Metodología de RESOLUCIÓN MATEMÁTICAS APLICADAS CC.SS

MATHpines
MATEMÁTICAS APLICADAS CC.SS.
SELECTIVIDAD junio 2005
Metodología de RESOLUCIÓN
Prof. M.Díaz-Pinés
UNIVERSIDADES PÚBLICAS DE LA COMUNIDAD DE MADRID
OPCIÓN A
4. ( Puntuación máxima : 2 puntos )
En una encuesta se pregunta a 10.000 personas cuántos libros lee al año, obteniéndose una
media de 5 libros. Se sabe que la población tiene una distribución normal con desviación típica 2 .
( a ) Hallar un intervalo de confianza al 80 % para la media poblacional
( b ) Para garantizar un error de estimación de la media poblacional no superior a 0,25 con un
nivel de confianza del 95% , ¿ a cuántas personas como mínimo sería necesario entrevistar ?
Metodología de la Resolución
Se trata de un problema de Probabilidad y Estadística
Es una distribución normal de medias, con cálculo de intervalo de confianza y tamaño de muestras
D ) Datos
a)
D1. m( X ) = 5
D2. σ = 2
D3. Nivel de confianza : 80 %
b)
D4. Nivel de confianza : 95 %
D5. El error máximo de estimación se fija en 0.25 libros
C ) Cuestiones
c1. Intervalo de confianza para las condiciones dadas
c2. Tamaño mínimo n de la muestra para las condiciones dadas
T ) Teoría y Propiedades que relacionan D ) y Q )
T1. m( X ) : media muestral , µ : media de la población ,
σ : desviación típica de la población
σ
T2. Desviación típica de las medias muestrales σm( X ) =
n
T3. La población sigue una distribución normal N( µ, σ )

σ 

La variable aleatoria m( X ) , media muestal , sigue una distribución normal N µ,

n
T4. Si se tipifica la variable m( X ) tenemos Z =
m( X ) − µ
σ
que se aproxima a N( 0, 1 )
n
T5. La probabilidad P( −z α <
m( X ) − µ
2
σ
≤ zα ) = 1 − α
2
n
T6. De la expresión anterior =>
σ zα
P( −
σ zα
2
< m( X ) − µ ≤
n
σ zα
2
P( m( X ) −
n
2
)=1−α
n
σ zα
< µ ≤ m( X ) +
2
n
)=1−α
Intervalo de confianza
σ zα
2
IC = ( m( x ) −
n
σ zα
, m( x ) +
2
)
n
σ zα
T7. El radio
2
del IC es el "error máximo " E => margen de error : 2E
n
T8. El tamaño n de la muestra es :
 σ z α 2



2 

n = 
 E 
α
=> z α mediante las Tablas de la N( 0, 1 ) u otras
T9. El nivel de confianza es ( 1 − α ) => α =>
2
2
técnicas como la integración de las funciones correspondientes
P ) Planteamiento de Resolución
α
y su correspondiente z α
P1 ) Calculamos
2
2
P2 ) La probabilidad de la diferencia m( X ) − µ está acotada mediante el intervalo
[ zα ] σ
[ zα ] σ
de radio
2
,
n
=> m( x ) − µ ≤
2
n
P3 )

[ zα ] σ 




2
 = 1 − α
P  m( X ) − µ ≤

n 
P4 ) Resolvemos la desigualdad que expresa
n y hallamos n
RESOLUCIÓN
La media de la muestra es : 5
n = 10000

m( X ) ~ N 5,



2 
 = N 5,
 = N ( 5 , 0.02 )

100

10000 
2
m( X ) ~ N ( 5 , 0.02 )
Radio del I.C.
[ zα ] σ
2
n
Para 1 − α = 0.80 => α = 0.2 ,
α
2
= 0.1
[ z α ] = z.1 = 1.28
2

[ zα ] σ 




2
 = 1 − α
P (  m( X ) − µ ≤

n 

[ 1.28 ] 2 
 = 0.80
P m( X ) − 5 ≤

100 
El radio del I.C. es
[ zα ] σ
2
n
 1.28 2 
 = 0.0256
= 
 100 
La media µ ha de estar en el intervalo ( I.C. ) :
σ zα
2
[ m( X ) −
n
σ zα
, m( X ) +
2
]
n
m( X ) − 5 = 0.0256 : [ 5 - 0.0256 , 5 + 0.0256 ]
[ 4.9744 , 5.0256 ]
b ) El error máximo ha de ser 0.25
Ahora 1 − α = 0.95 => α = 0.05 ,
α
2
= 0.025
z α = z.025 = 1.96
2
 [ z α ] σ 2



 2
 ≤ n

 ε 
E = 0.25
 1.96 2 2
2


 1  = ( 4 3.92 ) = 245.862




 4 
Por tanto n debe ser superior a 24
> n>=245.862;
245.862 ≤ n
El tamaño mínimo de la muestra es n = 246
Ampliación
Vamos a estudiar el apartado a )
Cálculo automático de la distribución normal N( 0, 1 )
x
⌠
La función f( x ) es la función de densidad normal y F( x ) =  f( t ) dt es la función de distribución normal
⌡
0
> Digits:=5:f:=x->1/sqrt(2*Pi)*exp(-x^2/2):'f(x)'=f(x);F:=x->0.5+evalf(int(f(t),t=0..x),4):'F(x)'=1/2+Int(f(t),t=0..x);'F(1.28)'=F(1.28);P(z<=1.28)=F(1.28);P(z>=1.28)=1-F(1.28);
> g1:=plot([f(x),[1.28,t,t=0..f(1.28)]],x=-3.5..4,y=0..0.4,color=blue,axes=frame):
> g2:=plot([[t,f(t),t=1.28..4],[1.28,t,t=0..f(1.28)],0],x=-3.5..4,y=0..0.4,color=plum,filled=true,axes=frame):
f( x ) =
1
2 e( − 1 / 2 x
2
π
2
)
x
⌠
1 
1
F( x ) = + 
2 
2
⌡
2 e( − 1 / 2 t
2
π
)
dt
0
F( 1.28 ) = .8997
P( z ≤ 1.28 ) = .8997
P( 1.28 ≤ z ) = .1003
Gráfica
> with(plots):
> display({g1,g2});N(0,1),[1.28,infinity]:
0.4
0.3
y0.2
0.1
0
-3
-2
-1
>
0
x
1
N( 0, 1 ), [ 1.28, ∞ ]
Solución
a)
b)
I.C. = [ 4.9744 , 5.0256 ]
Tamaño mínimo : 246
2
3
4