Ejercicios Derivabilidad Gráficas y monotonía, Parámetros, recta

ANÁLISIS
Col La Presentación Mat Aplicadas CC SS II
Ejercicio 1: Halla los puntos de corte, estudia la monotonía, asíntotas, representa gráficamente y estudia la
derivabilidad de las siguientes funciones:
a)
− x 2 − 2 x
f ( x) = 
 x 2 − 2 x
b)
− x 3 + 3 x + 2

f ( x) =  x 2
ln( x − 1)

c)
d)
e)
f)
e x + 3 − 1

x + 3

f ( x ) = − x 2 + 3

 x +1
 x
x<0
x≥0
x < −1
−1 ≤ x ≤ 1
x >1
x < −3
− 3 ≤ x ≤ −1
−1 < x < 1
x ≥1
− x 3 − 5 x 2 − 6 x

 x
f ( x) = 
 x −1
 Log 5 ( x − 1)

 − x2
+1

f ( x) =  2
e − x

 − 5 2 11
 4 x − 4 x

 2x −1
f ( x) = 
 x −1
ln( x − 3)


x<0
0 ≤ x ≤1
x >1
x<0
x≥0
si x < −1
si − 1 ≤ x ≤ 3
si x > 3
Ejercicio 2: Halla los parámetros imponiendo las condiciones siguientes:
a)
Halla los parámetros a, b, c en la función f ( x) = a x + b x + c para que la función corte el eje abscisas
2
en x=3 y tenga un máximo en el punto (0,9).
b)
Halla los parámetros a, b, c, d en la función f ( x) = a x + b x + c x + d para que la función tenga un
3
2
punto de inflexión en el (3,2) y tenga un mínimo en el punto (1,-5).
c)
Halla los parámetros a, b, c en la función f ( x) = a x + b x + c para que la función corte el eje ordenadas
2
en y=-2 y tenga un máximo en el punto (1,-4).
d)
Halla los parámetros a, c en la función f ( x) = a x + x + c para que la función tenga un punto de
2
tangencia horizontal en el punto (2,4).
e)
Halla los parámetros b, d en la función f ( x) = − x + b x + 2 x + d para que la función tenga un punto
3
2
de inflexión en el (3,2).
f)
Halla los parámetros a, b, c en la función f ( x) =
ax + 1
para que la función tenga como asíntota
bx − c
horizontal y=2 y asíntota vertical en x=1, también tiene un punto de corte con el eje OY en y=1.
ANÁLISIS
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Ejercicio 3: Rectas tangentes
a)
Dada la función del ejercicio 1 b) calcula la recta tangente en x=2.
b)
Dada la función del ejercicio 1 c) calcula la recta tangente en x=-4 y x=2.
c)
Dada la función del ejercicio 1 d) calcula la recta tangente en x=0’5.
d)
Calcula la recta tangente a la función f ( x) = x 3 − 3 x + 1 que tiene pendiente 2.
e)
Calcula la recta tangente a la función f ( x) = x 2 − 3 +
f)
Calcula la recta tangente a la función 1 c) que tiene pendiente 2 y 3.
x −1
que tiene pendiente -1.
x +1
Ejercicio 4: Obtención de propiedades de la Función a partir de la función derivada.
a)
Dada la función derivada f ' ( x) = x 2 − 3 x + 4 , represéntala, y estudia cuando f(x) crece y decrece y dónde
se encuentran los máximos y mínimos de la función f. Estudia la curvatura de f(x).
b)
 x 2 + 2 x
− x + 4
Dada la gráfica de f ' ( x) = 
−2 ≤ x <1
. Di cuáles son los intervalos de crecimiento,
1≤ x ≤ 5
decrecimiento y dónde están los máximos y mínimos. Calcula su punto de inflexión.
c)
Dada la gráfica de la figura estudia la monotonía y curvatura de la función f(x).