3. Sistemas inconsistentes y sis- temas indeterminados

3. Sistemas inconsistentes y sistemas indeterminados
3.1
Ejercicios resueltos
Ejercicio 3.1 Dado el sistema:
4x + 5y = 13
3x + 5y = 11
a) Realizar la factorización QR de la matriz, y resolverlo basándose en ella
a.1) Mediante el método de Gram-Schmidt,
a.2) Mediante transformaciones de Householder.
b) Calcular el número de condición euclı́deo del sistema inicial y del transformado, comprobando que son iguales.
Solución:
a) El sistema a resolver es Ax = b ⇐⇒
4 5
3 5
!
x
y
a.1) Utilizando el método de Gram-Schmidt:
!
!
4
5
v1 =
v2 =
+λ
3
5
!
=
4
3
13
11
!
!
v1 ⊥ v2 =⇒ h v1 , v2 i = 0 =⇒ 35 + 25λ = 0 =⇒ λ = − 7/5
por tanto,
"
!
25
1
−7
v2 =
5
25
4
3
!#
=
31
− 3/5
4/5
!
⇒ Q=
4/5
3/5
− 3/5
4/5
!
32
Álgebra Numérica
R = Q∗ A =
4/5
3/5
− 3/5
4/5
!
4 5
3 5
!
5 7
0 1
=
!
Se obtiene, por tanto, que A = QR donde Q es unitaria y R triangular superior. El sistema se transforma en otro triangular de la
manera siguiente:
Ax = b ⇐⇒ QRx = b ⇐⇒ Rx = Q∗ b
En nuestro caso:
Q∗ b =
4/5
3/5
− 3/5
4/5
!
13
11
!
quedándonos el sistema triangular
!
!
5 7
x
=
0 1
y
17
1
=
17
1
!
!
cuya solución es
x=2
y = 1.
a.2) Utilizando transformaciones de Householder se obtiene:
!
!
!
√
42 + 32
5
4
=
v =x−y =
x=
y=
0
0
3
2
H = I − ∗ vv ∗ =
v v
1 0
0 1
!
1
−
5
1 −3
−3
9
!
=
−1
3
4/5
3/5
3/5
− 4/5
!
!
Al sólo ser necesaria una transformación de Householder, se tiene
que
!
4/5
3/5
Q = H∗ = H =
3/5 − 4/5
!
!
!
4/5
3/5
4
5
5
7
R = Q∗ A = HA =
=
3/5 − 4/5
3 5
0 −1
Transformando el sistema obtenemos:
Ax = b ⇐⇒ QRx = b ⇐⇒ Rx = Q∗ b = Hb
3.1. EJERCICIOS RESUELTOS
33
Dado que
Hb =
4/5
3/5
3/5
− 4/5
!
13
11
!
nos queda el sistema triangular
!
!
5
7
x
=
0 −1
y
=
17
−1
17
−1
!
!
cuya solución
x=2
y = 1.
σ2
donde σ2 el
σ1
mayor y σ1 el menor de los valores singulares de la matriz A.
b) El número de condición euclı́deo viene dado por κ2 (A) =
Los valores singulares son las raı́ces cuadradas positivas de los autovalores de la matriz A∗ A.
Cuando calculamos el número de condición de la matriz R del sistema
transformado, realizaremos el mismo proceso con esta nueva matriz, es
decir, debemos calcular los autovalores de la matriz R∗ R.
Dado que
A∗ A =
∗
R R=
4 3
5 5
!
5 0
7 1
!
4 5
3 5
!
5 7
0 1
!
!
=
25 35
35 50
!
=
25 35
35 50
los valores singulares de las matrices A y R son los mismos, por lo que
se obtiene el mismo número de condición euclı́deo.
El polinomio caracterı́stico de A∗ A es p(λ) = λ2 − 75λ + 25, por
lo que sus autovalores son λ1 ' 74.665 y λ2 '√0.335 y, por tanto,
los valores
singulares de la matriz A son σ2 ' 74.665 ' 8.64 y
√
σ1 ' 0.335 ' 0.58, de donde
σ2
κ2 (A) = κ2 (R) =
' 14.9
σ1
Ejercicio 3.2 Resolver por el método de Householder el sistema:

  

1 −1 −1
x
0

  

0
1  y  =  4 
 2
−2
7
1
z
−7
34
Álgebra Numérica
Solución:


1


x= 2 
−2


3
 
y= 0 
0


−2


v1 = x − y =  2 
−2

H1 = I3 −
2
v v∗
v1∗ v1 1 1

2
1
= I3 −  −2
3
2

−2 2 

= I3 −
 2  −2
12
−2
 
1/3
−2
2
  2
2 −2  = 
/3
2
−2
2
− /3
Aplicando la transformación al sistema se


x
3 −5 − 1/3



1/3   y
4
 0
5/3
z
0
3
obtiene
 
2 −2
=

− 2/3

2/3 
1/3
2/3
1/3
2/3
22/3

  10 
 =  − /3 
1/3
Dado que la segunda transformación no va a afectar ni a la primera ecuación
ni a la primera columna de la matriz A, la calculamos sólo para el menor
asociado al elemento a11 .
4
3
x=
!
y=
5
0
!
H2
4
3
1/3
5/3
!
=
19/15
5
0 − 17/15
v2 = x − y =
−1
3
2
1
H2 = I2 − ∗ v2 v2∗ = I2 −
v2 v2
5
−1
3
!
−1 3
!
H2
− 10/3
1/3
=
!
=
Por lo que nuestro sistema ha quedado reducido a

  

22/3
3 −5
− 1/3
x

  

19/15   y  =  − 37/15 
5
 0
0
0 − 17/15
z
− 34/15
cuya solución es x = 1, y = −1, z = 2.
!
4/5
3/5
3/5
− 4/5
− 37/15
− 34/15
!
!
3.1. EJERCICIOS RESUELTOS
35
Ejercicio 3.3 Buscar la solución de mı́nimos cuadrados del sistema Ax = b,
siendo:


 
3 −1
0


 
A= 4
y
b= 2 
2 
0
1
1
a) A través de sus ecuaciones normales.
b) Por el método de Householder.
Solución:
a) Las ecuaciones normales, dadas por A∗ Ax = A∗ b son


 
! 3 −1
!
! 0
3 4 0 
3 4 0  
 x
=
2 
 4
 2 
−1 2 1
y
−1 2 1
0
1
1
Es decir:
25 5
5 6
!
x
y
!
=
8
5
!
sistema que es equivalente a
25 5
0 5
!
x
y
!
=
8
17/5
!
y cuya solución (la solución en mı́nimos cuadrados buscada) es
x=
23
,
125
y=
17
.
25
b)



  


3
kx1 k
5
−2
 

  


x1 =  4  =⇒ y1 =  0  =  0  =⇒ v1 = x1 −y1 =  4 
0
0
0
0


−2 2 

H1 = I3 − v∗2v1 2v1 v1∗ = I3 −
4  −2 4 0 =

1
20
0


3/5
4/5
0
 4

3
=  /5 − /5
0 
0
0
1
36
Álgebra Numérica
Aplicando la transformación al sistema, se obtiene


5
1


 0 −2 
0
1
Para que
(1)
x2
=
−2
1

!
x
y
8/5



=  − 6/5 
1
!
(1)
se transforme en
(1)
y2
kx2 k
0
=
!
=
√ !
5
0
(2)
construimos la transformación H2 de Householder asociada al vector
v2 =
(1)
x2
√
√
(2)
H2 =
− 2 5/5
√
5/5
√
2
−
5/5
(1)
y2
!
5/5
√ !
5
−2 −
1
=

1
0
√

2
5
=⇒ H2 =  0 − /5
√
5/5
0

0
√
5/5 

√
2 5/5
que aplicada al sistema anterior nos da

5 1
√ 

5 
 0
0 0

x
y
!


=

8/5
√
17/5
√
4/5
5


5
23
17
porlo que la pseudosolución del sistema es x =
,y=
y el error
125
25
4 viene dado por √ ' 0.3578.
5 5
3.2
Ejercicios propuestos
Ejercicio 3.4 Se considera el sistema de ecuaciones Ax = b con



A=

Se pide:
1
1
1
1
2
0
1
1






y


b=

3
2
0
1



.

3.2. EJERCICIOS PROPUESTOS
37
a) Calcular la pseudosolución, a través de las ecuaciones normales, utilizando el método de Cholesky.
Sol : x = 1, y = 1/2.
b) Sea v = (−1, 1, 1, 1)T . Demostrar que la transformación de Householder
asociada al vector v transforma la primera columna de la matriz A en el
vector (2, 0, 0, 0)T dejando invariante la segunda columna de A ası́ como
al vector b.
c) Calcular la pseudosolución del sistema utilizando transformaciones de
Householder, ası́ como la norma del error.
√
Sol : x = 1, y = 1/2, E = 3 2/2.
d) Si la matriz A del sistema fuese cuadrada y su número de condición fuese
mayor que 1, ¿qué ventajas e inconvenientes tendrı́a el resolver el sistema
multiplicando por la traspuesta de A y el resolverlo por transformaciones
de Householder?
Sol : Si κ(A) > 1, κ(AT A) >> 1 mientras que Householder no altera el
condicionamiento.
Ejercicio 3.5 Hallar la recta de regresión de los puntos:
(1.1, 5), (1, 5.1), (2, 7.3), (1.8, 6.9), (1.5, 6.1), (3, 8.8), (3.1, 9) y (2.9, 9.1)
Sol : y = mx + n = 1.959803x + 3.1449029.
Ejercicio 3.6 Hallar la parábola de regresión de los puntos:
(1, 0), (0, 0), (−1, 0), (1, 2) y (2, 3)
1
1
Sol : y = ax2 + bx + c = x2 + x.
2
2
Ejercicio 3.7 Dado el sistema superdeterminado:



1 1 0  
1
 1 0 1  x
 2

  

 y  = 
 1 1 1 
 0
z
1 2 1
−1





calcular, mediante transformaciones de Householder, la solución en mı́nimos
cuadrados (pseudosolución) ası́ como la norma del error.
√
Sol : x = 5/2, y = −3/2, z = −2/3, kEk = 6/6.
38
Álgebra Numérica
Ejercicio 3.8 Resolver el sistema


2
1


0 
 2
−1
2
x
y
!


1


= 1 
−5
y obtener la norma del error:
a) Mediante sus ecuaciones normales.
b) Mediante transformaciones de Householder.
c) Hallando la inversa generalizada de la matriz del sistema.
√
Sol : x = 1, y = −9/5, kEk = 3 5/5, A+ =
2/9 −1/9
0
2/5
2/9
1/5
!
Ejercicio 3.9 Se considera el sistema superdeterminado Ax = b con




7
1 7 15
 7 
 1 4 8 




A=

 y b=
 −5 
 1 0 1 
1 3
6
−9
a) Resolverlo mediante transformaciones de Householder, dando la norma
del vector error.
Sol : x1 = −8, x2 = −2, x3 = −2, kEk = 10.
b) Hallar la inversa generalizada A+ de la matriz A.


−49
43
49
57
1 

Sol : A+ =
98 .
 −86 102 −114
100
50 −50
50 −50
c) Utilizar la inversa generalizada para resolver el sistema y hallar la norma
del vector error.
Ejercicio 3.10 Resolver el sistema superdeterminado



−3
1
1  
8
x
 1 −3


1    4


 y  = 
 1
 0
1 −3 
z
1
1
1
4





3.2. EJERCICIOS PROPUESTOS
39
calculando la inversa generalizada de la matriz A.


1/4
− 1/4
0
0


1/4 
Sol : x = −1, y = 0, z = 1, kEk = 8, A+ = 
0 − 1/4
0
0
0 − 1/4 − 1/4
Ejercicio 3.11 Dado sistema superdeterminado Ax = b con




1 5 5
7
 1 2 3 
 16 




A=
y
b=


 1 1 3 
 −3 
1 2 1
10
a) Resolverlo mediante transformaciones de Householder, dando la norma
del vector error.
Sol : x = 9, y = 3, z = −3, kEk = 12.
b) Teniendo en cuenta el rango de la matriz A, hallar su inversa generalizada.


−20 10
12
34
1 

Sol : A+ =
8 −4 −12
8 .

36
3
3
9 −15
c) Utilizar la inversa generalizada obtenida en el apartado anterior para
calcular la pseudosolución del sistema y hallar la norma del vector error.
Ejercicio 3.12 Consideremos el sistema de ecuaciones Ax = b, con


 
!
2 −2
6
x1


 
A =  1 −1  , x =
y b =  3 ,
x2
−2
2
3
y un vector unitario u. Se pide:
a) Demostrar que si H = I − 2uuT es la matriz de Householder, asociada al
vector u, entonces: H es ortogonal, H 2 = I y kHak2 = kak2 cualquiera
que sea el vector a.
b) Obtener la matriz de Householder que transforma el vector (2, 1, −2)T
en otro de la forma (α, 0, 0)T , con α > 0.
40
Álgebra Numérica

2

Sol : H =  1
−2

1 −2

2
2 .
2 −1
c) Aplicando el método de Householder, probar que el sistema Ax = b
posee infinitas soluciones en cuadrados mı́nimos y que el error cometido,
al considerar cualquiera de ellas, es el mismo.
Sol : x = (1 + λ, λ)T ∀ λ ∈ R, kEk = 3.
d) Obtener la pseudosolución del sistema Ax = b.
Sol : ( 1/2 , − 1/2)T .
Ejercicio 3.13 Sea el sistema Ax = b, donde


!
0 3
x


y
A =  −3 5  , x =
y
4 0

−10


b=
6 .
−8

a) Probar que la matriz AT A es definida positiva, obteniendo la factorización de Cholesky.
!
!
!
25
−15
5
0
5
−3
Sol : AT A =
=
.
−15
34
−3
5
0
5
b) Plantear la iteración Xn+1 = L1 · Xn + c que se obtiene de aplicar el
método de Gauss-Seidel a las ecuaciones normales del sistema Ax = b.
¿Será convergente el proceso iterativo a la pseudosolución?
!
!
!
0 3/5
xn
−2
Sol : xn+1 =
+
. Convergente por ser un
0 9/34
yn
− 15/17
sistema de diagonal dominante.
c) Hallar la matriz Hu = I − βuuT de la reflexión que transforma el vector
a = (0, −3, 4)T en el vector r = (−5, 0, 0).


0
15 −20
1 

Sol : Hu =
16
12 .
 15
25
−20
12
9
d) Obtener la solución en mı́nimos cuadrados del sistema Ax = b, utilizando
el método de Householder, y determinar la norma del error.
3.2. EJERCICIOS PROPUESTOS
41
Sol : x = −68/25, y = −6/5, kEk = 8.
e) Sin haber resuelto el apartado anterior, ¿podrı́an predecirse Hu A y Hu b
de las relaciones geométricas entre L =< u >, L⊥ y los vectores columnas
implicados?
Sol : Sı́. Si A = (a1 a2 ), Hu a1 = (−5, 0, 0)T , Hu a2 = a2 , Hu b = −b.
Ejercicio 3.14 Se considera el

3

A= 4
12
sistema superdeterminado Ax = b con



2
3



5  y b= 1 
0
13
a) Calcular la pseudosolución (solución de mı́nimos cuadrados) ası́ como la
norma del error utilizando transformaciones de Householder.
Sol : x = 71/65, y = −3/5, kEk = 1.


1 0 0


b) Sea T =  0 1 0  la matriz asociada a la transformación elemen0 0 1/12
tal que divide por 12 la tercera de las ecuaciones del sistema:




!
3
3 2
 x



= 1 
T Ax = T b ⇐⇒  4 5 
y
13/12
1 0
Calcular su pseudosolución haciendo uso de las ecuaciones normales. Determinar la norma del error.
√
Sol : x = 113/72, y = −37/36, kEk = 5 78/72.
c) ¿A qué se debe que no coincidan las pseudosoluciones obtenidas en los
dos apartados anteriores? ¿Qué habrı́a ocurrido si la matriz T hubiese
sido unitaria?
Sol : T no es unitaria. Si T hubiese sido unitaria se hubiesen obtenido
las mismas pseudosoluciones.
Ejercicio 3.15 Sea el sistema Ax = b, donde


!
3 −2
x


y
A= 0
3 , x =
y
4
4


2
 
b =  0 .
1
42
Álgebra Numérica
a) Probar que la matriz B = AT A es definida positiva, obteniendo la factorización de Cholesky B = GT G.
!
!
25 10
5 2
Sol : B =
, G=
.
10 29
0 5
b) Hacer uso de la factorización obtenida en el apartado anterior para hallar
la pseudosolución mediante las ecuaciones normales del sistema. Calcular
el número de condición, κ∞ (B), de la matriz B para la norma k k∞ .
¿Hasta que punto se podrı́a considerar fiable la pseudosolución obtenida
con aritmética de ordenador?
Sol : x = 58/125, y = −4/25, κ∞ (B) = 1521/625 ' 2.4336. Es fiable.
c) Hallar la matriz de la reflexión (matriz de Householder) Hu que transforma el vector a = (3, 0, 4)T en el vector r = (−5, 0, 0)T . Una vez determinado el vector u, justificar que se pueden conocer Hu A y Hu b sin
necesidad de efectuar los productos.


− 3/5
0 − 4/5


Sol : Hu = 
0
1
0 . Si A = (a1 a2 ), Hu a2 = a2 H2 b = −b.
3/5
− 4/5
0
d) Obtener la solución en mı́nimos cuadrados del sistema Ax = b, utilizando
el método de Householder y determinar la norma del error. Operando
con el ordenador, ¿puede obtenerse una pseudosolución distinta de la
obtenida en el apartado b? Si ası́ ocurriera, ¿puede ser mayor el error?
Sol : x = 58/125, y = −4/25, kEk = 3/5. Es posible obtener en el
ordenador soluciones distintas. Nunca, ya que las transformaciones de
Householder son unitarias.
Ejercicio 3.16 Sea el sistema Ax = b, donde


 
1 −1
2
x


 
A= 0
3 −3  , x =  y 
0 −4
4
z

y

0
 
b =  1 .
2
a) Hallar kAk∞ . ¿Qué se puede decir sobre el número de condición de la
matriz A para la norma infinito? ¿Qué estimación darı́a MATLAB para
el número de condición espectral obtenido con el comando cond(A)?
Sol : cond(A) = ∞.
3.2. EJERCICIOS PROPUESTOS
43
b) Utilizar la descomposición LU de la matriz AT A para resolver el sistema
AT Ax = AT b. ¿Qué propiedad caracteriza a las soluciones en relación al
sistema Ax = b? Interpreta geométricamente el resultado.
Sol : x = t − 1/5, y = 3t − 1/5, z = t.
c) Encontrar una matriz ortogonal Q que transforme el vector a= (0, 3, −4)T
en el vector r = (0, 5, 0)T . Obtener la norma del error para las soluciones
en mı́nimos cuadrados del sistema QAx = Qb.


1
0
0


3/5 − 4/5 . kEk = 2.
Sol : Q =  0
0 − 4/5 − 3/5
d) ¿Qué relación hay entre las soluciones obtenidas en los apartados anteriores?
Si se obtienen las soluciones en mı́nimos cuadrados del sistema Ax = b,
escalonando previamente la matriz A, ¿se debe obtener mismo resultado
que en alguno de los apartados anteriores?
Sol : Son las mismas. No, el escalonado no se hace mediante transformaciones unitarias.


2
3
4
−
25

 3 25
 1 3
4 
e) Probar que la matriz P =  3 25 − 25
 es la pseudoinversa de A,


1
0
0
3
verificando las propiedades de Penrose. (Hacer la comprobación sólo con
dos de ellas).
De entre todas las soluciones en mı́nimos cuadrados del sistema Ax = b,
hallar la de menor norma euclı́dea.
Solución: x = −1/5, y = −1/5, z = 0.
Ejercicio 3.17
a) En lo que sigue, Hv denota la transformación de Householder asociada al
vector v. Sean x, y, v, z vectores no nulos, con Hv x = y y z ⊥ v. Probar
que Hv v = −v y Hv z = z. Determinar razonadamente todos los vectores
w tales que Hw x = y.
44
Álgebra Numérica
b) Se considera el sistema de ecuaciones dado por

  

1
0
− 12
x
2

  

2
1   y  =  −1 
 1
1
0 −1
z
−1
b.1) Estudiar el condicionamiento del sistema, utilizando la norma 1.
Sol : κ1 (A) = 6.
b.2) Resolver el sistema por medio de transformaciones de Householder.
Sol : x = −2, y = 1, z = −1.
b.3) Desde un punto de vista numérico, ¿serı́a razonable resolver el sistema escalonando por Gauss? Razonar la respuesta.
Sol : No.
4 1 4a
c) Demostrar que el vector c = (− , , − − 1)T y la matriz
3 2
3


0 − 23
0


L1 =  0
0 − 21 
0 − 2a
0
3
son los propios del método de Gauss-Seidel asociado al sistema
  


3
x
−2
1
0
2
  


2
1  y  =  1 
 0
a
0 −1
z
1
d) Estudiar, en función del parámetro a, el carácter diagonal dominante
por filas de la matriz de coeficientes del sistema dado, ası́ como el radio
espectral de L1 . ¿Para qué valores de a es convergente el método anterior?
p
Sol : Diagonal dominante si |a| < 1, ρ(L1 ) = a/3. Converge si |a| < 3.
e) Para a = 0 el método resulta convergente. Utilizando aritmética exacta,
y tomando como vector inicial x0 = (0, 0, 0)T , realizar dos iteraciones,
acotando el error cometido. Razonar qué ocurre cuando se itera por
tercera vez. ¿Hubiera ocurrido otro tanto al trabajar con aritmética de
ordenador?
3.2. EJERCICIOS PROPUESTOS
45




− 4/3
− 5/3




Sol : x1 =  1/2  y x2 = 
1  , kEk = 1/2. x3 es la solución
−1
−1
exacta pero con aritmética de ordenador es sólo una buena aproximación.
Ejercicio 3.18 Sea el sistema Ax = b, donde


 
!
1 1
2
x


 
A =  α 0 , x =
y b= β 
y
−2 2
γ
con
α > 0 y β, γ ∈ R
a) Hallar α sabiendo que que existe una matriz de Householder, Hv , que
transforma la primera columna de la matriz A en el vector r = (3, 0, 0)T .
¿Quién es Hv ?


1/3
2/3 − 2/3


1/3
2/3 .
Sol : α = 2, Hv =  2/3
2/3
1/3
− 2/3
b) Determinar el conjunto de vectores b para los que se verifica Hv b = b,
siendo Hv la matriz del apartado anterior. Encontrar, entre ellos, el que
tiene menor norma euclı́dea.
Sol : b = (2, β, β − 2)T con β ∈ R. (2, 1, −1)T .
c) Hallar la pseudosolución del sistema Ax = bm , para α = 2 y bm =
(2, 1, −1)T , utilizando transformaciones ortogonales para determinar el
error.
Sol : x = 5/6, y = 1/2, kEk = 1.
d) Probar que si una matriz real B tiene sus columnas linealmente independientes, entonces B T B es definida positiva.
e) Sea el sistema AT A x = AT bm , con α y bm como en el apartado (c).
e.1) ¿Serı́a posible utilizar una descomposición AT A = GGT , con G
triangular inferior, para resolver el sistema?
Sol : Sı́, AT A admite factorización de Cholesky.
e.2) Utilizando la norma k k∞ para medir el condicionamiento, ¿es un
sistema mal condicionado para utilizar aritmética de ordenador en
46
Álgebra Numérica
su resolución?
Sol : No.
e.3) Sea (s0 , s1 , s2 , . . .) la sucesión que se obtiene al aplicar el método
de Gauss-Seidel al sistema, con s0 = (0, 0)T . Probar que, operando
en aritmética exacta, la sucesión (sn ) es convergente y obtener su
lı́mite s.
Sol : AT A simétrica y definida positiva =⇒ Gauss-Seidel converge.
Al tratarse de las ecuaciones normales, lo hace a la pseudosolución.
Ejercicio 3.19 Se considera el sistema Ax = b con




!
0 5
5
x




A =  3 0 , x =
y b= 2 
y
4 0
11
a) ¿Existe alguna transformación de Householder que permute las columnas
de la matriz A? Justificar la respuesta.
Sol : Sı́, ambas tienen igual norma.
b) Calcular la pseudosolución del sistema mediante transformaciones de
Householder dando la norma del vector error.
Sol : x = 2, y = 1, kEk = 5.
c) Calcular la inversa generalizada A+ de la matriz A a través de su descomposición en valores singulares y hacer uso de ella para encontrar la
pseudosolución del sistema Ax = b dando la norma del vector error.
!
3/25 4/25
0
Sol : A+ =
1/5
0
0
d) ¿Hubiésemos podido, en éste caso, calcular la inversa generalizada sin
necesidad de realizar su descomposición en valores singulares?
Sol : Sı́ ya que rg A = 2.
Ejercicio 3.20 Se considera el sistema Ax = b con


 
!
1
2
1
x


 
A= 4
y b= 5 
8 , x =
y
−1 −2
3
3.2. EJERCICIOS PROPUESTOS
47
Determinar la pseudosolución del sistema dando la norma del error:
a) Mediante transformaciones de Householder.
√
Sol : x = 1/5, y = 2/5, kEk = 17.
b) A través de la inversa generalizada de la matriz A.
Sol : A+ =
1/90
2/45
1/45
4/45
− 1/90
− 1/45
!
.
Ejercicio 3.21 Hallar la pseudosolución del sistema Ax = b en el que




65
3 −4




A= 4
3  y b =  −65 
0
0 12
ası́ como la norma del error a través de la pseudoinversa de la matriz A calculada mediante la descomposición en valores singulares.


3/25
4/25
0
 , x = −13/5, y = −35/13, kEk = 84.
Sol : A+ = 
4
3
12
− /169 /169
/169
Ejercicio 3.22 Se considera el sistema superdeterminado Ax = b con



A=

2
1
2
0
1 −2
0
2






x=
x
y
!
y


b=

3
6
0
3





a) Encontrar una transformación de Householder que transforme la primera
columna de la matriz A en el vector r = (3, 0, 0, 0)T .


2/3
2/3
1/3
0
 2/ − 1/ − 2/
0 
3
3
 3

Sol : H = 
.
2/3
 1/3 − 2/3
0 
0
0
0
1
b) Probar que el producto de dos matrices de Householder es una matriz
unitaria.
48
Álgebra Numérica
Hallar una matriz ortogonal Q tal que A = QR siendo R una matriz
triangular superior de las mismas dimensiones que A.


2/3
1/3
2/3
0
 2/
0 − 1/3 − 2/3 
 3

Sol : Q = 
.
1
2
2
 /3 − /3
/3
0 
0
2
2 − 1/3
c) Probar que si Q es ortogonal, los sistemas Ax = b y QT Ax = QT b tienen
las mismas soluciones en mı́nimos cuadrados.
Hallar el error cometido al obtener la pseudosolución del sistema Ax = b,
utilizando transformaciones ortogonales.
Sol : x = 2, y = 1, kEk = 3.
d) Teniendo en cuenta el rango de la matriz A, calcular el vector s = A+ b
donde A+ representa la pseudoinversa de la matriz A.
!
1/9
2/9
2/9
0
.
Sol : A+ =
1/9
0 − 2/9 2/9
e) Sea xn+1 = L1 xn +c la sucesión resultante de aplicar el método de GaussSeidel a la resolución de las ecuaciones normales del sistema Ax = b.
¿Cuántas iteraciones son necesarias para la convergencia del método?
Determina la pseudosolución ası́ como la norma del error.
Sol : Sólo una iteración.
Ejercicio 3.23 El equipo Astronomı́a para aficionados, adquirido por el profesor Dana este verano, permitı́a determinar el plano Π ≡ αx + βy + γz = 1
donde se encuentra la trayectoria de Marte alrededor del Sol. En las instrucciones indicaba introducir en el “calculador mágico” una serie de coordenadas
locales (xi , yi , zi ), obtenidas con el “telescopio marciano”, y automáticamente
proporcionarı́a los coeficientes α, β, γ. Entre otras cosas, sugerı́a introducir
entre 5 y 10 coordenadas para que el ajuste obtenido en el sentido de
los mı́nimos cuadrados promediara “cientı́ficamente” los errores de observación...
a) Plantear el sistema superdeterminado, Aα= b, con α=(α, β, γ)T , para
determinar el plano Π, cuando las coordenadas locales son
(2, 1, 0), (−1, 2, 1), (0, 1, 2), (−1, 0, 1), (0, 1, 0).
3.2. EJERCICIOS PROPUESTOS
49
¿Puede ser nulo el error cometido para la pseudosolución del sistema?
Sol : El error no puede ser nulo.
b) Poniendo A = [a1 a2 a3 ], donde ai indica la correspondiente columna de
A, razonar si es posible encontrar una transformación de Householder
que transforme a1 en a2 . Hallar una matriz unitaria, Q, de modo que
Qa1 = a3 .


0
0
1
0
0
 0 −1
0
0
0 


.
1
0
0
0
0
Sol : Q = 


 0
0
0 −1
0 
0
0
0
0
1
c) Obtener las ecuaciones normales, Bα= c, del sistema inicial Aα= b.
¿Está la matriz B mal condicionada para la norma || ||∞ ?
Sol : κ∞ (B) = 15/2. Bien condicionada.
d) Probar que los métodos iterados de Jacobi y Gauss-Seidel aplicados al
sistema Bα= c son convergentes. ¿Cuál de ellos converge más rápido?
Sol : Gauss-Seidel más rápido que Jacobi.
e) Partiendo de α0 = (0, 0, 0)T , obtener la aproximación α3 , al aplicar 3
pasos del método de Gauss-Seidel al sistema Bα= c, operando con dos
cifras decimales. ¿Cuál es el error obtenido al tomar α3 como la solución
en mı́nimos cuadrados de Aα= b?
Sol : α3 = (0.09, 0.55, 0.33)T con kE3 k ' 1.01.


1 5 5


Ejercicio 3.24 Dada la matriz A =  1 2 1 , se pide:
1 2 3
a) Estudiar si admite factorizaciones LU y/o de Cholesky.
Sol : Sólo LU .
b) Utilizar dichas factorizaciones
(encasode existir) para resolver el sistema
 
x
3
 
 
Ax = b con x =  y  y b =  2 .
z
1
50
Álgebra Numérica
Sol : x = 1/2, y = 1, z = −1/2.
c) Resolver, mediante transformaciones de Householder el sistema superdeterminado resultante de añadir a nuestro sistema la ecuación x+y +3z =
α. Hallar la norma del error.
Sol : x = (2α + 3)/6, y = (3 − α)/3, z = (α − 2)/4, kEk = |α|/2.
d) ¿Se puede calcular el valor de α que minimiza la norma del error sin
resolver el sistema anterior?
Sol : Sı́, α = 0.
Ejercicio 3.25 En R4 se busca un hiperplano de la forma αx + βy + γz = t
que pase por los puntos





x
y
z
t
  
1
1



 0   2

 

 ∈  

 0  4




1
0

  
−1 


  0 
 
 
  1 



2
a) Plantear el sistema de ecuaciones y resolverlo usando la factorización LU
de la matriz del sistema.
Sol : El hiperplano buscado es 7y − 4z + 2t = 0.
b) Comenzando por el vector x0 = (2, 2, 2)T , resolverlo iterativamente por
los métodos de Jacobi y Gauss-Seidel. ¿Qué método es más rápido?
Razona la respuesta.
Sol : Jacobi 3, Gauss-Seidel 1 aunque ambos son igualmente convergentes.
c) Al obligar que, además, pase por el punto (−1, 2, 0, −1) se obtiene una
ecuación más que hace incompatible al sistema.
Usar transformaciones de Householder para encontrar la pseudosolución
del sistema incompatible dando la norma del error.
p
Sol : x = −2/3, y = −8/9, z = 8/9, kEk = 2/3.
Ejercicio 3.26 Se sabe que un móvil en R3 sigue una velocidad instantánea
dada por una expresión de la forma V (x, y, z) = ax + by + cz con a, b, c ∈ R.
3.2. EJERCICIOS PROPUESTOS
51
Con un velocı́metro se han tomado los datos siguientes:
V (1, 2, − 53 )
V (1, 2, −4)
V (2, −1, 2)
V (1, 0, −2)
V (3, 2, −1)
=
=
=
=
=
−3
2
−2
−1
−2
a) Demostrar que el velocı́metro está desajustado. Es decir, que los datos
obtenidos son incompatibles.
b) Una vez planteado el sistema incompatible y usando las ecuaciones normales de dicho sistema, usar el método de Cholesky para calcular el
grado de desajuste del velocı́metro. Es decir, el error al suponer la pseudosolución como los verdaderos valores de a, b y c.
Sol : kEk = 3.0651.
c) Calcular el error usando transformaciones de Householder en el sistema
incompatible.
Sol : kEk = 3.0651.