Programación III. Guía 3. 1 Facultad: Ingeniería Escuela: Computación Asignatura: Programación III Tema: Teoría de la Complejidad Objetivos Específicos Aplicar las reglas teóricas para el cálculo de eficiencia de algoritmos. Comparar tiempos de ejecución de distintos algoritmos. Materiales y Equipo Guía Número 3. Computadora con programa Microsoft Visual C#. Introducción Teórica Tiempo de Ejecución Una medida que suele ser útil conocer es el tiempo de ejecución de un programa en función de N, lo que denominaremos T(N). Esta función se puede medir físicamente (ejecutando el programa, reloj en mano), o calcularse sobre el código contando instrucciones a ejecutar y multiplicando por el tiempo requerido por cada instrucción. Así, un trozo sencillo de programa como: S1; for(int i= 0; i<N; i++) { S2; } Requiere: T(N) = t1 +t2*N 2 Programación IV. Guía 2. Siendo t1 el tiempo que lleve ejecutar la serie “S1” de sentencias, y t2 el que lleve la serie “S2”. Prácticamente todos los programas reales incluyen alguna sentencia condicional, haciendo que las sentencias efectivamente ejecutadas dependan de los datos concretos que se le presenten. Esto hace que más que un valor T(N) debamos hablar de un rango de valores Tmin(N) < = T(N) < = Tmax(N) Los extremos son habitualmente conocidos como “caso peor” y “caso mejor”. Entre ambos se hallara algún “caso promedio” o más frecuente. Cualquier fórmula T(N) incluye referencias al parámetro N y a una serie de constantes “Ti” que dependen de factores externos al algoritmo como pueden ser la calidad del código generado por el compilador y la velocidad de ejecución de instrucciones del ordenador que lo ejecuta. Dado que es fácil cambiar de compilador y que la potencia de los ordenadores crece a un ritmo vertiginoso (en la actualidad, se duplica anualmente), intentaremos analizar los algoritmos con algún nivel de independencia de estos factores; es decir, buscaremos estimaciones generales ampliamente válidas. Con frecuencia nos encontraremos con que no es necesario conocer el comportamiento exacto, sino que basta conocer una cota superior, es decir, alguna función que se comporte “aun peor”. La definición matemática de estos conjuntos debe ser muy cuidadosa para involucrar ambos aspectos: identificación de una familia y posible utilización como cota superior de otras funciones menos malas: Matemáticamente se dice que el conjunto O(f(n)) es el de las funciones de orden de f(n), que se define como: O(f(n)) ={g:INTEGER-> REAL + tales que Existen las constantes k y N0 tales que Para todo N>N0, g(N) <=K*F(N) } Si lo interpretamos en palabras, significa que O(f(n)) está formado por aquellas funciones g(n) que crecen a un ritmo menor o igual que el de f(n). De las funciones “g” que forman este Programación III. Guía 3. 3 conjunto O(f(n)) se dice que “están dominadas asintóticamente” por “f” en el sentido de que para N suficientemente grande, y salvo una constante multiplicativa “K”,f(n) es una cota superior de g(n). Órdenes de Complejidad: La familia O(f(n)) define un Orden de Complejidad. Elegiremos como representante de este Orden de Complejidad a la función f(n) más sencilla perteneciente a esta familia. O (1) Orden constante O (log n) Orden logarítmico O (n) Orden lineal O (n2) Orden cuadrático O (n3) Orden cúbico O (na) Orden polinómico O (2n) Orden Exponencial O (n!) Orden factorial Menor complejidad Mayor complejidad Se identifica una Jerarquía de Ordenes de Complejidad que coincide con el orden de la tabla mostrada; jerarquía en el sentido de que cada orden de complejidad inferior tiene a las superiores como subconjuntos. Si un algoritmo A se puede demostrar de un cierto orden O(1), es cierto que también pertenece a todos los órdenes superiores( la relación de orden cota superior es transitiva) pero en la práctica lo útil es encontrar la “menor cota superior”, es decir el menor orden de complejidad que lo cubra. Reglas Prácticas: Aunque no existe una receta que siempre funcione para calcular la complejidad de un algoritmo, si es posible tratar sistemáticamente una gran cantidad de ellos, basándonos en que suelen estar bien estructurados y siguen pautas uniformes. Los algoritmos bien estructurados combinan las sentencias de alguna de las formas siguientes: 4 Programación IV. Guía 2. Secuencia (;) Decisión (if) Bucles Llamadas a procedimientos Sentencias sencillas: Nos referimos a las sentencias de asignación, entrada/salida, etc. siempre y cuando no trabajen sobre variables estructuradas cuyo tamaño esté relacionado con el tamaño N del problema. La inmensa mayoría de las sentencias de un algoritmo requieren un tiempo constante de ejecución, siendo su complejidad O(1). Secuencia (;) La complejidad de una serie de elementos de un programa es del orden de la suma de las complejidades individuales, aplicándose las operaciones arriba expuestas. Decisión (IF..THEN..ELSE..END): La condición suele ser de O(1), complejidad a sumar con la peor posible, bien en la rama THEN, o bien en la rama ELSE. En decisiones múltiples (ELSE IF, SWITCH CASE), se tomara la peor de las ramas. Bucles (WHILE, REPEAT, FOR): En los bucles con contador explícito, podemos distinguir dos casos, que el tamaño N forme parte de los límites o que no. Si el bucle se realiza un número fijo de veces, independiente de N, entonces la repetición sólo introduce una constante multiplicativa que puede absorberse. 1) Ej.- for (int i= 0; i < K; i++) { algo_de_O(1) } => K*O(1) = O(1) Si el tamaño N aparece como límite de iteraciones. 2) Ej.- for (int i= 0; i < N; i++) { algo_de_O(1) } => N * O(1) = O(n) 3) Ej.- for (int i= 0; i < N; i++) { for (int j= 0; j < N; j++) { algo_de_O(1) } Programación III. Guía 3. 5 } Tendremos N * N * O(1) = O(n2) El bucle exterior se realiza N veces, mientras que el interior se realiza 1, 2, 3, … N veces respectivamente. En total, 1 + 2 + 3 + … + N = N*(1+N)/2 => O(n2). A veces aparecen bucles multiplicativos, donde la evolución de la variable de control no es lineal (como en los casos anteriores) c= 1; while (c < N) { algo_de_O(1) c= 2*c; } El valor inicial de “c” es 1, siendo “2k” al cabo de “k” iteraciones. El número de iteraciones es tal que 2k >= N => k= es (log2 (N)) [el entero inmediato superior] y, por tanto, la complejidad del bucle es O(log n). c= N; while (c > 1) { algo_de_O(1) c= c / 2; } Un razonamiento análogo nos lleva a log2(N) iteraciones y, por tanto, a un orden O(log n) de complejidad. for (int i= 0; i < N; i++) { c= i; while (c > 0) { algo_de_O(1) 6 Programación IV. Guía 2. c= c/2; } } Tenemos un bucle interno de orden O(log n) que se ejecuta N veces, luego el conjunto es de orden O(n log n) Procedimiento El entorno que se ocupará en C#, para esta guía será en modo Gráfico, por lo cual se seguirán Bibliografía los siguientes pasos: 1.Guía Inicio -> 1 Todos los programas -> Microsoft Visual Studio 2012/2013 (dependiendo de su versión disponible) -> Microsoft Visual Studio 2012/2013. 2. Archivo -> Nuevo -> Proyecto -> En la ventana emergente de Nuevo proyecto, seleccionar en Tipo de proyecto:(Visual C# -> Windows), luego en Plantillas: Aplicación de Windows Form. Nombre: Según se le indique en el ejemplo. Realice el siguiente ejemplo interpretando el algoritmo de ordenamiento, en sintaxis de C# Ejemplo 1. Método de ordenamiento Burbuja. El Ordenamiento de Burbuja (BubbleSort en inglés) es un sencillo algoritmo de ordenamiento. Funciona revisando cada elemento de la lista que va a ser ordenada con el siguiente, intercambiándolos de posición si están en el orden equivocado. Es necesario revisar varias veces toda la lista hasta que no se necesiten más intercambios, lo cual significa que la lista está ordenada. Algoritmo. Para i = 0 condicion i < (Numero de elementos de a) paso i+1 Hacer Para j = 0 condición j < (Numero de elementos de a) paso j+1 Hacer Si a[J] > a[J+1] entonces Hacer aux = a[J] a[J] = a[J+1] a[J+1] = aux Fin del ciclo Para Fin del ciclo Para Programación III. Guía 3. 7 Código en C#. (Guardar con el nombre Ordenamientos) Lo primero que debe hacerse es renombrar el formulario con el nombre de la práctica. Luego se insertan los objetos necesarios, de tal manera que el formulario luzca similar al mostrado en la figura siguiente: Se han agregado al formulario un (1) GroupBox, tres (3) label, un (1) NumericUpDown, un (1) comboBox, dos (2) Button, un (1) TextBox y un (1) ListBox. Para el botón para reordenar se ha modificado su propiedad Name en cmdOrdenar Para el botón para agregar se ha modificado su propiedad Name en cmdAgregar Para el comboBox se ha modificado su propiedad Name en cmbMetodo Para el ListBox se ha modificado la propiedad Name en lstDatos Para NumericUpDown se ha modificado la propiedad Name en nudDato Para el TextBox se ha modificado la propiedad Name en txtOrdenados Para el label de información se ha modificado la propiedad Name por lblInfo Notas importantes: Para el ListBox y la presentación de sus números debe ir en formato númerico con 0 decimales, esto está en las propiedades de la herramienta FormatString. El listBox deberá soportar multicolumna para que puedan escribirse más datos, en propiedades buscamos MultiColumn y lo cambiamos a True Para el ComboBox en las propiedades buscaremos Items y ahí escribimos los métodos que deseamos en este caso Burbuja. 8 Programación IV. Guía 2. En el código lo primero es agregar la librería de Diagnostic-> using System.Diagnostics; para poder utilizar el StopWatch. Una vez agregados todos los componentes pasamos a la parte de la codificación, dando click sobre el Form1. Una vez ahí inicializamos el Form1, para con un método seleccionado por defecto para ser cargado public Form1() { InitializeComponent(); this.cmbMetodo.SelectedIndex = 0; } //selecciona por defecto un método Posteriormente ingresamos el código que corresponde al método de ordenamiento “Burbuja”: //método de ordenamiento de "Burbuja" int[] burbuja(int[] datos) { for (int i = 0; i < datos.Length; i++) { for (int j = 0; j < datos.Length - 1; j++) { if (datos[j] > datos[j + 1]) { int aux = datos[j]; datos[j] = datos[j + 1]; datos[j + 1] = aux; } } } return datos; } Ahora vamos a codificar el botón agregar con dos actividades que deseamos que realice al hacer clic (NO OLVIDE QUE PARA QUE SE ACTIVEN LOS EVENTOS DEBE DE DAR CLICK EN LAS HERRAMIENTAS, SINO TENDRÁ PROBLEMAS CON EL CÓDIGO) //agregamos los datos digitados o seleccionados en el ListBox private void cmdAgregar_Click(object sender, EventArgs e) { lstDatos.Items.Add(nudDato.Value); nudDato.Value = 0; nudDato.Focus(); //fija las entradas a este control foreach (var it in nudDato.Controls) de NumericUpDown { //para obtener la coleccion dentro Programación III. Guía 3. 9 if (it is TextBox) ((TextBox)it).SelectAll(); } } Ahora vamos a codificar el botón de ordenar private void cmdOrdenar_Click(object sender, EventArgs e) { txtOrdenados.ResetText(); //lo resetea a sus valores por defecto //CONVIRTIENDO DATOS A UN ARREGLO DE INT int[] datos = new int[lstDatos.Items.Count]; for (int i = 0; i < lstDatos.Items.Count; i++) datos[i] = Convert.ToInt32(lstDatos.Items[i]); Stopwatch tiempo = new Stopwatch(); //Provee la posibilidad de medir el tiempo, creamos una instancia que usaremos tiempo.Start(); //inicio de conteo de tiempo de proceso if (cmbMetodo.SelectedIndex == 0) datos = burbuja(datos); //si el método es burbuja que ordene por ese algoritmo /*else datos = inserctionSort(datos);*/ bool primero = true; //bandera para verificar si es el primer número foreach (int num in datos) { if (primero) txtOrdenados.Text += num.ToString(); //si es el primero que escriba el número else txtOrdenados.Text += ", " + num.ToString(); //si no es el primero que agregue una , antes del número primero = false; } tiempo.Stop(); //finalización del tiempo del proceso lblInfo.Text = string.Format("Ordenamiento ejecutado en {0} ms.", tiempo.ElapsedMilliseconds); /*enviamos al label el nombre del método y el tiempo que demoró en milisegundos*/ } Programación IV. Guía 2. 10 Análisis de resultados Método de ordenamiento InsertionSort. Este es uno de los métodos más sencillos. Consiste en tomar uno por uno los elementos de un arreglo y recorrerlo hacia su posición con respecto a los anteriormente ordenados. Así empieza con el segundo elemento y lo ordena con respecto al primero. Luego sigue con el tercero y lo coloca en su posición ordenada con respecto a los dos anteriores, así sucesivamente hasta recorrer todas las posiciones del arreglo. Este método se emplea con frecuencia para ordenar cartas en juegos de mano: se considera un elemento a la vez insertándolo en su lugar correspondiente entre aquellos que ya han sido considerados (manteniéndolos ordenados). El elemento se inserta moviendo los elementos superiores una posición a la derecha y ocupando la posición vacante. El algoritmo es el siguiente: static void Ordenamiento_Insercion(int[ ] array) { for (int i = 0; i < n; i++) { int temp = array[i]; int j = i - 1; while ((j >= 0) && (array[j] > temp)) { array[j + 1] = array[j]; j--; } array[j + 1] = temp; } } Ejercicio No. 1 Modifique el programa del ejemplo No. 1, de tal manera que pueda incorporarse otro método de ordenamiento el InsertionSort. Agregar para poder seleccionarlo en el ComboBox de métodos, que envíe el tiempo que demora en realizar el ordenamiento este nuevo método. Ejercicio No. 2 Modifique el programa que viene trabajando de forma que agregue dos botones, uno para poder eliminar un número en el ordenamiento a realizar y otro botón para poder reiniciar con un nuevo arreglo de números. Programación III. Guía 3. 11 Investigación Complementaria Para la siguiente semana: Guía 3 1. Calcule el grado de complejidad (notación O) y el tiempo, para los algoritmos utilizados Guía 4 en la práctica (Inserción y de burbuja y todo el programa). 2. Analice si esos grados de complejidad corresponden a los tiempos presentados fía 3. Analice por qué los tiempos no siempre son iguales a pesar de ingresar los mismos números al arreglo