Matemáticas Aplicadas a las CC.SS. 2º Bachillerato Ejercicios de

Matemáticas Aplicadas a las CC.SS.
2º Bachillerato
Ejercicios de estadística y probabilidad
1. Se supone que la presión diastólica en una determinada población se puede aproximar
por una variable aleatoria con distribución normal de media 98 mm y desviación típica
15 mm. Se toma una muestra aleatoria simple de tamaño 9.
a. Calcúlese la probabilidad de que la media muestral sea mayor que 100 mm.
b. Si se sabe que la media muestral es mayor que 100 mm, ¿cuál es la
probabilidad de que sea también menor que 104 mm?
Solución:
N(98; 15) n = 9 => sigue una distribución N(98; 5)
a. P(
100) =
b. Sea A =
y sea B =
:
2. La media de las precipitaciones anuales de una región es de 2000 ml/m3, con una
desviación típica de 300 ml/m3. Calcula, suponiendo que la distribución es normal, la
probabilidad de que en un año determinado la lluvia no supere los 1200 ml/m3.
Solución:
P(X<1200) = 0,0038
3. Un saco que contiene 400 monedas es vaciado sobre una mesa. Halla la probabilidad
de que:
a. Aparezcan más de 210 caras.
b. El número de caras sea menor que 180.
c. El número de caras esté comprendido entre 190 y 210, ambos incluidos.
Solución:
B(400; 0.5) N(200,10)
a. P(X > 210) = 0,1469
b. P(X < 180) = 0,0202
c. P(190 ≤ X ≤ 210) = 0,7062
4. El 12% de las barras de pan que produce una tahona no dan el peso mínimo exigido. Se
toma una muestra aleatoria de 80 barras:
a. ¿Cuál es la distribución que sigue la proporción de barras que no dan el peso
debido de la muesta?
b. Halla la probabilidad de que haya más de 15 barras deficientes.
Solución:
a. N(0,12; 0,036)
b.
5. El peso de los coches de uso turístico sigue una distribución normal N(1100kg, 150kg).
Por seguridad, un barco que admitiría hasta 62 000 kg de carga solo admite 50 coches
como máximo en cada viaje. ¿Cuál es la probabilidad de que un día determinado el
peso de los 50 coches sobrepase el límite del peso máximo?
Solución:
P(T > 62 000) = P (Z > 6,6) = 0
6. Se consideran tres sucesos A, B y C de un experimento aleatorio, tales que:
, P ( A | C)  P (B | C).
P ( A | C)  P (B | C)
Razónese cuál de las siguientes desigualdades es siempre cierta:
a.
P ( A)  P (B) ;
b. P (A)  P (B).
Nota.- C representa el suceso complementario de C.
Solución:
La b), P (A)  P (B).
7. Se considera una variable aleatoria con distribución normal de desviación típica igual a
320. Se toma una muestra aleatoria simple de 36 elementos.
a. Calcúlese la probabilidad de que el valor absoluto de la diferencia entre la
media muestral y la media de la distribución normal sea mayor o igual que 50.
b. Determínese un intervalo de confianza del 95% para la media de la
distribución normal, si la media muestral es igual a 4820.
Solución:
a. Lo que se pide es el nivel de significación, α, para un error máximo admisible E=50.
b. IC=(4715,47; 4924,53)
8. Se consideran los siguientes sucesos:
Suceso A: La economía de un cierto país está en recesión.
Suceso B: Un indicador económico muestra que la economía de dicho país está en
recesión.
Se sabe que: P (A)  0,005 ;
P (B | A)  0,96
P (B | A)  0,95 ;
a. Calcúlese la probabilidad de que el indicador económico muestre que la
economía del país no está en recesión y además la economía del país esté en
recesión.
b. Calcúlese la probabilidad de que el indicador económico muestre que la
economía del país está en recesión.
Nota.- La notación A representa el suceso complementario de A.
Solución:
a.
b. P(B) = 0,005 · 0,95 + 0,995 · 0,04 = 0,04455
9. Para estimar la media de una población con distribución normal de desviación típica
igual a 5, se ha extraído una muestra aleatoria simple de tamaño 100, con la que se ha
obtenido el intervalo de confianza (173,42; 175,56) para dicha media poblacional.
a. Calcúlese la media de la muestra seleccionada.
b. Calcúlese el nivel de confianza del intervalo obtenido.
Solución:
a.
b. 1 – α = 0,9676 nivel de confianza = 96,76%.
10. Una bolsa contiene diez monedas equilibradas. Cinco de dichas monedas tienen cara y
cruz, otras tres son monedas con dos caras y las dos restantes son monedas con dos
cruces. Se elige al azar una moneda de la bolsa y se lanza.
a. Calcúlese la probabilidad de que salga cara en dicho lanzamiento.
b. Si en el lanzamiento ha salido cara, ¿cuál es la probabilidad de que la moneda
elegida tenga cara y cruz?
Solución:
Se designa por C el suceso cara y por X el suceso cruz.
La situación se muestra en el siguiente diagrama de
árbol.
a. P(C) = P(C−X) · P(C/C−X) + P(C−C) · P(C/C−C) + P(X−X) · P(C/X−X) = 0,5 · 0,5 + 0,3 · 1 +
0,2 · 0 = 0,55.
b.
P C  X / C  
P C  X   P C / C  X  0,5  0,5 25
5



.
P C 
0,55
55 11
11. Se supone que el peso en kilos de los rollos de cable eléctrico producidos por una
cierta empresa, se puede aproximar por una variable aleatoria con distribución normal
de desviación típica igual a 0,5 kg. Una muestra aleatoria simple de 9 rollos ha dado un
peso medio de 10,3 kg.
a. Determínese un intervalo de confianza al 90% para el peso medio de los rollos
de cable que produce dicha empresa.
b. ¿Cuál debe ser el tamaño muestral mínimo necesario para que el valor
absoluto de la diferencia entre la media muestral y la media poblacional sea
menor o igual que 0,2 kg, con probabilidad igual a 0,98?
Solución:
a. El intervalo de confianza de la media poblacional, para las muestras de tamaño
muestral n de media x y desviación típica  es:


 x  Z  , x  Z   , siendo Z




n
n 
2
2
2

el valor correspondiente en la tabla normal para
una confianza de 1  .
Para x = 10,3,  = 0,5, n = 9 y, para el 90 % de confianza, Z  = 1,645, se tendrá.
2


10,3  1,645  0,5 , 10,3  1,645  0,5  = (10,026,

9
9 

b. El error admitido E, viene dado por E  Z 
2

n
10,574)
.
Para 1 −  = 0,98, Z  = 2,33. Si se desea que E < 0,2 se tendrá:
2
2,33 
0,5
n
 0,2

n 
2,33  0,5
 5,825
0,2
El tamaño muestral mínimo debe ser 34.
 n > 33,9