Dinámica Oceánica

8. Mareas y procesos costeros
Las mareas han fascinado al hombre desde tiempos inmemoriables. No obstante,
fue la teoria de gravitación de Newton la que fundo la teoria moderna de las
mareas al permitir calcular las fuerzas de atracción entre cuerpos celestes,
sumada a las ecuaciones de movimiento de un fluido desarrolladas por Eurler.
Laplace combino ambos elementos y desarrollo una teoria matemática para el
estudio de las mareas en 1778-1779. Laplace asimismo calculo las fuerzas que
generan las mareas en una forma adecuada para realizar los cálculos. La fuerza
generadora de mareas se define como aquella parte de la fuerza atractiva de los
cuerpos celestes que no afectan el movimiento orbital de la Tierra, o sea, es la
fuerza gravitatoria sobre los elementos de fluido en la superficie menos la fuerza
gravitatoria en el centro de masa de la Tierra. El efecto es simetrico con respecto
a la línea que une el centro de la Tierra con el objeto de atracción (Luna o Sol) y
tiende a causar que el oceano forme un elipsoide con el eje mayor a lo largo de la
linea que une los cuerpos. Esta línea se mueve relativo a la Tierra debido a la
rotación terrestre y al movimiento relativo de la luna y el sol. No obstante, el
oceano no adquiere la forma elipsoidal que la gravedad tiende a generar pues su
respuesta está limitada por la velocidad (~200 m/s) a la cual se propagan las
ondas de gravedad. Estas ondas tomarian cerca de 2 dias para dar la vuelta a la
Tierra y propagar así la información, pero en la práctica su movimiento está
restringido por la forma complicada de los océanos. El hecho de que: a) el tiempo
para que las ondas viajen alrededor de la tierra es comparable con el período de
rotación, y que b) las cuencas oceánicas tienen forma complicada, son las
razones por las cuales el estudio de las mareas no es sencillo.
A continuación veremos primero la teoría de equilibrio de las mareas en el cual
se asume una Tierra sin continentes donde el oceano adquiere la forma elipsoidal
generada por la atracción de la luna y el sol. Luego se verá la teoría dinámica de
las mareas donde se utilizarán las ecuaciones de aguas someras para estudiar la
propagación.
8.1 Teoría de equilibrio
[Falta incluir notas de la marea de equilibrio]
La distribución del potencial de mareas sobre la superficie terrestre puede ser
entonces expresado como una expansion en harmónicos esféricos, y cuyos
coeficientes pueden ser expandidos en series de Fourier con frecuencias que son
combinaciones lineales de las frecuencias básicas del sistema solar. Los períodos
de mas interes para las mareas son el día (2π/Ω), el mes lunar (2π/Ωm=27.321
dias), y el año tropical (2π/Ωyr=365.242 días). En la práctica se usa la frecuencia
l=−m yr
en lugar de la frecuencia diaria Ω, donde 2π/Ωl es el día lunar (24.8 hrs). Así, el
principal componente de mareas, la marea smidiurna lunar M2, tiene un período
de 12.4 horas. Los ocho componentes que contribuyen mas del 10% a la marea
de equilibrio se muestran en la tabla 8.1. Doodson realizó un desarrollo muy
detallado considerando no sólamente los 3 principales periodos anteriores, sino
también otros mas largos (entre ellos 2π/Ωlp=8.85 años para el perigeo lunar, y
21000 años para el perigeo solar) resultando en 390 componentes de mareas.
Los coeficientes enteros en la tabla 8.1 (coeficientes de Doodson) para cada
constituyente mareal se incluyen en la tabla 8.1 y representan la expresión de la
frecuentica de cada constituyente en términos de las frecuencias fundamentales
(Ωm, Ωl , etc).
8.2 Teoría dinámica
La ecuacion de momento con la fuerza generadora de mareas incluída queda de
la forma
du
−1
2 ∧u=
∇ p−g−∇ T

dt
 T = j− 0j 
No obstante, dado que la escala horizontal del forzante de mareas es muy grande
comparada con la profundidad ΦT varía muy poco con la profundidad oceánica y
es posible usar la aproximación de aguas someras. Como las mareas son un
fenómeno global a la escala global parecería inadecuada usar la aproximación
plano-f para su estudio. No obstante, las mareas diurnas y semi-diurnas tienen
frecuencias comparables a f (puesto que todas estas frecuencias están
relacionadas con la rotación terrestre) y a estas frecuencias diferencias de escala
producen diferencias cuantitativas pero no en el comportamiento fundamental.
Por lo tanto gran parte de la dinámica de mareas puede ser comprendida en
términos de soluciones del modelo de aguas someras con f constante, y con un
forzante adicional de mareas
∂u
∂u
∂u
∂
u
v
− fv=−g
−e
∂t
∂x
∂y
∂x
∂v
∂v
∂v
∂
u
v
 fu=−g
−e 
∂t
∂x
∂y
∂y
− T
es la marea de equilibrio encontrada en la sección anterior, y
g
representa la elevación de la superficie oceánica si no existieran efectos
dinámicos (u=v=0). La ecuación de continuidad en este caso queda de la forma
donde
e=
∂ ∂
∂

[ Hu ]
[ H v]=0
∂t ∂ x
∂y
donde H(x,y) es la profundidad del océano. Notemos que estas ecuaciones
asumen que las corrientes son independientes de la profundidad, o sea que las
mareas son barotrópicas. En la práctica también existen mareas baroclínicas
generadas por la interacción de las corrientes con el fondo oceánico, por lo que
el uso de estas ecuaciones asume que las mareas barotrópicas no son afectadas
por esta interacción. Otro efecto que tiende a generar baroclinicidad es la
fricción con el fondo lo que puede ser importante en el caso de fuertes mareas en
mares someros. No obstante, en general se ignoran las variaciones en
profundidad, o lo que es equivalente, se consideran los flujos promediados en
toda la columna oceánica. Los términos no lineales en las ecuaciones de
momento son en general despreciables aún en mares someros donde los efectos
no lineales aparecen por fricción y de los términos no lineales de la ecuación de
continuidad.
Al calcular las mareas es importante considerar la elasticidad de la corteza
terrestre. Esta respuesta es rápida de tal forma que se puede asumir que la
corteza está siempre en equilibrio con las fuerzas. La respuesta directa de la
corteza al potencial de mareas produce una elevación de hΦT/g donde h es una
constate de valor cercano a 0.6. Para tomar este efecto en consideración es
necesario reemplazar -ηe por (1-h)ΦT/g. Además existe otro efecto que debe ser
tomado en cuenta y el potencial gravitacional adicional debido a la deformación
de la corteza terrestre. Este efecto tiene un valor de kΦT, donde k es una
constante con un valor aproximado de 0.3. La inclusión de estos efectos no altera
la forma de las ecuaciones de momento anteriores si η es considerada como la
elevación relativa a la corteza terrestre y ηe se redefine como
e=−1k−h
T

~−0.7 T
g
g
Por lo tanto el efecto de la respuesta de la corteza terrestre es reducir las
mareas en un 30%. Las constantes k y h se denominan números de Love.
Las mareas son muy afectadas por la presencia de fronteras, ya sea en golfos o
en las cuencas oceánicas. Por ello destinaremos una sección al efecto de las
fronteras sobre la dinámica de un océano barotrópico representado por las
ecuaciones del modelo de aguas someras anteriores.
8.3 Efectos de las fronteras
La característica fundamental de los fluidos rotantes es el proceso de ajuste
geostrófico descrito anteriormente. En el balance geostrófico el flujo en
cualquier nivel es a lo largo de las isóbaras. Si se inserta una frontera que cruza
las isóbaras debe existir otro proceso de ajuste pues no puede existir flujo a
través de la frontera. Por lo tanto, las fronteras afectan el flujo cerca de las
mismas, en particular a distancias menores del radio de deformación de Rossby.
La presencia de las fronteras implica que la componente paralela a la costa de la
aceleración de Coriolis debe ser nula de tal forma que el ajuste entre la
velocidad y el campo de presiones a lo largo de la frontera es similar a la de un
fluido no rotante. Esto es particularmente valido en el caso de que las fronteras
esteń muy cercanas entre sí, como por ejemplo en un golfo o estuario. En este
caso los efectos de la rotación son despreciables pues el movimiento es sobre
todo a lo largo del golfo y la componente de la aceleración de Coriolis en esta
dirección es despreciable. La aproximación de canal estrecho puede ser aplicada
para el estudio de mareas y seiches en golfos, estuarios y lagos, y aún a las
mareas en el océano Atlántico. Cuando las fronteras están mas alejadas entre sí
que el radio de deformación de Rossby la solución cerca de las fronteras toma la
forma de ondas de Kelvin (figura 8.1). En el océano Pacífico estas ondas juegan
un papel funadamental en la descripción de las mareas.
L
Figura 8.1 – Esquema de propagación de mareas para el caso en que las
fronteras de un golfo están distanciadas (L>2R).
8.3.1 Mareas y seiches en canales y golfos muy estrechos
Para canales o golfos suficientemente estrechos es posible despreciar
completamente los efectos de la rotación. Sea x la distancia a lo largo del canal y
consideremos movimientos para los cuales la elevación de la superficie no varía a
través del canal pero depende solamente de x y t. Asumamos un canal de ancho
W (W<2R) y profundidad constante H (figura 8.2).
W
x=0
x=L
Figura 8.2 – Esquema de canal estrecho
Por lo tanto las ecuaciones de aguas someras en este caso se reducen a
∂u
∂
=−g
∂t
∂x
∂
∂u
H
=0
∂t
∂x
Combinando las ecuaciones resulta en
2
2
∂  2∂ 
=c
∂ t2
∂ x2
c2=gH
La solución que satisface la condición de flujo=0 a través del lado cerrado del
canal tiene la forma de una onda estacionaria, o una superposición de ellas.
Recordemos que una onda estacionaria se puede considerar como la suma de dos
ondas propagándose en direcciones opuestas. Por ejemplo
=0 [coskx−wt coskxwt]=20 coskx coswt
Eligiendo que x=0 en la frontera cerrada, la solución es entonces de la forma
=0 coskx coswt
1
u= c 0 sinkxsin wt 
H
w=kc
En el lado abierto del canal x=L se deben aplicar otras condiciones de borde.
Primero, se debe aplicar continuidad de presiones para que no resulte en una
aceleración infinita; entonces p(x=L)=ρgη. A su vez, el flujo de masa ρHWu hacia
fuera del canal debe ser igual que el flujo en el oceano abierto. Para que la
condición en la frontera no dependa de la amplitud de la onda se impone que la
impedancia Z del canal sea igual a la del mar abierto. Z es definida como el
cociente entre la presión y el flujo de masa. Entonces en x=L debe valer
Z=
g
1 g
=  
WHu W H
1/ 2
cotgkLcotg wt 
Como Z->0 a medida que H o W aumentan, la impedancia del mar abierto se
considera nula. Por lo tanto se impone que la impedancia del canal también sea
nula, y entonces
1
kL=n 
2
n=0,1,2,...
o en forma equivalente, de acuerdo a la relación de dispersión,
1
wL=n c
2
n=0,1,2,. ..
la cual define las frecuencias de los modos naturales de oscilación del canal y
son conocidas como seiches.
3
3
4L
kL= k =
 =
, o sea que
2
2L
3
tiene una longitud de onda 4/3 veces la longitud del golfo. Esta onda tiene un
nodo en x=L/3.
La onda estacionaria para n=1 es tal que
Las oscilaciones en canales, golfos, estuarios, y lagos pueden ser forzadas por los
vientos, presión atmosférica, y por las fuerzas generadoras de mareas. Las
oscilaciones mas grandes no son generalmente producidas por forzantes locales
sino que son la respuesta a oscilaciones en el mar abierto.
En este límite las mareas suben y bajan el nivel del mar en forma uniforme a
medida que entra la onda en el canal (figura 8.3).
Figura 8.3 – Esquema marea en canal estrecho
A medida que la onda progresa en el canal se encuentra con la reflección de la
marea previa lo cual da lugar a la posibilidad de ondas estacionarias. Si, por
ejemplo, la acción de las fuerzas de mareas resulta en una oscilación de
frecuencia w cuya amplitud en la boca del canal es ηL entonces la amplitud en el
L
otro extremo del canal es 0=
.
coskL
El aumento en amplitud es muy grande cuando la frecuencia del forzante es
cercana a una de las frecuencias de los modos naturales (resonancia) pues el
denominador tiende a cero. Esto da lugar a mareas de amplitud muy grande,
como por ejemplo las encontradas en la Bahia de Fundy (figura 8.4). En canales
estrechos la onda de la marea toma tiempo en llegar hasta el final (figura 8.5).
Figura 8.4 – Amplitud mareas en la Bahia de Fundy.
Figura 8.5 – Horas después de la pleamar en Boston.
8.3.2 Representación de mareas
El método usual para mostrar variaciones del nivel del mar debido a las mareas
es en términos de la amplitud A y fase δ, o sea
= A sinwt− 
Los contornos de A se denominan lineas de igual rango. Los contornos de δ se
denominan líneas cotidales y la fase se da en grados o como el tiempo de la
marea alta en horas.
Para un golfo ancho se tiene el siguiente esquema (figura 8.6, no nos
preocupemos por los vértices).
costa
R
dirección
perpendicular a la
costa
Figura 8.6 – Líneas cotidales (solidas) y de rango (punteadas) para una marea
progresando en un golfo ancho (>R) en el H.N.
Las líneas cotidales muestran la progresión de la onda de Kelvin alrededor del
golfo manteniendo la costa a la derecha. Las líneas de igual rango muestran el
decaimiento exponencial de la onda de Kelvin en la dirección perpendicular a la
costa con una escala del radio de deformación de Rossby R. Para un golfo de 40
m de profundidad en 45 N, R es cerca de 400km. Por lo tanto el golfo debe mas
ancho que esa distancia para sentir los efecto de la rotación.
Para un golfo muy estrecho supongamos que la marea M2 genera una onda
4L
estacionaria para el modo n=1. Entonces =
, se tiene un nodo en x=L/3, y
3
la amplitud máxima es en x=0 y x=2L/3 (figura 8.7). En este caso la región del
golfo a la izquierda del nodo (x=L/3) experimenta marea alta al mismo tiempo. A
la derecha del nodo la región experimenta marea alta 6.125 horas (6 horas
lunares) despues.
x=L/3
x=L
Figura 8.7 - Líneas cotidales (solidas) y de rango (punteadas) para una marea
progresando en un golfo angosto (<R) en el H.N.
8.3.3 Mareas y seiches en canales y golfos estrechos con efectos de rotación
En esta sección consideramos que el golfo es estrecho pero que los efectos de la
rotación, si bien de menor órden, juegan un papel importante. Por lo tanto
podemos considerar la solución en este caso como una perturbación del caso de
canales muy estrechos con un término pequeño que describe los efectos de la
rotación. Escribamos la solución sin rotación como
u=u nr  x ,t  , =nr  x ,t  .
Debido a la existencia de rotación existirá una aceleración de Coriolis funr
dirigida en dirección transversal al canal que debe ser balanceada por una
pendiente de la superficie, o sea que la ecuación de momento en la dirección y
será
∂
f u=−g
∂y
Eligiendo el orígen de y en forma adecuada (la posicion precisa de determinará a
posteriori) se puede integrar la ecuación y
~nr  x , t −
1
f u  x ,t  y
g nr
Notar que la condición para que la corrección debida a la rotación sea pequeña
relativo a ηnr es
1/g f g /H1 /2 nr W
1 1/2 W
=W f 
 = ≪1
 nr
gH
R
o sea que el ancho del canal sea pequeño relativo al radio de deformación de
Rossby R.
La característica más interesante de la solución con rotación es que la cresta de
la marea se mueve ciclónicamente alrededor del canal. Para ver esto
consideremos una aproximación analítica de las mareas en el Adriático norte.
Consideremos W=135 km, y H=γx2 donde γ =6.5*10-10 1/m. El final del canal
(Venecia) está situado en x=x0=150km, y el modelo de Adriático ocupa la región
x>x0. Un valor medio de R=250 km, lo cual resulta en W/R~0.5. La solución para
esta geometría es (Gill 1981)
1
nr = x 0 / x 1/2 0 cos ln x/ x 0 sinln x / x 0 cos wt 
2
3/ 2
x
unr =w / x 0  0  0 sin ln x / x 0  sinwt
x
1
w2
2
 =
4
g
Para w=1.4 *10-4 1/s y g=10 m/s2, α=1.67.
La figura 8.8 muestra las líneas cotidales observadas para el Adriático norte y las
simuladas por este modelo calculadas a partir de
~nr  x , t −
1
f u  x ,t  y
g nr
usando la solución anterior.
Este es el caso intermedio entre el golfo ancho y el golfo angosto, y la solución
tiene características de los dos. En las fronteras la marea será muy parecida a
una onda de Kelvin. La onda proveniente del océano tenderá a amplificarse hacia
la costa de la derecha en el H.N. y lo mismo tenderá a hacer la onda que se va
del golfo sobre la otra costa. Por otro lado, el comportamiento en el eje central
del canal se parecerá mucho al caso de una onda estacionaria en un golfo
esctrecho. La línea nodal que va de una costa a otra cuando la rotación no es
importante se convertirá en un punto nodal en el centro del canal alrededor del
cual progresa la onda (punto anfidrómico).
Figura 8.8 – (a) Lineas cotidales para el Adriático norte, (b) Lineas cotidales
para un modelo simple con profundidad aumentando cuadráticamente con la
distancia al final del Mar. La diferencia de fase entre lineas cotidales es 30°,
excepto las punteadas que difieren en 10°.
8.3.4 Mareas en un canal zonal global
El problema de las mareas es similar al de un oscilador lineal forzado. Así, la
respuesta en este tipo de sistema depende de si la frecuencia del forzante es
cercana a las frecuencias naturales dando lugar al fenómeno de resonancia.
Existe evidencia que apunta a que modos naturales de oscilación en el océano
tienen frecuencias cercanas a la de las mareas semidiurnas lo cual implica que la
marea semidiurna es sensible a los detalles de la topografía y la línea de la costa.
Para ilustrar algunos aspectos del problema consideremos la marea semidiurna
en un canal estrecho de profundidad H y, despreciando los efectos de la rotacion,
obtenemos
∂−e
∂u
=−g
∂t
∂x
∂
∂u
H
=0
∂t
∂x
En un canal zonal la marea de equilibrio tiene forma
e= Asin2kx−2 l t 
donde 2Ωl es la frecuencia de la marea semidiurna y k=2π/L es el número de
onda de la marea semidiurna en el canal. L es la mitad de la circumferencia de la
tierra en la latitud del canal pues la marea semidiruna tiene número de onda dos
alrededor del globo.
La respuesta es de la forma
=0 sin2kx−2 l t 
y sustituyendo en las ecuaciones obtenemos
0=
A
1−2l /c2 k 2
c2 =gH
Esta ecuación muestra la dependencia de la respuesta con la relación entre la
velocidad de propagación de la marea de equilibrio Ωl/k y la velocidad de
propagación de las ondas de gravedad largas c. Si la marea de equilibrio se
mueve despacio comparado con las ondas largas (como por ejemplo en el caso de
la marea Mf de 13.66 días de período) entonces η0 ~ A y la respuesta está
cercana al equilibrio. Las mareas diurna y semidiurna se mueven alrededor de la
tierra una vez por día dando una velocidad de 330 m/s a una latitud de 45°, lo
cual es mucho más rápido que la velocidad c (cercana a 200 m/s). En este caso el
denominador en la ecuación anterior es negativo y la marea semidiurna en un
canal zonal tiene el sentido opuesto a la marea de equilibrio.
El cálculo de los modos de oscilacion libres (resonantes) de los océanos ha sido
realizado, y se mostró que existen modos con frecuencias naturales cercanas a la
frecuencia semi-diurna. La figura 8.9 muestra un ejemplo de un modo natural
comparado con una solución numérica de la marea M2 (figura 8.10) donde se
pueden ver muchas similitudes.
En la práctica la amplitud de las resonancias están limitadas por la fricción que
es particularmente importante en los mares y regiones someras. Esto representa
una transferencia de energá de las mareas por la luna y por lo tanto causa
cambios muy pequeños en la órbita de la luna.
Figura 8.9 – Modo natural de oscilación de 12.5 hrs. Lineas cotidales son lineas
solidas, y lineas de igual amplitud están en lineas punteadas.
Figura 8.10 - Lineas cotidales (líneas que unen puntos con igual pleamar
simultánea) y amplitud de la marea M2. La amplitud se indica por los colores, y
las lineas blancas son lineas cotidales que difieren en 1 hora. Los arcos curvos
alrededor de los puntos anfidromicos (cero amplitud de la marea) muestran la
direccion de las mareas, cada uno indicando un periodo de 6 horas.
Bibliografía principal
- Atmosphere-Ocean Dynamics. A. Gill