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1
' (t
3.4
Demost rac ión del Teorem a 3.1 . 3
...... . " . .............
AP ENDI C E A
.... ' .
....
..
...
....
......
....
..........
JI
......
.................................
A .1
Definic iones ••. •• . . .• • • .•••.. .•.•..•••.•..••.•••
A.2
Teoremas de Compacidad
.............. ........ . ....................
APENDICE 8 (LA INTEG RA L DE BOCHNER) •.••.•••...•
B.l
B.2
Fun c io ne s Medible s y el Teore ma de Pettis ••.....•
La Int egral de Bochne r .... .... ...... .... ...... ........ ...... ..............
BI BLlO G RA FIA
................................ .... ....... .... .... . .....................
¡ii
3.3
Poso 01 Lími~ e . ... ... • • .. ...•..... . •. .....•
3.4
De mos ~ rac i ón del Teorema 3.1.3
......... ... . .....
. ........ .. ...... . ................. . ........
APENDI C E A ...
A.l
De finic iones •.• •• . . .• ••• •• •.. .•.• • .••...•.••
A.2
Teoremas de Compacidad
......... .......... . . . .....
APENDICE B (LA INTEG RA L DE BOCHNER)
.........
B.l
Fun c iones Medi bles y el Teore ma de Pettis ••..
B.2
Lo Int egral de Boc hne r
BIBL/O G RAFIA
..
,.
..... . ... .. .. ..... ... ...
....... . ..... ......... .... . .. .......
jii
dar los p roblema s de exi stenci a, unici dad y dependenci
inici a les (Ver [13
J,
[ 14 ]).
Enfocando nuestro t ra baj o en esta úl t ima d irección, nos
probl ema periód ic o,
tomando como punto de partida el
Con re lación a este pro bl ema tam bié n pueden consultarse
Una de las di f icultades q ue presenta al lector el estudia
sobre el tema. es lo ausencia de definidones exp l ícitas q
ma rco abstrac t o (espacIos fun c ionales adecuados e interp
de las derivadas util Izadas ), dentro del cual se buscarán l
d el sen t ido e n que deben ser éstas entend idos .
Por esta
p ítulo 1 desarrollamos con la ma yor sencillez y rigurosidad
elementos míni mos acerc a de la teoría de espaci os de Sobo
c iones con valores en e spacios d e Banach.
El problema con condiciones de fron te ra periód icas, asociad
ció n K. d. V. , cons iste en encontrar solu cione s de (0 . 1) e
2
Unos pocos t rabajos hacen uso d e métodos funcional-
d<x los problemas d e ex isten cia, un ici dad y depen
inicia les (Ver [13 ],
(14 ]).
Enfocando nuestro trabajo en esta úl t ima d irección,
p roble ma periód ic o,
tomando como punto de partida
Con relación a este problema tambi é n pueden consult
Una de las di ficul tad es que present a a l lector el estu
sobre el tema, es la ausen c ia de definiciones explícit
ma rc o abstra cto (espacios fun c ionales adecuad os e i
de las de rivadas uH I' zadas ), dentro de l cual se busca
del sen t ido e n que d eben ser éstas entend idos .
Por e
pítulo 1 d esa rroll amos con lo mayor sen c i llez y riguros
element os mínim os ac e rco de la teo ría de espacios de
ciones Con v a lores e n espaci os de Banach.
El problema con condicione s d e fro n te ra pe riódicas, as
ció n K. d. V., consi ste en e ncon trar sol uci ones de (0
2
kin, estimaciones a priori convenientes y un teorema de in
de un espacio de Sobolev en otro.
En el capítulo 3 probamos lo existencia de solución 01 pro
(0.1) - (0.3), partiendo de los soluciones u , e: > O, o
E:
capítulo 2.
En el poso 01 límite son, nuevamente, crucia
ciones a priori obtenidas sobre los u E:
ta en uno topología fuerte conveniente.
y el teorema de in
Además, mostram
raleza de la solución depende de lo regularidad del doto
Hemos incluído 01 final dos apéndices.
En el apéndi ce A
resultados abstractos de análisis funcional de uso frecuente
trabajo.
En el apéndice B precisamos el concepto de inte
y formulamos los principales teoremas relati vos o esto integ
Este trabajo fué discutido y elaborado dentro de los activid
ta el Seminario de Análisis Funcional del Posgrado en Mat
Universidad Nacional.
4
lución del problema (0.4 ) - (0.6), utilizando el mét
kin, estimaciones o priori convenientes y un teorema d
de un espacio de Sobolev en otro.
En el capítulo 3 probamos lo existencia de solución al
(0.1) - (0.3), partiendo de las soluciones u , e:: >
e::
capítulo 2.
En el paso 01 límite son, nuevamente, cr
ciones o priori obtenidos sobre los u e::
ta en uno topología fuerte conveniente.
Y el teorema d
Además, mos
raleza de lo solución depende de la regularidad del d
Hemos incluído al final dos apéndices.
En el apéndic
resultados abstractos de análisis funcional de uso frecu
trabajo.
En el apéndice B precisamos e l concepto de
y formulamos los principales teoremas re lati vos a est a
Este trabajo fué discutido y elaborado dentro de los ac
ta el Seminario de Análisis Funcional del Posgrado en
Universidad Nocional.
4
can lo norma
1 ~ p < eo
( 1.1 ) ( respecti
( respectivamente si p ==
co ) es un espacio
tífican funciones que coinciden c a si en todos portes.
Demostración
Es fáci I ver que (J. 1 ) Y ( J.2 ) de finen normas en los
dientes.
Verifiquemos que
o)
1
Si
~p
< co,
seo
LP ( O, T ; X) es c om pl e to.
uno sucesi ó n de Ca uc hy e
(un}
cojamos uno subsucesión
P
T
~
lIuk . / s) - uk. ( s ) II
X
I
,
Si vi: ~ Uk. ,
Y
N.
I
==
ds < I
sean M. = { s E ( O,
U
M..
,
> '
= 1
~
1 I
m ( M. ) < ( _)
I
{un}
ta l que
( ~ )i
T) I
para
• I
,
IIv '+ ( s) - v. ( s
1
,
l
En virtud de (1 .3 ) tenemos:
I
1 I
( 2" ) m ( Mi)
Es d ecir
(uk .} de
I
2
T
~
P
IIv ¡+J ( s) - vi ( s) l/x ds
<
ro
y
aS I"
,
m ( N.)
<
L
1== '
7
( 1 )I
~ -
2
==
El con;unto lP ( 0, T ; X) Con la
norma ( J , J) (res
~ p < 00
( respectivamente si p
=
(0) es un esp
tifican funciones que coinciden casi en todas parte
Demostración
Es fáci I ver que (l. J) y ( 1.2) definen normas en
dientes.
a)
1 ~ P < en,
Si
lP ( 0, T ; X ) es com p le
Verifiquemos que
sea
{un}
una suc e sión de Ca uc
co;amos una subsucesión
{uk .J
de
{un)
tal q
1
T
~
,
N.,
,
,
Si v·: == uk '
Y
==
i
i
sean M., ::: {
U
M ..
~ i
,
X
S
ds <
(1)i
E ( 0, T) /
.
para
flv'1+ ( s) 1
En virtud de ( 1.3) tenemos:
1 ,
('2) m (Mi)
Es d ecir
P
IJuk . .'s) - uk. ( s)II
)
m (M.) < (_)
'
2
~
,
{o y
P
II v ¡+l (s) - v¡(s)"X d
..
OS I
en
,
m (N.) <
7
I (12
. _.
1-'
Para todo
existe n ( i) ta I que si m, n ;;; n ( i)
Sup ess
s~
es decir,
donde
Seo
I/u m (s)-u
m (Nm,n,
N
=
U
" um ( s) - un (s) U
n
i) =
(s)lI
x
<
U
m, ni: n (i )
Puesto que X es completo, si
N m, n, ,.
I
para
s
s E (O, T)
X
~ (O, T ) " N,
En tonces m (
s E (O, T) 'N
s 6 (O, T) \ N,
DeFi nomos u (s) = O para s
Le función u: (O, T) toda y para
para
o.
l/u m (s) - un (s)lX <
u ( s) en X.
<
x
(O, T)
en
&
[un (s)}
N•
así obtenida es medible fe,
m ~ n (i )
I/u m (s) - u(s)DX
9
S
T
t
Si
=
p
ex:>
Para toda
seo {u n } una sucesión de Cauch
existe n ( i) ta I que si m, n ¡:; n (i
Sup ess
" um ( s) - un ( s )IX
SE(O,T)
es decir,
=
m (Nm,n, ¡)
donde
Sea
IIum (s) - un (s)"X
N
=
U
U~ n (i )
m, n
Puesto que X es completo, si
Definamos
La función u: (O, T) todo y poro
para
(
SE
O.
IIu m (s) - un (s)lX
u (s) en X.
<
<
N m, n, "I
<
poro
Entonces
s
E
S6(0,T)\N,
(O, T)
{unes
u (s) = O poro s , N.
X así obtenido es medible
s E (O, T ) \. N,
m;: n ( i )
" u m ( s) - u (s ) nX S T
9
Por tanto la función < v('),
u ( .)
> X*X es medib
~
Iv(s)"X* lI u (
Usando la desigualdad;
I < v(s), u(s) > I
y la desigualdad de I-blder para funciones de valor rea
•
mociones a) y b).
De manera similar PJede ser obtenido el siguiente resu
Teorema
Sean
1.1.4
1 S P ~ ex> ,
u E LP (0, T ; X),
<1> E Lq
(0, )
T, do
Entonces:
a)
u ( .) <1> ( .)
b)
~ lu(t)
e
1
L ( 0, T ; X)
T'
<I>(t)II
X
dt
~
11 u"
p
"<1> 11
q
Camo consecuencia de este teorema se observa fáci Iment
11
a lo función
X*X
<v('), u ( ·»
Por tanto lo función <v ( . ) ,
( continuidad
u ( . ) > X * X es m
Usando la desigualdad:
I < v(s),u(s»
1 ::;; Iv ( s ) "X*
y la desigualdad de Holder poro funciones de valo
•
mociones o) y b).
De manera simi lar PJede ser obtenido el sigu iente
Teor ema J. J .4 Seon
1 ~ P ~ ce , ueLP(O,T;X ) ,
cjJ E
Lq
(O, )
T
Entonces:
a)
u ( .) cjJ ( .)
b) ~ Iu
E L1 (O, T ; X)
T'
(t )
cjJ ( t )
11 X dt
: ; "u "p
11 cjJ
"q
Como consecuencia de este teorema se observa fáci I
11
Definición 1.1.6
(Sucesiones Regu lar izantes).
Una sucesión { p n}
de funciones
regularizante si para cada n,
Pn E
Pn
1\ ~ R. se
e: (
R. ),
Su PP Pn
• Q)
y
f
-00
Pn ( t ) dt
==
l.
Como en el caso de funciones de valor real se demuestr
el siguiente teorema de regularización Teor ema 1. 1 . 7 X un espacio de Banach separable, Seon
.
te,
u
Pn
e
*
LP ( IR; X),
---+
X
( Pn * u) ( t)
=
u
IR
1;::;p < ao.
{p }
n
una su
Entonces si definimos:
por
+00
f
Pn ( t-s)u ( s)ds
-00
se tiene:
13
t E I
l p (O, T; X ) ** --
De finición 1.1.6
( Lp ( O, T; X )*)
--
( Sucesiones Regu larizantes). Una sucesión {p n } de funciones
Pn ~ --+
oo
regularizante si para cada n,
Pn
E Co
( R) ,
Su P
·00
y
J Pn ( t ) dt
::::
1.
-00
c'mo en el caso de funciones de valor real se dem
el siguiente teorema de regularización: Teor ema 1. 1.7 Sean X un espacio de Banach separable, te,
uelP(IR¡X),
Pn
*
u
IR
l :;; p < co. ---. X
( Pn * u) ( t)
::::
{Pn}
Entonces si definim
por +..0
J
u
Pn ( t- s ) u ( s)ds
-00
se tiene:
13
es un conjunto numerable denso en Ca (O, T; X) con la
11
par tanto COn la norma
la densidad de C ( O,
'p.
o
E ( [O, T j ; X ) es de
o
nos permite entonces concluír que
A continuación demostraremos dos lemas sobre continuida
y diferenciación de la integra' · para funciones de
Lema
lP (O,
l. 1.9
1
Sean
~
P < co,
O < h < T,
u
e
lP ( O, T ; X ) Y uh:
(
función definida por:
~ fO
u ( t+ h )
uh ( t )
l
Entonces
uh E LP ( o, T; X l
SI
Y
t
lirn
¡, -+0
SI
~ +
+h
f
lI
uh
h E ( O, T )
(O, T)
- u "p
= O
Demostración
Es claro que
Dado
€
> O,
IIuh "p
sea
~
<l>
l/u Ip
y por tanto uh E LP ( O, T;
E Co (O, T ; X ) to' que
11 <l> -
u 11
P
< :: / 3.
15
o
por tanto COn la norma"
lo densidad de C
Ip'
o
nos permite entonces concluír que E ( [ O, T j ; X ) es
o
A continuación demostraremos dos lemas sobre conti nu
lP
y diferenciación de la integral ' para funciones de
Lema 1. 1.9
Sean
1 ~ p < 00,
0< h < T,
u E lP ( 0, T ; X ) y
uh:
función definida por :
Uh ( t)
=
{
u (t
O
Entonces
uh € lP 10, T; X )
+ h)
.
SI
y
t
si
t
+ h
f
I im
h-O
+
h
~
( O,
( O, T)
=
11 uh - u 1/
P
Demostración
Es claro que
Dado
E
> O,
11 Uh IIp
sea
~
<P
l/u Hp
y por tanto
uh E lP ( O,
E Co ( O, T ; X) ta I qu e
11 <P - u lJ p
<
S
/ 3.
15
Mh u E LP(IR;X)
se tiene que
IIMhu - ü"LP(IR
y
cuando h ~ O. En particu lar,
T_"
Jo
1 Hh
ft -h J
u ( T)d
S
P
T
-
U
(s ) "
ds
-+
O
Demostración
ü
Obviamente Mh
en
[- T, 2 T]
Para t E IR,
si
es una función continua de soporte com
O < I h I < T, can lo cua! Mh u E LP ( IR
Y O< h < T g ü ( t) - (Mh u )( t )IX
1
~
~
Integrando
sobre
IIü - Mh ü II
P
,
~ ~h
IIü(t) - u ( t+T ) II
1/
X
dT
h
(h)P (
'lI ü (t) -
=
_
~ "u ( t ) -u ( t+T ) I
IR,
P
<
_
" u ( t) - u ( s i " X ds
1
~
t+h
h {
1
h
h
J
R
J
o
(MhÜ ) (t)lI~
dt
11 ¡j ( t) - Ü ( t + T ) 11 ~ d T ) dt
17
cuando
h -. O. En particular,
T-h
fo
1 Hh
11 -h fS P
u ( T)d T -
U (S) "
ds
-
Demostración Obviamente Mh
en
[-T,2T]
Pora t ~ IR,
u
si
es una función continua de soporte
O <Ihl <T, Con lo cuo! Mh
:;;
:;;
:;;
sobre
"ü - Mh u"P
P
E
O< h <T y
lü(t) - (Mhü)(t)NX
Integrando,
u
=
:;;1.
h
1 t+n
h {
t ~h
_
_ ,
" u ( t) - u (s ) " X d
lIü(t) - U(t+T)JJ
1 1/
(h) ' P(
h
~
X
/Iu(t)-u(t+
IR,
k"u(t) -
f
R
("'\u)(t)"~
h
fo " ü ( t)
dt - ü ( t + T ) 11 ~ d T )
17
y la función
l' ,
todo
f
t -
lf(t,x)lP dx
tE(O,T), y es integrable en (O,T).
°
to N de (0, T), de medida
f (t ) :
para
t
~
G
~
(0, T ) , N
f ( t) :
pera
estó definida (es
6
t E N,
IR
Es decir, e
ta I que si defin irnos:
f ( t) (x)
por
=
f(t,x
=
°
Y
G -IR
por
f ( t) ( x)
entonces la función:
f:
(0, T )
t
-
P
L (G)
-+-
-f
es medible, y ademós
En efecto, probemos que
f(t)
p
E L ( 0, T;
7
LP ( G)).
es medible fc.
Por el teor
apéndice B) basta mostrar que para todo v ~ ( LP ( G )) *
( P-1 + q ~1
=
1),
( 0, T)
la aplicación:
--+ IR
~
-
<v, f ( t»
es medible.
19
l' :
todo
to
tE (0, T), y es integrable en (0, T).
N de (0, T), de medida
f (t ) :
pera
G ---+ IR
t E (0, T ) , N
f(t) :
pera
t E N,
f:
°
G
Es d
ta I que si de fin ir
por
f(t) (x)
=
por
f(t)(x)
=
y
--+
IR
entonces la función:
(O, T)
--+
P
L ( G) t
---+-
f(t) f
es medible, y además
En efecto, probemos que
E LP (0, T;
1
LP ( G
». es medible fe. Por el
apéndice B) basta mostrar que poro todo v E ( LP( G
( P-} + q -}
=
1),
(0, T)
la apl ¡coción :
-+
~
IR
<v,
-
f (t» es medible. 19
~ lP (O, T i lP ( G))
Si v
V'(t,x) = v(t) (x).
es esco lonodo, defi nomos
v
Veamos que
es medible
Q
v:
y pertene
Basta observar que si A es un subconjunto medible de ( O,
entonces lo
l P (, Q).
Si
t}.
< O,
función
h ( t,x) = o ( x)XA ( t) es medible
En realidad, dado
h
-1
<( -
a ]>
00,
a
=
E
IR
i
A x a
-1
< (-
00,
a] >
es
medible de Q.
c
Si a =0, h- 1 « -co, a ]> = ( Axo- 1 « -oo, Cl )] » U ( A
es un subconjunto medible de Q.
i
I
Si
fV
\..lo
> OI
h-1 <(-
co
a lJ )
I
=
( O, T) x
0- 1
< (- 00,
a ]
I
junto medibl e de Q.
Además, en virtud del teorema de Fubini,
J
Ih(t,x)I
P
T
dxdt =
Q
Es cloro que i ( V') = v.
J
o
xA ( t)
f
6
I a (x ) I
dx d t = no
Por lo tanto el subconjunto de f
nadas está contenido en el rango de.2-.
calonados es denso en
P
Como el espacio
lP ( O, T i lP ( G)) (ver demostración
21
V'(t,x) = v{t) (x).
Veamos que
v
es medible
y
Basta observar que si A es un subconjunto medible d
entonces la
P
L (Q).
Si
a <
°,
función
h (t, x)
En realidad, dado
=
a ( x)
a
E IR ; XA (t )
es me
h-1 < ( - CD , a J > = Axa -1 « -CD,a ] >
medibl e de Q.
Si a =0,
1
h- « -oo, a J > =(Axa- 1 « -CO, o. )] »
es un subcon junto medi bl e de Q.
Si
a >O,
h
-1
« -oo, a] >
=
( O,T) x a- 1
< (- co
junto medibl e de Q. Además, en virtud del teorema de Fubini,
f
I h ( t, x ) I P dx dt
Q
Es claro que i (v)
=
T
= fo
v.
x A (t)
f
6
la (x ) I
P
dx dt
=
Por /o tanto el subconjunto
nadas está Con ten ido en el rango de
Como el esp
P
P
caJonadas es denso en L (0, T; L ( G»
( ver demostr
21
T
fo ( f
=
U ( t, x ) dx ) d t
E
E
(8) -
:bE' u (t)
~ u(t)dt > ,
T
fo
U ( t, x) dt -
(( B)
paro todo subconjunto medible E de G.
f
u ( t ) dt (x)
O
=
( L) -
T
fO
u (t)dt
Fbr lo tonto:
T
1.2
<
O
< <P E'
f [ (L )
( B) -
T
T
=
es decir:
= f
f
T
U ( t, x) dt
O
DISTRIBUCIONES CON VALORES EN ESPACIOS DE
f
Ii
Seon
°
< T < ce
y
D (0, T ) el espacio de funciones de v
tamente diferenciabl es , con soporte compacto en (O, T ).
Como es sabido, se dice que lo sucesión
{<pn}
en D (0,
<P E D (O, T) si :
o)
E}(;ste un compacto K
b)
D
en
e
( 0, T) te I que
Supp
<P n
e
m
<Pn - D <p
uniformemente en ( O, T) para todo
23
E
T
< <DE' (B) - ~
==
es decir:
> ,
u ( t ) dt
T
J[(L) - J
E
o
U(t,x) dt -
T
J
u (t ) dt (x)
O
1.2
JO
u
Fbr lo tan
pera todo subconjunto medible E de G.
( B) -
T
((B)
T
==
( L) -
J
U ( t,x) d
O
DISTRIBUCIONES CON VALORES EN ESPAC!O
li
I 1I
°
< T < ce
Sean
y
D(O, T) el espacio de funciones
tamente diferenciabl es , con soporte compacto en (O,
Como es sabido, se dice que la sucesión
{clJ }
n
en
cIJ E D (O, T) si :
a)
Existe un compacto K
b)
D
e
(O, T) te 1 que
Supp'
clJ
m
clJ n -
DmcIJ
uniformemente en (O, T) para
23
Dados
FE D' (( O, T); X) Y m
IN, la derivada m de
E
m
D F:
es la aplicación lineal
m
D (O, T)
= (-,
D F ( <p)
r
~
F ( Dm <p )
X,
defin
para todo
De las definiciones 1.2.1 Y 1.2.3 PJede demostrarse q
DmF E D"((O,T);X),
Dm .
y que la aplicación:
--
D ' ( (O, T) ; X )
F
es continua, es decir
Si
~
Fn --. F
m
D
(F n) --. D
m
F en
,
D ( (O, T) ¡X)
Dm F
en
DI ( ( O, T ) ¡ X
D' ( (O, T ) ; X ) .
1,,,11
LP ( O, T ; X),
A continuación caracterizaremos a
~ P ~c
espacio de D' ( (O, T); X), cuando X es separable.
a todo función UE LJ(O,T;X) una distribución
Para
FX ( u)e
definida por:
,
b
T
FX ( u) ( 4l ) == ( B) -
1> ( t) u ( t ) dt ,
Claramente FX (u) es lineal y además :
... t \ 1.:, K.) I' A
l\.lU' T!:..
' ."'\L
I:' d~
25
<p E D
D
m
F ( <Íl)
De las definiciones
1.2.1 y
Om F E D' (( O, T); X),
Dm
( - l)m F ( Om <Íl )
=
1.2.3 PJededemost
Y que la aplicación:
D' ( ( O, T ) ; X )
F
es continua, es decir :
para
-
~
Si
m
D ( Fn ) -+
Fn -+ F
Om F en
I
D ( ( O, T); X
Om F
en
D' ( ( O, T
D' ( (O, T ) ; X
11
'It,
A continuación caracterizaremos a LP ( O, T ; X),
~
espacio de D' ( (O, T ) ; X ), cuando X es separable.
1
a todo función UE L ( 0 , T ; X ) una distribución
definida por:
FX ( u ) ( <Íl)
=
( 8) -
T
~
<p( t ) u ( t ) dt,
Claramente FX ( u ) es lineal y además:
¡.'11 \ 1:., K;) I '
LBLl T
'• •"'\L
.. ~{AL
25
FX
o
<en' u ( t ) > X* X
a.e.
Por consiguiente, existe un subconjunto N de
t E ( O, T
O, T), de
que:
< en' u ( t ) >X"* X
es decir, Comentario.
u(t)
°
t E ( 0, T ) , N,
t E ( 0, T ) " N,
Y por lo tonto
Puesto que existe una inmersión continua natu
1 ~ P ~ ro,
1
en L (0, T ; X),
!I~I
O
entonces el teorema 1.2.4 n
ficar LP ( 0, T ¡X) con un subespacio de D' \ ( O, T) ; X ) .
De otra parte, si X, Y san espacios de Banach reflexivos y
que X está inmerso en forma continua en Y, X
c....
,, Y,
en
yecciones naturales:
LP ( O, T ; X) '-.
LP(O,T ;Y)
D' ( ( O,T ) ; X ) '-
l
D' (
J
y se verifica que para u E LP ( O, T ; X), ( DFy i ) (u)
=
(D i F ,.,­
.:../
u
( jDFX)( u).
<en' u ( t )
> X* X
=
O
Por consiguiente, existe un subconjunto
a.e.
t
E
N de ( 0, T
que :
< en'
es decir,
Comentario.
> X-.. X
u (t ) = O
c:;
O
t e ( O, T) ' N ,
tE ( O, T)
Y por !o t
Puesto que existe una inmersión continu
1 S P ~ ro,
1
en L ( O, T ¡ X ),
ficar
u (t)
entonces el teorema 1. 2
LP ( O, T¡ X) Con un subespacio de D' (( O, T ) ; X
De otra parte, si
X,
'y
son espac ios de Banach refl ex
que X está inmerso en forma continua en Y, X
y ecciones naturales:
P
L ( O, T ; X ) ':+
LP (O, T ; Y ) ;
c;.. Y
"
o' ( ( 0, T) ¡X )
l
~
J
y se verifica que para u
( DFyi )( u)
E
LP ( 0, T; X) ,
=
(D iF
2
(u )
==
( j DFX
~
reol,
V
H una aplicación lineal, continuq, ¡n
90 denso;
(abreviadamente V
S. H).
I
-
Identificando H Con su
ces
*
*
~ual H , m~diante la aplicación
H --+ V* es continua, inyectiva y de rango
( V, H, V*) junto con las
iny~cior es
i, i* serq deno
evolución, y denotada por:
'-+
V
i
H
~
¡"
y*
De la definición anterior es claro q~ e para
< I' * W,
Identificando y
v
>y * V
ca"
< w,v > V*v
Por lo densidad de í *
LVn } en
.\iJ 1
H!
V
E
( w, i V)H
<Y > Y H con i * < H > , a me
=
( w, v)H
<H >
wEH, V¡V
en V *
dado v* E V*, exi
H ta I que para todo v E V :
< v*,
1'1 ,
w~
v >V*V
=
lim
I
(Vn , v )H
n-tOO
Ademós, este límite es uniforme sobre subconju n tos oc,otad
29
90 denso; (abreviadamente V
S. I-J ).
•
Identificando H
ces i *:
COn
. *
H --. V
su dual H*,
m~diante
es continuo,
(V, H, V*) junto con los
lo aplic
inyectivo y de r
iny~cciores
i, i* serq
evo ~ ución, y denotQdo por :
V
'-+
¡
H
c....¡"
V*
De lo definición anterior es claro q/Je para
<.'. w, v >V * y
Identificando V con
Por lo densidad de ¡ *
H,
c;
( w , iV )H
Y H con i * < H > ,
<V >
<w, v>V"'V
w
( w, v)H
<H >
wfH,
en Y * ,
dado v*
VE
~
V"
{vn } en H to I que poro todo v E. V ;
< v*, v >V* V
=
¡im
I
n-.cn
"
Ademós, este Irmite
e~
( vn , v )H
uniforme sobre subconjl!nto$
2
a
Por e l teorema 1.2.4
u~
un -.. u e n D' (( 0, T ) ; V)
en
-+ v
Y
O' ( ( O. T); V * ).
Como V está inmerso en V * en for mo co n ti nuo, ento n
D ' ((0, T); V*), y por lo co n tinu idad d e lo deriva c ió n
u~ -+ u '
Por lo tanto
u
v.
en
D' ( ( Q,T)¡Y*).
~
Observación. Si V es un espacio de Hilbert r eal separable, e nton c es
es un espacio de Hi lbe-t Con producto esco lar definido
u,g)W J, 2
==
to (f ( t ), g ( t ) )V d t
+
to
( f I(
El siguiente resulta do n:)s permite conc lu ír que si u EW
"
tonces u como elemento de
*
p
L ( O, T ; V ) tiene un rep-e
[0, T] ........... V * tal que
continuo ti:
u
es d iferenciabl e
y:
U
I (
t ) : ==
ü (t+ h ) - u ( t}
lim
h~O
h
31
=
u '(
u~
~ v
en
Como V está inmerso en V
...
D' (( O, T ); V*).
en forma continuo, en
D'((O,T);V*), y por la co ntinu idad de la deriva c
u~
Por lo tan to
u
I
-. u
=
l
en
DI ((O, T ) ¡ V*).
~
v.
O bser vación.
Si V es un espacio de Hil bert r eal separab le, enton
es un espacio de Hi Ibert con producto escalar defini
u, g ) W 1, 2
=
f
(f ( t ), g ( t » V d t +
((
El si guiente resultado n:)s permite c on cluír que si u
",
tonces u como elemento de
continuo li:
Lp ( O, T ; V * ) tiene un re
[O, T] ......... V '* tal qu e
u
es d i ferencia
y:
ul(t):
=
lim
u (t+h ) -li ( t )
h
h~O
I
',,1
31
Por el lema 1. 1 .10,
nJ.P
Dh -1 (uh - u ) - 9
0 T_ h .
,
I(
11 MI, 9 - 9 J¡ LP' (O
=
y así (ji) se cum pl~ ....on w = g.
~ Hi ) •
ii)
Sea
<P e D ( O T), e" t.;¡nces
fl ;,-
e
quel'\o :
~ fT
u(t)( 4>(t)- eI>(t- h»dt =
h
1
Como
u{t}
1
•
.T
r
I
h Jo
(
1. U •
t
)
~.
Vh
T- h
=:
'h
~
-
-
l T(h Uh{t) - u{ t) _ w(t»)
h
o
( 1) ( f) - uh ( t) ) 't ( t ) dt •
(¡p (t) -
ll( t- h ) )
~
;(
h
~_
u(t}
[ h, T ]
y:
lIu ( t)
<1:
'"
"'
11 ú ( t) l/y
Por el teorema de converg e nc ia dominada (ver apéndic e
3
t
Por el lema 1. 1 . 10,
Dh-J(Uh - lJ) - g \P\O, T-h¡
y así (ii) se cum ple
~
ii)
j ji)
Seo
.
n ,....
<t- t:
=
UM t, 9 - g JILp ' (
= 9.
O (o.. T ), .. nt~ nr c:!S ,..-0. u
O
queoo :
tf
T U(
t) ( 4l (t) - ¡p (l-.. h) ) dt _.
h
1 T- n
::: h fo ( 'J ( t)
--
T
--h1 or
r\ U (' t) -
)
- uh ( t) )
I
t ) dt .
<i> (
- j T-( h Uh(t) h- u ( t ) _ w(t»)
e(
o
Como
u(t)
(<b(t) -
.p ( t-h »)
->
')(
h
u {t )
[ h, T ]
y:
11 u ( t )
..."­
/1 L¡( t ) lIy
Por el teorema de con vergenc io dominado (ver apénd ic e
33
donde lo último igualdad es con.secuenc ia de la hi
cho de que paro n suficientemente gonde
Po *
Pero, aplicando nuevamente el teorema de Fubj n i
- f
T
o
v(t)
(pn ... <l>)( t ) d t
=
o
Pa" lo tunto,
T
fUi
( t)
o n
T
= f (p n *
<l> ( t) dt
o
y en virtud de la inyección Fy
de u'
n
Pr; * v
y
=
(pn * v) (t)
'Id t ~ [O, T
CCO ( [O, T ]; Y), entonces:
un(t) - un(s)
=f
-t:
!t
l. , Ahora bien,
del teorema 1. 2.-ti
,
u~(t)
y como un
v) ( t)
según e I teorema
/
S
(Pn*v) ( T ) dT
1 • 1 .7
(p n *v)(T)dT
35
-
ft
!t v
(
1
T
= - J
o
v(t) (Pn * q, )(t) dt
donde la última igualdad es consecuenc Ia de la híro
cho de que para n suficientemente gandt:
P
*
n
Pero, aplicando nuevamente el teorema de Fublni
T
J
o
v (t)
(pn '"
t ) dt
<1> )(
-
o
Por lo tonto, T
JO
u ~ (t)
T
<t> (
= J
t ) dt
O
(pn * v) ( t .l
y en virtud de lo inyección Fy del teorema 1. 2 . 4
de u'
n
y
Pn
*v
u~(t)
y como un
C
OO
(
=
1:
=JS
según el teorema
t
J
S
"V t ~ [O, T
[O, T); Y), enionces:
un(t) - un(s)
Ahora bien,
(pn * v) (t)
(P n * v) (T
(Pn*v) ( T)dT
1.1.7
)
d
T
35
­
f
S
t
v ( '[
Teorema 1.4.4
Sean Y
~
l
H
'=l":
y* una terna de evolución,
reflexivo y separable tal que Y
'-+
Y 1 c;... H con i
11
l,
Sean 1 < Po,Pl <
-
Y
CD
Y1 u
u E. lPo (O, Ti Y 1 ).
2
Entonces
P1
en L (O, T j y*) si y solo si existe w E. LP1 (O, T; y
T
T
~(i2u(t),iV)H <l>'(t)dt - ­ J < w(t),v > y*
o
V
<
En este caso u' = w
Nótese que la anterior igualdad es equivalente a afirm
1
(i 2 u( o), iV)H EW , 1 (O, T) Y es igual casi en todas
abso lutamente continua con derivada
< w ( • ), v >
*
V· V
Demostración
De acuerdo al comentario que sigue al teorema 1.2.4,
IIIti ,
' it í
l
u E lPl (O, T; v*) si y solo si existe
T
i*i 2
(JO
I
u(t) <l>(t)dt) = -
es decir:
37
w E. lPl (O, T ¡V
T
J
O
w(t)<l>(t
W , p (O, T ; V, H) qu e será uti I izada paster iormente:
Teorema 1.4.4
Sean V
c;..
t
H
~
L
V* una terna de evolución,
reflexivo y separable 101 que V
V 1 ~ H con i
s+
l,
,
Sean 1 < Po,Pl <
Y u
CD
o€
en LPl (O,. T¡V * )SI. y solo
Po
L
I¡
(O, T ; V 1 ).
2
i
Entonces
" eXiste we.l Pl (O, T ¡V *)
SI
T
~(i2u(t),iV)H 4l ' (t)dt - ­
En este caso u I =
V 1 un
T
J<w(t),v > *
o
V V
4l(
W
Nótese que la anterior igualdad es equivalente a a firma
(i 2 u(·), iV)HEW1,1(0,T) y es igual casi en todos p
absolutamente continua con derivada
< w (. ), v > y * V
Demostración
De acuerdo al comentario que sigue al teorema 1.2.4,
tl t , .
~,
P1
u ' E L (O, T; y*) si y solo si existe
i*i 2
(JoTu(t)
I
4l(t)dt)
=
es decir: 37
w
e.
l Pl (O, T ¡ Y
JT
w ( t ) 4l ( t)d
e
p'
= q,
If(t)'
= V*
y
= I(u(t),
Y v
entonces
~
u(t»H'
~
i'" i u
IIj*j u(t)I
V
l ex> (0,
'" lu(t)UV
1
fEl (O,T).
y por tonto
°
De otro parte, poro
u~
= u',
{fh - f } -
< h <T
g" II (O, T _ h )
=
l
T-~U('+h),
u ( t+h »
I
O
T-II
~
fo
1< u (t + hh) -
u (t )
-
U '(
t ), u ( t»
V *V t
<
u( t +
T_h
+
1
I <u'(t), u(t+h)- u(t»
o
~
l/ h
-1
(un - u
...
V V
Idt
)'
- u " q
* (1/ u" p
l (O, T - h, V)
l (O, T - h
+
""i ,'
!!
lIu'''Lq(O, T- h¡ V*) Ilu h - u Il lP ( O, T- h; V
!~
De lo anterior estimación, teniendo p-esentes el teorem
y el lema 1.1.9, se conc luye que:
39
(iii) => (;) de l teo
Ademós, usando la implicación
p'=q, Y=V '*' y v=u', entonces
If(t)1 = I(u(t), u(t»H'
~
i"'iu~l 00 (O,
li*iu(t)I
V
'" lu(t)DV
1
fEL (O,T).
y por tanto
°
< h <T
De otra parte, para
~
B {fh - f } -
g" L1 (O, T _ h)
=
J
T_~U(t+h),
u ( l+h ) H
I
o
T-II
~
fo
h)
I<u (t+ .
()
uf++h'
- u t - u
I(t)
, u (t» V"'V + ( \ . .
T-h
+
~
,1
I <u'(t), u(t+h)- u(t»
-1
"h
)
(un - u
+
11" l'
io
*
V V
Idt
1
- u
11
q
'*' (IJ u" p
L (O, T - h .
L (O, T - h, V)
u
lI 'II Lq(O, T- h; V'*') lIu h - u " LP (O, T- h; V
De la anterior estimación, teniendo p-esentes el teor,ema
I
t
y el lema 1.1.9, se concluye que:
39
s, t E [O, T ] \ N n • pera todo
e
existe N
De acuerdo al teorema 1.4.5,
[O,TJ
que:
(ü(t), ü(t»H - ( ü(s), ü(s»H
=
JSt
2
<U
para todo s, t E [O, T J '\ N.
ce
=
Seo M
N U
[U
N n ]·
n=l
Entonces m (M) :::: O
se cumple que:
IIu(t) - vnll
=
f
=/
S
2
H
/lü(s)-vnU
2< U'( t ),
2 _
H
- -¡ü 5) I~
- lü(t)U 2
H
U( t) > V * V d t
(2 <
-
2 < u'(t), u(t)- vn >V * V dt
U '(
t
para
~I'''I~
Si v
E
V, por un argumento de densidad y e 1 teorema
dominada, se tiene que:
Dü(t) -
vU~
-
lIü(s) -
vl~
41
::::
~t
2 < u'(t), u
(t
(ü(t), vn)H - ( ü(s), v
n
I
S
<u '
pera todo s, t E [O, T ] \ N n •
De acuerdo al teorema 1.4.5,
e
existe N
[0, T ] c
que:
(ü(t), u(t»)H - ( ü(s), u(s»H
para todo s, t E
lo, T ] \. N.
Sea M = N U
[U
= /
5
2 < U '(
ro n==l N ]• n
Entonces m(M) = O Y
se cumple que: lIü(t) -
vnll~
t
=
~
==/
s
- lI ü(s) - vn
U~
== lü(t)1I 2
H
I
2 <u (T), u( ·r»V*V dT
-
2 < UI(T), U(T)-Vn >V*V dT
2
I¡ ü ( s) I H
t
{ 2 < u 'h )
para r
'. ,,1
,
Si v
~
V, por un argumento de densidad y el teorema d
dominada, se tiene que:
Oü(t) -
v,,~
- lIü(s) -
vl~
41
=
t
~ 2 < U ' ( T ), U(T
11 tí RC ( O, T; H)
~
C 11 u ilW i , p
A continuación presentaremos un resultado de inmersi
gará un papel crucial en la prueba de existencia de
ma no -lineal que será planteado en los capítulos sig
ma de inmersión permitirá demostrar que una cierto f
. d as es
aproxima
11
" ' fue rte C
compacta 11 en una topo Iog/o
formulación se elige un contexto un poco mós cmplie
1
cíos W ,P(0,T;V,H) antes definidos.
En realidad,
pacios de Banach tales que X y Z son reflexivos y
y,-:­
X,:-+
Z,
'1
'1
donde i1 , i2 son inyecciones lineales y continuas
f
y
pacta.
Si :
"~ I '~:
"iLI ~'
W1,PO,Pl(O,T;X,z)
,
= {v / v~LPo(O,T;X ) ~ v'
;0;.
donde
1 < p. < el:)
/
,
= O, 1;
nv nW 1 ,Po,Pl
-
entonces con ja norma :
UvU
LPo (O, T; X )
43
+ "v
nüIC(O,T; H)
:;¡
C Hu ilW i , p
A continuación presentaremos un resultado de inmersión
garé un papel crucial en la pruebo de ex istencia de s
ma no -lineal que seré planteado en los capítulos sigu
ma de inmersión permitirá demostrar que una cierto fam
. d as es
aproxima
11
'" f ue rte c ~n
compacto 11 en uno topo Iogla
formulación se elige un contexto un poco mós cmp l¡ c q
cios W1,p(0, T; V,H) antes definidos.
En realidad,
pacios de Banach tales que X y Z son reflexivos y
X,:-+ Yt;.. Z,
11
12.
donde i1 , i2 son inyecciones lineales y continuos,
V
poeta.
Si:
11111 ", .
i. ~ ~;
1
W ,PO,Pl(0,T¡X,Z) =
l:.,t.
" ...
donde
1 < p. < co ,
1
nv
Po
{ v / v E L (O, T; X )
= 0, 1;
RW I 'Po, Pl
-
~
v' :
entonces con la norma:
IvU
+ av'u
LPo(O, T;X)
·u·1
43
autoad;unto y positivo
A en y
tal que la norma
2
2 1/2
la norma del gráfico (Rully + "Aully)
to,
,
u E D
A PJede construirse de la siguiente manera:
Sea D (5) el conjunto de los elementos u de X pa
antilineal
v ---. (u, v )X'
inducida en X por Y.
v
~ X,
es continua con
Para u E D(5), la eXfX'esión
define entonces un operador S en y cuyo dominio e
que D(S) es denso en y y que S es autoodjunto y
la descomposición espectral para operadores autoadjun
tanto definir se las potencias S9 de S con 9 E IR.
A :::
51/2 entonces
que D ( A) ::: X.
A
es autoadjunto y positivo ,
Como (u, v)X ::: (S u, v \
=
(1\ u,
tiene que la norma en X es equivalente a la norma d
' iIt~"';
1
i r,ll
Sea O ;c¿
e ~ 1.
Definimos el espacio intermedio
r X, y
."."
[ X, y]9
=
D ( /\ 1- 9 )
~' I
dotado de la norma del grófico de
/\1-9
45
es decir
A continuación observaremos que X es el dom in io D
outoodjunto y posi tivo
f\
en Y
2
lo norma de I gráfi co (B u By
te,
tal que lo norma en
2 1/2
+ " f\ u /ly )
,
u E O(
A puede construirse de lo siguiente manero:
Seo O (S) el con junto de los elementos u de X por
ontilineol
v
--+
(u, v)X'
inducido en X por Y.
v E X,
es continua COn re
Poro u E O (S), la exp-esión
define entonces un operador S en y
cuyo dom inio es
que O(S) es denso en y y que S es outoodjunto y p
'o descomposición espectral poro operadores outoodjunto
tanto definirse Jos potencias Se de S Con e E IR.
f\ == S
1/2
entonces
que O( A) == X.
11
E
es outoadjunto y positivo y o
Como (u,v)X == (Su,v)y == (Av,
tiene que lo norma en X es equivalente a lo norma del
·""·":1
Seo O ~
e
~ 1•
Definimos el espacio intermedio [ X, y
M,."
[ X, y ]e == O ( f\ J - e)
""
•
dotado de lo norma del gráfico de
11 1 -
45
e
es decir
Sobolev
..rn (Q )
por:
m
H ( Q)
=
2
d~
2
{u t l ( r¿ ) I 3:k E l ( r¿
dx
con el producto interno :
m
=
(u,v)t-t"(Q)
éu
I
k=O
Sean
S >O Y
dkv
( dx k '
d;k \
k ta l que k
m el menor entere
~
2
S.
D
cio de Sobol ev HS ( n) por:
HS ( r¿)
=
[H
m
(
n j,
l2 ( í2n
e
donde
Teorema 1.5.3
Seon
O ~ S2 ~ S1
S
[ H 1(rt ),
o~ e
~
S2
H (rt) ] e
=
H C1
- e )Sl+ 6S 2(
AIgebraicamen te y Con normas equivalentes, en particular
",, 1
l ., ~
y O
~9 ~1 son toles que (1 - 9)m = S entonces:
."
'''f "
rH
m
( r2 ),
l2( rt )]a
=
47 HS ( n ) . Sean
Q
$:)bol el(
=
(0,1) Y m un entero no negati vo .
¡.f" ( n) por;
Hm ( ~ ) -
{u E l
2
d~ E l 2 (
(~) I :;:J(
dx
Q ),
con el pA"oducto interno :
m
(u,V)t-fTl(rI)
=
¿
k=O
Seon
dku
( dxk'
dkv
d;k \ 2( ~
S > O Y m el menar entero k ta l que k
~
$.
De
cio de Sobol ev HS ( n) por:
S
H ( rI)
= [ ~ ( Q J,
l2 ( 5:l)] a
donde
Teorema 1.5.3 Seon
O~S2~S1
S
[H 1 (rI),
o~
8
~ S2
H ( Q )Ja
=
H(1-a)S1 + aS 2( Q
Algebraicamente y Con normas equivalentes, en particular
1~,I".t
t¡,"!1
y
O
~a ~1 son toles que (1 - 8)m
= S entonces:
:!;1'
[H
m
(Q),
2
l U')]a =
47
S
H ( st ).
f"I II" 1
j l1 ) '
.::,'1
•I¡
"rl '
I ,L
2.1
FORMULACION DEL PROBLEMA Y REGULA
El problema con condiciones de frontera periódica
K d V, que aparece en el estudio de fenómenos de
lineales, se plantea como sigue:
Dada una función
definida en el intervalo (
uo '
ción u definida en (O, 1 ] x [O, T]
au
at
+
+ u (ju
a3u
_
ax 3 ­
(jx
(T > O) tal
O,
O <x <
que satisfaga la condición inicial
u(x,O)
==
°
uo(x) ,
< x <1
y las condiciones de frontera periódicas en x:
III'.;¡:II
'.':'!
u(O,t)
=
u(l,t)
y
au
ax
(O,t)
==
au
(jx
(1, t),
50
e e
~
• 1
obtenidos en este caprtu lo.
2.1
FORMULACION DEL PROBLEMA Y REGULAR
El problema con condiciones de frontero periódicos
K d V, que aparece en el estudio de fenómenos de
lineales, se planteo como sigue:
definida en el intervalo [0
Dado una función uo '
ción u definida en [O, 1 ) x [ O, T)
au
+
at
u
l..!!
ax
+
a3u =
ax 3
(T > O) tal q
O
O <x < l
que satisfaga la condición inicial
u (x, O)
dl¡~ ,
il:
=
U
o (x ) ,
O< x < 1
y los condiciones de frontera periódicos en x :
, I~I
i ..
1
,:p.,
u(O, t)
=
u(l, t )
y
au
ax
(O,t ) =
~ ( l,t ), •• . . ,
ax
50
norma en
H por l. l.
k
Para k entero positivo, sea H ( S¿ ) el espacio d
,
lV~
H/
d1v
-d' EH,
.
O ~I~
xl
k
1
?,
'
dotado con la norma usual
k
"v 11 Hk ( D )
k
.
d xl
dlv
--o
k ~ 1, entonces
Si v E H ( \"2 ),
I~ ,2 1/ 2
.1=I 0
)
es, po~o
d xl
casi en todas partes a una función continua en
d1 v, ( O )
sentido hablar de los valores puntuales d xl
={v
Sea Vk
k
di v
,
~ H ( )2) / - . (O )
d xl
=
di ~
dxl
( 1}
I
Por comod idad V
2 será denotado por V .
t'ft¡" ,
)11
'ri"
"I'M
El espacio V k es un subespacio cerrado de Hk ( : / )
so en H.
Denotaremos por 11
II
Vk
lo re stricción
k
Tanto H ( [2), como Vk son e spacios de Hilbert se
52
"
Sea
2
H el espacio de Hilbert L (r2) , donde
)1
=
norma en H por l. l.
k
Para k entero positivo, sea H ( SI ) el espacio de
r
t v .: H
/
rdlvxl EH ,
.
O :;¡I~ k
},
dotado con la norma usual
k
I~
¿
IIv "Hk( SI )
d xl
j =O
k
Si v E H ( S¿ ) ,
di v
--o
k ?; 1, entonces
21 2
/
1
)
es, po ro
._
d xl
casi en todas partes a una función conti nuo e n
.
di v
.
sentido hablar de los valores puntuales --o ( O ) r
d xl
k
dlv
Sea V k = { v ~ H ( SI) / ---:- ( O)
dxl
=
d i ~ ( 1},
d xl
"
d
-
d
==
Por comod ¡dad V2 será denotado po r Y . III'!
•,,11
El espacio V k es un subespacio cerrado de Hk ( rG) .
so en H.
Denotaremos por 11
Il
Yk lo restricción de
k
Tanto H ( n), como Yk so n e spacios de Hi lber t se p
52
esta función tiene sentido la expresión ~E (O)
=
Nuestro objetivo inicial es demostrar un teorema d
débi I del problema (P VI F 111 ) E •
Una vez esta
mostraremos que la solución encontrada u E ti ene
exigida, lo cual seró crucial en el próximo capítul
la familia de soluciones débiles {u E
}
E> O
conve
(PV/F)(I).
2.2
SOLUCIONES APROXlNADAS - ME rO DO DE
Construiremos una sucesión
blema (P VI F) ( 11 E
),
ex:>
{u m } m:=: 1 de soluciones
util izando el método de Faedo
partiremos de un sistema ortonormol completo en V e
Lema 2.2.1 Existen un sistema ortonorl11ol complero en V,
{v.} r
{ A, } 00 de reales positivos toles que:
I i =1
54
i
,¡¡.: u( E W '
~e
(0, T; V, H) entonces, de acuerdo a I
puede identificar con una función continua u
de
(
esta función tiene sentido la expresión 7;( (O)
=
u
o
Nuestro objetivo inicial es demostrar un teorema de
débil del problema (PVIFII'\.
Una vez establ
mostraremos que la solución encontrada u (
ti ene m
exi gida, lo cual será crucial en el próximo capítulo
la familia de soluciones débiles {ue-)
<-
c:>0 converg
(PVIF)(I). 2.2
SOLUCIONES APROXIAAADAS - ME fO DO DE
Construiremos una sucesión
co
{um } m =1 de soluciones
blema (PVIF){IIc:), utilizando el método de Faedo
partiremos de un sistema ortonormal completo en V esp
Lema 2.2.1
Existen un sistema ortononnal completo en V,
. }
ro
, i '=
{ A. }
00
, í == 1
de reales positivos tales que :
54 cio de Hilbert V, por el tea-ema espectral V adm
y completo de vectores propios de T.
Es decir,
Q)
{v; }i = 1
en V t,a l que T v. = p. v,,
1Q)
1 1
[ v,, v
'1
vectorial generado por {v. }. _, es denso en V.
1 1-
=
u. [v., v
rI
1
'1
[ T v., v ]
1
y de esta igua ldad se sigue que
(Vi' v
J =
A'
1
Jli
=
>O
'V v
(v" v )
!
t:
( v., v)
I
Vi '
Po
V , toma
Corolario 2. 2 .
ID
Existe una sucesión de funciones { Wn }r, = 1 en
i)
Para todo m E IN,
{W l ' "', W m } es un co
mente inde pendiente '" ortonormal en H y or t
ii)
El espacio vec torial de las combinac io nes li n
00
de la sucesión {Wn }n == 1 es denso en H, y
Demostraci6n
Basta considerar lo sucesión { W }
c:o
n n= 56
defi nida
Siendo T un ope'"ador lineal acotado, compacto y
cio de Hilbert V, por el teorema espectral V adm
y completo de vectores propios de T.
CD
{V j }¡=l
en V tal que T v.
I
= #J.
I
CD
Es decir, e
v,,
I
[ v', v.
I
I
vectorial gen e'"a do por {v.}. _ 1 es denso en V.
I 1­
u. (v., v
r I
I
=
[ T v., v ] =
y de esta igualdad se sigue qu e
(Vi' V] =
( V., v )
1
I
A' (v. , v )
I
,
}Jj > O
"¡ .
Por
lrI v E V , toman
Corolario 2.2 . 2
ID
Existe una sucesión de funciones f Wn } - 1 en V
'
n­
i)
Para todo m E IN,
{W l' "', W m } es un co n
mente independi e nte,
ii)
or tonormaI e n H y orto
El e spa c io vec tori al de las c omb inocio rles li ne
00
'~ I ' I ;,
"
de lo sucesión { W n } (l = 1 es denso en H, y e
'"
t '~t
Demostración
co
Basto consid erar lo su cesión { 'vV n }n :::.:
56
d efin ida p
Xl(t)
[
::: f(x(t»
x(O) == «u , W ), •• ', (u , W
o
1
o
m
"
"
"
donde
f:
IR
m
--. IR
m
a fi
es continua y
axi
Ahora bien, por el teorema clásico de existencia
de ¡:roblemos de valores iniciales asociados a sist
el problema (2.12)m tiene una única soiución
intervalo [O, t ).
m
Si, además, !a soluc ió n
toda.
::: -t- 00
Entonces
t
m
c
<P m
•
De esta manera, la existencia de solución del pro
rantiza la existencia de um
[O, tm ) -
V de I
rifica los condiciones (2.11)m '
En virtud de una estimación a¡:r iori que establecere
lo norma de um (t) en H veremos que
<ÍJ
m es aco
u m está definida en [0, + en) para todo rn.
un intervalo común de definición [ O, T J,
58 Pode
para todo
m
cP m (t) =
m
(91 m (t), "', 9mm (t», es solución del
iniciales: [
X'( t)
=
x ( O)
=
f ( x(t» w 1),
( (u o '
•• " (uo ' Wm »
~,
f : IR
donde
m
--. IR
m
es continua y
a fi
IR
a xi
m
Ahora bien, por el teorema clásico de existencia y u
de ¡:roblemos de valores iniciales asociados a sistemas
el problema (2.12)
m
intervalo
toda.
[O, tm ).
Entonces
t
tiene una única soiuc ,ó n .
Si, además,
cP .....
",
la soluc ión
m
m
= -t- 00
[ O
•
De esta manera, la existencia de solución del problem
rantiza la existencia de u m
( O, t m ) - - V d e 10 fo
rifica las condiciones ( 2.11 )m
f , ]'
<
En virtud de una estimación ap-iori que establec€ r emos
la norma de u m (t) en H veremos que
cP m es acorada
u m está definida en [ O, + a:J ) para todo m.
un intervalo común de definición [ O, T J,
58
Podemo s
paro todas ío
con /0 cual se tiene la afirmación del lema. Corolario 2.3.2
Los soluciones uaproximadas 11 U
están definidas e
m
Demostrac ión
Sea
dl ( t) "" ( 9 1 ( t ), _. •
m
rr:
--mm t» ) le Jn kJ so l
problema (2.1 2)
\J t
E [O, t
m
•
En rcrl c es:
m
:n
)
puesto que
{W i 1¡ = 1 es u n
Par tanto,
segú n el lema 2.3. í ,
'fI t E [0, t )
m
definida en todo el inrer volo
o /ario
m
1m
or tonormo I en
.ij stemo
~ le _ \ t
j =)
n 4> m(t) "I Rm
De esta man era lo fu n c ión
El
= ¿
11 Q m ( t ) U1 Rm
;;
l u l.
s aco ta a . v
[0 , -r oo . •
n
~
.2 nos F'etrrrile co m:id eror ¡ a~ solu c i
definidas en un in ter va lo comlí n [ O,
rL
iamente.
00
donde
r
>
\j t E [O, t
m
)
lu (t)I
~
2
m
I u ( O) ,2
m
<
=
con lo cual se tiene la afirmación del lema.
Coralario 2.3.2
las soluciones " aprox imadas
11
u
m
están definidas en
Demostración
Sea
tb ( t)
m
=:
(
9 1 (t}, . . •
m
··mm t» ) lo ,. n ic:.:J s,o !u
JrOb lema ( 2 . 12 )m .
'ti t E [O, t )
In
En tcrlces :
m
/i
¿
m ==
m( t
R
m
n 4> m (t) lll~
De esta man era lo fun ció n
m
~
en H
.2
l u_l.
s a co tada . ~' en cur
definida en todo el imer va lo [O, ~ ce ).
o Iario
01
segú n el lema 2.3. "
'V t € [O, t )
El
,t)
¡tn '
i ::- J
puesto que {W ¡ ji = 1 e~. u n .ií stemo or ro
Por tanto,
c"'
~
os permite con5id erar jos so:ucio
definidos en un in tervalo comlín [ O,
r ],
iamente.
bO
do nde T > 1
de H en
S G [W 1 ' ••• , W m 1 .
,
."
Lema 2.3.4
(Desigualdad de Interpolación de
e
Existe una constante
~ u E H' ( Q)
tal que:
lIull L4( rt)
;; e
(Ver formulación más general en
/1 u
3/ 4
11 L2 ( Q
[3), pág. 1
Lema 2.3.5 Sea
2
u E L (O, Ti V ) () LCD(O, T; H ) .
Si defin
por:
< B(u)(t),
entonces
v >V*V = b(u(t ), u(t ) ,v
2
B (u) E L (0, T; V*)
2
IIB(u)II L2 (O, T;V*)
y
;;;
e
11 u 11
3
LO::>(
Demostración Paro v E V,
utilizando la fórmula de integració
se tiene:
62 L2( 0, T; V * ).
Para ello haremos uso de una desi
ción de Gagliardo - Nirenberg y de las propiedad
SG
de H en
[W 1 ' •••
I
W m) .
I
"" 1
Lema 2.3.4
(Desigualdad de Interpolación de G
e
Existe una constante
'l
E H' ( Q )
u
tal que:
lluIl L4( Q ) ~
(Ver formulación más general en
e
3/ 4
11
[3],
u
11
L2 ( ~ )
pág. 147
Lema 2.3.5 Sea
u
~
2
L (O, Ti V)
n
Lco(O¡ Ti H ) .
Si definim
por : < B (u) (t ) ,v
entonces
>V* V
=
*
(
Bu)
E: L2 (0, T ¡V)
2
11 B(u)II L2 (0, T;V*)
':';:1
b (u( t ), u (t ) , v )
Y
~
e
11 u 11
3
LCO(O
.'
-'''.1
Demostración Para v E V,
utilizando la fórmula de integración
se tiene: 62
Seo
P
Pm(h)
=
SG (W 1 ' ... , Wm ) la proyecc
H m
m
,­¿
(h, W¡ ) W..
. -1
Entonces Pm;
V _
'
lineal acotado con 11 Pm 11 Bl (V, V)
~
1.
Demostración
Sea h ~ V,
entonces;
nPm h 11'21 -
m
2
11 . ¿ (lo, W¡ )W¡ II V
,=1
m
¿
i =1
I
A'
1
¿
i::: 1
1
1
[ h, W¡
[W.
1'
W.] 2
l( h, V
i=I
12
2
~[h,W. J
ItW: H"
m
:=:
m
-
I
m
-::
L
'1
í =­
m
....
L
II W · II
==
I V
)'
11
,
I
1= ,
Lema 2 . 3 .8
Sea
ce
{lJ m } m =': 1
fa sucesión de sol uc iones "a proxim
ntonces ex iste una constante
V' m E N
e,
Du'
m
ind e pe ndIe nte de
¡¡ 2
*
l ( O, T ¡V )
$
-
Lema 2.3.7 Sea
P
SG (W 1 ' "" Wm ) lo proyecció
H -
m
m
Pm (h)::: ¿
(h, W )W, ,
i
. -1 1­
Entonces Pm I
V -
~ l. lineal acotado con 11 Pm 11 BL(V, V)
Demostración Seo h ~ V,
2
nPm h /IV
entonces: 2
( h, \Al i ) W1 11 V
rTI 1/ . ¿
1= 1
== n1
:::
m
12
¿ --'''i
[ h, W.I ]
A'
i ::: 1
\/,. i ::: 1
(h W
'
2
rn
OW: JI,/
¡
I
m
=
I
¡::: 1 [h,W ¡ t .
[Vv'.
l'
W.] 2
HW· JI
-= j=
rn
'l
¿, ! V
::.
11
I
i=I
1
Lema 2 .3 .8
Seo {u m }m =.:
la sucesión de solu c iones "a pro xim ad
En tonces existe una cons~onte
'tim eN
e,
i nde pend Ie nte de m
,
-;.
IU m li L2 ( O,T ¡ V )
~
<.
e
2
r
Jo 118(u m )(t)1I V *
dt
3
e" nu m 11 Lro
~
~ e'"
y
" um
"U m "L 2 (O,T ; V)
c.
~
11 L2 ( O, T ; V)
J, T ; H )
I
Por lo to n 10 :
2
~
" L2( O, T; V*)
lI u~
y así
quedo demostrada lo existencia de u na co n
te I qu e
m,
2.4
2 ( IIA E: 1i2 ('2 + e" ; e
1 1I ~
V m E IN
Jl
L
;;¡
, T ; VI. )
e
PASO AL LI M /T E
Haciendo uso de l tE:Ori;,f:1 a 1.4 . 7 ( le
-:omcx
ro
sucesión de soluc iones ap ax imada s { ¡J
m
}
m­
_ 1 de
límite , qu e es solución d é bil de di cho Ffobl e ma
Lema 2.4 . 1
isten ur .:;,;utSLIc.E:sí on
¡.
II
t
L
~<.:
11
. 00
~
=1
Y 'U