TEMA DEMO - Didacta21

MATEMÁTICAS
TEMA 50
Polinomios.
Operaciones.
Fórmula de Newton.
Divisibilidad de polinomios.
Fracciones algebraicas
EQUIPO DOCENTE
TEMARIO ESPECÍFICO - TEMA DEMO
ÍNDICE.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
ESPECIALIDAD
Introducción.
El anillo de los polinomios.
Potencia de un polinomio. Binomio de Newton.
Divisibilidad de polinomios en una indeterminada.
Factorización.
Fracciones algebraicas.
Conclusión.
Bibliografía.
2
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TEMARIO ESPECÍFICO - TEMA DEMO
1.- Introducción.
El lenguaje algebraico ha sido …
2.- El anillo de los polinomios.
Expresión algebraica
Tomamos como marco de trabajo el anillo (A, +, ·) conmutativo.
Definimos una expresión algebraica con coeficientes en A en varias indeterminadas
(símbolos o letras que no pertenecen a A) a expresiones que se obtienen a
relacionarlos operaciones.
Por ejemplo: En el anillo ( , + , ·) podemos definir multitud de expresiones
, expresión algebraica con coeficientes en
en dos indeterminadas
.
Durante este tema trabajaremos, usualmente, en el anillo ( ,+,·), en su
cuerpo de fracciones ( ,+,·) y en el cuerpo de los números reales ( ,+,·).
Monomios
La expresión algebraica más sencilla, es la formada por una/s indeterminada/s,
llamada parte literal, y una parte numérica, llamado coeficiente, que indica el número
de parte literales que se consideran.
Por ejemplo: En ( , + , ·)
, monomios en una indeterminada
con coeficiente 4 y parte literal
.
Grado de un monomio
Es la suma de los exponentes de las indeterminadas que lo forman.
Por ejemplo, en monomios con coeficiente en A en una indeterminada :
,
ESPECIALIDAD
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, polinomio constante a≠0
, polinomio constante 0
Monomios semejantes
Dos monomios diremos que son semejantes si tiene la misma parte literal. Es decir,
la parte literal de un monomio es lo que le proporciona su identidad.
Operaciones con monomios (en una indeterminada)
Adicción (Sólo se podrán sumar monomios semejantes, es decir, no es una
operación interna en el conjunto de los monomios en una indeterminada
Producto (Es una operación interna)
Potencia (Es una operación interna)
División (No es una operación interna)
Polinomio en una indeterminada
Sea un anillo (A, +, ·) conmutativo y
una indeterminada, es decir, un símbolo que
no pertenece a A, llamamos polinomio con coeficientes en A en
a una expresión
algebraica del tipo:
ESPECIALIDAD
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Donde n
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y
A.
Para simbolizar a un polinomio se le da nombre continuado de la indeterminada
entre paréntesis
Estos polinomios pueden también expresarse de forma abreviada como
Los polinomios se ordenan de mayor a menor, o al contrario, según el grado de los
monomios o términos que lo formen. Por otro lado, todos los polinomios deben estar
reducidos, es decir, todos sus términos deben tener distinto grado, en caso contrario
se simplificarían.
De ahora en adelante trabajaremos con polinomios reducidos y ordenados.
Grado de un polinomio
Se define como el mayor de los grados de los términos que lo forman.
Representamos al conjunto de todos los polinomios con coeficientes en A en
como
. Sobre este conjunto podemos definir dos operaciones + y · que lo dotan de
estructura de anillo. (Las propiedades las tienes en el tema 11, resalto lo más
importante)
Adicción de polinomios. Propiedades.
1. Es interna
2. Asociativa
3.
elemento neutro. Polinomio nulo
4.
elemento simétrico u opuesto. Dado
5. Conmutativa
Producto de polinomios. Propiedades.
ESPECIALIDAD
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Se obtiene como una generalización del producto de un monomio por un polinomio
(propiedad distributiva del producto respecto la suma)
1. Es interna
2. Asociativa
3.
elemento neutro. Polinomio unidad
4. Conmutativa
5. Propiedad distributiva
Conceptos previos:
Un anillo se dice que es un dominio de integridad DI, si no tiene divisores de cero
no nulos.
Ejemplo:
( ,+,·) , ( ,+,·), ( ,+,·) son un DI
no es un DI
(
Unidad de un anillo
u
U(A)
u /1
Si A es DI entonces U(A
)=U(A)
Asociados
a, b
Ay
u
U(A) / a=u·b
a y b son asociados.
Irreducible
a
A, no unidad, es irreducible si no tiene divisores salvo asociados.
ESPECIALIDAD
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Dominio de factorización única DFU
Un DI es un DFU si todo elemento, no nulo y no unidad, tiene un única
factorización en elementos irreducibles.
En un DFU irreducible=primo
Dominio Euclideo DE
Un DI es DE si se le puede asociar una función euclidea δ:
•
Δ(ab)≥δ(a),
•
Para todo a, b
que verifica:
a, b
A, b≠0, existen q, r
A:
a=bq+r
δ(r)<δ(b) ó r=0
Consecuencias para anillos de polinomios
• Si A es DI
es un DI.
A
Ejemplo
• Si K es un cuerpo
Ejemplos
,
K
es un DE con δ(
,
,
)=gr(
).
3.- Potencia de polinomios. Binomio de Newton.
De entres las diferentes potencias de polinomios que se pueden calcular nos
centramos en potencias de un binomio.
(a+b)n=(a+b)
·(a+b)
El primero en desarrollar una fórmula (a+b)n =
fue Tartaglia, quién
asoció los coeficientes de la potencia n-ésima a los números combinatorios de la fila
n-ésima del triángulo de Tartaglia.
Posteriormente, Newton, generalizó el resultado para exponentes no enteros.
ESPECIALIDAD
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La demostración del Binomio de Newton resulta sencilla mediante inducción …
(...)
4.- Divisibilidad de polinomios en una indeterminada.
En este apartado consideramos un cuerpo
aunque se podría considerar otro
cuerpo o un dominio de integridad.
Algoritmo de Euclides
,
Dados
,
existen dos únicos polinomios
y
, con gr(
verificando que
< gr(
)
de la división
Si el resto es cero, la división es exacta y se dice que
escribe
/
Diremos que
( en
y
es divisor de
, se
.
es un divisor propio de
si es distinto de las unidades del anillo
las unidades son todos los números excepto el cero y en
el 1 y
el -1).
ESPECIALIDAD
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Se establece una relación binaria en
, que cumple las propiedades reflexiva,
antisimétrica y transitiva, dotándolo de una relación de orden parcial.
Reflexiva:
/
,
Antisimétrica:
/
y
/
→
y
/
→
U( ):
(son asociados)
Transitiva:
/
/
Cálculo práctico del algoritmo de una división
Poner un ejemplo de división cualquiera
Máximo Común Divisor (MCD) y Mínimo Común Múltiplo (mcm) de polinomios
Las definiciones, teoremas y la forma de cálculo del MCD y mcm para polinomios
comparte muchos aspectos con los mismos conceptos para los números naturales.
Consideramos dos polinomios
y
.
Máximo Común Divisor
Definimos el MCD(
como el polinomio de mayor grado que es divisor común de
ambos.
Identidad de Bezout
Si d= MCD(
Existen dos polinomios
y
tales que d=
La combinación del algoritmo de Euclides con la identidad de Bezout nos permite
desarrollar un método para el cálculo del MCD(
ESPECIALIDAD
.
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Se realiza este proceso hasta obtener resto cero. El último resto distinto de cero será
el MCD, es decir, MCD(
)=
Para organizar datos se utiliza la siguiente tabla:
Mínimo Común Múltiplo
Definimos el mcm(
como el polinomio de menor grado que es múltiplo común de
ambos.
Para obtenerlo se puede aplicar el Teorema Fundamental…
Teorema 2
,
Sea
Si
, siendo
ESPECIALIDAD
primos relativos, es raíz de
/
y /
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Regla de Ruffini
Este método nos permite nos permite simplificar el algoritmo de la división en
[x]
cuando el divisor es del tipo x-a ó x+a.
El procedimiento resulta muy sencillo, por ejemplo queremos dividir
-5
1 -1 -6
-5 2
1 -6 -4
1º) Se traza dos líneas perpendiculares, en el primer cuadrante se escribe el
dividendo en forma abreviada (
) y en el segundo cuadrante el término
independiente del divisor cambiado de signo (-1).
2º) El primer coeficiente del dividendo se escribe tal cual en el cuarto cuadrante
debajo de su posición correspondiente, se multiplica por -5 y el resultado (-5) se
coloca en el primer …
…polinomios utilizando Ruffini combinado con el teorema 1. Este teorema nos
proporciona los candidatos a ser raíces enteras del polinomio, y posteriormente se
aplica Ruffini sobre cada uno de los candidatos hasta dar con aquel o aquellos que
den resto cero.
Factorización de polinomios en DFU
Trabajaremos sobre
DFU y
su cuerpo de fracciones.
Conceptos previos
Polinomio primitivo
es primitivo si MCD(
Resultado 1.-
ESPECIALIDAD
es no constante
.
y
primitivo tal que
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Resultado 2.- Sea K cuerpo de fracciones de A. Si
y
es no constante
primitivo tal que
Polinomio Irreducible (o primo)
Sea
, no unidad, decimos que es irreducible si no admite divisores
propios distintos de las…
), que lo dota de estructura de cuerpo, llamado cuerpo de las fracciones racionales
en x con coeficientes en K.
7.- Conclusión …
8.- Bibliografía
R.B.J.T. Allenby, “Rings, fields and groups, an …
(...)
ESPECIALIDAD
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EQUILIBRADA, DOS
TEMAS SE CARACTERIZA POR:
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ESPECIALIDAD
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