3PM - CiberEsquina - Universidad Nacional Abierta

Tercera Prueba Parcial
Lapso 2013-2
735 – 1/3
Universidad Nacional Abierta
Vicerrectorado Académico
Área de Matemática
Matemáticas IV (Cód. 735)
Cód. Carreras: 236 y 280
Fecha: 30-11-2013
MODELO DE RESPUESTAS
Objetivos del 8 al 10
OBJ 8 PTA 1
Z
F~ · d~r, utilizando el teorema de Stokes, donde F~ (x, y, z) = 2z ~i + 4x ~j + 5y ~k y C es la curva
Evaluar
C
de intersección del plano z = x + 4 y el cilindro x2 + y 2 = 4, orientada en sentido antihorario.
Solución : Para ello, se debe calcular el rotacional de F~ :
~j ~k ~i
∂
∂
∂ rot(F~ ) = ∂x
∂y
∂z = (5, 2, 4)
2z 4x 5y La parametrización de la superficie esta dada por:
~r(s, t) = (s cos(t), s sen(t), s cos(t) + 4)
con
s ∈ [0, 2]
y t ∈ [0, 2π],
¿por qué?
El vector normal a la superficie es:
~k
~i
~j
∂~r ∂~r ×
= cos(t)
~n(s, t) =
sen(t)
cos(t)
∂s
∂t
−s sen(t) s cos(t) −s sen(t)
= (−s, 0, s)
Por el Teorema de Stokes,
Z 2 Z 2π
Z
ZZ
~
~
(5, 2, 4) · (−s, 0, s) dt ds
rot(F (~r(s, t))) · ~n(s, t) ds dt =
F · d~r =
0
0
C
S
Z 2
Z 2 Z 2π
−2π s ds = −4π.
−s dt ds =
=
0
0
0
OBJ 9 PTA 2
Un tanque contiene 500 gal de agua pura. Una salmuera que contiene 2 lb/gal se bombea al tanque a
razón de 5 gal/min. La salmuera resultante, debidamente mezclada y homogeneizada, sale del tanque con
la misma rapidez.
(a) Encontrar la concentración de sal en el tanque en un instante t cualquiera.
(b) Determinar la cantidad de sal y la concentración al cabo de hora y media de iniciado el proceso de
mezclado.
Nota: Para el logro del Objetivo 9 debe responder adecuadamente ambos literales de esta pregunta.
Validador: Federico Hernández
Evaluadora: Florymar Robles
Especialista: Carla De Pinho
Área de Matemática
Tercera Prueba Parcial
Lapso 2013-2
735 – 2/3
Solución : Se sigue como en el ejercicio Propuesto N◦ 5 pág. 344, sección 169 del libro correspondiente
a la asignatura (Cód. 735).
(a) El volumen inicial de lı́quido en el tanque es V0 = 500 gal y contiene agua pura entonces la cantidad
inicial de sal en el tanque es S0 = 0 lb. La salmuera que se inyecta al tanque tiene una concentración C1 = 2 lb/gal y entra al tanque a razón de Q1 = 5 gal/min. La mezcla, una vez agitada y
homogeneizada, se extrae del tanque a la misma razón de entrada, esto es, Q2 = 5 gal/min.
La ecuación diferencial asociada es:
Q2
dS
= C1 Q1 −
S,
dt
V0 + t(Q1 − Q2 )
sustituyendo los datos en la ecuación anterior,
dS
S
= 10 −
dt
100
lo cual es una ecuación diferencial de variables separables. Al separar variable e integrar,
S
−100 ln 10 −
100
= t + K.
Como para t = 0 min, la cantidad de sal es S = 0 lb, al sustituir estos valores y despejando K, se
obtiene K = −100 ln(10). Por lo que,
t
S(t) = 1000 1 − e− 100
¿Por qué?
Esta ecuación representa la ley de variación de la cantidad de sal en el tanque en cualquier instante
t. Ahora bien, la concentración de sal (cociente entre la cantidad de sal y el volumen de lı́quido en
el tanque) en el tanque en un instante t cualquiera es:
t
− 100
1000
1
−
e
t
S(t)
=
= 2 1 − e− 100 .
C(t) =
500
500
(b) Compruebe que la Cantidad de sal y la concentración transcurrida hora y media (t = 90 min) es:
90
S(90) = 1000 1 − e− 100 = 593, 43
90
− 100
C(90) = 2 1 − e
= 1, 19
Es decir, a los 90 min de iniciado el proceso de mezclado, la cantidad de sal en el tanque es de
593, 43 lb y la concentración de sal es de 1, 19 lb/gal.
Validador: Federico Hernández
Evaluadora: Florymar Robles
Especialista: Carla De Pinho
Área de Matemática
Tercera Prueba Parcial
Lapso 2013-2
735 – 3/3
OBJ 10 PTA 3
Encontrar la solución de la ecuación y ′′ − 6y ′ + 5y = 5x2 + 3x − 16 − 9e2x .
Solución : La solución de la ecuación homogénea y ′′ − 6y ′ + 5y = 0 es:
yh (x) = C1 e5x + C2 ex
5x2
¿Porqué?
Ahora, hallamos la solución particular yp (x), como el segundo miembro de la ecuación diferencial es
+ 3x − 16 − 9e2x , se propone una solución particular de la forma:
yp (x) = ax2 + bx + c + d e2x
Debemos derivar y sustituir cada una de estas soluciones en la ecuación diferencial para encontrar los
valores de las constantes a, b, c y d. Verifique que obtiene el siguiente sistema de ecuaciones:

5a = 5



−12a + 5b = 3
2a − 6b + 5c = −16



3d = 9
de donde, a = 1, b = 3, c = 0 y d = 3
¿Porqué?
Ahora bien, yp (x) = x2 + 3x + 3e2x
Por lo tanto, la solución general de la ecuación propuesta es:
y(x) = C1 e5x + C2 ex + x2 + 3x + 3e2x
FIN DEL MODELO
Validador: Federico Hernández
Evaluadora: Florymar Robles
Especialista: Carla De Pinho
Área de Matemática