La invarianza Galileana

LA INVARIANZA GALILEANA
Cuando encontramos que todo cuerpo libre de la acción de fuerzas se
mueve en línea recta a velocidad constante ( o permanece en reposo)
el sistema de coordenadas utilizado para estudiar este hecho será un
sistema de referencia inercial.
Consideremos
dos sistemas de
referencia
inercial S y S’ de
coordenadas X,Y,
Z i X’,Y’,Z’ y
orígenes O y O’,
respectivamente
,
moviéndose
uno respecto de
otro
con
velocidad
v
constante, a lo
largo del eje XX’.
S
Y
S´
Y´
v
r
A
r´
O´
O
X, X´
Z
Z´
Figura 1.1
En t = 0, O = O’
r
r
r
r
r = x i + y j + z k ...1.2
r
r
r
r
r ' = x´ i + y´ j + z´k ... 1.3
r
r
v=vi
Relación inversa.
Relación directa .......... .1.1
De la figura:
r r r
r = r '+ v t ...1.2
r r r
r ' = r - v t ... 1.3
Relación inversa
Relación directa
De 1.1 y 1.3:
r r r r r
r
r
x' i + y' j + z' k = xi + yj + zk − vti ....1.4
x ' = x − vt
y' = y
z' = z
t' = t
..1.5 Transformaciones
galileanas
dx ' dx
=
− v → vx ' = vx − v
dt
dt
dy´' dy
=
→ vy ' = vy ....
dt
dt
dz ' dy
=
→ v z ' = vz
dt
dt
..1.6 Transforma ciones de velocidad
Derivando las ecuaciones anteriores respecto a t’ = t
Al dividir 1.6 respecto al tiempo:
dvx ' dv x
=
− vt → ax ' = ax
dt
dt
dvy ' dv y
=
→ ay ' = ay
dt
dt
dvz ' dv z
=
→ az ' = a z
dt
dt
...1.7 La aceleració n permanece
INVARIANTE
Del resultado anterior podemos deducir que la aceleración
permanece invariante ante las transformaciones de Galileo, lo
cual implica que las leyes de la Física se cumplen en ambos
sistemas.
vx ' = vx − v
En el caso que la partícula A se
mueva a lo largo del eje OX,
tendremos:
vy ' = vy = 0
vz ' = vz = 0
...1.8
Considerando que la partícula se mueva paralelamente al eje OY :
Y
Y´
Teniendo en cuenta que
en t=t’=0, ambos orígenes
coinciden (O = O’),
entonces al alejarse S’ con
velocidad v :
O´
O
X
Z
Z´
Figura 1.2
X´
vx = 0
v ≡ Velocidadde A observadadesde O
vy = v
v' ≡ Velocidadde A observadadesde O'
v z = 0 Recordandoque v x' = v x − v → v x' = -v ...1.9
v y' = v
vz' = 0
De la figura 1.2 :
v' =
(v
x
2
+v
2
)