álgebra I

PREUJOVEN
04
Matemáticas
Álgebra I
Al término de esta lección podrás:
Entender el origen del algebra en su utilidad en el desarrollo de
problemas
Desarrollar ejercicios de mayor complejidad usando estrategias que
Álgebra nos entrega
Entender la simbología y poder formular enunciados algebraicos
Realizar la operaciones básicas entre los términos algebraicos
Conocer los productos notables más comunes
Reducir expresiones por medio de la factorización.
Video
Demostración de la factorización de la diferencia de cuadrados.
http://www.youtube.com/watch?v=wvFr1BqU4g8
Factorización de un trinomio sin cuadrado perfecto
http://www.youtube.com/watch?v=5C8moUH7W84
Factorización por término en común
http://www.youtube.com/watch?v=yEFQExBmxC8
1. Introducción al Álgebra.
La palabra álgebra deriva del nombre del libro “Alyebr-mugabala” escrito en el año 825 D.C.
por el matemático y astrónomo musulmán Mohamed ibn al-Jwarizni. El álgebra es la rama de
la matemática que estudia estructuras, relaciones y cantidades de un modo más general que
la aritmética, pues utiliza letras o símbolos que pueden tomar cualquier valor para desarrollar
distintos tipos de problemas que pueden tener múltiples y cambiantes factores que
intervengan.
La aritmética, no es capaz de generalizar las relaciones matemáticas, como por ejemplo el
teorema de Pitágoras, que dice que en un triángulo rectángulo el área del cuadrado de lado la
hipotenusa es igual a la suma de las áreas de los cuadrados de lado los catetos. La aritmética
sólo da casos particulares de esta relación (por ejemplo, 3, 4 y 5, ya que 3 2 + 42 = 52). El
álgebra, por el contrario, puede dar una generalización que cumple las condiciones del
teorema: a2 + b2 = c2. Un número multiplicado por sí mismo se denomina cuadrado, y se
representa con el superíndice 2. Por ejemplo, la notación de 3 × 3 es 32; de la misma manera,
a × a es igual que a2.
Lección 4
1
PREUJOVEN
Matemáticas
El álgebra clásica, que se ocupa de resolver ecuaciones, utiliza símbolos en vez de números
específicos y operaciones aritméticas para determinar cómo usar dichos símbolos. El álgebra
moderna ha evolucionado desde el álgebra clásica al poner más atención en las estructuras
matemáticas. Los matemáticos consideran al álgebra moderna como un conjunto de objetos
con reglas que los conectan o relacionan. Así, en su forma más general, una buena definición
de álgebra es la que dice que el álgebra es el idioma de las matemáticas.
1.1 Signos del Álgebra.
En la escritura algebraica generalmente se representa a cantidades que nos son conocidas por
las primeras letras del alfabeto (a, b, c, d, e…), y para representar las cantidades que nos son
desconocidas se utiliza las últimas letras del alfabeto (…v, w, x, y, z). Para unir éstas
cantidades utilizamos signos de operación, de relación y de agrupación que hemos estudiado
anteriormente, estos son:
Signos de operación:
• a + b a más b
• a − b a menos b
• a · b a multiplicado por b (o simplemente, a por b)
• a ÷ b (o a/b) a dividido por b
• ab a elevado a b
• b√a la raíz b-ésima de a.
Signos de relación:
• = igual a
• > Mayor que
• < Menor que.
Signos de agrupación: paréntesis según orden.
• ()
• {}
•[]
1.2 Lenguaje Algebraico.
Para poder trabajar con el álgebra es necesario manejar la equivalencia entre el lenguaje
común o cotidiano con el lenguaje algebraico. A continuación haremos un paralelo entre los
dos lenguajes, para así poder aplicarlo en el planteamiento de problemas.
Lenguaje Algebraico
Lenguaje Cotidiano
+
Más, suma, adición, añadir, aumentar, incrementar
-
Menos, diferencia, disminuido, exceso, excedente, restar
·
De, del, veces, producto, por, factor
÷
División, cociente, razón, es a
Lección 4
2
PREUJOVEN
Matemáticas
=
Igual a, es, da, resulta, se obtiene, equivale a
x
Un número cualquiera (casi siempre incógnita)
x+1
Sucesor de un número cualquiera
x-1
Antecesor de un número cualquiera
2x
Doble de un número, duplo, dos veces, número par, múltiplo
de dos
3x
Triple de un número, triplo, tres veces, múltiplo de 3
4x
Cuádruplo de un número
x2
Cuadrado de un número
3
x
Cubo de un número
Mitad de un número, un medio de un número
Tercera parte de un número, un tercio de un número
Inverso multiplicativo de un número
2x + 1 ó 2x - 1
Número impar
Semi-suma de dos números, mitad de la suma de dos números
Semi-diferencia de dos números, la mitad de la diferencia
x, x + 1, x + 2, x + 3,…
Números consecutivos
2x, 2x + 2, 2x + 4,…
Números pares consecutivos
2x + 1, 2x + 3, 2x + 5,…
Números impares consecutivos
4x, 4x + 4, 4x + 8, 4x + 12,…
Múltiplos consecutivos de 4
5x, 5x + 5, 5x + 10,…
Múltiplos consecutivos de 5
10x + y
Un número de dos cifras, Número de dos dígitos
100x + 10y + z
Un número de tres cifras, Número de tres dígitos
-x
Inverso aditivo de un número
(x + y)2
Cuadrado de la suma de dos números
Lección 4
3
PREUJOVEN
Matemáticas
Escribir en lenguaje común las siguientes expresiones algebraicas:
Ejercicio
1
Escribir en lenguaje algebraico las siguientes expresiones en lenguaje común:
Ejercicio 2
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
El doble de un número disminuido en el triple de otro número
Un número aumentado en su mitad
El exceso de número sobre tres
El cuádruple del exceso de un número sobre ocho
El exceso del quíntuplo de un número sobre diez
El doble del cubo de un número
El cubo del cuádruple de un número
La diferencia entre la cuarta parte del cubo de un número y la tercera parte del
cuadrado de otro número
9. La mitad del exceso del cuadrado del triple de un número sobre el doble del
cubo de otro número
10. La suma de dos múltiplos consecutivos cualesquiera de ocho
Es la representación de una o más operaciones algebraicas.
Ejemplos:
1.3.1 Término
Es una expresión algebraica formada por varios símbolos no separados entre sí por (+) ó (−)
Ejemplos:
Cada una de estas expresiones es un término. Los elementos de un término son el signo, el
coeficiente numérico, la parte literal, y el grado.
Por ejemplo, el término “-2x3”, el signo es (-), el coeficiente numérico es (-2), la parte literal
es (x3) y el grado es (3).
Lección 4
4
PREUJOVEN
Matemáticas
Para el término “a”, el signo es (+), el coeficiente numérico es (1), la parte literal es (a) y el
grado es (1).
El grado puede ser absoluto o con respecto a una letra. Por ejemplo el término 3x3b5c5 tiene
un grado absoluto de 13, y respecto a cada letra es 3 para x, 5 para b y 5 para c.
1.3.2 Clasificación de expresiones algebraicas
Monomio: Consta de un solo término
Ejemplos:
Polinomios: Consta de más de un término
Entre los polinomios más usados están:
- Binomios: Consta de dos términos
- Trinomios: consta de tres términos
Ejemplos:
:Binomio
:Polinomio de 5 términos
: Polinomio de 4 términos
1.3.3 Términos semejantes
Los términos semejantes son aquellos que tiene la misma parte literal. En palabras más
simples, presentan la misma letra y el mismo exponente (parte literal y grado).
Ejemplo:
Estos tres términos son semejantes entre si y pueden, por lo
tanto sumarse. El resultado de su suma es 12p. ¡Compruébalo!
Una forma fácil de reducir términos es sumar todos los términos iguales por
parte, según su parte literal y teniendo en cuenta sus signos.
Atención
1.3.4 Eliminación de los paréntesis.
El paréntesis, como habíamos visto anteriormente, es solamente una forma de dar un orden
de desarrollo en un problema combinado. En el caso del álgebra, si dentro de un paréntesis
tenemos términos no semejantes no existe desarrollo posible, para solucionar esto podemos
eliminar el paréntesis según; si éste está siendo multiplicado por otro término (multiplicación
algebraica) y/o el signo que lo antecede.
Si al paréntesis lo antecede un signo positivo (+), ponemos este y todos los términos quedan
Igual (multiplicas cada término del paréntesis por 1), no sucede lo mismo con el signo negativo
(−), ya que este invierte todos los signos de los términos del paréntesis (ósea multiplicas cada
termino del paréntesis por -1).
Ejemplos: -(a - b) = -1· (a + b) = -a + b
(a – b) = 1 · (a – b) = a + b
Lección 4
5
PREUJOVEN
Matemáticas
Resuelve reduciendo los términos semejantes y eliminando los paréntesis:
Ejercicio
3
1.4 Productos Algebraicos.
1.4.1 Multiplicación de monomios
Se multiplican los coeficientes numéricos entre sí normalmente. Para la parte literal, la
multiplicación queda expresada al unir los distintos símbolos literarios (letras) entre sí sin
símbolo de multiplicación entre ellos. Si los símbolos literarios son iguales se le coloca un
exponente con el valor de tantos símbolos literarios iguales se multiplicaron, si estos ya tiene
exponentes simplemente se suman. Al final se ordenan los coeficientes literales en orden
alfabético. Los denominadores de las fracciones se multiplican de la misma forma hacia el
lado.
Una forma de comprobar si el resultado esta correcto, es sumar los grados absolutos de cada
término. El resultado tiene que tener un grado absoluto igual a esa suma.
Ejemplos:
Multiplica los siguientes monomios:
Ejercicio
4
Lección 4
6
PREUJOVEN
Matemáticas
1.4.2 Multiplicación de un monomio por un polinomio
Se multiplica el monomio por cada término del polinomio usando los pasos mencionados
anteriormente.
Ejemplo:
4
Al multiplicar términos semejantes, recuerda que tienes que sumar sus
exponentes y trata al final de reducir los términos semejantes.
Atención
Multiplica los siguientes monomios por polinomios:
Ejercicio
5
1.4.3 Multiplicación de un polinomio por un polinomio
Para multiplicar tomamos el primer término del primer polinomio y lo multiplicamos con el
segundo polinomio (de la misma forma que la multiplicación de un monomio por un
polinomio), luego tomamos el segundo término del primer polinomio y lo multiplicamos con el
segundo polinomio, y así continuamos sucesivamente hasta terminar con todos los términos
del primer polinomio.
Ejemplos:
Lección 4
7
PREUJOVEN
Matemáticas
Multiplica los siguientes polinomios:
Ejercicio
6
WWW
Lección 4
Expresiones Algebraicas:
http://www.geocities.com/CapeCanaveral/Hangar/5759/index.htm
Álgebra:
http://es.wikipedia.org/wiki/Algebra
http://www.elosiodelosantos.com/sergiman/div/algebra.html
8
PREUJOVEN
Matemáticas
Resumen:
1.5- Desarrollo Algebraico.
En esta lección aprenderás técnicas para “simplificar” expresiones algebraicas, reduciendo la
mayor cantidad de términos de cada expresión para lograr una apariencia más agradable y
breve, esto es lo que conocemos como factorización y reducción de las expresiones
algebraicas para un desarrollo más fácil de los ejercicios.
Existen muchos métodos distintos para lograr estos objetivos, pero sin duda que para todos
ellos te será de mucha utilidad conocer los llamados Productos Notables, que nos permitirán
simplificar enormemente nuestro trabajo.
1.5.1Productos Notables.
Se llaman productos notables a los resultados de una multiplicación que tiene
características particulares y reconocibles, que son útiles en el desarrollo de
expresiones algebraicas. Estos son:
-La suma por la diferencia de dos términos.
Primer término al cuadrado menos el segundo término al cuadrado.
-Cuadrado de Binomio:
Es el 1er término al cuadrado (+) ó (−) el doble producto del 1er término por el 2do
término (+) el 2do término al cuadrado. En forma generalizada se escribe así:
Puedes comprobar está relación multiplicando al termino (a ± b) por si mismo usando
las propiedades de multiplicación de binomios vistos en la lección anterior.
Lo importante de conocer estas relaciones es que tú puedes reconocerlas en un
ejercicio y raídamente factorizarlas para reducir y desarrollar los ejercicios. Recuerda
que la velocidad es una de las cosas importante en el desarrollo de los ensayos
-Cubo de un Binomio
Es el 1er término al cubo (+) ó (−) el triple producto del 1ero al cuadrado por el segundo (+) el
triple producto del 1ero por el 2do al cuadrado (+) ó (−) el 2do término al cubo.
Lección 4
9
PREUJOVEN
Matemáticas
La forma generalizada se denomina “binomio elevado a un exponente natural”, Esto se
escribe:
Con esto podemos desarrollar cualquier potencia de un binomio. En la fórmula anterior existe
una relación interesante de conocer en cada uno de sus términos, notemos que en el primer
término aparece xn, en el segundo xn−1 en el tercero xn−2,…en el m−ésimo término xn−(m−1) es
decir x va disminuyendo su potencia partiendo desde n hasta llegar a 0 en el último término,
en el caso de y ocurre absolutamente lo contrario, la potencia parte de 0 en el primer término
hasta llegar a n en el último. De ésta manera obtendremos fácilmente los coeficientes
literales de ésta expresión, sin embargo los coeficientes numéricos {a 0, a1, a2,… an} vienen
determinados por una estructura conocida como el Triangulo de Pascal, que vemos a
continuación:
La manera de obtener éste triángulo es partir de las dos primeras filas, y de ahí en adelante
sumar hacia abajo los coeficientes para obtener la fila que continúa. Observa que en la
tercera y la cuarta fila aparecen los coeficientes del cuadrado y del cubo de binomio
respectivamente, cuando n = 2 y n = 3. De ésta manera podemos obtener (conociendo la fila
que corresponde en el triangulo de Pascal), cualquier potencia de un binomio.
Ejemplo:
Encontremos la expresión expandida de (a − b)5
Respuesta: los coeficientes que le corresponden son los de la sexta fila del triángulo de Pascal
(mirar mas arriba), pues n = 5, entonces el primer paso es:
Lección 4
10
PREUJOVEN
Matemáticas
Ahora ponemos los términos a y b con las potencias respectivas.
Pueden observar cómo van disminuyendo los exponentes del primer término y aumentado los
del segundo.
-Multiplicación de dos binomios con un sólo término en común
Es el término en común al cuadrado más (+) la suma de los término distintos por el
término en común más (+) el producto entre los términos distintos. Para evitar
confusiones hablaremos de suma para la operación, pero tomando el cuenta el signo
de los términos.
Ejemplo:
Ejercicio
Trinomio al cuadrado
El 1er término al cuadrado mas el 2do al cuadrado mas el 3er al cuadrado, más la suma de las
combinaciones de multiplicación entre dos de ellos.
Lección 4
11
PREUJOVEN
Matemáticas
1.5.2 Factorización.
Al factorizar buscamos dos o más factores cuyo producto sea igual a la expresión que
queremos obtener.
No todos los polinomios se pueden factorizar, ya que hay algunos que solo son divisibles por sí
mismo y por 1, como por ejemplo: x + y. Pero hay que tener ojo ya que este polinomio no es
divisible en los reales R (que es donde estamos trabajando), esto no significa que no se pueda
factorizar en otro conjunto numérico mayor, por ejemplo x + y si se puede factorizar en los
complejos C, quedando: (√x + √yi)(√x − √yi).
Por ahora solo trabajaremos en los reales R.
Cuando vimos el capítulo de los números, revisamos la propiedad distributiva, para este caso,
la factorización es la propiedad de distributiva inversa.
1.5.3 Factor común
-
Monomio común
Al existir un coeficiente literario y/o numérico común entre los térmicos de la expresión,
podemos escribirlos como la multiplicación de ese(os) coeficiente(s) por la suma de los
términos.
-
Polinomio común
Al igual que el monomio en común, el polinomio en común multiplica a cada término. Si es
complicado de visualizar podemos reemplazar en el primer ejemplo, (a + b) = c
Quedando xc + mc = (x + m)c.
-
Factor común por agrupación de términos
Este caso es sólo una combinación de los dos casos anteriores.
Lección 4
12
PREUJOVEN
Matemáticas
En el primer ejemplo, factorizamos por separados los coeficientes comunes “x” e “y”, luego
nos percatamos que existe un binomio en común, por lo que factorizamos por esta expresión.
1.5.4 Factorización de trinomios
- Trinomio Cuadrado Perfecto
Para factorizar un trinomio cuadrado perfecto, primero tenemos que ordenar el trinomio
dejando a los extremos los cuadrados perfectos. Esto es solamente utilizar el producto
notable, cuadrado de binomio, a la inversa.
Ejemplo:
-
Trinomio de la forma (ax2 + mx + n)
Utilizando el producto notable “Multiplicación de dos binomios con un sólo término en
común” podemos factorizar estos trinomios.
En donde: m = (a + b) y c = (a · b)
Ejemplo: Tomemos el trinomio 6x2 −7x−3, ya ordenado amplificaremos por el coeficiente que
acompaña a x2, que en este caso es 6 quedando:
Ahora buscamos dos números que multiplicados den −18 y sumados −7, estos son −9 y 2. Como
anteriormente amplificamos la expresión por 6 ahora hay que dividir por 6, para que quede
igual:
Lección 4
13
PREUJOVEN
Matemáticas
1.5.5 Factorización de cubos
Cubo perfecto de Binomio
Tenemos que ordenar la expresión con respecto a una letra. Y debe cumplir con las siguientes
condiciones:
1. Debe tener cuatro términos
2. El 1ero y el último término deben ser cubos perfectos
3. El 2do término del trinomio sea más ó menos el triple del 1ero del binomio al cuadrado por
el 2do término del binomio.
4. Y que el 3er término del trinomio sea el triple del 1ero término del binomio por el 2do
término del binomio al cuadrado.
Tomemos −27 + 27x−9x2 +x3 ordenado queda: x3 − 9x2 + 27x – 27. Tiene cuatro términos y
factorizado lo escribimos (x – 3)3. La raíz cúbica de x3 es x y la de −27 es −3, además 3 · x2 ·−3
= -9x2 el 2do término del trinomio y 3 · x · (3)2 = 27x el 3er término del trinomio.
-Suma y Diferencia de cubos perfectos
Lección 4
14
PREUJOVEN
Matemáticas
1.5.6 Diferencia de cuadrados perfectos
Usando el producto notable de suma por su diferencia, podemos factorizar diferencia de
cuadrados perfectos.
Ya que la raíz de a2 es a y la raíz de b2 es b
1.5.7 Completar cuadrados de binomio
Tomemos “y2 − 8y + 15”. Digamos que “y2” y “−8y” son parte de un cuadrado perfecto.
Luego nos faltaría el último término que es el cuadrado de la mitad del coeficiente que
acompaña a “y”, que es 16 [(8/2)2 = 42 = 16]. Sumemos y restemos este último término, para
no modificar la expresión (sumar 0). Arreglando los términos convenientemente llegamos a la
diferencia de dos cuadrados perfectos.
Si reemplazamos (y – 4) = c, podemos darnos cuenta que la expresión (y – 4)2 – 1 = c2 – 1, es la
diferencia de cuadrados perfectos, que podemos factorizar como la suma por la diferencia de
las raíces (c + 1)·(c – 1) = [(y – 4) + 1]·[(y – 4) – 1].
De manera más general (Traten de entenderlo):
Lección 4
15
PREUJOVEN
Matemáticas
Factorizar los siguientes enunciados.
Ejercicio
1.6 -Fracciones Algebraicas.
Son fracciones, en las cuales numerador o denominador (o ambas) son expresiones
algebraicas. La operatoria con fracciones algebraicas es análoga a la operatoria con fracciones
en los reales, sólo con el cuidado de factorizar adecuadamente. Algunos ejemplos, a
continuación:
Ejemplo:
Reducir al máximo la fracción
Solución:
6ab
6a b 6ab2
2
6ab
6a b 6ab 2
2
Ejemplo:
Solución:
Determine el valor de
5ab
6 x2
Solución:
1
a b
3b
8x
Como el MCM de 6x2 y 8x es 24x 2 , entonces se tiene que:
5ab 3b
6 x2 8x
Ejemplo:
6ab
6ab a b
Determine el valor de
30ab 3bx
24 x 2
a b
8
3b 10a x
24 x 2
b 10a x
8x2
6a
2a 2b
a b
6a
8 2a 2b
a b
6a
8 2 a b
3a
8
Lección 4
16
PREUJOVEN
Matemáticas
Ingresa al Campus Virtual para hacer consultas e interactuar con tus compañeros de
curso. Comparte con tus amigos este material, invitándolos a inscribirse
gratuitamente en
www.preujoven.cl
Lección 4
17