Problemas de Métodos Matemáticos II

Problemas de Métodos Matemáticos II
TEMES 5 i 6: Programación lineal. Dualidad.
1. Resolver los siguientes programas por el método del sı́mplex:
(b) Maximizar z = 30x1 + 20x2
s.a. 3x1 + 6x2 ≤ 54
6x1 + 4x2 ≤ 48
5x1 + 5x2 ≤ 50
x1 , x2 ≥ 0
(c) Maximizar z = x1 + x2
s.a. x1 + 2x2 ≤ 6
x1 + x 2 ≤ 4
x1 , x2 ≥ 0
4. Encontrar la solución o soluciones a los siguientes problemas por el
método del sı́mplex:
(a) max z = 5x + 9y
s.a. y ≤ 5
x + 6y ≤ 31
4x + y ≤ 32
x, y ≥ 0
(b) max z = 2x1 + x2 − 3x3 + 5x4
s.a. x1 + 2x2 + 4x3 − x4 ≤ 6
2x1 + 3x2 − x3 + x4 ≤ 12
x1 + x 3 + x 4 ≤ 4
x1 , x2 , x3 , x4 ≥ 0
(c) max z = 10x1 + x2
s.a. x1 + 2x2 ≤ 6
2x1 − x2 ≤ 4
5x1 + 3x2 ≤ 15
x1 , x2 ≥ 0
2. Resolver los siguientes programas por el método del sı́mplex:
(a) max B(a, b) = 800a + 650b
s.a. b ≥ 3a
a + b ≤ 500
a, b ≥ 0
3. Resuelvase gráficamente los problemas:
(a) Optimizar z = −5x1 − 3x2
s.a. x1 + x2 ≤ 2
5x1 + 2x2 ≤ 10
3x1 + 8x2 ≤ 12
x1 , x2 ≥ 0
1
(a) max B(x, y, z) = 7x + 9y + 9z
s.a. x ≤ 5
y≥1
x≥y+z
x, y, z ≥ 0
(b) max u = 3x + y + 2z
s.a. x + 2y + 3z ≤ 24
2x + 4y + 3z = 36
x, z ≥ 0
5. Resolver el programa:
min C(x, y) = −4x − 3y
s.a. x ≤ 90
y ≤ 70
x + y ≥ 50
x + y ≤ 130
x, y ≥ 0
6. Resolver el siguiente programa:
min C(x, y, z) = 40x + 20y + 30z
s.a. 12x + 6y + 9z ≥ 60
8x + 30y + 2z ≤ 25
x, y, z ≥ 0
7. Resolver el siguiente programa por el método del sı́mplex:
min C = x1 + 4x2
s.a. x1 + 2x2 ≥ 8
3x1 + 2x2 ≥ 12
x1 , x2 ≥ 0
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4. Dado el siguiente programa lineal:
Dualidad.
1. Dado el siguiente programa lineal:
min z = 16x + 10y
s.a. x + 3y ≥ 1
2x + y ≥ 10
x, y ≥ 0
se pide:
min h = 5x + 3y + z
s.a. x + z ≤ 100
x + 2z ≥ 200 − y
x−z ≥0
x, y, z ≥ 0
se pide:
(a) Resolverlo por el método del sı́mplex.
(a) Plantear el programa dual.
(b) Resolver los programas primal y dual.
2. Dado el siguiente programa lineal:
max z = 3x + y
s.a. x + y ≥ 3
−2x + y ≤ 3
4x + y ≤ 9
x, y ≥ 0
se pide:
(b) Plantear el programa dual y determinar su solución a partir de
la solución del programa primal.
5. Dado el siguiente programa lineal:
max h = x + y + z
s.a. 2x + y + 2z ≤ 2
4x + 2y + z ≤ 2
x, y, z ≥ 0
se pide:
(a) Resolverlo por el método del sı́mplex.
(a) Resolverlo gráficamente.
(b) Resolverlo por el método del sı́mplex.
(c) Plantear el programa dual y determinar su solución a partir de
la solución del programa primal.
3. Dado el siguiente programa lineal:
(b) Plantear el programa dual y determinar su solución a partir de
la solución del programa primal.
6. Una empresa fabrica dos tipos de productos, A y B. Las necesidades
de fabricación por unidad de producto vienen dadas por la siguiente
tabla:
Producto
A
B
Optimizar z = 4x + 3y
s.a. 2x + y ≥ 5
−x + 4y ≤ 3
x, y ≥ 0
se pide:
(a) Resolverlo gráficamente.
(b) Resolverlo por el método del sı́mplex, para el caso de máximo.
(c) Plantear el programa dual y determinar su solución a partir de
la solución del programa primal.
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Mano de obra
1 hora
2 horas
Madera
3 kg.
2 kg.
Plástico
2 kg.
–
El coste de la mano de obra es de 300 u.m. por hora, el de madera de
20 u.m. por kg. y el de plástico de 80 u.m. por k.g. Si la cantidad
disponible diariamente es de 300 kg. de madera, 100 kg. de plástico y
150 horas de mano de obra, se pide:
(a) Sabiendo que el precio de venta del producto A es de 820 u.m. por
unidad y el del producto B es de 890 u.m. por unidad, obtener
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las cantidades de cada uno de los productos que maximizan el
beneficio diario.
(b) Plantear el programa dual.
7. Una empresa tiene dos tipos de procesos productivos: torno y fresadora. Cada uno de estos procesos se utiliza para fabricar tres tipos
de productos, A, B, y C. Se dispone de 120 horas semanales de torno y
de 260 horas de fresadora, y las necesidades asociadas a cada proceso
son las siguientes:
Producto
A
B
C
Torno
0.10 h
0.25 h
–
Fresadora
0.20 h
0.30 h
0.40 h
Si el beneficio unitario que se obtiene con la venta de los productos A,
B, y C es de 3, 5 y 4 u.m., respectivamente, se pide:
(a) Obtener cómo debe distribuirse la producción para maximizar el
beneficio.
(b) Plantear y resolver el programa dual.
(c) ¿Se mantendrı́a el óptimo del programa primal si se incrementa
el beneficio unitario del producto A en 2 u.m.?. ¿Y si dicho
incremento se efectuara con el producto B?.
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