0
1 Re
Tratamiento de Señales
n
Localización de polos y comportamiento en
el dominio del tiempo
Im
Plano Z
h[n]
m=2
1 Re
Im
0
n
0
n
h[n]
Plano Z
m=2
1 Re
Tratamiento de Señales
Localización de polos y comportamiento en
el dominio del tiempo
Plano Z
Im
h[n]
m=2
•••
1 Re
n
0
Plano Z
Im
h[n]
•••
m=2
1 Re
n
0
Tratamiento de Señales
Localización de polos y comportamiento en
el dominio del tiempo
Plano Z
Im
h[n]
m=2
1 Re
0
n
0
n
h[n]
Im
Plano Z
m=2
1 Re
Tratamiento de Señales
Localización de polos y comportamiento en
el dominio del tiempo
Plano Z
Im
h[n]
r
ω0
1 Re
n
0
Im
h[n] 1
Plano Z
r
ω0
1 Re
Tratamiento de Señales
0
n
Localización de polos y comportamiento en
el dominio del tiempo
h[n]
Plano Z
Im
r
ω0
0
1 Re
Tratamiento de Señales
n
Función de Transferencia de Sistemas LIT
Descritos Mediante Ecuaciones Lineales en
Diferencias Finitas con Coeficientes Constantes.
N
∑a
k =0
M
k
y[n − k ] = ∑ bk x[n − k ]
k =0
N
M
k =0
k =0
Y ( z )∑ ak z − k = X ( z )∑ bk z − k
M
M
Y ( z)
H ( z) =
=
X ( z)
−k
b
z
∑k
k =0
N
−k
a
z
∑ k
k =0
Tratamiento de Señales
=
b0 ∏ (1 − ck z −1 )
k =1
N
a0 ∏ (1 − d k z −1 )
k =1
Función de Transferencia de Sistemas LIT
Descritos Mediante Ecuaciones Lineales en
Diferencias Finitas con Coeficientes Constantes.
M
M
H ( z) =
Im
−k
b
z
∑k
k =0
N
∑ ak z
−k
k =0
=
b0 ∏ (1 − ck z −1 )
k =1
N
a0 ∏ (1 − d k z −1 )
k =1
d 1 ≤ d 2 ≤ ... ≤ d P
1 Re
d 1 ≤ d 2 ≤ ... ≤ d i < 1
d i +1 = d i + 2 = ... = d i + S = 1
1 < d i + S +1 ≤ d i + S + 2 ≤ ... ≤ d P
Diagrama de ceros y polos
Tratamiento de Señales
LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
UNILATERAL
Definida como:
X+(s ) =
∞
∫ x ( t )e
( − st )
0−
x( t )
Tratamiento de Señales
X+( s )
dt
LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
UNILATERAL
EJEMPLO
x( t ) = A
∞
X+( s ) =
:
∫ Ae
0−
ROC
Re( s ) > 0
:
x ( t ) = δ( t )
[ − st ]
A
dt =
s
∞
:
X + ( s ) = ∫ δ( t )e [ − st ] dt =1
0−
ROC
Tratamiento de Señales
:
todo el plano s
Propiedades de la Transformada de
Laplace Unilateral
x(t ) ↔
X + (s)
Derivación en el dominio del tiempo
( )
( )
dx (t )
−
↔ sX + (s ) − x 0
dt
d 2 x(t )
2
−
'
−
(
)
↔
s
X
s
−
sx
0
−
x
(
0
)
+
2
dt
( )
d 3 x(t )
3
2
−
'
−
''
−
(
)
↔
s
X
s
−
s
x
0
−
sx
(
0
)
−
x
(
0
)
+
3
dt
Tratamiento de Señales
La Transformada z Unilateral
∞
X (z) = Z {x[n]} = Z{x[n]u[n]} = ∑ x[n]z
+
+
n=0
ROC: Siempre es el exterior de una circunferencia
Im
r1
Re
Plano Z
Tratamiento de Señales
−n
Propiedades de la Transformada Z Unilateral
+
x[ n ] ← ⎯ → X + ( z )
Z
Retardo temporal
k
⎡
n⎤
−k
+
Z
x[ n − k ] ←⎯→ z ⎢ X ( z ) + ∑ x[ − n ]z ⎥
n =1
⎣
⎦
+
k>0
Adelanto temporal
k −1
⎡
k
+
−n ⎤
Z
x[ n + k ] ←⎯→ z ⎢ X ( z ) − ∑ x[ n ]z ⎥
n=0
⎣
⎦
+
Tratamiento de Señales
k>0