Taller 2 - Universidad Nacional de Colombia : Sede Medellin

Universidad Nacional de Colombia Sede Medellı́n, Escuela de Matemáticas
Ecuaciones Diferenciales. Taller 2.
1. Emplee la sustitución u = x + y para solucionar la ecuación diferencial
x + y + (x + y − 4)
dy
= 0.
dx
2. Resuelva la siguiente ecuación diferencial
xy 0 = (1 − y 2 )1/2 .
3. Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales
(a) (x − y)y 0 + y = 0.
y − 4x
dy
=
.
(b)
dx
x−y
4. Un cuerpo de masa m cae desde el reposo en un medio que presenta una resistencia proporcional al
cuadrado de la velocidad. Determine la relación entre la velocidad v y el tiempo t. Determine la velocidad
lı́mite.
5. Suponga que la temperatura de una taza de café obedece la ley de Newton del enfriamiento. Si el café
tiene una temperatura de 200◦ F cuando acaba de servirse y un minuto después se ha enfriado hasta 190◦ F
en un recinto cuya temperatura es de 70◦ F, determine cuándo el café alcanza una temperatura de 150◦ F.
Nota: La Ley de enfriamiento de Newton expresa que la rapidez con que cambia la temperatura de un
cuerpo es proporcional, en cada instante de tiempo t, a la diferencia entre la temperatura del cuerpo y la
temperatura del medio en el cual está el cuerpo.
6. Una persona invierte k dólares por año a una tasa de rendimiento anual r. Suponga que las inversiones
se hacen de manera continua y que el rendimiento se compone de manera continua.
(a) Determine la suma S(t) acumulada en cualquier instante.
(b) Si r = 7, 5%, determine k de modo que haya 1 millón de dólares después de 40 años.
7. Un tanque con capacidad de 500 gal contiene originalmente 200 gal de agua con 100 lb de sal en solución.
En él se vierte agua con 1 lb de sal por galón a razón de 3 gal/min, y la mezcla resultante se hace salir
del tanque a razón de 2 gal/min. Encuentre la cantidad de sal en el tanque en cualquier tiempo antes del
instante en que la solución comienza a derramarse. Encuentre la concentración (en libras por galón) de
sal en el tanque cuando está a punto de derramarse. Compare este valor con la concentración en el lı́mite
teórico si el tanque tiene capacidad infinita.