El control de procesos con ordenador es cada vez más común. Esto

10/10/2011
 El control de procesos con ordenador es cada vez más común. Esto se debe principalmente a:


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
Mejor manejo del ruido en las señales digitales.
Generalmente el gasto de energía del controlador digital es menor.
La disponibilidad de computadoras digitales de bajo costo.
La gran flexibilidad en los programas de control.  No solo los sistemas complejos sino también algunos sencillos como los enseres domésticos son controlados por medio de control digital.
 La tendencia actual es utilizar el control digital en lugar del control analógico, donde sea posible y viable.  El uso del computador permite realizar la optimización de los algoritmos de control.
 Utilizando el mínimo de energía posible y el máximo de flexibilidad y economía.
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 Sistema discreto:
Secuencia de
valores de entrada
Algoritmo
(Ecuación en
diferencias)
Secuencia de
valores de salida
 Definición de secuencia de valores
 Z: conjunto de enteros: índices de la secuencia
f :Z  A
A R
 A: Subconjunto de valores reales: valores de la secuencia
 Ejemplos de secuencias de valores
 Secuencia finita: x(k)={3,4,12,5} x0=3, x1=4, x2=12, x3=5
 Secuencia infinita por la derecha: x0=2, x1=3, x2=4…
 Secuencia infinita por la izquierda: … x‐2=3, x‐1=2, x0=1, x1=0, x2=‐1
 Definición de secuencia retrasada o adelantada respecto a otra
 y(k) está retrasada n posiciones respecto a u(k) si:
 y(k)=u(k‐n) (yk=uk‐n)
 y(k) está adelantada n posiciones respecto a u(k) si:
 y(k)=u(k+n) (yk=uk+n)
 Operaciones con secuencias:
 x(k) = u(k) + y(k) (xk= uk + yk) x(k) = m ∙ y(k) (xk= m ∙ yk)
 Secuencias usadas comúnmente como entradas de prueba:
 Secuencia escalón de amplitud unidad: 1(k) = {1,1,1,1,…}
 Secuencia impulso de amplitud unidad: (k) = {1,0,0,0,…}
 Toda secuencia se puede expresar como suma de secuencias impulso:
 Ejemplo: u(k)={2,4,8}= 2∙{1,0,0,0,…} + 4∙{0,1,0,0,…} + 8∙{0,0,1,0,…} = 2∙(k) + 4∙(k‐1) + 8∙(k‐2)
 Definición de secuencia acotada:
 x(k ), xk  R está acotada si c / xk  ck  Z
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 Definición de la Transformada Z:
Z x ( k )  X ( z ) 

 xk ·z k
con z  a  bi  C
k 0
 Propiedades de la Transformada Z:
 Linealidad
Z x ( k )  y ( k )  Z x ( k )  Z  y ( k )
 Z a·x ( k )  b·y ( k )  a·Z x ( k )  b·Z  y ( k )
Z a·x ( k )  a·Z x ( k )

 Desplazamiento
Z x ( k )  X ( z )  Z ·x ( k  a )  z  a X ( z )
Z x ( k )  X ( z )  Z x ( k  1)  z·X ( z )  z·x0
Z x ( k )  X ( z )  Z x( k  2)  z·Z x(k  1)  z·x1  z 2 ·X ( z )  z 2 ·x0  z·x1
 Teorema del valor inicial Z x ( k )  X ( z )  x0  lim X ( z )
z 
 Teorema del valor final
 z 1

Z  x ( k )  X ( z )  x  lim x( k )  lim  1  z 1 X ( z )   lim 
X ( z)
 z 1  z
k 
z 1 



 Relación entre transformadas:
x(t)  x(k)
Muestreo cada T segundos
xk = x(k·T)
Transformada de Fourier
Transformada de Laplace

X ( )  F x(t )   x(t )·e  j· ·t dt
s=j·

X ( s )  Lx(t )   x(t )·e  s·t dt

0
  2· · f (rad/s)
s  a  bj  C
Transformada discreta de Fourier
Transformada discreta de Laplace


X k ( )  F x(k )   x k ·e  j· ·k ·T
X k ( s)  Lx(k )   x k ·e  s·k ·T
k  
z = e j··T
k 0
Transformada Z
z = e s·T

X ( z )  Z x(k )   x k ·z  k
k 0
z  a  bj  C
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 Muestreo de una señal continua:
x(t)
x*(t)
x(k)
Muestreo
x(t)
A/D
x(t)
x(k)
t
t
x*(t)
T
Señal muestreada
0
T
1
fm
1
=(s) f m 
m  2· · f m 
2·
T
T
=(Hz)
Señal continua
T
2T
3T
4T
x(k) = {0, 3, 2.7, 2.2, 2.7, …}
Secuencia digital
xk = Redondear( x*(k·T) )
 (rad / s)
 Reconstrucción de una señal a partir de una secuencia:
x*(t)
x(k)
D/A
x(t)
Bloqueador
x(k) = {0, 1, 2, 1, 0, -1, -2, -1, 0…}
x*(k·T) = xk
Señal intermedia
x*(t)
x(k)
Bloq
Secuencia
digital
t
x(t)
x(t)
T
t
0
T
Señal
reconstruida
2T 3T 4T 5T 6T 7T
 Reconstrucción de una señal continua muestreada:
x(t)
x(k)
T
Bloq
y(t)
T
y(t) será parecida a x(t) si se cumple el teorema de muestreo al obtener
x(k) y si el bloqueador el adecuado
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 Bloqueador de orden cero:
x(k)
x(k) = {0, 2, 1, -1, ...}
y(t)
BOC
x*(t)
T
x(k)
t
x(t)
y(t) = x*(k·T) = xk
para k·T  t < (k+1)·T
Señal
reconstruida
0
1  e j · ·T
j·
Señal intermedia
generado con los
valores de una
secuencia
xk+1
T
H ( ) 
t
xk
y(t)
ZOH
Secuencia digital
T
 H (s) 
2T
3T
kT
(k+1)T
1  e  s·T
s
( s  j· )
 Sistema de control por computador:
u(t)
u*(kT)
y(t)
Computador
t
t
u(k)={1,1,2,3,1,2…}
Referencia
t
Sistema
continuo
BOC
r(k)={2,2,2,… }
Control
Salida
T
y(k)={1,2,3,2,2… }
T
y*(kT)
t
Ge ( z )  
L
1
H (s)·G(s)

 1  e s·T

Ge( z )  Z  L1 
G ( s ) 
s
 
 
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 Modelado matemático del sistema de control por computador:
Sistema discreto
equivalente
Computador
Referencia
e(k)
r(k)
+
u(k)
Gc(z)
y(t)
Ge(z)
y(k)
R(z)=Z{r(k)} E(z)=Z{e(k)} Y(z)=Z{y(k)}
E ( z)  R( z)  Y ( z )

R( z )
  E ( z )  R ( z )  E ( z )·Gc( z )·Ge( z )  E ( z ) 
Y ( z )  E ( z )·Gc( z )·Ge( z ) 
1  Gc( z )Ge( z )
Y (z) 
R( z )
Gc( z )Ge( z )
Gc( z )Ge( z ) 
R( z )
1  Gc( z )Ge( z )
1  Gc( z )Ge( z )
Y ( z)
Gc( z )Ge( z )
Gbc ( z ) 

R( z ) 1  Gc( z )Ge( z )
 Estabilidad en el plano z:
Im(s)
Im(z)
Re(s)
1
|z|
Re(z)
Zona donde deben estar los polos de
la función transferencia de un
sistema para que sea estable
s =   ·j C
z = a  b·j C
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 Relación entre el plano s y el plano z:
ωn
s1
Im(s)
Im(z)
ωd j
Im(p1)

cos  =ζ
/p1/

Re(s)
-σ
s2
p1
Re(z)
Re(p1)
Z = eT·s
p2
-ωd j
s1,2   ·n  n · 1   2 j    d j
T  d j 
z1,2  eT ·s  e 
 e T e T ·d j
z1  eT  Re( z1 )  Im( z1 )
2
z1    T ·d  arctg
Imz1   z1 sin 
2
Im( z1 )
Re( z1 )
Rez1   z1 cos 
 Especificaciones:
Especificaciones
tr, tp, ts, Mp
n, d, ξ, 
Valores s1, s2
z=eTs
Polos Gbc(z)
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 Errores en régimen estacionario:
r(k)
e(k)
R(z)
E(z)
u(k)
Gc(z)
H(s)
U(z)
Controlador
y(k)
u(t)
Ge ( z )  
y(t)
G(s)
U(s)
L
1
H ( s)·G(s)
Y(s)
Bloqueador
(D/A)
Planta
T
Y(z)
Ge(z)
A/D
r(k)
R(z)
e(k)
E(z)
G(z)=Gc(z)·Ge(z)
y(k)
Y(z)
F.T. de bucle abierto
 Errores en régimen estacionario:
E( z) 
1
1  G( z)

R( z )

e  lim e(k )  lim 1  z 1 E ( z )
k 
z 1

e  lim 1  z 1
z 1

Secuencia escalón

R( z )  
 Secuencia rampa

 1  G1 ( z) R( z)
Z 1,1,1,1,... 
1
1-z
1
Z 0, T , 2T ,3T ,... 

z
z 1
T ·z
 z  12
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 Errores en régimen estacionario:
e  e p 
y(k)
1
1 Kp
ep
K p  lim G( z )
z 1
r(k)
kT
e  ev 
T
ev
Kv
r(k)
K v  lim  z  1 G ( z )
z 1
y(k)
kT
 Errores en régimen estacionario:
Tipo
ep
1
0
1 Kp
1
0
2
0
ev

T
Kv
0
3
0
0
…
0
0
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Apéndice. Control por computador.
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