EDU38

LÍNEA DE MAYOR PENDIENTE
Selene Herrera Benavides, Alberto Camacho Ríos
[email protected], [email protected]
Instituto Tecnológico de Chihuahua II
Resumen
Se plantean los resultados de la aplicación en el aula de un diseño de instrucciones que
llevan los estudiantes del nivel de ingeniería (curso de Cálculo Vectorial de estudiantes
del Sistema Tecnológico Federal) al reconocimiento del concepto de Línea de Mayor
Pendiente (LMP). La LMP es una expresión elemental y algebraica que antecede al
concepto de Gradiente. El marco teórico que fundamenta el diseño de instrucciones es
la Teoría Antropológica de lo Didáctico (TAD), en la que se considera la estructura de
una Organización Didáctica (OD) también conocida como Praxeología. En sí, el diseño
de instrucciones, cuyo eje central es una técnica geométrica, involucra el
reconocimiento de la LMP.
Palabras clave: Vertiente, Gradiente, Línea de Mayor Pendiente.
Abstract
The results from the application in the classroom must be programmed in an
instructional design towards the students on an engineering level (Vector Calculus
course from students of Federal Technological System) focusing to the concept of the
Steepest Line (LMP). The LMP is an elementary expression the antedate the gradient
concept. The theoric achievement that stands the instructional design is the Didactic
Anthropology Theory (TAD), where it considers the body of the Didactic Organization
(OD) also known as Praxeology. In fact, instructional design, with its central edge is a
geometric technic, involves the assurement of the LMP.
Keywords: Slope, Gradient, Steepest Line.
Introducción
Se ofrecen los resultados de la aplicación de una serie de instrucciones didácticas
proporcionadas por el profesor del curso Cálculo Vectorial de la carrera de Ingeniería en
Sistemas Computacionales del Instituto Tecnológico de Chihuahua II, con el objetivo de
que los estudiantes reconocieran el concepto de Línea de Mayor Pendiente (LMP)
(Valenzuela, Camacho y Cuevas, 2013). La LMP se reconoce en el escrito como un
conocimiento asociado al concepto de Gradiente, toda vez que le antecede
históricamente en su proceso de construcción social. Como tal, la LMP se desprende de
una definición empírica que aparece en los procesos de geometrización de la
Topografía de mediados del siglo XIX.
En el sentido de la Teoría Antropológica de lo Didáctico (TAD) las instrucciones
forman parte de una Organización Didáctica (OD). Una OD es constituida por seis
momentos de trabajo con los que se pretende que los estudiantes institucionalicen un
saber o conocimiento. Para el proyecto la introducción de la LMP en el aula es previa a
los momentos de trabajo antes mencionados y tiene como objetivo dinamizar las
actividades que se desarrollan en los propios momentos.
Según Chevallard (1998) una Organización Matemática (OM), también conocida
como Praxeología, comprende una unidad mínima de análisis [T,τ,θ,Θ], donde: T es una
tarea por resolver en el salón de clase, τ es la técnica que ayuda a resolver la tarea, θ
es la tecnología (teoremas, definiciones, etc.) de la que se desprende la técnica τ y Θ la
teoría que soporta la organización. La OM modela la estructura que, a su vez, interviene
en la estructuración de la OD. Sin embargo en las OM la tecnología teórica θ representa
un objeto rigurosamente definido por el marco teórico en el que ésta última se coloca.
Para justificar la inmersión de la LMP en la OD, en éste proyecto se utilizó el
“modelo extendido” propuesto para la TAD por Castela y Romo Vázquez (2011), véase
el Esquema 1. En el Esquema 1, el modelo extendido justifica la inmersión de
conocimientos prácticos externos a las praxeologías matemáticas al incluir una
tecnología práctica θp.
$
th
& T , τ, θ
&
θp
%
'
Θ ) ← P(M )
) ← Iu
(
Esquema 1. Modelo praxeológico extendido propuesto
por Castela y Romo Vázquez (2011), en el que se
p
incluye una tecnología práctica θ .
Diseño de instrucciones y Justificación
La OD fue desarrollada de manera que llevara a los estudiantes a reconocer una
“vertiente” o bajada de agua, a través de las crestas contenidas en las curvas de nivel
de un cerro. De manera que esto último permitiera unificar en el grupo el
reconocimiento de la LMP, estableciéndola a través de la expresión variacional (1):
Δz
Δz
v=
i+
j ... ( 1 )
Δx
Δy
La expresión (1), es un significado asociado al concepto de Gradiente que se muestra
en (2):
∇z =
∂z
∂z
i+
j ... (2)
∂x ∂y
Como se aprecia en (3), el paso de la expresión (1) a la (2), sugiere un proceso
variacional elemental de la forma:
∇z =
lím
...(3)
Δx, Δy → 0
Con estas ideas fueron formuladas las instrucciones de trabajo que llevan a la
construcción geométrica de la LMP. Las instrucciones constan de tres etapas: en la
primera de ellas, sobre una porción de cerro representada por curvas de nivel
(contornos de la superficie a una altura constante), se trazan vectores que configuran la
vertiente 𝐴𝐸 que a su vez, representa la LMP. Para ello se llenó una tabla con los datos
correspondientes. En ésta misma etapa se sugiere trazar una línea de vectores 𝐴´𝐸´.
En la segunda etapa, se les solicita trazar con un par de escuadras una recta
tangente en forma del vector 𝐴𝑀 , a una de las curvas de nivel que aparecen en el mapa
y la parte en donde inicia uno de los vectores 𝐴𝐵 que definen la propia vertiente. Esto
último con el objetivo de que respondan a la pregunta ¿Qué relación hay entre los
vectores 𝐴𝐵 𝑦 𝐴𝑀 ? La respuesta surge a través de resolver el producto interno entre
𝐴𝐵 𝑦 𝐴𝑀 , puesto que ambos vectores resultan ser perpendiculares.
Para la tercera etapa se pide a los alumnos reescribir los vectores que aparecen
en la Tabla 1 como se deja ver en la expresión (1).
Como se mencionó anteriormente, en la expresión (3) se aprecia el paso de la
definición de LMP a la definición del Gradiente, es decir:
lím
= ∇z ...(3)
Δx, Δy → 0
No obstante la tercera etapa corresponde al inicio del primer momento de la
organización didáctica (OD), por tal razón en el documento no se ofrecen resultados al
respecto, llegándose solamente al establecimiento de la expresión (1).
A continuación se pueden ver los criterios a desarrollar, a través de la serie de
instrucciones, como son:
Instrucciones de trabajo.
I. Primera etapa
1)
El mapa que se muestra enseguida representa la porción de un cerro diseñada a través
del uso de curvas de nivel en la forma en que las utilizan los topógrafos, los ingenieros civiles y
los arquitectos, en sus proyectos. De hecho, la representación del cerro es un intento por
mostrar este último en tercera dimensión. La escala con la que se diseñó es de l: 100. Es decir,
cada cm en el papel representa 1 m en el terreno. En este caso la representación del mapa es
conocido como micro-espacio de trabajo en el aula, ya que simula la porción del espacio real
donde se ubica el cerro.
Figura 1. Planta topográfica de un cerro representado mediante curvas de nivel.
2)
Las curvas de nivel están equidistantes a cada 20 m. Esa última magnitud representa el
desnivel entre cada dos curvas consecutivas. Nótese que el desnivel es constante para cada
dos de estas.
3)
Observe que las curvas de nivel se pronuncian hacia arriba formando así crestas para
luego bajar de nuevo.
A partir de lo anterior:
4)
Establezca una serie de puntos A, B, C, etc., entre la parte más pronunciada de cada
cresta de las curvas de nivel.
5)
Una enseguida los puntos AB, BC, CD, etc., y forme así los vectores 𝐴𝐵, 𝐵𝐶, 𝐶𝐷etc.,
indicando también la flecha correspondiente en cada uno de ellos.
6)
El conjunto de vectores tratados de esa manera representa la vertiente 𝐴𝐸: un arroyo,
una bajada o flujo de agua, un río, etc.
7)
Enseguida trace sobre la planta topográfica dos ejes rectangulares de Y contra X,
como se muestra en la gráfica de la Figura 2, de modo que los ejes se ubiquen en la parte
positiva del plano cartesiano.
8)
Utilice una regla graduada para determinar las coordenadas x, y, z: de los vértices A, B,
C, etc., y coloque esa información en la primera columna de la Tabla l. No olvide que la escala
horizontal es de l: 100 y las equidistancias entre curvas se encuentran a cada 20 m.
9)
Determine los vectores puntuales que van del origen O a cada vértice: 𝑂𝐴, 𝑂𝐵, 𝑂𝐶, …,
etc., colóquelos en la segunda columna de la Tabla l.
10) Determine los vectores 𝐴𝐵 = 𝑂𝐵 − 𝑂𝐴, 𝐵𝐶 = 𝑂𝐶 − 𝑂𝐵 ,…, etc., y ubíquelos en la tercera
columna de la Tabla 1.
11) Con la información anterior llene las columnas que restan de la Tabla 1.
Figura 2. La vertiente representada a través de vectores.
Tabla 1
Información de los vectores que determinan la vertiente 𝐴𝐵
Coordenadas
(x, y, z) de los
vértices
A
B
C
D
E
Vectores
puntuales
Vectores de
la vertiente 𝑣 𝑂𝐴
𝑂𝐵
𝑂𝐶
𝑂𝐷
𝑂𝐸
𝐴𝐵
𝐵𝐶
𝐶𝐷
𝐷𝐸
Pendiente en x del
vector entre cada dos
curvas
Pendiente en y del
vector entre cada dos
curvas
12) A 50 m de la vertiente, trace vectores paralelos a los vectores 𝐴𝐵, 𝐵𝐶, 𝐶𝐷 ,…, etc., llame
a estos últimos 𝐴´𝐵´, 𝐵´𝐶´, 𝐶´𝐷´, etc.
13) Desarrolle el mismo trabajo realizado para la línea de vectores 𝐴´𝐸´ y llene la Tabla 2.
Tabla 2
Información de los vectores que determinan la línea de vectores 𝐴´𝐸´
Coordenadas
(x, y, z) de
los vértices
A´
B´
C´
D´
E´
Vectores
puntuale
s
Vectores de la
vertiente 𝑣
𝑂´𝐴´
𝑂´𝐵´
𝑂´𝐶´
𝑂´𝐷´
𝑂´𝐸´
𝐴´𝐵´
𝐵´𝐶´
𝐶´𝐷´
𝐷´𝐸´
Pendiente en x del
vector entre cada dos
curvas
Pendiente en y del
vector entre cada dos
curvas
14)
A través de las pendientes de las rectas secantes a la curva de nivel correspondiente en
los vértices A, B, C, D, E, así como en los vértices A´, B´, C´, D´ E´, que aparecen en la Tablas 1
y Tabla 2, responda a la siguientes preguntas:
¿Cuál de las dos líneas de vectores: la vertiente 𝐴𝐸 o la línea 𝐴´𝐸´, tiene pendientes más
pronunciadas?
Llame Línea de Mayor Pendiente LMP a aquella, 𝐴𝐸 o la línea 𝐴´𝐸´ que resulta tener las
pendientes más pronunciadas o abruptas.
II. Segunda etapa
15)
Utilice un par de escuadras para dibujo y trace, aproximadamente, una recta tangente a
la curva de nivel que corresponde al punto A de la vertiente 𝐴𝐸.
15a) Trace luego sobre la recta tangente una longitud AM de 50 m (no importa si a la
izquierda o derecha de A.
15b) Determine el vector 𝐴𝑀. 15c) Calcule el producto interno 𝐴𝐵 ∙ 𝐴𝑀, y responda las siguientes preguntas: ¿Qué
relación hay entre los vectores 𝐴𝐵 𝑦 𝐴𝑀? ¿Qué relación hay entre el vector 𝐴𝐵 y la
curva nivel que pasa por el punto A?
Resultado de una aplicación de las instrucciones
A continuación se muestra los resultados de la aplicación de las instrucciones
desarrolladas por uno de los estudiantes. En todos los casos se permitió el uso de la
computadora para descargar de la web el cerro y las curvas de nivel, así como de
calculadora para el llenado de las tablas y cálculos correspondientes.
I. Primera Etapa
1)
En la página; http://maps.google.com.mx/ y se eligió un cerro como se muestra en Figura 3.
Figura 3 Cerro de Machu Picchu, Perú Escala 5 mm:100 m.
2 y 3) Se obtuvieron las curvas de nivel las cuales se encuentran a una equidistancia de 20 m. Después
de ello se analizaron las características de estas últimas: Vertientes, Crestas, Equidistancias entre
curvas, Crestas, Picos, Escala del mapa, etc. Véase en Figura 4.
Figura 4 Curvas de nivel equidistantes. Escala 1 mm: 20 m.
4, 5 y 6) En la Figura 5, se nombraron A, B, C, etc., consecutivamente, a cada uno de los puntos que
determinan la vertiente. Luego se unieron los puntos, trazando al final de cada uno la flecha que indica el
flujo de agua, determinando de esta manera los vectores 𝐴𝐵,𝐵𝐶,…, etc.
Figura 5 Muestra la caída de una pendiente del punto de
vista desde arriba con sus equidistancias. Escala 5 mm: 20 m.
7, 8 y 9) Ubicando las curvas de nivel en un primer cuadrante de X, Y (Figura 5), se procedió a llenar los
datos de la Tabla 1 determinando la ubicación de cada punto en coordenadas rectangulares tomando en
cuenta que el eje Z permanece constante, ya que representa los desniveles del cerro, estableciendo así
los vectores puntuales 𝑂𝐴, 𝑂𝐵, . .. etc.
10) En la Figura 6 se aprecia la determinación de los vectores de la vertiente a través de la diferencia de
cada dos vectores puntuales, que se colocaron en la tercera columna de la Tabla 1.
𝐴𝐵 = 𝑂𝐵 − 𝑂𝐴
Figura 6 Interpretación de la diferencia de dos vectores.
11)
Las últimas dos columnas se llenaron a través de una función que permite calcular pendientes
respecto al eje a tratar. La interpretación gráfica ayudó a comprender cómo resolverlo, lo anterior se
puede apreciar en las Figuras 7 y 8. La imagen que se muestra en la Figura 7 deja ver a la variable z
como el valor de las equidistancias constantes entre cada curva de nivel, en tanto la Figura 8 indica las
pendientes de la recta secante a la curva de nivel en dirección a los ejes X,Y, la cuales son vistas como
las proyecciones de la recta sobre cada eje.
Tabla 1
Información de los vectores que determinan la vertiente original 𝐴𝐸
Coordenadas
(x, y, z) de los
vértices
A (485,488,360)
B (455,474,340)
C (425,462,320)
D (396,450,300)
E (368,438,280)
F (355,424,260)
Vectores puntuales
Vectores de la
vertiente 𝑣
𝑣
𝑂𝐴
𝑂𝐵
𝑂𝐶
𝑂𝐷
𝑂𝐸
𝑂𝐹
𝑣
𝐴𝐵
𝐵𝐶
𝐶𝐷
𝐷𝐸
𝐸𝐹
𝑖
485
455
425
396
368
355
𝑗
488
474
462
450
438
424
𝑘
360
340
320
300
280
260
Figura 7 Equidistancias z entre curvas de
nivel.
𝑖
-30
-30
-29
-28
-13
𝑗
-14
-12
-12
-12
-14
𝑘
-20
-20
-20
-20
-20
Pendiente en x del
vector entre cada
dos curvas
Pendiente en y del
vector entre cada
dos curvas
0.67
0.67
0.70
0.71
1.54
1.43
1.67
1.67
1.67
1.43
Figura 8 Pendientes de la recta secante a la
curva de nivel en dirección a los ejes X,Y, la
cuales son vistas como las proyecciones de
la recta sobre cada eje.
12) Se trazó una línea de vectores paralela 𝐴´𝐹´, a una distancia de 50 m de la vertiente original 𝐴𝐹,
como se muestra en la Figura 9.
Figura 9 Muestra la vertiente original y
su vertiente paralela. Escala 10 mm: 20 m
13) Se realizó el mismo procedimiento que con la vertiente original 𝐴𝐸, obteniendo la Tabla 2.
Tabla 2
Información de los vectores que determinan la vertiente 𝐴´𝐸´
Coordenadas
(x, y, z) de los
vértices
Vectores puntuales
𝑣
A´ (517,447,360)
B´ (473,429,340)
C´ (443,416,320)
D´ (419,406,300)
E´ (396,396,280)
F´ (379,379,260)
i
𝑂´𝐴´ 517
𝑂´𝐵´ 473
𝑂´𝐶´ 443
𝑂´𝐷´ 419
𝑂´𝐸´ 396
𝑂´𝐹´ 379
j
k
447
360
429
416
406
396
379
340
320
300
280
260
Vectores de la
vertiente 𝑣
𝑣
i
𝐴´𝐵´ -44
𝐵´𝐶´ -30
𝐶´𝐷´ -24
𝐷´𝐸´ -23
𝐸´𝐹´ -17
Pendiente en x
del vector
entre cada dos
curvas
Pendiente en
y del vector
entre cada
dos curvas
j
k
-18
-20
0.45
1.11
-13
-10
-10
-17
-20
-20
-20
-20
0.67
0.83
0.87
1.18
1.54
2.00
2.00
1.18
14) Una vez llenadas las tablas se respondió a la cuestión propuesta:
¿Cuál de las dos líneas de vectores: la vertiente 𝐴𝐸 o la línea 𝐴´𝐸´, tiene pendientes más
pronunciadas?
RESPUESTA:
“Puesto que la perspectiva de la investigación era determinar cuál de las dos línea de
vectores era la más pronunciada, se puede decir que la línea de vectores 𝐴𝐸
corresponde a la vertiente. Por lo tanto la vertiente AE se puede definir como LMP.”
II. Segunda Etapa
15)
Del punto A que corresponde al vector 𝐴𝐵, se trazó una recta tangente con una longitud
𝐴𝑀 de 50 m, hacia la derecha de A. Como se muestra en la Figura 10.
15a, 15b y 15c) Se determinó el vector 𝐴𝑀. Una vez calculado el producto interno
𝐴𝐵 ∙ 𝐴𝑀, se respondieron las siguientes cuestiones:
¿Qué relación hay entre los vectores 𝐴𝐵 y 𝐴𝑀 ?
RESPUESTA:
“Puesto que:
𝐴𝑀 = 𝑂𝑀 − 𝑂𝐴 = 509, 441, 357 − 485, 488, 360 = 24, −47, −3
𝐴𝐵 ∙ 𝐴𝑀 = −30, −14, −20 ∙ 24, −47, −3 = −720 + 658 + 60 = −2
Esto último deja en claro que el vector 𝐴𝐵 es perpendicular a la curva de nivel que pasa por
A.”
¿Qué relación hay entre el vector 𝐴𝐵 y la curva de nivel que pasa por el punto A?
RESPUESTA:
“El vector 𝐴𝐵 es perpendicular a la curva de nivel que pasa por A, una apreciación de lo
antes mencionado se puede ver en la Figura 11.”
Figura 10 Representación del vector 𝐴𝑀 desde
la perspectiva de un plano en (𝑥, 𝑦).
Figura 11 Muestra el vector 𝐴𝑀 desde la
perspectiva de un plano en tres dimensiones
(𝑥, 𝑦, 𝑧).
Algunos resultados
Un cuestionamiento de las técnicas empleadas para llevar a cabo las instrucciones
propuestas por el profesor arroja los siguientes resultados:
1. La LMP se coloca en un ambiente geométrico elemental en el que se pudieron
determinar los vectores 𝐴𝐸 entre curvas de nivel sin necesidad de una aplicación
variacional como la contenida en ∇ ⋅ f .
2. La tecnología θth involucrada justifica la técnica geométrica que llevó a la
determinación de la LMP.
3. Se desarrolló así un procedimiento completamente algebraico y geométrico, que deja
ver que las pendientes entre cada vector que constituyen la LMP, son de la forma:
𝑝𝑒𝑛𝑑𝑥 =
!"#$%$&'()*$(
!"
, así como: 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑦 = !"#$%$&'()*$(
!"
4. De lo anterior se desprende que, por ejemplo, el vector 𝐴𝐵 de la LMP obtiene la
forma dada en (1), es decir:
AB =
Δz
Δz
i+
j
Δx
Δy
O sea:
AB =
−20
-20
i+
j
- 30
- 14
Conclusiones
La forma de los vectores que determinan la LMP es fundamental para pasar al contexto
variacional, es decir el paso al límite, para llegar a la expresión (2) que representa al
Gradiente.
Como ya se dijo, esta última etapa forma parte del primer momento contenido en la OD,
dentro de la cual las actividades desarrolladas en el presente documento le permitirán
dinamizarlo para la consecución de la institucionalización en el aula del concepto
Gradiente.
Bibliografía
1. Valenzuela, V., Camacho, A. y Cuevas, J. H. (2013). Gradiente: Línea de mayor pendiente.
AcademiaJournals, (pág.http://juarez.academiajournals.com/memorias2013.html). Juárez, Chih.
México.Consultado el 22 de septiembre de 2013.
2. Chevallard, Y. (1998). Analyse des pratiques enseignantes et didactique des mathématiques:
L´approché
anthropologique.IUFM
d’Aix-Marseille.
En
http://yves.chevallard.free.fr/spip/spip/IMG/pdf. Consultado el 21 de septiembre de 2013.
3. Castela, C. y Romo Vázquez, A. (2011). Des mathématiques a l´Automatique: Etude des effets
de transposition sur la transformée de Laplace dans la formation des ingénieurs. Recherches en
Didactique des Mathématiques, (31), 1, pp. 79-130.