Trabajo Práctico nº1

UADER - PROFESORADO Y LICENCIATURA DE MATEMATICA
GEOMETRIA I
TRABAJO PRACTICO Nº 1
PLANOS Y POLIEDROS
t
1. Tomar un punto y una recta en el plano determinado por la recta a y el punto B no pertenet
ciente a ella y que sean distintos de B y a , respectivamente
2. Tomar un punto y una recta en el planoα , determinado por 2 rectas en O y que sean distint
t
tos de O, de a y de b .
3. Tomar un punto y una recta en el plano α , determinado por 3 puntos A, B y C no alineados
y que sean distintos de éstos y de las rectas que ellos determinan. t t
4. Indicar la intersección de los planos α y β determinados por A y a y a y B, respectivame nt
te, si A y B no pertenecen a a y que α y β son distintos.
5. ¿Cuál es la intersección de los planos α y β determinados por los puntos A, B y C y por la
t
t
recta a y el punto D, respectivamente, si B y C pertenecen a a , y A y D son exteriores a
ella y α y β son distintos.
6. Si 4 puntos no están en un mismo plano, ¿3 cualesquiera de ellos pueden pertenecer a una
misma recta?. ¿Por qué?.
7. Dados 4 puntos A, B, C y D que no pertenecen a un mismo plano, probar que el cuadrilátero
plano MNPQ que se obtiene uniendo los puntos medios de los lados del “cuadrilátero alabeado” ABCD es un paralelogramo.
t t t
8. Demostrar que si 3 rectas a , b y c , se intersectan dos a dos, sin pasar por un mismo punto,
pertenecen al mismo plano.
t t t
9. Demostrar que si 3 rectas a , b y c , se intersectan dos a dos y no pertenecen al mismo plano,
pasan por un mismo punto.
10. ¿Cuántas mediatrices admite, en el espacio, un segmento?. ¿Por qué?. ¿Dónde están situadas?.
11. Dados dos puntos A y B situados en el mismo semiespacio respecto de α y A´B interfecta a
α en M, probar que AM + MB < AX + XB siendo X un punto cualquiera de α distinto de M
y AA´ ⊥ α en O y AO = A´O .
12. Calcular la distancia del punto P al plano α
P´
P
·
PPA
´ =18º20´
AP = 3 m
A
α
13. Calcular la proyección de AB sobre α y el ángulo ω
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AB = 50cm; BC = 30cm ; AA´ =10cm
B
A
ω
C
O
α
A´
B
r
t t
14. Dadas las rectas alabeadas a y b probar que si se determinan dos puntos A y B en a y
r
uuur
uuur
otros dos B y C en b , las rectas AC y BD son familias alabeadas
15. Expresar en símbolos las propiedades de la suma de diedros sabiendo que son las mismas
que la de la suma de números naturales, y construir la figura correspondiente a la propiedad
conmutativa.
16. Calcular la sección normal del diedro αβ sabiendo que un punto de la cara β dista 1,50m
de la arista y 75cm de la cara α
17. Puede demostrarse que un ·
ABC recto, que tiene un lado AB paralelo al plano α y otro BC
oblicuo a él se proyecta sobre ese plano α según un ·
A´B´C ´ . En base a ello: ¿qué figura es
la proyección de un rectángulo sobre un plano, si uno de sus lados pertenece a ese plano?.
V
18. Calcular la superficie de la proyección de la superficie del
α.
AB = 8m; A·
´MA = 30º; AM = h
A
h
B
A´
α
ABC equilátero sobre el plano
M
C
19. Si dos planos paralelos son cortados por un tercero, ¿cuáles son los diedros alternos internos,
los alternos externos, los correspondientes y los conjugados?. ¿Qué relaciones existirán entre ellos?.
20. Demostrar que si un diedro es trirrectángulo, sus caras son ángulos rectos.
21. Demostrar que si las caras de un triedro son ángulos rectos, el triedro es trirrectángulo.
22. Tres ángulos planos miden:
a) 70º, 90º y 50º
b) 120º,100º y 70º
c) 100º, 57º y 43º
d) 175º, 99º y 94º; ¿pueden ser caras de un mismo triedro?. ¿Por qué?.
23. ¿Qué diferencia hay entre un ángulo tetraedro y un tetraedro?
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24. Demostrar que dos diedros opuestos por el vértice son congruentes.
25. a) Demostrar que
V
HDP
es rectángulo
b) De todos los triángulos rectángulos de cateto HD y cuyo vértice
mayor área?. ¿Cuál es el de menor área?
H
G
D
P ∈ AB ,
¿cuál es el de
H
E
F
A
P
B
26. ¿Cuál de estos enunciados es correcto?
a) Si una recta corta a un plano y es perpendicular a 2 rectas del plano, es perpendicular
al plano.
b) Si una recta es perpendicular a 2 rectas de un plano es perpendicular al plano.
r
27. Dibuja en cada caso una recta a que reúna las condiciones indicadas:
r
r
a) a ⊂ α , a // α ;
r
r
b) a ⊂
/ α , a // α ;
r
r
c) a ⊂ α , a // α ;
r
r
d ) a ⊂α , a // α .
28. Dado un segmento AB , ¿qué figura determinan los puntos equidistantes de los extremos?
a) en el plano
b) en el espacio.
29. Defina al diedro recto, oblicuo, llano y cóncavo mediante su sección normal.
30. Defina mediante la sección normal:
a) bisector de un diedro,
b) diedros adyacentes,
c) diedros opuestos por el vértice.
31. ¿Se puede definir diedros complementarios, suplementarios y congruencia de diedros sin
hablar de sus secciones normales?
32. Todo segmento determinado por 2 puntos de las caras de un diedro corta a cualquier semiplano interior,
a) ¿se cumple siempre esta propiedad?,
b) ¿cuál es la propiedad correspondiente ene el plano?
33. La suma de 4 diedros es de 190º. Sus amplitudes forman una sucesión aritmética cuya diferencia es 25º. ¿Cuánto vale n los 4 diedros?
34. Dibuja un diedro convexo
r
π·
1π 2 y un punto P interior al mismo. Trazar por P la recta per-
pendicular a π 1 ( a ⊥ π1 por P). Indica en qué clases de diedros convexos se cumplen las siguientes
condiciones:
r
a) a corta a π 2
r
b) a no corta a π 2
r
c) a // π 2
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r
d) a ⊥ π 2
r
r
e) a puede cortar a la arista b
r
a
π2
•
P
r
b
π1
35. Se dan 3 puntos distintos de un plano.
a) ¿Es suficiente este dato para asegurar cuántas rectas determinan?
b) ¿Cómo deben estar alineados para obtener el mayor número de rectas?
c) ¿Cómo deben estar alineados para obtener el menor número de rectas?
d) ¿Puedes ubicarlos de tal manera que determinen dos rectas?
36. De los axiomas enunciados, ¿puedes deducir que la intersección entre 2 rectas distintas es
un conjunto unitario o vacío?. Justifica.
37. De los axiomas enunciados, ¿puedes deducir que fuera de una recta y fuera de un plano
existen infinitos puntos?. Justifica.
38. Demostrar que 2 recta paralelas (no coincidentes) determinan un punto en el que están incluidas.
39. Explicar por que es falsa la siguiente sentencia; “toda recta perpendicular a un plano es pe rpendicular a toda recta del plano”.
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