UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO ESCUELA DE

UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO
ESCUELA DE POSTGRADO
SECCION DE POSTGRADO EN CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS
Maestría en Ciencias con mención en Matemáticas.
SILABO DE MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ECUACIONES DIFERENCIALES
PARCIALES
I . DATOS INFORMATIVOS
1. Experiencia curricular : Métodos Numéricos para Ecuaciones Diferenciales
Parciales
Nivel de exigencia
: Maestría.
Del ciclo
: III.
Año y semestre académico: 2013 - I.
Tipo
: Obligatorio.
Total horas semanal
- Horas teóricas
: 02
- Horas práctica
: 02
- Crédito
: 04
7. Plana docente
: Dr. Franco Rubio López
: Dr. Luis Lara Romero
2.
3.
4.
5.
6.
II. MARCO DE REFERENCIA
En la actualidad las Ecuaciones Diferenciales Parciales son fundamentales
para la modelación de muchos fenómenos naturales; los cuales aparecen en varios
campos de la ciencia, razón por la cual es fundamental determinar condiciones
para la existencia y unicidad de la solución.
Otra razón primordial es el hecho de que en muchas situaciones es
imprescindible tener la solución de una EDP; la cual en general no es fácil
determinarla.
Es en éste sentido que los Métodos Numéricos cobran vital importancia;
pues mediante ellos, es posible determinar una solución “aproximada” a la solución
exacta del problema en estudio.
Esto va acompañado generalmente del uso de algún lenguaje de
programación; el cual permite implementar los algoritmos que se derivan al aplicar
los métodos numéricos; teniendo en cuenta el fundamento matemático sobre la
estabilidad, consistencia, exactitud y convergencia del método numérico en
estudio.
En este curso se estudiarán los métodos fundamentales basados en
Diferencias Finitas el Método de los Elementos Finitos aplicado a diferentes tipos
de problemas de valor inicial y de valor en la frontera.
En la primera Unidad se desarrolla el Método de Diferencias Finitas (MDF) en la
solución de ecuaciones diferenciales parciales, problemas elípticos, parabólicos e
Hiperbólicos dando énfasis en a la estabilidad, consistencia y convergencia de los
métodos de diferencias aplicado a ecuaciones diferenciales parciales.
En la segunda Unidad se desarrolla uno de los métodos numéricos más
importantes en la actualidad como es el Método de los Elementos Finitos (MEF),
fundamental en las carreras profesionales y en el quehacer profesional de las
Ciencias e Ingeniería y sobre todo de la Matemática Aplicada. Se basa en la
necesidad de resolver problemas provenientes de las Ciencias, cuyas soluciones
analíticas solo es posible determinarlas para un pocos casos particulares. Por lo
tanto para los casos mas generales se requiere un profundo conocimiento de los
métodos numéricos, entre ellos el Método de los Elementos Finitos MEF (en ingles
Finite Element Method FEM) que se ha convertido hoy en día en una poderosa
herramienta matemática en unión con el desarrollo de programas de computo
haciendo mas fácil y ameno la solución de ecuaciones diferenciales
con
condiciones de contorno mixtas definidas en regiones de geometría irregular.
III. OBJETIVOS GENERALES
Los objetivos generales del curso Métodos Numéricos para EDP son:
3.1 Conocer y manejar los diferentes métodos numéricos para aproximar la
solución de una Ecuación Diferencial Parcial, con condiciones iniciales y/o
de frontera.
3.2 Distinguir un método del otro, respecto a exactitud, precisión y eficiencia,
mediante el análisis del error.
3.3 Realizar las implementaciones de cada método numérico estudiado en un
lenguaje de programación.
3.4. Realidad experimentos numéricos para diferentes tipos de problemas de
ingeniería.
IV. ESTRATEGIA
Unidad Didáctica No. 1
1. Denominación : Métodos Numéricos basados en Diferencias Finitas para
Ecuaciones Diferenciales Parciales
2. Duración
: 8 Semanas.
3. Objetivos
:
3.1 Desarrollar métodos numéricos para hallar una solución aproximada de una
ecuación diferencial parcial con condiciones iniciales o con condiciones de
frontera.
3.2 Entender los problemas de estabilidad, consistencia y convergencia.
3.3 Realizar las implementaciones de los algoritmos desarrollados para cada
Método estudiado.
4. Programación
Espacio de las Funciones Discretas n- dimensionales, Producto interno discreto,
Operadores Discretos, Integración por partes discreta, desigualdad discreta de
Sobolev. Deducción de la Ecuación del Calor, método numérico Explícito e Impícito,
Análisis sobre la estabilidad, convergencia y estabilidad de los métodos. Método de
Richardson y
método de Crank –Nicolson. Análisis sobre la estabilidad,
consistencia y convergencia de los métodos. Deducción de la Ecuación de la Onda,
método numérico de diferencias finitas asociado. Análisis sobre la estabilidad,
consistencia y convergencia de los método. Deducción de la Ecuación de Laplace
y Poisson, método numérico de diferencias finitas asociado. Análisis sobre la
estabilidad, consistencia y convergencia de los métodos.
Primer Examen Parcial
Unidad didáctica No. 2
1. Denominación :
Método de los Elementos Finitos
2. Duración
: 8 semanas
3. Objetivos
:
3.1. Aplicar el Método de los elementos finitos a un problema de valor de
contorno con condiciones contorno de Dirichlet.
3.2.
Aplicar el Método de los elementos finitos a un problema de valor de
contorno con condiciones contorno mixtas: Dirichlet y Neumann.
4. Programación
Los espacios de Hilbert L2 (Ω), H1(Ω) y H10 (Ω). Formulación variacional de
problemas de valor en el contorno. El problema de Dirichelt, el Problema de
Dirichlet y el Problema Mixto. El lema de Lax-Milgram, solución débil de un
problema de contorno. Métodos de aproximación . El Método de los Elementos
Finitos para un problema modelo. Ecuación de Poisson. El Método de los elementos
finitos. Aplicación. Elementos finitos lineales, cuadráticos y de orden superior.
Implementación computacional. Generación de códigos numéricos fem1d.
Aplicación del fem1d en la solución de problemas de ingeniería.
Segundo Examen Parcial.
V. METODOLOGÍA



El curso será desarrollado por el profesor a través de clases-conferencias.
Para complementar la teoría desarrollada se realizaran prácticas continuas
disonando e implementando algoritmos de problemas específicos en diferentes
áreas de la ciencia.
Se asignarán tareas a los alumnos para construir e implementar algoritmos.
VI. MEDIOS Y MATERIALES:


Instructivos: Retroproyector, proyector multimedia, laboratorio de cómputo.
Material de apoyo: Bibliografía, computadoras.
VII.
EVALUACION
5.1 El curso de Métodos Numéricos para Ecuaciones Diferenciales Parciales se
divide en dos unidades.
5.2 En cada unidad se tomará un examen Parcial; y se calificará el Trabajo
Práctico; el cual consiste en presentar la solución de las tareas propuestas al
final de cada clase.
5.3 La nota de Unidad se Obtendrá mediante la fórmula:
Ui 
TPi  2 EPi
, i  1,2,3
3
5.4 La nota promocional NP, es obtenida mediante la fórmula:
NP  U1 2U 2
Donde Pi y Pii denotan los promedios parciales de cada unidad.
5.4 La nota aprobatoria será mayor o igual a catorce.
VI.
BIBLIOGRAFIA
Burden, R.L.
Análisis Numérico., Ed. Iberoamericana, 3er Edición, México,
1985.
Chapra, S. Canale, R., 1999. Métodos Numéricos para Ingenieros, Ed
McGrawHill, Inc, New York, 1999.
Demidowich, B P., Métodos Numéricos de Análisis. Editorial Paraninfo,
Madrid, 1980.
Kinkaid, D., Análisis Numérico. Editorial Addison-Wesley, California, 1994.
Smith, W Allen., Análisis Numérico. Editiorial Prentice-Hall, Mexico,1988.
Axelsson O. and Barker V., Finite Element Solution of Boundary Value
Problems, Academic Press, Inc, Orlando-Florinda, USA 1984.
Eric B. Becker, Grahamm F. Carey and J. Tinsley Oden., Finite Element an
Introduction, Volume I. Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, N. J., 1981
Brenner S. and Scott R., The Mathematical Theory of Finite Element Methods},
Springer-Verlag, New-York, 1994.
Claes J., Numerical Solution of Partial Differential Equations by the Finite
Element Method, Cambrige University Press, Cambrige. New York, 19787.
Cuvilier C. A Finite Element Methods and Navier-Stokes-Equations, Reidel
Publishing Company, Dordrech, Holland. 1986.
A.J.M. Ferreira, Maltlab codes for finite element solids and structures Springer
Science-Business Media B.V. 2009.
Gockenbach M., Partial Differential
Method, SIAM, Philadelphia, 2002.
Equations, Analytical and Numerical
Gallagher J., Oden J., Taylor C. and Zienkiewicz O., Finite Element in Fluid,
Viscous Flow and Hydrodynamics, Edit. John Wiley and Sons, 1978.
Jianming J., Finite Element Method in Electromagneties, Copyrigh by John
Wiley \& sons, Inc 1993.
Polycarpou, A.,
Introduction to the Finite Element
Electromagneties, Morgan and Claypool Publisher's series, 2006.
Method
in
Hughes J., The Finite Element Method, Linear Static and Dynamic Finite
Element Analysis, Dover Publicaions, INC. Mineola, New York, 2000.
Trujillo, Abril del 2013