Práctico 4 - Centro de Matematica

Universidad de la República
Facultad de Ciencias
Centro de Matemática
Introducción a la Topologı́a
Curso 2007
Práctico 4
1. Sea (X, τ ) un espacio topológico.
a) Probar que la unión finita de compactos de X es compacta.
b) Mostrar que la intersección de dos conjuntos compactos puede no ser compacta.
2. Sean τ y τ 0 dos topologı́as dadas en un conjunto X, tales que τ ⊂ τ 0 . Si X es compacto en
alguna de ellas, ¿qué puede decirse de su compacidad con respecto a la otra?
Mostrar que si X es compacto y Hausdorff con ambas topologı́as, entonces o bien τ = τ 0 o bien
no son comparables.
3.
a) Sea Rf R con la topologı́a del complemento finito. Mostrar que todo subconjunto de Rf es
compacto.
b) Estudiar la compacidad del [0, 1] ⊂ R con la topologı́a del lı́mite inferior.
4. Probar que Y es compacto si, y sólo si, la proyección π1 : X × Y → X es cerrada para todo X.
5. Sea p : X → Y un mapa cerrado, continuo y sobreyectivo tal que p−1 (y) es compacto, para
cada y ∈ Y (tal mapa se llama mapa perfecto). Mostrar que si Y es compacto, entonces X es
compacto. Sugerencia: Si U es un abierto que contiene a p−1 (y), existe un entorno W de y tal
que p−1 (W ) esta contenido en U .
6. Se dice que un espacio es de Hausdorff si para cada par de puntos distintos x e y, existen
entornos disjuntos que los separan, es decir x ∈ A, y ∈ B y A ∩ B 6= ∅.
a) Mostrar que X es Hausdorff si, y sólo si, la diagonal, ∆ = {(x, x) : x ∈ X} , es cerrada en
X × X con la topologı́a producto.
b) Mostrar que la topologı́a del orden es Hausdorff.
c) Mostrar que el producto de dos espacios Hausdorff es Hausdorff.
d ) Sean X e Y espacios topológicos y f, g : X → Y continuas. Probar que si Y es Hausdorff,
el conjunto {x ∈ X : f (x) = g(x)} es cerrado. Deducir que f y g son iguales si coinciden
en un conjunto denso.
e) Probar que si X es Hausdorff entonces los subconjuntos compactos de X son cerrados.
7. Sean A y B subconjuntos compactos y disjuntos de un espacio de Hausdorff X. Mostrar que
existen conjuntos abiertos y disjuntos U y V que contienen a A y B respectivamente.
8. Mostrar que si f : X → Y es un mapa continuo, donde X es compacto e Y es Hausdorff,
entonces f es un mapa cerrado (la imagen de un cerrado es cerrado).
9. Sea f : X → Y , con Y compacto y Hausdorff. Entonces f es continua si y sólo si el gráfico de f ,
Gf = {(x, f (x)) : x ∈ X} es cerrado en X × Y . Sugerencia: Si Gf es cerrado y V es un entorno
de f (x0 ), entonces la intersección de Gf con X × (Y \V ) es cerrado.
10. Sea X un espacio compacto y Hausdorff, sea {An } una colección numerableSde conjuntos cerrados
de X. Mostrar que si cada An tiene interior vacı́o en X, entonces la unión n∈N An tiene interior
vacı́o en X.
1
11. Sea X un espacio compacto y Hausdorff. Sea A una colecciónS
de subconjuntos cerrados y conexos
de X linealmente ordenado por la inclusión. Entonces Y = A∈A A es conexo.
Sugerencia: Si C ∪ D es una separación
de Y , elegir abiertos U y V que contienen a C y D,
S
respectivamente, y mostrar que A∈A A\(U ∪ V ) es no vacı́a.
12. Compactificación con un punto o de Alexandroff Este ejercicio encaja todo espacio topológico
en un espacio topológico compacto.
Sea X espacio topológico y designemos por ∞ un elemento que no esta en X. Consideremos
Y = X ∪ {∞}. Definimos los abiertos de Y ası́: los abiertos de X son abiertos de Y , y {∞}
unión complementos de conjuntos compactos y cerrados de X.
a) Demostrar que eso da una topologı́a en Y , que Y es compacto, y que X = Y .
b) Sea Rn con la topologı́a usual. Demostrar que la compactificación con un punto es homeomorfo a S n .
13. Sea A0 el intervalo cerrado [0, 1] de R. Sea A1 el conjunto obtenido de A0 borrando el tercio del
medio (1/3, 2/3). Sea A2 el conjunto obtenido borrando de A1 los tercios del medio (1/9, 2/9)
y (7/9, 8/9). En general definimos An como
An = An−1 −
3n−1
[−1 k=0
La intersección C =
T
n∈N
1 + 3k 2 + 3k
,
3n
3n
An se llama conjunto de Cantor y es un subespacio de [0, 1].
a) Mostrar que C es totalmente disconexo.
b) Mostrar que C es compacto.
c) Mostrar que cada An es unión finita de intervalos cerrados disjuntos de longitud 1/3n y
mostrar que los extremos de estos intervalos pertenecen a C.
d ) Mostrar que C no tiene puntos aislados.
e) Concluir que C no es numerable.
Q
f ) Sea X = Xn , donde Xn = {0, 1} para todo n ∈ N. Probar que C es homeomorfo a X
con la topologı́a producto.
14. Sea X un espacio con la propiedad de Bolzano-Weierstrass (B-W), es decir todo conjunto infinito
tiene un punto de acumulación.
a) Si f : X → Y es continua, ¿f (X) satisface la propiedad de B-W?
b) Si A es un subconjunto cerrado de X, ¿satisface A la propiedad de B-W?
c) Si X es un subespacio del espacio de Hausdorff Z, ¿es X cerrado en Z?
15. Se considera el espacio topológico (R, τ ), donde τ = {(−a, a) : a ∈ R} ∪ ∅.
a) Hallar un compacto que no sea cerrado.
b) Hallar un compacto cuya clausura no sea compacta.
c) Probar que (R, τ ) verifica la propiedad de Bolzano-Weierstrass.
Q
16. La topologı́a
Q box en un producto cartesiano Xα es la que tiene como base la familia de los
conjuntos Uα con Uα abierto en Xα , pudiendo ser Uα 6== Xα para todo α. Por lo tanto el
producto cartesiano de conjuntos abiertos es abierto con respecto a la topologı́a box.
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a) La proyección sobre cada coordenada es continua y abierta con respecto a esta topologı́a.
Q
b) Sea x1 , x2 , . . . una sucesión de puntos del espacio producto Xα . Mostrar que la sucesión
converge al punto x si y sólo si la sucesión πα (x1 ), πα (x2 ), . . . converge a πα (x) para todo
α. ¿Es esto cierto si uno utiliza la topologı́a box en lugar de la topologı́a producto?
Q
c) Sea R∞ el subconjunto de Rω = n∈N R formado por todas las sucesiones que son “eventualmente cero”, esto es, todas las sucesiones (x1 , x2 , . . . ) tales que xi 6= 0 para sólo una
cantidad finita de valores de i. ¿Cuál es la clausura de R∞ en Rω en la topologı́a box y la
topologı́a producto?
17. Intersección de compactos conexos:
T
a) Sea A una familia de conjuntos cerrados compactos tales que A∈A
T A está contenida en
un abierto U . Entonces hay una subfamilia finita F de A tal que A∈F A ⊂ U .
b) Si A es una familia de compactos en un espacio T
de Hausdorff X tal que las intersecciones
finitas de miembros de A son conexas, entonces A∈A A es conexa.
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