Lección No.4: Relación de equivalencia

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

Sol:
B-A1, c
,
(A B) c  3, e  y (A B) c  1, c, 3,d, 4, e ,5 
Si U 1,2,3,4,5,6,7,8,9  , A 3,7,9  ,
c
C 1, 5,8  encontrar  (A B)  (BC)  -A y
C
c
Sol:  A B  BC  - A 1,5} y C = {2,3,4,6,7,9}.
Ejercicio 2:




B 1,3,4,5 
y

Lección No.4: Relación de equivalencia
¿Qué es una relación entre conjuntos?
El producto cartesiano de A y B , notado A X B , es el conjunto
 a , b : a  Ab  B  , donde a , b se denomina pareja ordenada .
Una relación del conjunto A en el conjunto B es una regla R que
asigna a elementos del conjunto A uno o varios elementos del
conjunto B .
Dicha regla se puede escribir como un conjunto de parejas ordenadas,
por lo tanto, R es un subconjunto de A X B . En símbolos
a , b es pareja ordenada de la relación R , se
R A X B .
Si
escribe a R b y se lee a está relacionado con b mediante R .
Ejemplo 1: Si

A a , b , c 
y B 1,2  entonces:
A X B  (a , 1) , ( a , 2) , (b , 1) , ( b , 2) , ( c , 1) , ( c , 2) 

pero también se tiene que:

B X A (1, a ) , ( 2, a) , ( 1, b) , ( 2,b) , ( 1, c) , ( 2, c) 

A X B del
Ejemplo 2: Si consideramos el producto cartesiano
ejemplo 1.5.1, tenemos que el conjunto R  (a ,1) , ( b ,2) , ( c ,1)  es
una
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relación de A en B , ya que R A X B . En cambio, el conjunto
R1  (a ,1) , ( a ,2) , ( b ,1) , ( 2,2 ) , ( 2, c)  no es una relación deA en B ,
porque R1 A X B ya que por lo menos (2,2) es un elemento de R1
pero no es elemento de A X B .
Ejemplo 3: Sea el producto cartesiano RxR donde R es el
2
conjunto de los números Reales,
R 1  x , y  X
: x2+y 21  ,
R2  x , y  X : 3x y 6  y
R3  x , y  X : x
0  son ejemplos de relaciones en los reales.
Ejercicios
Ejercicio 1: Calcule el producto cartesiano A X B , donde:
a. A es el conjunto de los números naturales y B el conjunto de las
vocales.
b. A es el conjunto cuyo elemento es a y B el conjunto de los
enteros entre -3 y 3, incluyéndolos.
Sol: a. si B a , e ,i , o , u  entonces A X B  a , b : a Nb B  , donde
N es el conjunto de los números naturales.
Ejercicio 2: De cada uno de los productos cartesianos obtenidos en el
ejercicio 1, busque dos ejemplos de relaciones y dos ejemplos de no
relaciones.
Ejercicio 3: Proponga un ejemplo similar al presentado en el ejemplo
2.
¿Qué es una relación de equivalencia?
Una relación  del conjunto A en sí mismo es una relación de
equivalencia en A si cumple las propiedades de ser reflexiva,
simétrica y transitiva.
Una relación 
es reflexiva, si para todo
a
de
A , se cumple
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que a  a .
Una relación 
entonces b a .
es simétrica, si para todo
a b
, con
a b
,
Una relación  es transitiva, si para todo a b y b c , se tiene
que a  c .
Ejemplo 4: Sean

A  a , b , c 
y
R1 ( a , a) , ( a , b) , ( b , b) , ( b , a) , ( c , c) 

(a , a) ,
una relación en A , es claro que es reflexiva ya que
(c , c) son elementos de R1 . Sea
R2  ( a , a ) , ( b , b ) , (a , b ) 
entonces es una relación en
(c , c )  R 2 .
A
(b , b) y
,
que no es reflexiva porque c  A pero
Ejemplo 5: Sean A , R1 y R2 los mismos del ejemplo 1.5.4, entonces
R1 es simétrica porque
(a , b) y (b , a) son elementos de
R1 . La relación R2 no es simétrica porque (a , b) está en la relación
pero (b , a) no está en la relación.
A y R1 los mismos del ejemplo 1.5.3, entonces
Ejemplo 6: Sean
R1 es transitiva porque
(a , a) y (a , b) implica (a , b) , (a , b) y
(b ,b) implica
(a , b) ,
(a , b) y (b , a) implica
(a , a) ,
(b , a) y
(a , b) implica
(b ,b) , (b , a) y (a , a) implica
(b , a) , finalmente
(b ,b) y (b , a) implica
(b , a) . De aquí se tiene que R1 es una
relación de equivalencia en A .
Toda relación de equivalencia en un conjunto
A particiona al
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conjunto en subconjuntos, tales que ninguno es vacío; la unión de todos
ellos es A y son mutuamente disyuntos. Cada conjunto de la
partición se llama una clase de equivalencia.
En otras palabras, si  es una relación de equivalencia en A
entonces para todo a de A se define la clase de equivalencia de
a como  a  x  A : x a  . El conjunto formado por todas las clases
de equivalencia se llama conjunto cociente, usualmente notado por
A .
Ejemplo 7:
Retomando nuevamente A y R1 de los ejemplos
4, 5 y 6, se tiene que las clases de equivalencia de la relación
R1 en A son  a a , b  b  y  c c  . El conjunto cociente dado
por la relación es: A  R1  a  ,  c  .
Ejemplo 8: Sea la partición en números enteros dado ser par o impar,
está definida por la siguiente relación de equivalencia: si a y b son
enteros entonces a está relacionado con b , si y sólo si, a b al
dividirlo por 2 el residuo es 0. Las clases de equivalencia de la relación
son  0  que representa los enteros pares y  1  que representa los
números impares. Luego el conjunto cociente está dado por los elementos
 0  y  1 .
A 0,1 ,2 ,3  , entonces la relación en A :
Ejemplo 9:
Si
R  0,0 , 1,1 , 2,2 , 3,3 , 1,0 , 0,1  es una relación de equivalencia, el
lector puede verificarlo. Por ser R una relación de equivalencia en A
2  2  y 3  3 . El
, las clases de equivalencia son 0  0, 1  1 ,
conjunto cociente de la relación es A  R 0  , 2  , 3  .
Ejercicio
Ejercicio 4: Proponga dos conjuntos y para cada uno de ellos
proponga una relación de equivalencia, describa las clases de
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equivalencia y defina quién es el conjunto cociente de la relación.
Lección No.5: Relación de orden
¿Qué es una relación de orden?
Una relación  del conjunto A en sí mismo es una relación de
A si cumple las siguientes propiedades: reflexiva,
orden en
antisimétrica y transitiva.
Una relación 
que a a .
es reflexiva, si para todo
a
de
A
, se cumple
Una relación  es antisimétrica, si para todo a b y b a
entonces a b . En otras palabras, una relación es antisimétrica si
para todo a b con a b entonces no es cierto que b a .
Una relación  es transitiva, si para todo a b y b c , se tiene
que a c .
Ejemplo 1: Ejemplos de relaciones reflexivas y transitivas pueden ser
los mismos presentados en los ejemplos del la sección 1.5.
Ejemplo 2: Sea
A 1,2 ,3  y la relación
R
en A definida como
R  (1,1) , ( 1,2) , ( 1,3) , ( 2,2) , ( 2,3) , ( 3,3)  ,
el lector puede verificar sin dificultad que R es reflexiva y transitiva en
A . También es antisimétrica porque al tomar (1,2) , (1,3) y (2,3)
de R se tiene que
(2,1) , (3,1) y (3,2) no están en R . Luego
R es una relación de orden en A .
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Ejemplo 3: Sea B = {a, b, c, d}y la
relación R en B, R= {(a,a),(a,b),(a,c),(b,c)}
es relación de orden
Ejemplo 4: L a relación de contenencia entre conjuntos es una
relación de orden.
Ejemplo 5: Las relaciones de orden usual definidas en los números
naturales, números enteros, números racionales y números reales son
ejemplos de relaciones de orden.
Ejercicio
Ejercicio 1: Proponga tres conjuntos y para cada uno de ellos
proponga una relación de orden. Justifique.
Representación gráfica de una relación de orden
La representación gráfica usual de una relación de orden es el
Diagrama de Hasse que es una gráfica de puntos que representan los
elementos del conjunto sobre el cual se le ha definido la relación de
orden y el diagrama indica cómo es la relación entre cada uno de los
elementos dada por esta misma relación de orden.
Ejemplo 6: Sea la relación de orden definida en el ejemplo 1.6.2 ,
entonces el diagrama de Hasse para esta relación es:
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3
2
1
Gráfica 1.1.1. Diagrama de Hasse para ejemplo 1.6.2.
Ejemplo 7: Sea el conjunto
para el orden usual sobre A es:
1
2
A  1,2 ,3 ,4 ,5 ,
3
el diagrama de Hasse
4
5
Gráfica 1.1.2. Diagrama de Hasse para ejemplo 1.6.7.
Ejercicios
Ejercicio 2: Construya los diagramas de Hasse para las relaciones de
orden del ejercicio 1 de esta lección.
Ejercicio 3: Construya los diagramas de Hasse para dos relaciones de
orden definidas por usted.
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