TEMA V. Espacios vectoriales

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TEMA V. Espacios vectoriales
1. Demostrar que cada uno de los siguientes conjuntos tiene estructura de espacio
vectorial sobre el cuerpo de los reales:
a) El conjunto (R2 , +, ·, R).
b) El conjunto (R3 , +, ·, R).
c) El conjunto de las matrices (A, +, ·, R), donde
µ
¶
0 α
A=
β 0
y α, β ∈ R
d) El conjunto (Mm×n , +, ·, R).
e) El conjunto de los polinomios de grado menor o igual que n (Pn (x), +, ·, R).
f) El conjunto de las funciones ({f : R → R}, +, ·, R).
2. Demostrar que:
a) El conjunto de las matrices (A, +, ·, R), donde
¶
µ
a 0
A=
0 b
y a, b ∈ R, es un subespacio vectorial del espacio (M2×2 , +, ·, R).
b) El conjunto H = {(x, y) : y = mx} es un subespacio vectorial del espacio
(R2 , +, ·, R).
e) El conjunto {(a, 0) : a ∈ R} es un subespacio vectorial de (R2 , +, ·, R).
f) El conjunto de las funciones reales continuas es un subespacio vectorial de
({f : R → R}, +, ·, R)
3. Dada la matriz
µ
A=
se pide:
2 −4
0 2
¶
2
Ejercicios
a) Hallar el conjunto L de las matrices que conmutan con A.
b) Comprobar que dicho conjunto L es un subespacio vectorial de M2×2 (R).
c) Calcular una base de dicho subespacio. ¿Cual es la dimensión de L?
4. Contestar razonadamente a las siguientes afirmaciones:
a) Si el sistema de vectores {v 1 , v 2 } es libre, entonces el sistema formado por los
vectores {v 1 − v 2 , v 2 + v 2 } es libre.
b) El vector (1, 2, 3) es combinación lineal de los vectores (1, 1, 1), (−1, 0, 1).
c) Si v 1 , v 2 y v 3 son vectores linealmente dependientes de un espacio vectorial V de
dimensión 2:
i) Se puede asegurar que v 1 depende linealmente de v 2 y de v 3 .
ii) Uno de ellos se puede poner como combinación lineal de los demás.
ii) El sistema formado por los vectores {v 1 , v 2 } es libre.
5. ¿Que valores reales del parámetro c hacen que los vectores (1−c, 1+c) y (1+c, 1−c)
sean linealmente independientes?
6. Demostrar si son, o no, linealmente independientes los siguientes vectores {1−x, 1+
x, x2 } del espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual que dos.
7. Sea E un espacio vectorial. Sabiendo que los vectores x1 , x2 , · · · , xn son linealmente
independientes, demostrar que también son linealmente independientes los vectores:
y1 = x1 +
y2 =
··· ··· ··· ···
··· ··· ··· ···
yn =
x2 +
x2 +
··· ···
··· ···
··· +
··· +
··· ···
··· ···
xn
xn
···
···
xn
8. Comprobar si cada una de las familias de vectores siguientes son, o no, base del
espacio vectorial dado:
a) En P2 (x): {1 − x2 , x}.
Álgebra CSCCAA
3
b) En P3 (x): {1, 1 + x, 1 + x2 , x3 + x}.
e) En M2×2 :
µ
A
1 0
0 1
¶ µ
¶ µ
¶ µ
¶
0 1
0 1
0 0
;
;
;
1 0
0 0
0 1
9. Si V1 es el subespacio generado por el vector (1, 1, 1) y V2 = {(x, y, z) / x − y =
0} ⊂ R3 , entonces ¿V1 ∩ V2 = V1 ?
10. En el espacio vectorial R4 (R) consideramos los subespacios
V1 = L{(1, 2, 0, 1)},
V2 = {(x, y, z, t) / x − y + z + t = 0, y − z = 0}
V3 = {(x, y, z, t) / x = α, y = α + β, z = r, t = β}:
a) Calcular una base de cada uno de estos subespacios.
b) Ver a que subespacios pertenece el vector v = (2, 4, 0, 2).
11. Sea el espacio vectorial R3 (R) y S(R) el subespacio vectorial generado por los vectores
L{(1, 1, a), (1, a, 1), (a, 1, 1)}. Calcular la dimensión del subespacio S(R).
12. En el espacio vectorial R3 (R) y S(R) se consideran los subespacios vectoriales W1 =
{(x, y, z) / x + y + z = 0} y W2 = {(t, 2t, 3t) / t ∈ R}.
Demostrar que R3 es suma directa de de W1 y W2 .
13. Demostrar que el conjunto de los polinomios de grado menor o igual que tres P3 (x) =
{ax3 + bx2 + cx + d; a, b, c, d ∈ R} es un subespacio vectorial del los polinomios de
grado n, Pn (x) y demostrar que los vectores v1 = λ, v2 = x, v3 = x2 , v4 = x3 son
una base de dicho subespacio.
14. Sea el espacio vectorial (R3 , +, ·, R) y el conjunto H = {(x, y, z) : x + y + z = 0}. Se
pide:
a) Demostrar que H es un subespacio de R3 .
b) Hallar una base de H.
c) Calcular la dimensión de H.
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Ejercicios
15. En el espacio vectorial R3 (R) se consideran las bases
B1 = {(1, 0, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 2)}; B2 = {(1, 1, 2), (1, 0, 1), (0, 1, 2)}
a) Obtener la ecuación de cambio de base.
b) Hallar las coordenadas en la base B1 del vector u que en la base B2 tiene de
coordenadas
1
(1, 1, )
2
16. En el espacio vectorial R3 (R) se consideran las bases
B1 = {(2, 0, 0), (0, 2, 0), (0, 0, 2)}; B2 = {(1, 1, 0), (0, 1, 1), (a, b, c)}
Determinar el vector (a, b, c) sabiendo que el vector u(2, 2, 2) tiene las mismas coordenadas en ambas bases.
17. Sean B1 y B2 dos base en el espacio vectorial R2 (R), y sean u1 y u2 dos vectores de
dicho espacio. En la base B1 tienen de coordenadas u1 = (2, 1) y u2 = (0, −3)
En la base B2 tienen de coordenadas
u1 = (0, −1) y u2 = (−1, 1).
Hallar las coordenadas de los vectores de B2 , expresados en términos de B1 .
18. Dados los subespacios V1 y V2 , generados por los vectores {(1, 2, 1, 0), (−1, 1, 1, 1)}
y {(2, −1, 0, 1), (1, −1, 3, 7)}, respectivamente, se pide:
a) Calcular el espacio intersección de dichos. subespacios.
b) Calcular el espacio suma de dichos espacios.
c) Determinar una base para cada uno de los suespacios obtenidos en los apartado
a) y b) anterior.
19. Demuestre que R3 = L1 ⊕ L2 , siendo
L1 = {(x, 0, z), x, z ∈ R}; L2 = {(x, x, x), X ∈ R}
subespacios vectoriales de R3 (R).
20. En el espacio vectorial R3 (R) hallar una base que contenga al vector (1, 1, 1).
Álgebra CSCCAA
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21. En el espacio R3 (R) se consideran las bases
B1 = {(1, 0, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 2)}, B2 = {(1, 1, 2), (1, 0, 1), (0, 1, 2)}
a) Obtener la ecuación de cambio de base.
b) Hallar las coordenadas del vector u respecto a la base B1 que en la base B2 tiene
de coordenadas (1, 1, 1/2).
22. En el espacio vectorial P2 (x)(R) se consideran las bases
B1 = {1, x, x2 }, B2 = {1 + x, 1 + x2 , 1 + x + x2 }
Obtener la matriz de cambio de una base a otra.
23. Sea el espacio vectorial P3 (x)(R).
1) Calcular el rango de la familia de vectores
B1 = {1 − x, x2 + x3 , 1 + x2 , x + x3 }
2) Ver si B1 es una base de dicho espacio.
3) Si B1 es una base de dicho espacio expresar, mediante un cambio de base, las
coordenadas del polinomio p(x) = 3 + 3x2 − 4x3 en dicha base.
24. Contesta razonadamente a las siguientes preguntas:
• ¿El conjunto W = {(0, x2 , x3 : x, y ∈ R} es un subespacio vectorial de R3 ?
• Sean v1 , v2 , v3 son tres vectores linealmente independientes de un espacio vectorial V . El conjunto de vectores {v1 − v2 , v2 − v3 , v3 − v1 }, ¿Es linealmente
independiente?