Introducción al Cálculo Los números reales, axiomas de campo y

Los números reales
Axiomas de campo
Axiomas de orden
Desigualdades
Introducción al Cálculo
Los números reales, axiomas de campo y orden, desigualdades
CNM-107
Departamento de Matemáticas
Facultad de Ciencias Exactas y Naturales
Universidad de Antioquia
c 2008. Reproducción permitida bajo los
Copyleft términos de la licencia de documentación libre GNU.
Los números reales
Axiomas de campo
Axiomas de orden
Desigualdades
Los números naturales
Los números naturales: Históricamente surgen ante la necesidad de
contar o enumerar en las diversas civilizaciones. Informalmente
hablando los números naturaless son aquellos que sirven para designar
el número de elementos de um conjunto finito.
N = {0, 1, 2, 3, . . .}
Los números reales
Axiomas de campo
Axiomas de orden
Desigualdades
Los números naturales
Los números naturales: Históricamente surgen ante la necesidad de
contar o enumerar en las diversas civilizaciones. Informalmente
hablando los números naturaless son aquellos que sirven para designar
el número de elementos de um conjunto finito.
N = {0, 1, 2, 3, . . .}
En N se definen las operaciones de adición (+) y multiplicación (·),
estas operaciones poseen las siguientes propiedades:
Los números reales
Axiomas de campo
Axiomas de orden
Desigualdades
Los números naturales
Los números naturales: Históricamente surgen ante la necesidad de
contar o enumerar en las diversas civilizaciones. Informalmente
hablando los números naturaless son aquellos que sirven para designar
el número de elementos de um conjunto finito.
N = {0, 1, 2, 3, . . .}
En N se definen las operaciones de adición (+) y multiplicación (·),
estas operaciones poseen las siguientes propiedades:
Los números reales
1
Axiomas de campo
Axiomas de orden
Uniformidad: Para cada x, y, w, z ∈ N vale
x+w =
x = y o
=⇒
x·w =
w = z
y+z
y·z
Desigualdades
Los números reales
1
2
Axiomas de campo
Axiomas de orden
Uniformidad: Para cada x, y, w, z ∈ N vale
x+w =
x = y o
=⇒
x·w =
w = z
Asosiatividad: Para cada x, y, z ∈ N vale
(x + y) + z = x + (y + z);
(x · y) · z = x · (y · z).
y+z
y·z
Desigualdades
Los números reales
1
2
Axiomas de campo
Axiomas de orden
Uniformidad: Para cada x, y, w, z ∈ N vale
x+w =
x = y o
=⇒
x·w =
w = z
Asosiatividad: Para cada x, y, z ∈ N vale
(x + y) + z = x + (y + z);
(x · y) · z = x · (y · z).
3
Conmutatividad: Para cada x, y ∈ N vale
x + y = y + x;
x · y = y · x.
y+z
y·z
Desigualdades
Los números reales
1
2
Axiomas de campo
Axiomas de orden
Uniformidad: Para cada x, y, w, z ∈ N vale
x+w =
x = y o
=⇒
x·w =
w = z
Desigualdades
y+z
y·z
Asosiatividad: Para cada x, y, z ∈ N vale
(x + y) + z = x + (y + z);
(x · y) · z = x · (y · z).
3
Conmutatividad: Para cada x, y ∈ N vale
x + y = y + x;
x · y = y · x.
4
Modulativa: Existen elementos neutros, zero (0) y uno (1) tales que
para cada x ∈ N vale
x + 0 = x = 0 + x;
x · 1 = x = 1 · x.
Los números reales
1
2
Axiomas de campo
Axiomas de orden
Uniformidad: Para cada x, y, w, z ∈ N vale
x+w =
x = y o
=⇒
x·w =
w = z
Desigualdades
y+z
y·z
Asosiatividad: Para cada x, y, z ∈ N vale
(x + y) + z = x + (y + z);
(x · y) · z = x · (y · z).
3
Conmutatividad: Para cada x, y ∈ N vale
x + y = y + x;
x · y = y · x.
4
Modulativa: Existen elementos neutros, zero (0) y uno (1) tales que
para cada x ∈ N vale
x + 0 = x = 0 + x;
x · 1 = x = 1 · x.
5
Distributiva: Para cada x, y, z ∈ N vale
x · (y + z) = x · y + x · z.
Los números reales
1
2
Axiomas de campo
Axiomas de orden
Uniformidad: Para cada x, y, w, z ∈ N vale
x+w =
x = y o
=⇒
x·w =
w = z
Desigualdades
y+z
y·z
Asosiatividad: Para cada x, y, z ∈ N vale
(x + y) + z = x + (y + z);
(x · y) · z = x · (y · z).
3
Conmutatividad: Para cada x, y ∈ N vale
x + y = y + x;
x · y = y · x.
4
Modulativa: Existen elementos neutros, zero (0) y uno (1) tales que
para cada x ∈ N vale
x + 0 = x = 0 + x;
x · 1 = x = 1 · x.
5
Distributiva: Para cada x, y, z ∈ N vale
x · (y + z) = x · y + x · z.
Los números reales
Axiomas de campo
Axiomas de orden
Los números enteros
Los números enteros: Surgen ante la imposibilidad de resolver
algunas necesidades matemáticas sólo con los números naturales.
Desigualdades
Los números reales
Axiomas de campo
Axiomas de orden
Los números enteros
Los números enteros: Surgen ante la imposibilidad de resolver
algunas necesidades matemáticas sólo con los números naturales.
Z = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .}
Desigualdades
Los números reales
Axiomas de campo
Axiomas de orden
Los números enteros
Los números enteros: Surgen ante la imposibilidad de resolver
algunas necesidades matemáticas sólo con los números naturales.
Z = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .}
N⊂Z
Desigualdades
Los números reales
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Axiomas de orden
Los números enteros
Los números enteros: Surgen ante la imposibilidad de resolver
algunas necesidades matemáticas sólo con los números naturales.
Z = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .}
N⊂Z
En Z están definidas la adición + y la multiplicación ·
Desigualdades
Los números reales
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Axiomas de orden
Los números enteros
Los números enteros: Surgen ante la imposibilidad de resolver
algunas necesidades matemáticas sólo con los números naturales.
Z = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .}
N⊂Z
En Z están definidas la adición + y la multiplicación ·
La adición en Z cumple una nueva propiedad (no válida en N)
Desigualdades
Los números reales
Axiomas de campo
Axiomas de orden
Desigualdades
Los números enteros
Los números enteros: Surgen ante la imposibilidad de resolver
algunas necesidades matemáticas sólo con los números naturales.
Z = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .}
N⊂Z
En Z están definidas la adición + y la multiplicación ·
La adición en Z cumple una nueva propiedad (no válida en N)
1
Inverso aditivo: Para cada x ∈ Z, existe un y ∈ Z tal que
x + y = y + x = 0.
El elemento y para el cual x + y = 0 se llama inverso aditivo de x.
Los números reales
Axiomas de campo
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Desigualdades
Los números enteros
Los números enteros: Surgen ante la imposibilidad de resolver
algunas necesidades matemáticas sólo con los números naturales.
Z = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .}
N⊂Z
En Z están definidas la adición + y la multiplicación ·
La adición en Z cumple una nueva propiedad (no válida en N)
1
Inverso aditivo: Para cada x ∈ Z, existe un y ∈ Z tal que
x + y = y + x = 0.
El elemento y para el cual x + y = 0 se llama inverso aditivo de x.
Los números reales
Axiomas de campo
Axiomas de orden
Desigualdades
Los números racionales
Los números racionales: Surgen ante la imposibilidad de resolver
algunas necesidades matemáticas sólo con los números enteros.
Los números reales
Axiomas de campo
Axiomas de orden
Desigualdades
Los números racionales
Los números racionales: Surgen ante la imposibilidad de resolver
algunas necesidades matemáticas sólo con los números enteros.
Q=
nm
n
o
: m ∈ Z, n ∈ Z, n 6= 0
Los números reales
Axiomas de campo
Axiomas de orden
Desigualdades
Los números racionales
Los números racionales: Surgen ante la imposibilidad de resolver
algunas necesidades matemáticas sólo con los números enteros.
Q=
nm
n
o
: m ∈ Z, n ∈ Z, n 6= 0
Z⊂Q
Los números reales
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Desigualdades
Los números racionales
Los números racionales: Surgen ante la imposibilidad de resolver
algunas necesidades matemáticas sólo con los números enteros.
Q=
nm
n
o
: m ∈ Z, n ∈ Z, n 6= 0
Z⊂Q
En Q están definidas +, · y cumplen una nueva propiedad
Los números reales
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Los números racionales
Los números racionales: Surgen ante la imposibilidad de resolver
algunas necesidades matemáticas sólo con los números enteros.
Q=
nm
n
o
: m ∈ Z, n ∈ Z, n 6= 0
Z⊂Q
En Q están definidas +, · y cumplen una nueva propiedad
1
Invertividad: Para cada x ∈ Q, existe un único y ∈ Q tal que
x + y = y + x = 0.
Los números reales
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Axiomas de orden
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Los números racionales
Los números racionales: Surgen ante la imposibilidad de resolver
algunas necesidades matemáticas sólo con los números enteros.
Q=
nm
n
o
: m ∈ Z, n ∈ Z, n 6= 0
Z⊂Q
En Q están definidas +, · y cumplen una nueva propiedad
1
Invertividad: Para cada x ∈ Q, existe un único y ∈ Q tal que
x + y = y + x = 0.
Si x 6= 0, existe un único y ∈ Q tal que
x · y = y · x = 1.
Los números reales
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Los números racionales
Los números racionales: Surgen ante la imposibilidad de resolver
algunas necesidades matemáticas sólo con los números enteros.
Q=
nm
n
o
: m ∈ Z, n ∈ Z, n 6= 0
Z⊂Q
En Q están definidas +, · y cumplen una nueva propiedad
1
Invertividad: Para cada x ∈ Q, existe un único y ∈ Q tal que
x + y = y + x = 0.
Si x 6= 0, existe un único y ∈ Q tal que
x · y = y · x = 1.
Cuando x 6= 0, el número racional y para el cual x · y = 1, se llama el
inverso mutiplicativo de x y se denota por x−1 o por x1 .
Los números reales
Axiomas de campo
Axiomas de orden
Desigualdades
Los números racionales
Los números racionales: Surgen ante la imposibilidad de resolver
algunas necesidades matemáticas sólo con los números enteros.
Q=
nm
n
o
: m ∈ Z, n ∈ Z, n 6= 0
Z⊂Q
En Q están definidas +, · y cumplen una nueva propiedad
1
Invertividad: Para cada x ∈ Q, existe un único y ∈ Q tal que
x + y = y + x = 0.
Si x 6= 0, existe un único y ∈ Q tal que
x · y = y · x = 1.
Cuando x 6= 0, el número racional y para el cual x · y = 1, se llama el
inverso mutiplicativo de x y se denota por x−1 o por x1 .
Los números reales
Axiomas de campo
Axiomas de orden
Desigualdades
Los números irracionales
Los números irracionales: Diversos problemas relacionados con
geometrı́a dieron surgimiento a nuevos números cuyas magnitudes son
inconmensurables, i.e., no admiten representación racional. Se denotan
por
Q∗
Los números reales
Axiomas de campo
Axiomas de orden
Desigualdades
Los números irracionales
Los números irracionales: Diversos problemas relacionados con
geometrı́a dieron surgimiento a nuevos números cuyas magnitudes son
inconmensurables, i.e., no admiten representación racional. Se denotan
por
Q∗
Ejemplos de números irracionales son
√ √
√ √
− 2, 2, − 3, 3, −π, π
Los números reales
Axiomas de campo
Axiomas de orden
Desigualdades
Los números irracionales
Los números irracionales: Diversos problemas relacionados con
geometrı́a dieron surgimiento a nuevos números cuyas magnitudes son
inconmensurables, i.e., no admiten representación racional. Se denotan
por
Q∗
Ejemplos de números irracionales son
√ √
√ √
− 2, 2, − 3, 3, −π, π
+, · no son operaciones en Q∗
No necesariamente la suma o la multiplicación de dos números irracionales
es de nuevo un número irracional, por ejemplo
√
√
− 2 + 2 = 0,
√ √
2 · 2 = 2.
Pero 0, 2 no son números irracionales.
Los números reales
Axiomas de campo
Axiomas de orden
Desigualdades
Los números irracionales
Los números irracionales: Diversos problemas relacionados con
geometrı́a dieron surgimiento a nuevos números cuyas magnitudes son
inconmensurables, i.e., no admiten representación racional. Se denotan
por
Q∗
Ejemplos de números irracionales son
√ √
√ √
− 2, 2, − 3, 3, −π, π
+, · no son operaciones en Q∗
No necesariamente la suma o la multiplicación de dos números irracionales
es de nuevo un número irracional, por ejemplo
√
√
− 2 + 2 = 0,
√ √
2 · 2 = 2.
Pero 0, 2 no son números irracionales.
Los números reales
Axiomas de campo
Axiomas de orden
Desigualdades
Los números reales
Los de números reales: La unión del conjunto de los números
racionales y el conjunto de los números irracionales forma el conjunto
de los números reales, que se denota por R, o sea
R = Q ∪ Q∗ .
Los números reales
Axiomas de campo
Axiomas de orden
Desigualdades
Los números reales
Los de números reales: La unión del conjunto de los números
racionales y el conjunto de los números irracionales forma el conjunto
de los números reales, que se denota por R, o sea
R = Q ∪ Q∗ .
Una representación geométrica de R es la recta real
Los números reales
Axiomas de campo
Axiomas de orden
Desigualdades
Los números reales
Los de números reales: La unión del conjunto de los números
racionales y el conjunto de los números irracionales forma el conjunto
de los números reales, que se denota por R, o sea
R = Q ∪ Q∗ .
Una representación geométrica de R es la recta real
Los números reales
Axiomas de campo
Axiomas de orden
Desigualdades
Los números reales
Los de números reales: La unión del conjunto de los números
racionales y el conjunto de los números irracionales forma el conjunto
de los números reales, que se denota por R, o sea
R = Q ∪ Q∗ .
Una representación geométrica de R es la recta real
−1
0
1
√
2
7
2
R
Los números reales
Axiomas de campo
Axiomas de orden
Desigualdades
Los números reales
Los de números reales: La unión del conjunto de los números
racionales y el conjunto de los números irracionales forma el conjunto
de los números reales, que se denota por R, o sea
R = Q ∪ Q∗ .
Una representación geométrica de R es la recta real
−1
0
1
√
2
7
2
R
Los números reales
Axiomas de campo
Axiomas de orden
Axiomas de campo
AC1 Uniformidad: Para cada x, y, w, z ∈ R,
x+w
x = y o
=⇒
x·w
w = z
=
=
y+z
y · z.
Desigualdades
Los números reales
Axiomas de campo
Axiomas de orden
Axiomas de campo
AC1 Uniformidad: Para cada x, y, w, z ∈ R,
x+w
x = y o
=⇒
x·w
w = z
=
=
AC2 Asociatividad: Para cada x, y, z ∈ R,
(x + y) + z = x + (y + z);
(x · y) · z = x · (y · z).
y+z
y · z.
Desigualdades
Los números reales
Axiomas de campo
Axiomas de orden
Axiomas de campo
AC1 Uniformidad: Para cada x, y, w, z ∈ R,
x+w
x = y o
=⇒
x·w
w = z
=
=
AC2 Asociatividad: Para cada x, y, z ∈ R,
(x + y) + z = x + (y + z);
(x · y) · z = x · (y · z).
AC3 Conmutatividad: Para cada x, y ∈ R,
x + y = y + x;
x · y = y · x.
y+z
y · z.
Desigualdades
Los números reales
Axiomas de campo
Axiomas de orden
Desigualdades
Axiomas de campo
AC1 Uniformidad: Para cada x, y, w, z ∈ R,
x+w
x = y o
=⇒
x·w
w = z
=
=
y+z
y · z.
AC2 Asociatividad: Para cada x, y, z ∈ R,
(x + y) + z = x + (y + z);
(x · y) · z = x · (y · z).
AC3 Conmutatividad: Para cada x, y ∈ R,
x + y = y + x;
x · y = y · x.
AC4 Modulativa: Existen reales cero (0), uno (1) tales que para x ∈ R,
x + 0 = x = 0 + x;
x · 1 = x = 1 · x.
Los números reales
Axiomas de campo
Axiomas de orden
Desigualdades
Axiomas de campo
AC1 Uniformidad: Para cada x, y, w, z ∈ R,
x+w
x = y o
=⇒
x·w
w = z
=
=
y+z
y · z.
AC2 Asociatividad: Para cada x, y, z ∈ R,
(x + y) + z = x + (y + z);
(x · y) · z = x · (y · z).
AC3 Conmutatividad: Para cada x, y ∈ R,
x + y = y + x;
x · y = y · x.
AC4 Modulativa: Existen reales cero (0), uno (1) tales que para x ∈ R,
x + 0 = x = 0 + x;
x · 1 = x = 1 · x.
El real 0 es llamado módulo o elemento neutro para la adición. El
real 1 es llamado módulo o elemento neutro para la multiplicación.
Los números reales
Axiomas de campo
Axiomas de orden
Desigualdades
Axiomas de campo
AC1 Uniformidad: Para cada x, y, w, z ∈ R,
x+w
x = y o
=⇒
x·w
w = z
=
=
y+z
y · z.
AC2 Asociatividad: Para cada x, y, z ∈ R,
(x + y) + z = x + (y + z);
(x · y) · z = x · (y · z).
AC3 Conmutatividad: Para cada x, y ∈ R,
x + y = y + x;
x · y = y · x.
AC4 Modulativa: Existen reales cero (0), uno (1) tales que para x ∈ R,
x + 0 = x = 0 + x;
x · 1 = x = 1 · x.
El real 0 es llamado módulo o elemento neutro para la adición. El
real 1 es llamado módulo o elemento neutro para la multiplicación.
Los números reales
Axiomas de campo
Axiomas de orden
Desigualdades
Axiomas de campo
AC5 Invertividad: Para cada x ∈ R, existe un único número real llamado
el inverso aditivo u opuesto de x y denotado por −x, tal que
x + (−x) = 0.
Los números reales
Axiomas de campo
Axiomas de orden
Desigualdades
Axiomas de campo
AC5 Invertividad: Para cada x ∈ R, existe un único número real llamado
el inverso aditivo u opuesto de x y denotado por −x, tal que
x + (−x) = 0.
Para cada número real x 6= 0, existe un único número real llamado el
inverso multiplicativo de x y denotado por x1 ó x1 , tal que
x · x−1 = x ·
1
= 1.
x
Los números reales
Axiomas de campo
Axiomas de orden
Desigualdades
Axiomas de campo
AC5 Invertividad: Para cada x ∈ R, existe un único número real llamado
el inverso aditivo u opuesto de x y denotado por −x, tal que
x + (−x) = 0.
Para cada número real x 6= 0, existe un único número real llamado el
inverso multiplicativo de x y denotado por x1 ó x1 , tal que
x · x−1 = x ·
1
= 1.
x
AC6 Distributiva: Para cada x, y, z ∈ R,
x · (y + z) = x · y + x · z.
Los números reales
Axiomas de campo
Axiomas de orden
Desigualdades
Axiomas de campo
AC5 Invertividad: Para cada x ∈ R, existe un único número real llamado
el inverso aditivo u opuesto de x y denotado por −x, tal que
x + (−x) = 0.
Para cada número real x 6= 0, existe un único número real llamado el
inverso multiplicativo de x y denotado por x1 ó x1 , tal que
x · x−1 = x ·
1
= 1.
x
AC6 Distributiva: Para cada x, y, z ∈ R,
x · (y + z) = x · y + x · z.
Los números reales
Axiomas de campo
Axiomas de orden
Desigualdades
Diferencia y División
Empleando la propiedad de invertividad P C5, se definen las operaciones de
resta y división de números reales, en efecto para cada x, y ∈ R,
x − y = x + (−y);
Si y 6= 0,
x
1
= x · = x · y −1 .
y
y
Los números reales
Axiomas de campo
Axiomas de orden
Desigualdades
Diferencia y División
Empleando la propiedad de invertividad P C5, se definen las operaciones de
resta y división de números reales, en efecto para cada x, y ∈ R,
x − y = x + (−y);
Si y 6= 0,
x
1
= x · = x · y −1 .
y
y
Los números reales
Axiomas de campo
Consecuencias de los axiomas de campo
Ley cancelativa de la adición:
Axiomas de orden
Desigualdades
Los números reales
Axiomas de campo
Axiomas de orden
Consecuencias de los axiomas de campo
Ley cancelativa de la adición:
Para cada x, y, z ∈ R,
x + y = x + z =⇒ y = z.
Desigualdades
Los números reales
Axiomas de campo
Axiomas de orden
Consecuencias de los axiomas de campo
Ley cancelativa de la adición:
Para cada x, y, z ∈ R,
x + y = x + z =⇒ y = z.
Demostración:
x+y
=
x+z
Hipótesis
Desigualdades
Los números reales
Axiomas de campo
Axiomas de orden
Consecuencias de los axiomas de campo
Ley cancelativa de la adición:
Para cada x, y, z ∈ R,
x + y = x + z =⇒ y = z.
Demostración:
x+y
(−x) + x + y
=
=
x+z
(−x) + x + z
Hipótesis
(AC1)
Desigualdades
Los números reales
Axiomas de campo
Axiomas de orden
Consecuencias de los axiomas de campo
Ley cancelativa de la adición:
Para cada x, y, z ∈ R,
x + y = x + z =⇒ y = z.
Demostración:
x+y
(−x) + x + y
(−x + x) + y
=
=
=
x+z
(−x) + x + z
(−x + x) + z
Hipótesis
(AC1)
(AC2)
Desigualdades
Los números reales
Axiomas de campo
Axiomas de orden
Consecuencias de los axiomas de campo
Ley cancelativa de la adición:
Para cada x, y, z ∈ R,
x + y = x + z =⇒ y = z.
Demostración:
x+y
(−x) + x + y
(−x + x) + y
0+y
=
=
=
=
x+z
(−x) + x + z
(−x + x) + z
0+z
Hipótesis
(AC1)
(AC2)
(AC5)
Desigualdades
Los números reales
Axiomas de campo
Axiomas de orden
Consecuencias de los axiomas de campo
Ley cancelativa de la adición:
Para cada x, y, z ∈ R,
x + y = x + z =⇒ y = z.
Demostración:
x+y
(−x) + x + y
(−x + x) + y
0+y
y
=
=
=
=
=
x+z
(−x) + x + z
(−x + x) + z
0+z
z
Hipótesis
(AC1)
(AC2)
(AC5)
(AC4)
Desigualdades
Los números reales
Axiomas de campo
Axiomas de orden
Consecuencias de los axiomas de campo
Ley cancelativa de la adición:
Para cada x, y, z ∈ R,
x + y = x + z =⇒ y = z.
Demostración:
x+y
(−x) + x + y
(−x + x) + y
0+y
y
=
=
=
=
=
x+z
(−x) + x + z
(−x + x) + z
0+z
z
Hipótesis
(AC1)
(AC2)
(AC5)
(AC4)
Desigualdades
Los números reales
Axiomas de campo
Axiomas de orden
Consecuencias de los axiomas de campo
Ley cancelativa de la multiplicación:
Desigualdades
Los números reales
Axiomas de campo
Axiomas de orden
Consecuencias de los axiomas de campo
Ley cancelativa de la multiplicación:
Para cada x, y, z ∈ R,
(x 6= 0 ∧ x · y = x · z) =⇒ y = z.
Desigualdades
Los números reales
Axiomas de campo
Axiomas de orden
Consecuencias de los axiomas de campo
Ley cancelativa de la multiplicación:
Para cada x, y, z ∈ R,
(x 6= 0 ∧ x · y = x · z) =⇒ y = z.
Demostración:
x 6= 0 ∧ x · y
=
x·z
Hipótesis
Desigualdades
Los números reales
Axiomas de campo
Axiomas de orden
Consecuencias de los axiomas de campo
Ley cancelativa de la multiplicación:
Para cada x, y, z ∈ R,
(x 6= 0 ∧ x · y = x · z) =⇒ y = z.
Demostración:
x 6= 0 ∧ x · y
(x−1 ) · (x · y)
=
=
x·z
(x−1 ) · (x · z)
Hipótesis
(AC1)
Desigualdades
Los números reales
Axiomas de campo
Axiomas de orden
Consecuencias de los axiomas de campo
Ley cancelativa de la multiplicación:
Para cada x, y, z ∈ R,
(x 6= 0 ∧ x · y = x · z) =⇒ y = z.
Demostración:
x 6= 0 ∧ x · y
(x−1 ) · (x · y)
(x−1 · x) · y
=
=
=
x·z
(x−1 ) · (x · z)
(x−1 · x) · z
Hipótesis
(AC1)
(AC2)
Desigualdades
Los números reales
Axiomas de campo
Axiomas de orden
Consecuencias de los axiomas de campo
Ley cancelativa de la multiplicación:
Para cada x, y, z ∈ R,
(x 6= 0 ∧ x · y = x · z) =⇒ y = z.
Demostración:
x 6= 0 ∧ x · y
(x−1 ) · (x · y)
(x−1 · x) · y
1·y
=
=
=
=
x·z
(x−1 ) · (x · z)
(x−1 · x) · z
1·z
Hipótesis
(AC1)
(AC2)
(AC5)
Desigualdades
Los números reales
Axiomas de campo
Axiomas de orden
Consecuencias de los axiomas de campo
Ley cancelativa de la multiplicación:
Para cada x, y, z ∈ R,
(x 6= 0 ∧ x · y = x · z) =⇒ y = z.
Demostración:
x 6= 0 ∧ x · y
(x−1 ) · (x · y)
(x−1 · x) · y
1·y
y
=
=
=
=
=
x·z
(x−1 ) · (x · z)
(x−1 · x) · z
1·z
z
Hipótesis
(AC1)
(AC2)
(AC5)
(AC4)
Desigualdades
Los números reales
Axiomas de campo
Axiomas de orden
Consecuencias de los axiomas de campo
Ley cancelativa de la multiplicación:
Para cada x, y, z ∈ R,
(x 6= 0 ∧ x · y = x · z) =⇒ y = z.
Demostración:
x 6= 0 ∧ x · y
(x−1 ) · (x · y)
(x−1 · x) · y
1·y
y
=
=
=
=
=
x·z
(x−1 ) · (x · z)
(x−1 · x) · z
1·z
z
Hipótesis
(AC1)
(AC2)
(AC5)
(AC4)
Desigualdades
Los números reales
Axiomas de campo
Más consecuencias de los axiomas de campo
Para cada x, y ∈ R
x · 0 = 0.
Axiomas de orden
Desigualdades
Los números reales
Axiomas de campo
Más consecuencias de los axiomas de campo
Para cada x, y ∈ R
x · 0 = 0.
1 6= 0.
Axiomas de orden
Desigualdades
Los números reales
Axiomas de campo
Más consecuencias de los axiomas de campo
Para cada x, y ∈ R
x · 0 = 0.
1 6= 0.
x · y = 0 =⇒ x = 0 ∨ y = 0.
Axiomas de orden
Desigualdades
Los números reales
Axiomas de campo
Más consecuencias de los axiomas de campo
Para cada x, y ∈ R
x · 0 = 0.
1 6= 0.
x · y = 0 =⇒ x = 0 ∨ y = 0.
x 6= 0 =⇒ x−1 6= 0.
Axiomas de orden
Desigualdades
Los números reales
Axiomas de campo
Más consecuencias de los axiomas de campo
Para cada x, y ∈ R
x · 0 = 0.
1 6= 0.
x · y = 0 =⇒ x = 0 ∨ y = 0.
x 6= 0 =⇒ x−1 6= 0.
−(−x) = x.
Axiomas de orden
Desigualdades
Los números reales
Axiomas de campo
Más consecuencias de los axiomas de campo
Para cada x, y ∈ R
x · 0 = 0.
1 6= 0.
x · y = 0 =⇒ x = 0 ∨ y = 0.
x 6= 0 =⇒ x−1 6= 0.
−(−x) = x.
x 6= 0 =⇒ (x−1 )−1 = x.
Axiomas de orden
Desigualdades
Los números reales
Axiomas de campo
Más consecuencias de los axiomas de campo
Para cada x, y ∈ R
x · 0 = 0.
1 6= 0.
x · y = 0 =⇒ x = 0 ∨ y = 0.
x 6= 0 =⇒ x−1 6= 0.
−(−x) = x.
x 6= 0 =⇒ (x−1 )−1 = x.
−(x + y) = (−x) + (−y).
Axiomas de orden
Desigualdades
Los números reales
Axiomas de campo
Más consecuencias de los axiomas de campo
Para cada x, y ∈ R
x · 0 = 0.
1 6= 0.
x · y = 0 =⇒ x = 0 ∨ y = 0.
x 6= 0 =⇒ x−1 6= 0.
−(−x) = x.
x 6= 0 =⇒ (x−1 )−1 = x.
−(x + y) = (−x) + (−y).
x 6= 0 ∧ y 6= 0 =⇒ (x · y)−1 = x−1 · y −1 .
Axiomas de orden
Desigualdades
Los números reales
Axiomas de campo
Más consecuencias de los axiomas de campo
Para cada x, y ∈ R
x · 0 = 0.
1 6= 0.
x · y = 0 =⇒ x = 0 ∨ y = 0.
x 6= 0 =⇒ x−1 6= 0.
−(−x) = x.
x 6= 0 =⇒ (x−1 )−1 = x.
−(x + y) = (−x) + (−y).
x 6= 0 ∧ y 6= 0 =⇒ (x · y)−1 = x−1 · y −1 .
Axiomas de orden
Desigualdades
Los números reales
Axiomas de campo
Axiomas de orden
Más consecuencias de los axiomas de campo
Para cada x, y, z, w ∈ R, y 6= 0, w 6= 0
z
x·w+y·z
x
+
=
y
w
y·w
Desigualdades
Los números reales
Axiomas de campo
Axiomas de orden
Más consecuencias de los axiomas de campo
Para cada x, y, z, w ∈ R, y 6= 0, w 6= 0
z
x·w+y·z
x
+
=
y
w
y·w
x z
x·z
·
=
y w
y·w
Desigualdades
Los números reales
Axiomas de campo
Axiomas de orden
Más consecuencias de los axiomas de campo
Para cada x, y, z, w ∈ R, y 6= 0, w 6= 0
z
x·w+y·z
x
+
=
y
w
y·w
x z
x·z
·
=
y w
y·w
−x = (−1) · x
Desigualdades
Los números reales
Axiomas de campo
Axiomas de orden
Más consecuencias de los axiomas de campo
Para cada x, y, z, w ∈ R, y 6= 0, w 6= 0
z
x·w+y·z
x
+
=
y
w
y·w
x z
x·z
·
=
y w
y·w
−x = (−1) · x
(−x) · (−y) = x · y
Desigualdades
Los números reales
Axiomas de campo
Axiomas de orden
Más consecuencias de los axiomas de campo
Para cada x, y, z, w ∈ R, y 6= 0, w 6= 0
z
x·w+y·z
x
+
=
y
w
y·w
x z
x·z
·
=
y w
y·w
−x = (−1) · x
(−x) · (−y) = x · y
−(x · y) = (−x) · y = x · (−y)
Desigualdades
Los números reales
Axiomas de campo
Axiomas de orden
Más consecuencias de los axiomas de campo
Para cada x, y, z, w ∈ R, y 6= 0, w 6= 0
z
x·w+y·z
x
+
=
y
w
y·w
x z
x·z
·
=
y w
y·w
−x = (−1) · x
(−x) · (−y) = x · y
−(x · y) = (−x) · y = x · (−y)
−
−x
x
x
=
=
y
y
−y
Desigualdades
Los números reales
Axiomas de campo
Axiomas de orden
Más consecuencias de los axiomas de campo
Para cada x, y, z, w ∈ R, y 6= 0, w 6= 0
z
x·w+y·z
x
+
=
y
w
y·w
x z
x·z
·
=
y w
y·w
−x = (−1) · x
(−x) · (−y) = x · y
−(x · y) = (−x) · y = x · (−y)
−
−x
x
x
=
=
y
y
−y
Desigualdades
Los números reales
Axiomas de campo
Axiomas de orden
Desigualdades
Reales positivos
Axioma (PO1)
Existe un subconjunto R+ de R tal que
1
Para cada x, y ∈ R+ , se tiene que
x + y ∈ R+ ;
2
x · y ∈ R+ .
Para cada x ∈ R, se cumple una y solamente una de las siguientes
proposiciones
x ∈ R+ ; x = 0; −x ∈ R+ .
Los números reales
Axiomas de campo
Axiomas de orden
Desigualdades
Reales positivos
Axioma (PO1)
Existe un subconjunto R+ de R tal que
1
Para cada x, y ∈ R+ , se tiene que
x + y ∈ R+ ;
2
x · y ∈ R+ .
Para cada x ∈ R, se cumple una y solamente una de las siguientes
proposiciones
x ∈ R+ ; x = 0; −x ∈ R+ .
Los elementos del conjunto R+ se llaman reales positivos. Los números
reales diferentes del cero que no son números reales positivos, son llamados
reales negativos, y se denotan por R− .
R = R− ∪ R+ ∪ {0}.
Los números reales
Axiomas de campo
Axiomas de orden
Desigualdades
Reales positivos
Axioma (PO1)
Existe un subconjunto R+ de R tal que
1
Para cada x, y ∈ R+ , se tiene que
x + y ∈ R+ ;
2
x · y ∈ R+ .
Para cada x ∈ R, se cumple una y solamente una de las siguientes
proposiciones
x ∈ R+ ; x = 0; −x ∈ R+ .
Los elementos del conjunto R+ se llaman reales positivos. Los números
reales diferentes del cero que no son números reales positivos, son llamados
reales negativos, y se denotan por R− .
R = R− ∪ R+ ∪ {0}.
Los números reales
Axiomas de campo
Axiomas de orden
Desigualdades
Reales positivos
Axioma (PO1)
Existe un subconjunto R+ de R tal que
1
Para cada x, y ∈ R+ , se tiene que
x + y ∈ R+ ;
2
x · y ∈ R+ .
Para cada x ∈ R, se cumple una y solamente una de las siguientes
proposiciones
x ∈ R+ ; x = 0; −x ∈ R+ .
Los elementos del conjunto R+ se llaman reales positivos. Los números
reales diferentes del cero que no son números reales positivos, son llamados
reales negativos, y se denotan por R− .
R = R− ∪ R+ ∪ {0}.
Los números reales
Axiomas de campo
Axiomas de orden
Observación
Como consecuencia de la notación y del axioma (P O1) se tiene
Desigualdades
Los números reales
Axiomas de campo
Axiomas de orden
Desigualdades
Observación
Como consecuencia de la notación y del axioma (P O1) se tiene
0∈
/ R+ ∧ 0 ∈
/ R−
x ∈ R− ⇐⇒ −x ∈ R+
(1)
Los números reales
Axiomas de campo
Axiomas de orden
Desigualdades
Observación
Como consecuencia de la notación y del axioma (P O1) se tiene
0∈
/ R+ ∧ 0 ∈
/ R−
x ∈ R− ⇐⇒ −x ∈ R+
Reescribiendo P O1
a) La suma y producto de reales positivos es de nuevo un real positivo,
b) Todo número real es positivo, es el cero o es negativo.
(1)
Los números reales
Axiomas de campo
Axiomas de orden
Desigualdades
Observación
Como consecuencia de la notación y del axioma (P O1) se tiene
0∈
/ R+ ∧ 0 ∈
/ R−
x ∈ R− ⇐⇒ −x ∈ R+
Reescribiendo P O1
a) La suma y producto de reales positivos es de nuevo un real positivo,
b) Todo número real es positivo, es el cero o es negativo.
(1)
Los números reales
Axiomas de campo
Axiomas de orden
Desigualdades
Desigualdades
Definición (Desigualdad)
Si x, y son números reales. x < y se lee x es menor que y, se define como
x < y ⇐⇒ y − x ∈ R+ .
(2)
Los números reales
Axiomas de campo
Axiomas de orden
Desigualdades
Desigualdades
Definición (Desigualdad)
Si x, y son números reales. x < y se lee x es menor que y, se define como
x < y ⇐⇒ y − x ∈ R+ .
Observación
Si en (2) x = 0, se tiene
0 < y ⇐⇒ y − 0 = y ∈ R+ .
Luego
(2)
Los números reales
Axiomas de campo
Axiomas de orden
Desigualdades
Desigualdades
Definición (Desigualdad)
Si x, y son números reales. x < y se lee x es menor que y, se define como
x < y ⇐⇒ y − x ∈ R+ .
Observación
Si en (2) x = 0, se tiene
0 < y ⇐⇒ y − 0 = y ∈ R+ .
Luego
R+ = {x ∈ R : x > 0}.
(2)
Los números reales
Axiomas de campo
Axiomas de orden
Desigualdades
Desigualdades
Definición (Desigualdad)
Si x, y son números reales. x < y se lee x es menor que y, se define como
x < y ⇐⇒ y − x ∈ R+ .
Observación
Si en (2) x = 0, se tiene
0 < y ⇐⇒ y − 0 = y ∈ R+ .
Luego
R+ = {x ∈ R : x > 0}.
Analogamente si en (2) y = 0 usando (1) se tiene
R− = {x ∈ R : x < 0}.
(2)
Los números reales
Axiomas de campo
Axiomas de orden
Desigualdades
Desigualdades
Definición (Desigualdad)
Si x, y son números reales. x < y se lee x es menor que y, se define como
x < y ⇐⇒ y − x ∈ R+ .
Observación
Si en (2) x = 0, se tiene
0 < y ⇐⇒ y − 0 = y ∈ R+ .
Luego
R+ = {x ∈ R : x > 0}.
Analogamente si en (2) y = 0 usando (1) se tiene
R− = {x ∈ R : x < 0}.
(2)
Los números reales
Axiomas de campo
Axiomas de orden
Más desigualdades
x > y se lee como x es mayor que y
x > y ⇔ x − y ∈ R+
Desigualdades
Los números reales
Axiomas de campo
Axiomas de orden
Más desigualdades
x > y se lee como x es mayor que y
x > y ⇔ x − y ∈ R+
x ≤ y se lee como x es menor o igual que y
x ≤ y ⇔ y − x ∈ R+ ∨ x = y
Desigualdades
Los números reales
Axiomas de campo
Axiomas de orden
Más desigualdades
x > y se lee como x es mayor que y
x > y ⇔ x − y ∈ R+
x ≤ y se lee como x es menor o igual que y
x ≤ y ⇔ y − x ∈ R+ ∨ x = y
x ≥ y se lee como x es mayor o igual que y
x ≥ y ⇔ x − y ∈ R+ ∨ x = y
Desigualdades
Los números reales
Axiomas de campo
Axiomas de orden
Más desigualdades
x > y se lee como x es mayor que y
x > y ⇔ x − y ∈ R+
x ≤ y se lee como x es menor o igual que y
x ≤ y ⇔ y − x ∈ R+ ∨ x = y
x ≥ y se lee como x es mayor o igual que y
x ≥ y ⇔ x − y ∈ R+ ∨ x = y
Desigualdades
Los números reales
Axiomas de campo
Axiomas de orden
Consecuencias de los axiomas de orden
Teorema (Ley de tricotomı́a)
Si x, y ∈ R, entonces se cumple una y solamente una de las siguientes
afirmaciones
x < y;
x = y;
x > y.
Desigualdades
Los números reales
Axiomas de campo
Axiomas de orden
Desigualdades
Consecuencias de los axiomas de orden
Teorema (Ley de tricotomı́a)
Si x, y ∈ R, entonces se cumple una y solamente una de las siguientes
afirmaciones
x < y;
x = y;
x > y.
Demostración: Como consecuencia del Axioma (P O1) para el número
x − y, se tiene una de las siguientes afirmaciones
Los números reales
Axiomas de campo
Axiomas de orden
Desigualdades
Consecuencias de los axiomas de orden
Teorema (Ley de tricotomı́a)
Si x, y ∈ R, entonces se cumple una y solamente una de las siguientes
afirmaciones
x < y;
x = y;
x > y.
Demostración: Como consecuencia del Axioma (P O1) para el número
x − y, se tiene una de las siguientes afirmaciones
x − y ∈ R+ ; x − y = 0; x − y ∈ R− ;
Los números reales
Axiomas de campo
Axiomas de orden
Desigualdades
Consecuencias de los axiomas de orden
Teorema (Ley de tricotomı́a)
Si x, y ∈ R, entonces se cumple una y solamente una de las siguientes
afirmaciones
x < y;
x = y;
x > y.
Demostración: Como consecuencia del Axioma (P O1) para el número
x − y, se tiene una de las siguientes afirmaciones
x − y ∈ R+ ; x − y = 0; x − y ∈ R− ;
o de forma equivalente,
Los números reales
Axiomas de campo
Axiomas de orden
Desigualdades
Consecuencias de los axiomas de orden
Teorema (Ley de tricotomı́a)
Si x, y ∈ R, entonces se cumple una y solamente una de las siguientes
afirmaciones
x < y;
x = y;
x > y.
Demostración: Como consecuencia del Axioma (P O1) para el número
x − y, se tiene una de las siguientes afirmaciones
x − y ∈ R+ ; x − y = 0; x − y ∈ R− ;
o de forma equivalente,
x < y;
x = y;
x > y.
Los números reales
Axiomas de campo
Axiomas de orden
Desigualdades
Consecuencias de los axiomas de orden
Teorema (Ley de tricotomı́a)
Si x, y ∈ R, entonces se cumple una y solamente una de las siguientes
afirmaciones
x < y;
x = y;
x > y.
Demostración: Como consecuencia del Axioma (P O1) para el número
x − y, se tiene una de las siguientes afirmaciones
x − y ∈ R+ ; x − y = 0; x − y ∈ R− ;
o de forma equivalente,
x < y;
x = y;
x > y.
Los números reales
Axiomas de campo
Axiomas de orden
Consecuencias de los axiomas de orden
Teorema (Propiedades adicionales)
Transitividad: Para cada x, y, z ∈ R.
(x < y ∧ y < z) =⇒ x < z.
Desigualdades
Los números reales
Axiomas de campo
Axiomas de orden
Consecuencias de los axiomas de orden
Teorema (Propiedades adicionales)
Transitividad: Para cada x, y, z ∈ R.
(x < y ∧ y < z) =⇒ x < z.
Monotonı́a de la suma: Para cada x, y, z ∈ R.
x < y ⇐⇒ x + z < y + z.
Desigualdades
Los números reales
Axiomas de campo
Axiomas de orden
Consecuencias de los axiomas de orden
Teorema (Propiedades adicionales)
Transitividad: Para cada x, y, z ∈ R.
(x < y ∧ y < z) =⇒ x < z.
Monotonı́a de la suma: Para cada x, y, z ∈ R.
x < y ⇐⇒ x + z < y + z.
Monotonı́a de la multiplicación: Para cada x, y, z ∈ R.
z > 0 ∧ x < y ⇐⇒ x · z < y · z.
z < 0 ∧ x < y ⇐⇒ x · z > y · z.
Desigualdades
Los números reales
Axiomas de campo
Axiomas de orden
Consecuencias de los axiomas de orden
Teorema (Propiedades adicionales)
Transitividad: Para cada x, y, z ∈ R.
(x < y ∧ y < z) =⇒ x < z.
Monotonı́a de la suma: Para cada x, y, z ∈ R.
x < y ⇐⇒ x + z < y + z.
Monotonı́a de la multiplicación: Para cada x, y, z ∈ R.
z > 0 ∧ x < y ⇐⇒ x · z < y · z.
z < 0 ∧ x < y ⇐⇒ x · z > y · z.
Desigualdades
Los números reales
Axiomas de campo
Axiomas de orden
Propiedades adicionales
Ley de los signos
Para x, y ∈ R.
x < 0 ∧ y < 0 =⇒ x · y > 0.
x > 0 ∧ y < 0 =⇒ x · y < 0.
Desigualdades
Los números reales
Axiomas de campo
Axiomas de orden
Propiedades adicionales
Ley de los signos
Para x, y ∈ R.
x < 0 ∧ y < 0 =⇒ x · y > 0.
x > 0 ∧ y < 0 =⇒ x · y < 0.
Leyes de cuadrados
Para cada x ∈ R, si se escribe x · x = x2 , entonces x2 ≥ 0.
Para cada x, y ∈ R+ ,
x < y ⇐⇒ x2 < y 2 .
Desigualdades
Los números reales
Axiomas de campo
Axiomas de orden
Propiedades adicionales
Ley de los signos
Para x, y ∈ R.
x < 0 ∧ y < 0 =⇒ x · y > 0.
x > 0 ∧ y < 0 =⇒ x · y < 0.
Leyes de cuadrados
Para cada x ∈ R, si se escribe x · x = x2 , entonces x2 ≥ 0.
Para cada x, y ∈ R+ ,
x < y ⇐⇒ x2 < y 2 .
Desigualdades