¿Qué es más difícil, encontrar la respuesta o hacer la pregunta

Guía 1
0) Encuentre la parte real, el módulo, la fase y el conjugado de
1
z = e iφ1 + e iφ2
z=
z = ρe iφ e iwt
z = e a +ib
a + ib
z = Ae iφ1 + Be iφ2 con A, B, ρ y φ reales.
1) Escriba la ecuación del péndulo usando como coordenadas:
a) x
b) z
c) ξ=senψ
Escriba la energía potencial y cinética en dichas coordenadas.
Discuta cuales elecciones son razonables y cuales no, y porque.
z
2)- Resuelva el péndulo en pequeñas oscilaciones tomando como
coordenada el ángulo entre el hilo y la horizontal (techo).
ψ
x
Prob 1…
3) Demuestre que si ψ es una solución matemática compleja de la ecuación del
oscilador armónico, su parte real también es solución.
4) Escriba y resuelva las ecuaciones de movimiento para los siguientes sistemas.
a) Péndulo de longitud l en un campo gravitatorio constante g. Discuta todas las
aproximaciones realizadas. Demuestre que sin dichas aproximaciones la superposición
lineal de dos soluciones no es solución (el sistema no es
l
l
lineal)
b) Oscilaciones longitudinales del sistema de la figura para
los dos casos límite: i) resorte poco estirado ii) resorte muy
elongable (slinky).
k
m k
c) Oscilaciones transversales del sistema de la figura
nuevamente para los mismos dos casos límite. Analice
cuidadosamente las aproximaciones realizadas y para el caso i, describa las diferencias
entre resortes inicialmente elongados (l>l0) y aquellos inicialmente relajados (l=l0).
En todos los casos discuta el significado del límite cuando la constante restitutiva tiende
a cero.
Compare las frecuencias de los modos longitudinales con los transversales.
5*) Resuelva el resorte vertical con un peso colgado usando como cero de coordenadas
la del resorte en reposo sin peso. Escriba la energía potencial (gravitatoria mas elástica)
y encuentre el equilibrio y la curvatura. Al oscilar, ¿la energía potencial es solo la del
resorte o también oscila la potencial gravitatoria?
6*) Calcule la tensión del hilo en función del ángulo para un péndulo en pequeñas
oscilaciones. Discuta la validez de la hipótesis de longitud de hilo constante. De valores
de orden de magnitud razonables a los parámetros que necesite para la discusión.
Discuta la validez de la aproximación g=constante.
7) Oscilador amortiguado. Si la condición inicial es ψ=ψo y ψ = 0 . Encuentre la
solución a la ecuación de movimiento y escriba cual es la energía inicial.
8*)Se tiene un péndulo que oscila con una disipación tal que su amplitud se reduce un
10% cada 10 oscilaciones. ¿Con que precisión deberíamos determinar su longitud para
notar el corrimiento en su frecuencia debido al rozamiento?
9)Verifique que si ψ1 y ψ2 son soluciones de la ecuación del oscilador armónico libre,
cualquier combinación lineal ψ=Aψ1 +Bψ2 también es solución. Muestre que esto
también vale si la fuerza disipativa es proporcional a la velocidad. ¿Vale si es un
rozamiento constante?
10) Para un péndulo con fuerza de disipación proporcional a la velocidad calcule el
trabajo que realiza la fuerza de rozamiento y compárelo con la pérdida de energía.
11*)Resuelva un oscilador armónico libre al que se le agrega una fuerza de rozamiento
constante. Sugerencia: resuelva cada media oscilación agregando la fuerza que cambia
la posición de equilibrio. Calcule el movimiento cada medio ciclo. Evalúe como cambia
la amplitud cada medio ciclo. Calcule como es esa amplitud máxima en función del
número de oscilación y compárela con una fuerza disipativa proporcional a la velocidad.
12)grafique las soluciones al oscilador amortiguado en el caso de amortiguamiento
crítico y en el sobreamortiguado.
13)a*) resuelva de manera completa el oscilador forzado excitado en el pico de
resonancia ( ω = ω o ) con la condición inicial de estar en reposo en su posición de
equilibrio.
b) simplifique la expresión para el caso en que γ << ω o y grafíquela para poner en
evidencia como el sistema tiende a su solución estacionaria.
14*) Construya un péndulo de torsión, mida sus parámetros relevantes y escriba la
ecuación diferencial que describe su movimiento.
15) Discuta entre los distintos osciladores unidimensionales que se le ocurran factibles,
cuál construiría para verificar las predicciones del modelo de oscilador armónico libre.
16) Repita el problema 13 para el caso en que no se lo excita en el pico de resonancia.
Resuelva y grafique en forma completa el caso de muy baja frecuencia.
17) Resuelva el oscilador armónico sin pérdidas y muestre que cuando domina la
solución elástica (lejos de la resonancia) la solución hallada aproxima adecuadamente a
la que tiene en cuenta las pérdidas.
Nota general: en todos los problemas (de todas las materias), analice a priori qué
puede predecir sin hacer cálculos y analice a posteriori qué podría haber predicho sin
hacer cálculos. Si va achicando la diferencia entre ambos está aprendiendo los
conceptos (o perdiendo capacidad de análisi
Guía 2
1.- a) Considere el sistema de la figura en ausencia de gravedad y obtenga
sus frecuencias naturales de oscilación y los modos normales
correspondientes. Escriba las ecuaciones de movimiento de cada masa.
b) Sabiendo que en t=0 el sistema satisface las siguientes condiciones
Ψa(0)=1 y Ψb(0)=0 y que se encuentra en reposo, encuentre el
movimiento de cada partícula.
c) Analice cómo se modifica el resultado por la presencia de la gravedad.
k
m
Ya
k
2/3m
Yb
2.- Considere el sistema de la figura. Las masas están
apoyadas en una mesa sin rozamiento, sujetas a las
paredes por resortes de constante k y unidas por otro
resorte de constante k'. Los resortes tienen longitud
natural lo.
Obtenga las frecuencias y los modos transversales del
sistema.
¿Bajo qué condiciones espera observar batidos? ¿Qué son batidos?
3.- Considere el sistema simplificado de la figura que se basa en una molécula
triatómica simétrica. En el equilibrio dos átomos de masa m están situados a ambos
lados del átomo de masa M=2m y vinculados por resortes de constante k y longitud
natural lo. Como sólo estamos interesados en analizar los modos longitudinales
a) Encuentre las ecuaciones de movimiento de cada masa.
lo
lo
b) Halle las frecuencias de los modos normales.
c) Dibuje las configuraciones de cada modo.
d) Si el centro de masa de la molécula se mueve con vo=cte,
k
M k
m
halle la solución para Ψa(t), Ψb(t) y Ψc(t).
e) Establezca cuáles deben ser las condiciones iniciales para
excitar sólo el modo más alto (mayor frecuencia).,
f) Si se aplica a una de las masas una fuerza armónica, ¿a cuál conviene aplicarla para
excitar más eficientemente el modo de mayor frecuencia?
4.- Se analizan las oscilaciones transversales del sistema de la figura. Los resortes tienen
longitud natural lo (donde l>lo)
a) Encuentre las ecuaciones de movimiento de las masas.
b) Halle las frecuencias de los modos normales.
c) Dibuje la configuración correspondiente a cada modo normal.
d) Si el centro de masa se encuentra en reposo, determine los desplazamientos de cada
masa como función del tiempo.
e) ¿Qué condiciones iniciales que permiten excitar sólo el segundo modo?
f) Si se fuerza la masa del centro y se va variando la frecuencia, ¿qué modos se
observan?
g) ¿Cómo se modifican los resultados anteriores si el extremo de la derecha se fija a la
pared?.
m
l
l
m
k
M
k
m
5).- Considere el sistema de dos péndulos de igual longitud l pero de masas diferentes
ma y mb, acoplados mediante un resorte de constante k
a) Escriba las ecuaciones de movimiento de cada masa
b) Obtenga las frecuencias naturales del sistema y sus modos normales
de oscilación. Interprete el significado físico de estos modos normales.
c) Suponiendo que el acoplamiento es débil y que las condiciones
k
iniciales son
ma
Ψa(0)=0 y Ψb(0)=1 y las velocidades iniciales son cero.
Obtenga el movimiento de cada masa y grafíquelo en función del
Ya
tiempo.
d) Calcule los valores medios, en un ciclo rápido, de las siguientes
magnitudes Ta, Tb, Va y Vb, donde T indica energía cinética y V energía potencial
gravitatoria. Demuestre que bajo la hipótesis de acoplamiento débil
<Ta>~<Va> (<>=valor medio) y <Tb>~<Vb>.Grafique <Ea> y <Eb>, y analice las
diferencias en el gráfico como función de las diferencias entre las masas
(ma=mb y ma muy diferente de mb). Calcule el valor medio de la energía de interacción
entre las dos partículas.
6) Encuentre los modos normales de los osciladores acoplados en los casos discutidos
de acoplamiento "débil" y “fuerte” y muestre solamente para el caso (ω12 − ω 22 ) >> ω ac2
los modos se parecen a los de los osciladores desacoplados.
7) Considere las oscilaciones longitudinales sistema de
la figura teniendo en cuenta las fuerzas de disipación
proporcionales a la velocidad.
a) Escriba las ecuaciones de movimiento para el sistema.
b) Halle los modos normales del sistema y sus
frecuencias asociadas. Dibuje la configuración de cada
modo normal.
c) Si se desplaza la masa de la izquierda una cantidad ϕ0 y se lo deja en reposo, escriba
la evolución temporal de cada masa.
d) Realice un gráfico de la posición en función del tiempo para cada masa.
e) Halle la solución estacionaria para el caso forzado en el cual se aplica sobre la masa
de la izquierda una fuerza oscilante del tipo f (t ) = f 0 cos(ωt ) ¿Qué resonancias espera
ver si realiza un barrido en frecuencia forzando la masa de la izquierda según
f (t ) = f 0 cos(ωt ) ?
f*) Repita los puntos anteriores, teniendo en cuenta además una fuerza de disipación
proporcional a la velocidad de estiramiento de los resortes.
8) Repita el problema anterior pero considerando las oscilaciones transversales del
sistema.
mb
Yb
Guía 3
1) Una cuerda de longitud L fija en sus extremos es lanzada a oscilar con igual amplitud
en sus dos modos de menor frecuencia. Parte del reposo.
a- Encuentre el apartamiento del equilibrio para cada punto de la cuerda en función del
tiempo. b- ¿Con qué período se repite el movimiento?
c- Grafíquelo para cuatro instantes equiespaciados dentro de un período.
2) Una cuerda de longitud L fija en un extremo y libre en el otro es lanzada a oscilar en
sus modos 5 y 7 con igual amplitud, pero partiendo del reposo el modo 5 y de su
máxima velocidad el modo 7. Repita los puntos del problema 1.
3) Mostrar que si ψ es solución de la ecuación de onda clásica, las funciones φ1 φ2 y φ3
definidas abajo también lo son.
∂ψ
∂ψ
φ1 =
φ2 =
φ 3 = ∫ψdt
∂t
∂x
4) Se suelta una cuerda fija en sus extremos desde el estado inicial en reposo indicado
en la figura.
4
a- calcule la evolución en el tiempo.
b- ¿cuál es el modo excitado de mayor amplitud?
0
L/2
c- ¿qué modos no son excitados?
5) ¿Cómo cambia el problema anterior si el estado inicial es antisimétrico, como indica
la figura?
6
5
0
0
L/2
L1
L
L
6) ¿Para qué valor de L1 se maximiza la excitación del segundo modo?
¿Qué cambia musicalmente al cambiar L1?
7) Se aplica una fuerza impulsiva sobre un 10% del largo en el tramo inicial de una
cuerda fija en sus extremos. El impulso es suficientemente rápido como para asumir que
la cuerda no se movió apreciablemente durante su aplicación.
a- ¿donde debe aplicarse el golpe para tener máxima amplitud en el quinto modo?
b- ¿y para tener máxima relación entre el quinto y el tercero?
L
Guía 4
1) Se tiene un tubo de longitud L. Considere las siguientes posibilidades:
• Está cerrado en ambos extremos, lleno de aire en su interior.
• Tiene un extremo cerrado y el otro abierto.
• Ambos extremos están abiertos.
Datos: velocidad de propagación de las ondas vs, L, P0 (presión atmosférica), ρ0 =
γP0/vs2
Halle, para cada una de dichas situaciones:
a) Elija un sistema de referencia conveniente, y escriba la expresión más general para el
desplazamiento de las partículas Ψ(x; t). En dicha expresión, ¿qué parámetros conoce?
¿De qué dependen los parámetros que no conoce?
b) Las posibles longitudes de onda con las que puede vibrar el aire en el tubo, y sus
correspondientes frecuencias.
c) A partir de la expresión hallada en (a), halle δ p(x; t) (presión en cada punto, tomando
como referencia la atmosférica). ¿Cuál es la diferencia de fase entre ellas? ¿Cuánto vale
la amplitud de presión?
d) Halle ρ(x; t) (densidad). ¿Cuánto vale su amplitud?
2) a) ¿Qué longitud debe tener un tubo de órgano abierto en ambos extremos para que
produzca en el aire un sonido de 440 Hz?
b) ¿Qué longitud deberá tener un tubo de órgano cerrado en uno de sus extremos para
que produzca el mismo tono en su primer armónico?
3) Se tiene un tubo cerrado en uno de sus extremos; su longitud es menor a 1m. Se
acerca al extremo abierto un diapasón que está vibrando con ν = 440Hz. Considere vs =
330 m/s.
a) Hallar las posibles longitudes del tubo para que haya resonancia. Para cada una de
ellas, ¿en qué modo está vibrando el aire contenido en el tubo?
b) Repetir (a) si el tubo está abierto en ambos extremos.
4) Se establece una onda sonora estacionaria en el interior de un tubo de 1m de longitud
y 5cm de diámetro. Si se la excita en el modo más bajo con una presión pico de 10-2
dinas/cm2, calcule el desplazamiento pico y el cambio de densidad pico, así como la
energía total contenida en la onda confinada en el tubo. Haga el cálculo para el tubo
cerrado en ambos extremos y para el tubo abierto en un extremo. Compare ese
desplazamiento con la distancia media entre moléculas en el aire. Nota: el ejemplo dado
corresponde a un sonido apenas audible.
5) Se tiene un tubo de longitud L cerrado en ambos extremos como se indica en la
figura. El tubo presenta un tabique ubicado en la mitad del mismo. De un lado del
tabique hay un gas de densidad ρ0 -∆ y del otro lado hay un gas de densidad ρ0+∆
(considere ∆ << ρ0). Todo el gas se encuentra en reposo. A t = 0 se quita el tabique y se
deja evolucionar al sistema.
a) Escriba la expresión para un modo normal Ψn(x; t) en el tubo, imponiendo las
condiciones de contorno. ¿Cuáles son las longitudes de onda permitidas? (Ψ es el
desplazamiento de los elementos del gas).
b) Escriba la expresión de ρ(x;0) y de Ψ(x;0); grafíquelas.
c) Usando las condiciones iniciales, halle Ψ(x; t). Calcule ρ(x;0).
6) Se tiene un sistema de n masas acopladas por resortes. Halle la ecuación de ondas
correspondiente a las oscilaciones longitudinales y transversales despreciando la masa
de los resortes.
a) Encuentre la relación de dispersión para este sistema y grafíquela.
m
b) Obtenga las frecuencias correspondientes a los modos normales cuando el extremo
izquierdo está fijo a la pared y el derecho está libre. (Atención: ¿cómo sería un “extremo
libre” en esta configuración?) y escriba la solución general para la masa enésima.
c) Ídem anterior, pero considerando que ambos extremos están libres
7) Se tiene un sistema de n péndulos acoplados longitudinalmente por resortes. Halle la
ecuación de ondas correspondiente a las oscilaciones longitudinales y transversales
despreciando la masa de los resortes. Encuentre la relación de dispersión para este
sistema y grafíquela.
m
Guía 5
1.- Demuestre que la onda sinusoidal propagante es solución de la ecuación de KleinGordon. Grafique la relación de dispersión. Indique como se determina en ese gráfico la
velocidad de fase. Calcule analíticamente la velocidad de fase y grafíquela.
2.- Se tiene una cerda semi-infinita que se extiende hacia la izquierda. En x=L tiene su
extremo. Una onda de amplitud A incide desde la izquierda. Calcule la expresión para la
onda reflejada en este sistema de coordenadas. Repita el cálculo haciendo un cambio de
variables de modo que el origen esté en el punto fijo, y vuelva a cambiar sobre el
resultado al sistema original. Discuta como es la mecánica para este procedimiento.
3) Repita el problema anterior para una cuerda que cambia su densidad en x=L y donde
ambos tramos son semi-infinitos. Calcule la onda reflejada y transmitida en ese sistema
por los dos métodos.
4) Del lado izquierdo y del lado derecho se tienen dos porciones de cuerda semiinfinitas de densidad lineal de masa ρ1. Ambas están unidas por un segmento le longitud
L’ y densidad lineal ρ2. En esta cuerda se propaga una onda de la forma Aicos(ωt -k1z).
Todo el sistema está sometido a una tensión T0.
ρ1
ρ2
ρ1
L’
Halle la amplitud de las ondas transmitidas y reflejadas en cada porción de la cuerda.
Haga los cálculos usando los siguientes sistemas de referencia:
a) el origen de coordenadas en el primer punto de cambio de ρ.
b) el origen de coordenadas en el segundo punto de cambio de ρ.
5) Calcule los coeficientes de reflexión y de transmisión del sonido en la interfase de
dos medios semi-infinitos de diferente densidad ρ.
a*) Aplique dicho resultado a las siguientes interfases: a) hierro-cobre, b) aluminioplomo, c) aire-agua.
6) Un tubo lleno de aire tiene un parlante en un extremo y el otro abierto. ¿Cómo son las
condiciones de borde para calcular la amplitud de la onda sonora reflejada? ¿Y si el
tubo está abierto?
7*) Se tiene el siguiente sistema, forzado en z=0, tal que ψ ( 0 , t ) = Ao cos( ωt ) . No
tenga en cuenta el rozamiento.
a) Calcule Ψ(z,t).
b) Calcule la fuerza que hay que hacer en z=0 para que la cuerda se mueva de esta
manera. Vea que es de la forma f(t)=f0cos(ωt). ¿Cuál es la relación entre A0 y f0? ¿Cómo
es δΨ/δz en z=0? ¿En qué caso es continua?.
c) Si en vez de conocer el vínculo en z=0 (Ψ(0,t)) se conoce la fuerza que se realiza
sobre la cuerda en ese punto, y se sabe que dicha fuerza es de la forma f(t)=f0cos(ωt),
¿cómo será el movimiento de la cuerda? (Use lo calculado en b)).
d) En t=0 se deja al sistema en libertad. Si la frecuencia de excitación era ω1=3πv/4L,
calcule qué modos estarán excitados para t>0 y cuáles serán los más importantes.
Dibuje Ψ(z,0) y los modos más importantes. ¿Es cierto que al liberar al sistema éste
sigue oscilando con la frecuencia de excitación para t<0?
0
-L2
L1
Guía 6
1.a) Determine cuáles de las siguientes expresiones matemáticas satisfacen la ecuación
de ondas clásica:
i) Ψ(z,t)= A exp[-λ(ax-bt)2] , λ ε ∧
ii) Ψ(z,t)= A (z+vt)
iii) Ψ(z,t)= A sen(az+bt)
iv) Ψ(z,t)= A sen(ax2-bt2)
b) Demuestre que cualquier función de la forma f(z±vt) es solución de la ecuación de
ondas clásica.
2. a) Demuestre que la suma de dos ondas armónicas que se propagan en la dirección
+z: A1=cos(ωt-kz+φ1) y A2=cos(ωt-kz+φ2) y que tienen la misma frecuencia ω, es una
onda armónica de propagación del mismo tipo. Esto es la suma puede escribirse en la
forma A=cos(ωt-kz+φ). Encuentre cómo están relacionados A y φ con A1, A2, φ1 y φ2.
Resuélvalo también en notación compleja y compare ambos resultados.
b) Calcule la superposición de dos ondas armónicas A1=cos(ω1t-k1z+φ1) y
A2=cos(ω2t-k2z+φ2) que se propagan en la dirección +z. Sepárelas en una portadora a
frecuencia promedio multiplicada por la envolvente. Verifique que si las frecuencias son
iguales o las amplitudes lo son recupera resultados anteriores.
c) Encuentre el módulo al cuadrado de la envolvente y muestre que evoluciona en
el tiempo o en el espacio siguiendo una elipse en el plano complejo. ¿Cuáles son los
valores máximos y mínimos?.
d) ¿cómo se propaga la energía de esa superposición?
3) Se superponen una onda de frecuencia ωo de amplitud A con otras dos de frecuencias
corridas en ±∆ω de amplitud iguales B.
a) Calcule la envolvente de esta superposición en el origen.
b) Calcule la envolvente de la onda propagada suponiendo que ∆ω<<ωo. Discuta
que pasa si no vale esta aproximación.
4) calcule la velocidad de fase y de grupo para la ecuación de Klein-Gordon.
5) Se encuentra a partir de un modelo* que las ondas superficiales en un líquido
satisfacen la siguiente relación de dispersión:

  1 − e − 2 kh 
T
ω 2 =  gk + k 3  

ρ   1 + e − 2 kh 

donde g es la aceleración de la gravedad, T es la tensión superficial (aproximadamente
72dinas/cm para el agua), ρ es la densidad del líquido y h es la profundidad.
a) encuentre la relación de dispersión en el límite de aguas muy profundas (h>>λ)
y en el opuesto de aguas poco profundas. Discuta en que rango de frecuencias y
profundidades vale cada aproximación.
b) Encuentre las velocidades de fase y de grupo en ambos límites.
c) Se realiza un experimento de propagación de ondas en que se golpea
periódicamente la superficie del agua. Discuta que se observa en cada caso.
*ver libro Ondas de Crawford, cap. 7