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2. Teoría BCS. Física de los pares de Cooper
La primera teoría microscópica de la superconductividad fue planteada en 1957
por John Bardeen, Leon Neil Cooper y Robert Schrieffer1. La idea fundamental es
tratar el problema con mecánica cuántica presente en sistemas metálicos donde los
portadores físicos microscópicos de la superconductividad son los pares de Cooper.
Pruebas experimentales comprobaron la validez y la existencia de lo pares. Claro,
muchos años después.
El hamiltoniano propuesto en la teoría BCS se reduce a incluir sólo pares de
electrones y es de la forma
(
)
H BCS = ∑ ε k ck+↑ ck ↑ + c−+k ↓ c− k ↓ − ∑ Vk , k ′ck+′ ↑ c−+k ′ ↓ c− k ↓ ck ↑
k
k ,k ′
(2.1)
El potencial de interacción Vk , k ′ incluye el término de la repulsión coulombiana
entre electrones y por supuesto la interacción efectiva entre éstos y los iones.
Para encontrar la energía del estado base superconductor hay varias formas. Pero
sin duda una de las formas más claras es mediante una diagonalización del
hamiltoniano BCS usando una transformación canónica que lleva el nombre de
transformación Valatin Bogoliubov13.
39
2.1 Operadores de Bogoliubov
Los operadores de la transformación canónica con la cual se diagonaliza H BCS son
γ kr = ukr ckr − vkr c−+kr
γ − kr = ukr c− kr + vkr ck+r
γ k+r = ukr ck+r − vkr c − kr
γ −+kr = ukr c−+kr + vkr c kr
(2.2)
r
r
donde u kr , vkr son funciones reales simétricas respecto a la transformación k → −k .
Como la transformación debe ser unitaria también se debe cumplir que
u k2 + vk2 = 1
(2.3)
Además, estos nuevos operadores cumplen la regla de conmutación para
fermiones (se omite la notación vectorial en el subíndice)
{γ k , γ k ′ } = {γ k , γ − k ′ } = {γ k+ , γ − k ′ } = 0
{γ
+
k
} {
}
, γ k ′ = γ −+k , γ − k ′ = δ kk ′
(2.4)
y sus relaciones inversas son
ckr = ukr γ kr + vkr γ −+kr
ck+r = ukr γ kr+ + vkr γ − kr
c− kr = ukr γ − kr − vkr γ kr+
c−+kr = ukr γ −+kr − vkr γ kr
(2.5)
Enseguida se escribe H BCS en términos de dichos operadores. Para efectuar tal
operación, de la Ec. (2.1) se toma el término de la energía cinética (se omite el signo
del espín y la notación vectorial)
(
H T = ∑ ε k ck+ ck + c−+k c− k
k
que se transforma en
40
)
(2.6)
H T = ∑ ε k uk2γ k+γ k + vk2γ − k γ −+k + uk vk ( γ k+γ −+k + γ − k γ k )
k
+ v γ γ + u γ γ −k
+
k
2
k k
2 +
k −k
(2.7)
− uk vk ( γ γ + γ k γ − k ) 
+
−k
+
k
Para simplificar la expresión anterior se aplican las reglas de conmutación.
Asimismo se requiere definir dos nuevos operadores8 mk y m− k de la siguiente forma
mk = γ k+γ k
m− k = γ −+k γ − k
(2.8)
Por otro lado, de la regla de conmutación para fermiones se tiene
γ − k γ k = −γ k γ − k
γ −+k γ k+ = −γ k+γ −+k
(2.9)
y para los términos cuadráticos
uk2γ k+γ k + vk2γ − k γ −+k + vk2γ k γ k+ + uk2γ −+k γ − k  = uk2 mk + vk2 (1 − γ −+k γ − k ) + vk2 (1 − γ k+γ k ) + uk2 m− k
= uk2 mk + vk2 (1 − m− k ) + vk2 (1 − mk ) + uk2 m− k
= 2vk2 + ( uk2 − vk2 ) ( mk + m− k )
(2.10)
de tal forma que H T ahora se escribe
[
(
)
(
H T = ∑ ε k 2v k2 + uk2 − vk2 (mk + m− k ) + 2uk vk γ k+γ −+k + γ − k γ k
)]
(2.11)
k
Para el término de la energía potencial se procede de igual forma. Primero el
producto
c − k ck = (uk γ − k − vk γ k+ )(uk γ k + vk γ −+k )
= uk vk (1 − m− k − mk ) + uk2γ − k γ k − vk2γ k+γ −+k 
(2.12)
Asimismo,
ck+′c−+k ′ = (uk ′γ k+′ + vk ′γ − k ′ )(uk ′γ −+k ′ − vk ′γ k ′ )
(2.13)
con lo que se obtiene
HV = −∑ Vkk ′{uk ′vk ′uk vk (1 − mk ′ − m− k ′ )(1 − mk − m− k )
k ,k ′
+ uk ′v k ′ (1 − mk ′ − m− k ′ ) ( uk2 − vk2 )( γ − k γ k + γ k+γ −+k )}
(2.14)
Bajo la transformación de Bogoliubov, H BCS se puede establecer ahora como
41
H BCS = E0 + H 0 + H 1 + H 2
(2.15)
donde E0 es independiente de los operadores γ ; H 0 se dice que es un operador
diagonal porque sus términos o son constantes o dependen de los operadores m ; H 1
no es diagonal y H 2 contiene términos de cuatro operadores γ . En efecto,
E0 = ∑ 2ε k vk2 − ∑Vkk ′uk ′vk ′uk vk
(2.16)
k ,k ′
k
Término independiente de los operadores de Fermi. Corresponde a la energía del
estado base, como se aclara más adelante.
Asimismo, H 0 es la parte diagonal dada por
H 0 = ∑ ε k ( uk2 − vk2 ) ( mk + m− k ) + ∑ Vkk ′uk ′v k ′ uk vk (1 − mk ′ − m− k ′ )( m k + m− k )
k
k ,k ′
+ ∑ V kk ′uk ′vk ′uk vk ( mk ′ + m− k ′ )
(2.17)
kk ′
por último, la parte no diagonal es
H1 = ∑ {2ε k uk vk − ∑ Vkk ′uk ′vk ′ (1 − mk ′ − m− k ′ ) ( uk2 − vk2 )}
k
k′
× ( γ − k γ k + γ k+γ −+k )
(2.18)
H 2 es un término no diagonal que contiene el producto de cuatro operadores de
Fermi. La BCS hace una aproximación al omitir dichos términos.
Se asume que en el estado de mínima energía, los números de ocupación mk ′ y m− k ′
son cero, y que efectivamente no existen estados excitados (con energía mayor a la de
Fermi), condición sólo válida a T = 0 .
Para anular H1 se impone la siguiente condición en la Ec (2.18)
(
2ε k uk vk − uk2 − vk2
)∑V
k′
u v =0
kk ′ k ′ k ′
que es al mismo tiempo la condición de mínima energía del estado base.
42
(2.19)
∂E0
=0
∂vk
2.2 Cálculo del gap electrónico
La idea de que en la transición al estado superconductor se forman pares de
electrones conlleva el hecho de que exista una brecha energética en el espectro
electrónico. Para establecer el cálculo se parte de la siguiente definición:
∆ k ≡ ∑Vkk ′uk ′vk ′
(2.20)
k′
Que es el parámetro del gap de la BCS14
Como u k y vk no son independientes dado la Ec. (2.19), se reescriben de otra
manera:
1
− xk
2
uk =
vk =
1
+ xk ,
2
(2.21)
La brecha se reescribe ahora
12

1
∆ k = ∑Vkk ′  − xk2′ 
4

k′
(2.22)
También es fácil obtener

 1
1
uk2 − vk2 =  − xk  −  + x k  = −2 xk

 2
2
(2.23)
con lo cual la Ec. (2.19) ahora es
12
1

2ε k  − xk2 
4

12
1

+ 2 xk ∑Vkk ′  − xk2′ 
4

k′
=0
y se obtiene
xk = ±
(
εk
2 ε k2 + ∆2k
)
12
(2.24)
Al sustituir en la Ec. (2.22) se demuestra que
∆k =
1
∆k′
Vkk ′
∑
2 k′
ε k 2 + ∆2k ′
(2.25)
43
y en forma integral se tiene (usando
∑ →∫ D(ε )dε
k′
k′
, donde D (ε k ′ ) es la densidad de
estados de cada partícula)
∞
∆k =
∆k′
1
D (ε k ′ )Vkk ′
∫
2
2 −∞
ε k ′ + ∆2k ′
(
)
12
dε k ′
(2.26)
El valor de ∆ k depende del espectro de energías ε k de los estados de un electrón
sin interactuar y evaluados en el nivel de Fermi. También depende del potencial Vkk ′
que incluye la interacción atractiva entre electrones. La Ec. (2.25) tiene solución trivial
cuando ∆ k = 0 , pero no tiene significado pues es el caso de la ausencia de atracción
entre electrones. Se requiere una solución diferente. Un modelo simple, pero de gran
utilidad, es manejar Vkk ′ de la siguiente forma
Vkk ′ =
{
V ε k < hω D
0 en otro caso
(2.27)
V es una constante y hω D es la energía de Debye. Igualmente se establece que
D (ε k ′ ) es una constante que se considera igual a la densidad de estados en el nivel de
Fermi N (0 ) . Con tales supuestos el gap no depende de k sino sólo de la energía ε , de
tal manera que ahora se transforma ∆ k → ∆ 0 . La integral de la Ec.(2.26) se escribe
 hω

1
1
D

1 = N ( 0 )V ∫
dε 
 − hωD ( ε 2 + ∆ 2 )1 2

2
0


(2.28)
Al resolver
∆0 =
hω D
 1 
senh 

 N (0 )V 
(2.29)
es decir, es la solución no trivial del gap electrónico. Ahora, si se hace la
aproximación de acoplamiento débil se encuentra que
∆ 0 = 2hωD e
44
−
1
N ( 0 )V
(2.30)
2.3 Cálculo de la energía de condensación
Se entiende como energía de condensación a la diferencia de energía entre el
estado superconductor y el normal. Si ésta es negativa se interpreta como un estado
de menor energía el estado superconductor. Sea ε s y ε n cada caso, respectivamente.
La energía del estado base está dada por el valor esperado de E0 + H 0 con la
condición de que mk ′ = m− k ′ = 0 . Por otro lado, se considera que la función de onda
normalizada del estado base ψ 0 corresponde al estado vacío de los operadores γ .
Una solución simple es
ε s = ψ 0 E0 ψ 0
(2.31)
= ∑ 2ε v − ∑ Vkk ′uk ′ v k ′ uk vk
2
k k
k
k ,k ′
Dados los valores de uk y v k se tiene entonces
12
 1
 1

ε s = ∑ ε k (1 + 2 xk ) − ∑ V kk ′  − xk2′  − xk2  
 4

k
k ,k ′
 4
(2.32)
Utilizando la Ec. (2.22) se encuentra que
12


1
2
ε s = ∑ ε k (1 + 2 xk ) −  − xk  ∆ k 
4

k 


(2.33)
para estimar la energía de condensación se tiene que
εc = εs − εn
(2.34)
En el estado normal ε n corresponde a la energía de electrones libres
εn =
∑ 2ε v
k <kF
2
k k
(2.35)
por tanto,
12
εc =
1

∑ ε k (2 xk − 1) + ∑ ε k (2 xk + 1) − ∑  4 − xk2 
k <kF
k >kF
∆k
(2.36)
k
45
Se debe considerar que ε k es negativa por debajo del nivel de Fermi, asimismo el
gap es independiente de k ∆ k → ∆ 0 , entonces
εc =
∑
k < kF
12
1

ε k (1 − 2 xk ) + ∑ ε k ( 2 xk + 1) − ∑  − xk2  ∆ 0

k > kF
k 4
Utilizando el hecho de que xk =
εc =

(
2 ε k + ∆20

 + ∑ εk
∑ 
2
2 12 
k < kF
2
ε
+
∆
( k 0 )  k > kF

12
1

ε k2
 ∆0
− ∑ −
2
2 
4
ε
+
∆
k 4
(
)
k
0


ε k 1 −
εk
2 εk
)
12
(2.37)
se tiene entonces


2ε k
1 −

 2 ( ε 2 + ∆ 2 )1 2 
0
k


(2.38)
Agrupando para una sola k se establece la integral

2ε k2 + ∆20 
ε
−

∫ k 2 ε 2 + ∆2 1 2  dε k
− hω D 
0
k


ε c = N (0 )
hω D
(
(2.39)
)
Dado que se trata de una función par


2ε k2 + ∆ 02 

ε c = 2N (0) ∫ ε k −
dε k
2
2 12 

+
∆
ε
2
0
(
)
k
0


2
2
= N ( 0 ) ( hω D ) − hω D ( hω D ) + ∆ 02
hω D
{
}
Si se usa el resultado




hω D


2
∆0 = 
 1 
 senh 
 
 N (0 )V  

2
la expresión del radical puede reescribirse como
46
(2.40)
2




hωD
2
2


2
( hωD ) + ∆0 = ( hωD ) + 


 senh  1  


 N ( 0 )V  

 1  
2

= ( hωD ) 1 + csh2 
 
 N ( 0 ) V  

 1  
2

= ( hωD ) coth 2 
 
 N ( 0 ) V  

(2.41)
entonces, la energía de condensación queda como


1
 N (0)V
ε c= N (0)(hωD )2 1 − coth




(2.42)
Para la aproximación de acoplamiento débil N (0 )V << 1

 1
1 − coth 
 N (0 )V

−2

 ≈ −2e N (0 )V

(2.43)
Finalmente, se tiene entonces que la energía de condensación es
ε c≈ −2(hω D ) N (0)e
2
−2
N (0 )V
1
2
ε c≈ − N (0 )∆20
(2.44)
(2.45)
La energía de condensación es negativa, lo que significa que la energía del estado
superconductor tiene una energía menor que la del estado normal, es decir el estado
superconductor es el estado base8.
Esta cantidad es proporcional al número de electrones que participan, todos con la
energía de Fermi, donde se supone que en tal intervalo la energía es constante.
Asimismo también es proporcional a la energía de Debye, típica de los fonones del
material.
47
2.4 Campo crítico y el gap
De los modelos fenomenológicos es bien sabido que la diferencia en la energía
1
libre entre el estado normal y superconductor está dada por − µ0 H c2 , por lo que se
2
puede decir que
1
2
1
2
ε c= − N (0)∆20 = − µ0 H c2
(2.46)
de donde se obtiene que
N (0 )
H c = ∆0
(2.47)
µ0
Se incluye ahora el estado base superconductor propuesto en la BCS: Función de
onda del estado base
ψ 0 = ∏ (uk + vk ck+ c−+k ) 0
(2.48)
k
Los operadores ck+ c−+k crean sobre un mar de Fermi pares de electrones con
números cuánticos k y − k . Los coeficientes u k y vk están sujetos a la condición
2
2
ukr + vkr = 1 .
La función de onda del estado base superconductor ψ 0 es una eigenfunción de
H BCS diagonalizado con m− k ′ = mk ′ = 0 para toda k , es decir, está definida como el
estado vacío de las partículas descritas por los operadores γ . Por tanto
γ k ψ 0 = γ −k ψ 0 = 0
(2.49)
lo cual es palpable si se observa el efecto del operador
γ k ψ 0 = ( uk c k −vk c−+k ) ∏ (ul + vl cl+ c−+l ) 0
l
= ( uk2 c k +uk vk ck ck+ c−+k − uk vk c−+k − vk2 c−+k ck+ c−+k )
× ∏ (ul + vl cl+ c−+l ) 0
l ≠k
48
(2.50)
El segundo renglón de la ecuación da cero, por tanto γ k ψ 0 = 0 . De igual forma se
demuestra que γ −k ψ 0 = 0 .
2.5 Estados excitados
Los estados excitados son electrones libres que al retomar la energía, el estado
superconductor regresa al estado base, el cual está constituido sólo por pares de
Cooper. Por tanto, debe haber una característica particular en esos electrones libres.
Aquí será de gran ayuda la transformación de Bogoliubov-Valatin como se
demuestra a continuación.
γ k+ ψ 0 = ( uk ck+ − vk c− k ) ∏ (ul + vl cl+ c−+l ) 0
k
= ( uk2 ck+ + uk vk ck+ ck+ c−+k − uk vk c− k − vk2 c− k ck+ c−+k )
× ∏ (ul + v c c ) 0
+ +
l l −l
l ≠k
(2.51)
= ck+ ∏ (ul + vl cl+ c−+l ) 0 ≡ ψ k ↑ ,
l ≠k
De igual forma se obtiene
γ −+k ψ 0 = c−+k ∏ (ul + vl cl+ c−+l ) 0 ≡ ψ − k ↓ ,
(2.52)
l ≠k
+
como bogolones8 de
Lo anterior permite interpretar físicamente a γ k+ y γ −k
momento k y − k y espín ↑ y ↓ , respectivamente.
Dado que las excitaciones son cuasipartículas capaces de formar pares de Cooper
+
y éstas son creadas por los operadores γ k+ y γ −k
al actuar sobre ψ 0 por lo cual se
denominan Bogolones, y sus operadores de número son mk y m − k . Por eso en el
estado base éstos valen cero, es decir, sin excitaciones. Ahora, la parte diagonal de
H BCS es


H BCS = ε s + ∑ ( mk + m− k ) ( uk2 − vk2 ) ε k + 2uk vk ∑Vkk ′uk ′vk ′  ,
k
k′


(2.53)
49
donde el término entre corchetes puede escribirse de la siguiente forma
 2

2
2
2 12
(uk + vk )ε k + 2uk vk ∑Vkk ′uk ′vk ′  = (ε k + ∆ 0 )
k′


(2.54)
Entonces
H BCS = ε s + ∑ ( mk + m− k ) ( ε k2 + ∆ 02 )
12
k
H BCS = ε s + ∑ Ek (mk + m− k )
(2.55)
k
donde
(
Ek = ε k2 + ∆20
)
12
(2.56)
es la energía de las excitaciones. La eigenfunción correspondiente a la energía Ek es el
estado de un bogolón ψ k ↑ o ψ − k ↓ dado por las Ecs. (2.51) y (2.52), respectivamente.
Considerando la Ec. (2.56) se tiene
xk = −
εk
(2.57)
2 Ek
Las relaciones para u k y vk son ahora
1 ε 
uk2 = 1 + k 
2  Ek 
1 ε 
vk2 = 1 − k 
2  Ek 
(2.58)
Las excitaciones no pueden crearse individualmente porque implica romper un
par lo cual genera dos electrones por encima del nivel de Fermi, es decir no se
generan operando una sola γ + sobre ψ 0 . Por eso, cualquier operador que se aplique
debe contener al menos dos productos de operadores de electrones. Para mostrar lo
anterior se presenta el siguiente ejemplo.
50
ck+ ck ′ ψ 0 = ( uk γ k+ + vk γ − k )( uk ′γ k ′ + vk ′γ −+k ′ ) ψ 0
= (uk uk ′γ k+γ k ′ +uk v k γ k+γ −+k ′ + vk uk ′γ − k γ k ′
+ vk vk ′γ k+γ −+k ′ ) ψ 0
= uk vk ′γ k+γ −+k ′ ψ 0
(2.59)
donde se han usado las siguientes expresiones
γ k′ ψ 0 = 0
vk vk ′γ − k γ −+k ′ ψ 0 = −vk vk ′γ −+k ′γ − k ψ 0
(2.60)
Es decir, sólo pueden excitarse pares de cuasipartículas. Además de la ecuación
para Ek se tiene que la energía necesaria para crear un par excitado es 2∆ 0 .
2.6 Temperatura finita
De acuerdo con la transformación canónica para diagonalizar H BCS se requiere
fijar las condiciones para u k y vk de tal forma que los términos fuera de la diagonal
en las Ecs. (2.11) y (2.14) se anulen. La ecuación que se obtuvo fue la siguiente:


u v (1 − mk ′ − m− k ′ ) ( uk2 − vk2 ) 
k′

+ γ −kγ k ) = 0
∑ 2ε u v − ∑V
k k k
k
× ( γ k+γ −+k
kk ′ k ′ k ′
(2.61)
Para encontrar la solución se supone m k ′ = m − k ′ = 0 , es decir, no hay excitaciones
(estado base). A temperatura finita habrá excitaciones y la suposición ya no es válida.
En un sistema de fermiones a temperatura finita, el número promedio de
ocupación de cada estado está determinado por la distribución de Fermi-Dirac:
  E
mk = m − k = f (Ek ) = exp k
  k BT
 
 + 1
 
−1
(2.62)
ahora, sustituyendo m k ′ ,m − k ′ por sus promedios térmicos, la Ec (2.61) se satisface si
2ε k uk vk − ( uk2 − vk2 ) ∑Vkk ′uk ′vk ′ 1 − 2 f ( Ek ′ )  = 0
(2.63)
k′
Al usar las expresiones para u k y vk se tiene por tanto,
51
12
1

2ε k  − xk2 
4

12
1

+ 2 xk ∑Vkk ′  − xk2′  [1 − 2 f (Ek ′ )] = 0
4

k′
(2.64)
Ahora se considera la siguiente definición:
12
1

∆ k (T ) = ∑Vkk ′  − xk2′  [1 − 2 f (Ek ′ )]
4

k′
(2.65)
se obtiene entonces
12
1

2ε k  − xk2 
4


+ 2 xk ∆ k (T ) = 0
(2.66)
resolviendo para xk
xk = −
[
εk
(2.67)
]
2 ε + ∆2k (T )
2
k
12
por tanto, la ecuación para ∆ k (T ) será de esta forma:
12


ε k2′
1

 1 − 2 f ( E ′ ) 
∆ k (T ) = ∑Vkk ′ −
k 
 4 4 ε 2 + ∆ 2 (T )   
k′
′
′
k
k

 

∆ k ′ (T )
1
= ∑Vkk ′
1 − 2 f ( Ek ′ ) 
12 
2 k′
ε k2′ + ∆ 2k ′ (T ) 
(2.68)
ésta ecuación contiene la energía de excitación Ek dada por
[
]
Ek = ε k2 + ∆2k (T )
12
(2.69)
El término que contiene la distribución promedio de fermiones se reescribe de la
siguiente manera:
 E 
exp  k ′  − 1
2
 k BT 
1 − 2 f ( Ek ′ )  = 1 −
=
 E 
 E 
exp  k ′  + 1 exp  k ′  + 1
 k BT 
 k BT 
 ( ε 2 + ∆ 2 (T ) )1 2 
 Ek ′ 
k′
k′

= tanh 
 = tanh 


k
T
k
T
2
2
B
 B 


52
(2.70)
con lo cual se obtiene
 ( ε 2 + ∆2 (T ) )1 2 
∆k ′ (T )
1
k′
k′

tanh 
∆k (T ) = ∑Vkk ′
1
2


2 k′
2k BT
ε k2′ + ∆2k ′ (T ) 


(2.71)
La teoría BCS supone para el potencial la siguiente regla14:
Vkk ′ = V si ε k < hωD
∆ k (T ) = ∆ (T ) si ε k < hωD
∆ k (T ) = 0 en otro caso
Vkk ′ = 0 en otro caso
entonces, la ecuación a resolver es
VN ( 0 )
hω D
∫
0
 ( ε 2 + ∆ 2 (T ) )1 2 
 k

tanh 

2 k BT


dε = 1
1
2
2
2
+
∆
ε
T
( ))
(
(2.72)
Que considera la simetría de ε alrededor del nivel de Fermi.
Para T = 0 esta ecuación para ∆ se reduce a la Ec. (2.29). Cuando aumenta la
temperatura por arriba de cero el numerador del integrando se hace menor; entonces,
para que la ecuación se cumpla el denominador también debe disminuir. Esto
significa que ∆ decrece monótonamente como función de T .
Para determinar el valor de la temperatura crítica, se calcula en la teoría BCS con
la Ec. (2.72) y se supone que se está en el límite de ∆ (Tc ) = 0 . Asimismo, efectuando un
cambio de variable adimensional,
hω D
VN ( 0 ) ∫ 2 k BT x −1 tanh xdx = 1
(2.73)
0
y de aquí
hω D
2k BT
0
[ln x tanh x]
hω D
2k BT
0
−∫
sec h 2 x ln xdx =
1
VN (0 )
(2.74)
53
(hω D >> k BTc )
Para el caso de acoplamiento débil
se puede establecer que
 hωD 
 ≈ 1 ; asimismo, no causa cambios significativos extender el límite de la
tanh
 2k BTc 
integral. Entonces se tiene
 hω D  ∞
1
2
ln 
 − ∫0 sec h x ln xdx =
VN ( 0 )
 2kBT c 
Al resolver la integral se determina que
(2.75)
∫
∞
0
sec h 2 x ln xdx = ln 0.44 , entonces
 hω D 
1
−1
ln 
 + ln ( 0.44 ) =
VN ( 0 )
 2k BT c 
(2.76)
1
hωD
(0.44)−1 = eVN (0 )
2k BTc
(2.77)
Para llegar a:

1 
k BTc = 1.14hωD exp −

 VN (0) 
(2.78)
Al relacionar este resultado con la Ec. (2.30), es decir con T = 0 , se tiene
k BTc = 1.14
∆0
= 0.565∆ 0
2
(2.79)
por lo tanto,
2∆ 0
= 3.53
k BTc
(2.80)
2.7 Cálculo de los límites del gap
Enseguida se presenta el cálculo del Gap cuando Tc → 0 . Se inicia con la ecuación
del gap
54
(
hω D
∫
0
)
 ε 2 + ∆2 (T ) 1 2 
tanh  k

2k BT


1
dε =
12
2
2
VN (0 )
ε + ∆ (T )
(
(2.81)
)
sumando y restando (ε
(
2
+ ∆2
)
−
1
2
:
)
 ε 2 + ∆2 (T ) 1 2 
1 − tanh  k

hω D
hω D
2 k BT


dε
dε − ∫ 2
12
∫0
2
2
2
ε + ∆ (T )
0 ε + ∆
(
)
(
(
)
12
=−
1
VN (0 )
)
 ε 2 + ∆2 (T ) 1 2 
1 − tanh  k

hω D
2k BT


1
 2hω D 
dε − ln 
=−
1
2
∫0
2
2
VN (0 )
 ∆ 
ε + ∆ (T )
(
)
(
)
 ε 2 + ∆2 (T ) 1 2 
1 − tanh  k

hω D
2k BT


1
 2h ω D 
+ ln 
dε = −

1
2
∫0
2
2
VN (0 )
 ∆ 
ε + ∆ (T )
(
)
(
)
 ε 2 + ∆2 (T ) 1 2 
1 − tanh  k

hω D
2 k BT

 

1 
 2h ω D 
ε
ln
exp
=

−
  + ln 
d


1
2

∫0
2
2
 ∆ 
ε + ∆ (T )
  VN (0 )  
(
)
(
)
 ε 2 + ∆2 (T ) 1 2 


1 
1 − tanh  k


2hωD exp −
hω D

2k BT


VN (0)  


dε = ln 

12
∫0
∆
ε 2 + ∆2 (T )




(
)
(2.82)
Se propone el cambio de variable
(
x = ε 2 + ∆2
)
12
∆
x=∆ T
(2.83)
con lo que se demuestra que
 ∆ 
∆ 

ln 0  = 2 f 
k
T
∆
 B 
(2.84)
donde se ha usado el efecto del cambio de variable
55
f (x ) = ∫
∞
(y
− 1)
1 + e yx
1
−1 2
2
(2.85)
dy
Ahora, introduciendo el desarrollo de e − yx
f (x ) = ∫
∞ ∞
1
∑ (− 1)
n +1 − nyx
e
(y
2
)
−1
−1 2
(2.86)
dy
n =1
y usando la función Hankel
1
Γ 
ν
1
 2   1 z  ∞ e − zy y 2 − 1 ν − 2 dy
Kν ( z ) =

 ∫1
1 2 

Γν +  
2

(
)
(2.87)
se llega a
∞
f ( x ) = ∑ (− 1) K 0 (nx )
n +1
(2.88)
n =1
Para
valores
del
argumento
de
K0
muy
grandes,
ésta
disminuye
exponencialmente, por tanto
12
π 
K 0 (x ) =   e − x
 2x 
(2.89)
Se determina entonces para T << Tc :
 ∆ 
12
∆ ≈ ∆ 0 − (2π∆ 0T ) exp − 0 
 T 
(2.90)
El significado físico de este resultado es que la variación de ∆ está asociada con la
aparición de cuasipartículas y el número de cuasipartículas es proporcional a
exp(− ∆0 T ) .
Ahora se calcula el Gap en el límite cuando T → Tc
En este caso ∆ → 0 . Usando la Ec. (2.81), haciendo un desarrollo de ∆ , y sumando
y restando de igual manera que el límite anterior se obtiene
56

 ε 2 + ∆2
 tanh ε  tanh
k T 
 2k BT
∞
 B −

∫0  ε
ε 2 + ∆2






 dε = ln Tc 
 

T 



(2.91)
Usando la propiedad
1
 πx  4 x ∞
tanh  =
∑
2
 2  π k = 0 (2k + 1) + x
y si x =
(2.92)
ε
, la anterior ecuación se reescribe como
π k BT
 ε
tanh 
 2 k BT

4ε
= 2
 π k BT
∞
∑
k =0
 ε 
4
tanh 
= 2
ε
 2 k B T  π k BT
1
1
 ε 
( 2k + 1) + 

 π k BT 
(2.93)
2
2
∞
∑
k =0
1
 ε 
( 2k + 1) + 

 π k BT 
2
(2.94)
2
Cuando x =
ε 2 + ∆2
la Ec. (2.92) se transforma en
πk BT
 ε 2 + ∆2
tanh
 2k BT

 4 ε 2 + ∆2
=

π 2 k BT

∞
1
2
 2

k =0
(2k + 1)2 +  ε 2 +2 ∆2 
 π k BT 
∑
(2.95)
entonces se tiene
 ε 2 + ∆2
tanh
2
2
 2k BT
ε +∆

1

= 4
 π 2 k BT

∞
1
2
 2

k =0
(2k + 1)2 +  ε 2 +2 ∆2 
 π k BT 
∑
(2.96)
la Ec. (2.91) se escribe ahora como
57

 tanh  ε
∞
 k BT

∫0
ε



2
2
 tanh  ε + ∆



−
 2 k BT
ε 2 + ∆2
∞ ∞

0
 (
= 4 k BT ∫
∑ πk T
k =0
= 4 k BT ∆ 2 ∫
B



  dε




1
−
) ( 2k + 1) + ε 2 (π kBT )
2
2


dε
=

∑
2
2
2
k = 0  {[( π k BT )( 2k + 1)] + ε } 
( π k BT )
∞ ∞
0

 dε
( 2k + 1) + ε + ∆ 2 
∞
∆2
1
1
2
2
∑
k =0
( 2k + 1)
(2.97)
3
Para desarrollar el último término se utiliza la función zeta de Riemann dada por
∞
∞
1
x
n =1 n
1
x
n = 0 (q + n )
ς (x ) = ∑
ς ( x, q ) = ∑
(2.98)
Al desarrollar se tiene
∞
1
3
n =1 n
ς (3) = ∑
 1
 2
∞
ς  3,  = ∑
ς (3) =
k =0
ς (x ) =
∞
1
1

 +k
2

1
 1
ς  x, 
2 −1  2 
x
3
23
3
k = 0 (2k + 1)
=∑
1 ∞
1
8 ∞
1
=
∑
∑
3
3
2 − 1 k = 0 (2k + 1)
7 k = 0 (2k + 1)3
(2.99)
(2.100)
(2.101)
y así
∞
7
1
ς (3) = ∑
3
8
k = 0 (2 k + 1)
(2.102)
Usando esta última y la Ec. (2.97) se encuentra que la Ec. (2.91) se puede escribir
∆2 7
T 
ln c  =
ς (3)
2
 T  (πk BT ) 8
(2.103)
Desarrollando la función logaritmo y cortando a primer orden obtenemos
∆2 7
 Tc  Tc − T
ln  ≈
=
ς (3)
Tc
(πk BT )2 8
T 
58
(2.104)
de manera que
8 1
7 ς (3)
(2.105)
Tc (Tc − T )
(2.106)
∆2 ≈ (πkB ) Tc (Tc − T )
2
8
∆ = πk B
7ς (3)
y también se tiene
12

∆
T 
= 1.741 − 
∆0
 Tc 
(2.107)
donde ∆ 0 es el gap a T = 0K . Dicho resultado es congruente con la teoría de Ginzburg
Landau14.
2.8 Calor específico electrónico
La energía para un superconductor está definida por el promedio térmico de la
parte
diagonal
del
hamiltoniano
H BCS = E0 + H 0 ,
también
usando
∆ k = ∑k ′Vkk ′uk ′vk ′ [1 − 2 f (Ek ′ )] .
En efecto se parte de
ε s = ∑ [2ε k vk2 + (uk2 − vk2 )2 f k ε k − (1 − 2 f k )uk vk ∆ (T )]
(2.108)
k
2
2
Ahora, usando uk − vk =

εk
∆
y u k vk =
y la Ec. (2.58)
Ek
2 Ek

∆2
ε
f
+
−
(1 − 2 f k )

k k
2 Ek
k 
 Ek  Ek

2
2


 εk

∆
= ∑ ε k − 
+
 (1 − 2 f k ) 
k 
 Ek 2 Ek 


ε s = ∑ ε k  1 −


ε k  2ε k2
∆2 

(1 − 2 f k )
ε s = ∑ ε k −  Ek −
2 Ek 
k 


(2.109)
59
El calor específico está dado por Ces =
dε s
de modo que
dT

∆ 2  df k
Ces = ∑ 2  Ek −

2 Ek  dT
k

 dE ∆ 2 d (1 Ek )
1 d ∆2 
− ∑ (1 − 2 f k )  k −
−

dT
2
2 Ek dT 
k
 dT
 
∆ 2  df k
∆ 2 d (1 Ek ) 
= ∑  2  Ek −
+
−
(1 2 f k )


dT 
2 Ek  dT
2
k  

df
d  1 − 2 fk 
= ∑  2 Ek k + ∆ 2


dT
dT  2 Ek  
k 
 d ∆ 2 2 Ek  ∂f k
= ∑
−

T  ∂Ek
k  dT
Si se introduce β =
Ces = −
1
se tiene que
k BT
2 N (0) ∞  2 β d∆2  ∂f

dε  E +
T ∫− ∞ 
2 dβ  ∂E
(2.110)
El primer término representa la redistribución de las cuasipartículas entre varios
estados de energía cuando cambia la temperatura. El segundo término describe el
efecto de la dependencia del gap respecto a la temperatura8.
Enseguida se estima la discontinuidad de la temperatura crítica. Primeramente,
cuando T tiende a Tc por la derecha (T → Tc+ ) , que corresponde a una fase no
superconductora, ∆ (T ) = 0 , lo que posibilita cambiar E por ε . La Ec. (2.110) se
reduce al calor específico en el estado normal:
Ces = −
2N (0)
∫
∞
∂f
dε
∂ε
ε dε
ε
2
−∞
T
4N (0) ∞
=
T ∫−∞ e β ε + 1
2π 2
N ( 0 ) k B2T = γ T
=
3
60
(2.111)
Se sabe que es continuo en Tc .
Ahora, cuando (T → Tc− ) se sabe que ∆ (T ) ≠ 0 . La dependencia de la temperatura
la determina la Ec. (2.107). Su derivada es discontinua en Tc y en consecuencia, la
transición superconductora es de segundo orden. Dicho fenómeno se observa en el
segundo término de la Ec. (2.110). La discontinuidad en la transición se escribe como
∆C = (Cs − Cn ) T =
c
Se tiene que
∫
∞
−∞
1
d∆2
(
)
N
0
k BTc2
dβ T
 ∂f 
−
dε
−∞
 ∂ε 
∫
c
∞
(2.112)
 ∂f 
 − dε = 1 entonces
 ∂ε 
∆C = 9.4 N (0 )k B2Tc
(2.113)
que resulta ser un resultado importante al momento de comparar con los
experimentos. Si se utiliza la Ec. (2.111) se tiene que
∆C
= 1.43
γTc
(2.114)
Las Ecs. (2.80) y (2.114) se llaman relaciones universales BCS y son confirmadas
experimentalmente de acuerdo a la Tabla 1. La segunda columna contiene la
temperatura crítica, la tercera el tamaño del gap a T = 0K . Cuarta y quinta columnas
contienen el valor experimental de las relaciones universales. La última columna
describe la magnitud del acoplamiento de la interacción electrón-fonón. Tal medida
es con base en un parámetro que se calcula con la teoría de Eliashberg14. Se sabe que
si λe − f << 1 el material es de acoplamiento débil. Se llama acoplamiento fuerte cuando
λe − f >> 1 . La teoría BCS tiene mejores resultados para el primer caso. Ver Tabla 1.
61
Tabla 1
ELEMENTOS
Tc [K ]
∆0
2∆ 0
K BTc
∆C
γTc
λe − f
Al
1.16
0.16
3.2
1.45
0.4
Zn
0.85
0.12
3.28
1.27
0.4
Sn
3.72
0.6
3.74
1.6
0.6
Ta
4.48
0.7
3.63
1.69
0.65
V
5.3
0.8
3.5
1.49
0.8
Nb
9.22
1.5
3.78
1.87
1.0
Hg
4.16
0.82
4.58
2.37
1.1
Pb
7.19
1.36
4.4
2.71
1.4
Nb 3 Sn
18
2.35
4.5
2.64
1.7
Nb3Ge
23
4.5
4.6
2.61
1.6
YBa2Cu3O7
90
19
5
2-2.5
Las bondades de la teoría BCS se basan en que predice correctamente la existencia
del gap electrónico y un salto en el calor específico; sin embargo, es en realidad una
aproximación dado que considera el potencial constante, Vkk ′ = V = cte . También tiene
la desventaja de considerar los materiales isotrópicos, por lo que al aplicarse en
materiales con varios átomos falla. Por tanto, se requiere una teoría que involucre
mayor detalle de la interacción electrón-fonón. Por eso la teoría de Eliashberg
representó un avance en la superconductividad convencional post BCS.
62