problemario de ecuaciones diferenciales

Problemario de la asignatura de Ecuaciones
Diferenciales
Alejandro Hernández Madrigal
Maxvell Jiménez Escamilla
Academia de Matemáticas y Fı́sica
Unidad Profesional Interdisciplinaria de Biotecnologı́a, IPN.
México 2009
Índice general
1. Ecuaciones de primer orden
1.1. Clasificación y soluciones . . . . .
1.2. Método de separación de variables
1.3. Ecuaciones exactas . . . . . . . . .
1.4. Ecuaciones lineales . . . . . . . . .
1.5. Cambios de variable . . . . . . . .
1.6. Aplicaciones. . . . . . . . . . . . .
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3
3
3
4
4
4
5
2. Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden
2.1. Reducción de orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Ecuación homogénea con coeficientes constantes . . . . .
2.3. Ecuación no homogénea con coeficientes constantes . . .
2.3.1. Método de coeficientes indeterminados . . . . . .
2.3.2. Método de variación de parámetros . . . . . . . .
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7
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3. Transformada de Laplace
3.1. Transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2. Transformada inversa de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3. Propiedades de la transformada de Laplace y su inversa . . . . .
3.3.1. Transformada de la derivada . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.2. Primer y segundo teoremas de traslación . . . . . . . . . .
3.3.3. Transformada de tn f (t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.4. Transformada de la convolución de funciones . . . . . . .
3.3.5. Transformada de la integral . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.6. Transformada de funciones periódicas . . . . . . . . . . .
3.4. Solución de ecuaciones integrodiferenciales usando transformada
de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5. Movimiento armónico simple, amortiguado y forzado, circuito LRC
9
9
9
10
10
10
11
11
11
12
4. Series de Fourier y ecuaciones diferenciales
4.1. Funciones ortogonales . . . . . . . . . . . .
4.2. Series de Fourier . . . . . . . . . . . . . . .
4.3. Series de Fourier de cosenos y senos . . . .
4.4. Ecuaciones diferenciales parciales . . . . . .
16
16
16
17
18
1
parciales
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12
4.5. Ecuación unidimensional del calor . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6. Ecuación de onda unidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.7. Ecuación de Laplace en dos dimensiones . . . . . . . . . . . . . .
2
18
19
19
Capı́tulo 1
Ecuaciones de primer orden
1.1.
Clasificación y soluciones
Clasifique las ecuaciones diferenciales
1. (1 − x) y 00 − 4xy 0 + 5y = cos x
2. t5 y (4) − t3 y 00 + 6y = 0
3. (sin θ) y 000 − (cos θ) y 0 = 2
Compruebe que la función o la relación indicada es una solución explı́cita o
impı́cita de la ecuación diferencial
1. 2y 0 + y = 0;
y = e−x/2
2. y 00 − 6y + 13y = 0;
3.
dX
dt
y = e3x cos(2x)
= (X − 1) (1 − 2X) ; ln 2X−1
=t
X−1
4. 2xydx + x2 − y dy = 0;
1.2.
−2x2 y + y 2 = 1
Método de separación de variables
Resuelva la ecuación diferencial por medio de separación de variables
dy
1. x dx
= 4y
dy
2. y ln x dx
=
Sol.
y+1 2
y = cx4
Sol.
x
3. csc ydx + sec2 xdy = 0
4.
dP
dt
= P − P2
5.
dy
dx
=
xy+3x−y−3
xy−2x+4y−8
Sol.
1 3
3x
Sol.
P =
Sol.
ln x − 19 x3 = 21 y 2 + 2y + ln y + c
4 cos y = 2x + sin(2x) + c
t
ce
1+cet
5
5
(y + 3) ex = c (x + 4) ey
3
1.3.
Ecuaciones exactas
Ecuaciones Exactas
Determine si la ecuación diferencial es exacta, en caso afirmativo resuélvala
1. (y ln y − e−xy ) dx + y1 + x ln y dy = 0
2.
x2 y 3 −
1
1+9x2
dx
dy
+ x3 y 2 = 0
3. 4t3 y − 15t2 − y dt + t4 + 3y 2 − t dy = 0
4. (4y + 2t − 5) dt + (6y + 4t − 1) dy = 0,
y(−1) = 2
Factores integrantes dependientes de una variable
Resuelva la ecuación diferencial mediante la determinación de un factor integrante adecuado
1. 6xydx + 4y + 9x2 dy = 0
Sol. 3x2 y 3 + y 4 = c
3x
+x=c
2. 10 − 6y + e−3x dx − 2dy = 0
Sol. − 2ye3x + 10
3 e
2
3. xdx + x2 y + 4y dy = 0, y(4) = 0
Sol. ey x2 + 4 = 20
1.4.
Ecuaciones lineales
Encuentre la solución general de la la ecuación diferencial
dy
1. x dx
+ 4y = x3 − x
Sol.
y = 17 x3 − 51 x + cx−4
2. x2 y 0 + x (x + 2) y = ex
3. ydx − 4 x + y 6 dy = 0
Sol.
dy
4. cos x dx
+ (sin x) y = 1
Sol.
Sol.
y = 12 x−2 ex + cx−2 e−x
x = 2y 6 + cy 4
y = sin x + c cos x
dy
5. (x + 1) dx
+ (x + 2) y = 2xe−x
1.5.
Sol.
(x + 1) ex y = x2 + c
Cambios de variable
Resuelve la ecuación diferencial usando una sustitución adecuada
dy
= y−x
Sol. ln x2 + y 2 + 2 arctan y/x = c
1. dx
y+x
2. −ydx + x +
√
xy dy
Sol.
3. x + yey/x )dx − xey/x dy = 0,
4x = y (ln |y| − c)
y(1) = 0
4
Sol.
2
ln |x| = ey/x − 1
Resuelve la ecuación de Bernoulli
1.
dy
dx
= y xy 3 − 1)
2
2. t2 dy
dt + y = ty
dy
3. x2 dx
− 2xy = 3y 4 ,
1.6.
y −3 = x +
Sol.
Sol.
1
3
+ ce3x
et/y = ct
y(1) =
1
2
Sol.
y −3 = − 59 x−1 +
49 −6
5 x
Aplicaciones.
Crecimiento poblacional
1. La población de una comunidad se incrementa a una tasa proporcional al
número de personas presente en el tiempo t. Si en cinco años se duplica
una población inicial P0 , ¿cúanto tarde en triplicarse? ¿En cuadruplicarse?
2. La población de un pueblo crece a una tasa proporcional a la población
presente en el tiempo t. La población inicial de 500 se incrementa 15 % en
diez años. ¿Cuál será la población en 30 años? ¿Qué tan rápido está creciendo la población en t = 30?
Decaimiento radioactivo
1. El isótopo radiactivo del plomo, Pb-209, decae a una rapidez proporcional
a una cantidad presente en el tiempo t y tiene una vida media de 3.3
horas. Si al inicio está presente un gramo de éste isótopo, ¿cuánto tarda
en decaer 90 % del plomo?
2. Al inicio habı́a 100 miligramos de una sustancia radiactiva. Después de 6
horas la masa habı́a disminuido en 3 %. Si la rapidez de decaimiento es
proporcional a la cantidad de sustancia presente en el tiempo t determine
la vida media de la sustancia.
Ley de enfriamiento de Newton
1. Una pequeña barra metálica, cuya temperatura inicial fue de 20◦ C, se
sumerje en un gran recipiente de agua hirviente. ¿Cuánto tarda la barra
en alcanzar 90◦ C si se sabe que su temperatura aumenta 2◦ C en un
segundo? ¿Cuánto le toma a la brra llegar a 98◦ C?
2. Un termómetro que marca 70◦ F se coloca en horno precalentado a una
temperatura constante. Por una ventana de vidrio en la puerta del horno,
un observador registra que depués de medio minuto el termómetro marca
110◦ F y luego de un minuto la lectura es de 145◦ F. ¿Cuál es la temperatura del horno?
5
Mezcla de soluciones
1. Un depósito grande se llena al máximo con 500 galones de agua pura.
Se bombea al depósito salmuera que contiene dos libras de sal por galón
a razón de 5 gal/min. La solución bien mezclada se bombea a la misma
rapidez. Calcule el número de A(t) de libras de sal en el depósito en el
tiempo t.
2. Resuelva el problema 1 bajo la suposición de que la solución se bombea
hacia afuera del depósito a una rapidez de 10 gal/min. ¿Cuándo se vacı́a
el depósito?
Ecuación logı́stica
1. El número N (t) de supermercados del paı́s que están usando sistemas de
revisión computarizados se describe mediante el problema de valor inicial
dN
= N (1 − 0,0005N ) ,
dt
N (0) = 1.
¿Cuántas compañı́as se espera que adopten la nueva tecnologı́a cuando
t = 10 ?
2. Un modelo para la población P (t) en un suburbio de una gran ciudad es
el problema de valor inicial
dP
= P 10−1 − 10−7 P ,
dt
P (0) = 5000.
donde t se mide en meses. ¿Cuál es el valor lı́mite de la población? ¿En
qué momento la población es igual a un medio de este valor lı́mite?
Movimiento de un objeto en un medio resistivo
1. Una ecuación diferencial que describe la velocidad v de una masa en caı́da
sujeta a la resistencia del aire que es proporcional a la velocidad instantanes es
dv
m
= mg − kv,
dt
donde k > 0 es una constante de proporcionalidad
a) Resuelva la ecuación sujeta a la condición inicial v(0) = v0 .
b) Si la distancia s, medida desde el punto donde se liberó la masa
desde el suelo, se relaciona con la velocidad v mediante ds/dt = v(t),
encuentre una expresión explı́cita para s(t) si s(0) = 0.
6
Capı́tulo 2
Ecuaciones diferenciales
ordinarias de segundo orden
2.1.
Reducción de orden
Use reducción de orden para hallar una segunda solución y2 (x)
1. 9y 00 − 12y 0 + 4y = 0;
y1 = e2x/3
Sol.
y2 = xe2x/3
y1 = x4
Sol.
y2 = x4 ln |x|
Sol.
y2 = 1
2. x2 y 00 − 7xy 0 + 16y = 0;
3. xy 00 + y 0 = 0;
y1 = ln x
4. x2 y 00 − xy 0 + 2y = 0; y1 = x sin (ln x)
5. 1 − 2x − x2 y 00 + 2 (1 + x) y 0 − 2y = 0;
2.2.
Sol.
y2 = x cos (ln x)
y1 = x + 1
Sol. y2 = x2 + x + 2
Ecuación homogénea con coeficientes constantes
Determina la solución general de la ecuación de segundo orden
1. y 00 + 4y 0 + 5y = 0
y = e−2x (c1 cos x + c2 sin x)
√
√
Sol. y = e−x/3 c1 cos 2x/3 + c2 sin 2x/3
Sol.
2. 3y 00 + 2y 0 + 2y = 0
3. y 00 + 16y = 0,
y(0) = 2, y 0 (0) = −2
4. y 00 + y 0 + 2y = 0,
y(0) = 0, y 0 (0) = 0
5. y 00 − 10y 0 + 25y = 0,
y(0) = 1, y(1) = 0
7
y = 2 cos 4x −
Sol.
Sol.
1
2
sin 4x
y=0
Sol.
y = e5x − xe5x
2.3.
2.3.1.
Ecuación no homogénea con coeficientes constantes
Método de coeficientes indeterminados
Resuelva la ecuación diferencial mediante el método de superposición
1. y 00 − 10y 0 + 25y = 30x + 3
2. y 00 +3y = −48x2 e3x
y = c1 e5x + c2 xe5x + 65 x + 35
√
√
y = c1 cos 3x+c2 sin 3x+ −4x2 + 4x − 34 e3x
Sol.
Sol.
3. y 00 − y 0 + 14 y = 3 + ex/2
Sol.
4. y 00 + y = 2x sin x
y = c1 cos x + c2 sin x − 21 x2 cos x + 21 x sin x
Sol.
y = c1 ex/2 + c2 xex/2 + 12 + 21 x2 ex/2
Resuelva la ecuación diferencial mediante el método del anulador
1. y 00 + 4y 0 + 4y = 2x + 6
Sol.
2. y 00 − y 0 − 12y = e4x
y = c1 e−2x + c2 xe−2x + 21 x + 1
y = c1 e−3x + c2 e4x + 17 xe4x
Sol.
3. y 00 + 25y = 6 sin x
Sol.
y = c1 cos 5x + c2 sin 5x +
4. y 00 − y = x2 ex + 5
Sol.
y = c1 e−x + c2 ex + 16 x3 ex − 14 x2 ex + 14 xex − 5
2.3.2.
1
4
sin x
Método de variación de parámetros
Resuelva la ecuación diferencial por variación de parametros
1. y 00 + y = sec x
2. y 00 + y = cos2 x
3. y 00 −4y =
0
e2x
x
y = c1 cos x + c2 sin x + x sin x + cos x ln | cos x|
Sol.
y = c1 cos x + c2 sin x + 21 − 61 cos 2x
Rx
y = c1 e2x +c2 e−2x + 41 e2x ln |x| − e−2x x0
Sol.
Sol.
e4t
t dt
, x0 >
4. y 00 + 3y 0 + 2y = sin ex
Sol.
y = c1 e−2x + c2 e−x − e−2x sin ex
5. y 00 + 2y 0 + y = e−t ln t
Sol.
y = c1 e−t + c2 te−t + 12 t2 e−t ln t − 34 t2 e−t
Ecuación de Cauchy-Euler
Resuelva la ecuación diferencial
1. 3x2 y 00 +6xy 0 +y = 0
2. xy 00 − 4y 0 = x4
Sol.
Sol.
3. x2 y 00 − xy 0 + y = 2x
4. x2 y 00 + xy 0 − y = ln x
y = x−1/2 c1 cos
1
6
√
3 ln x + c2 sin
y = c1 + c2 x5 + 51 x5 ln x
Sol.
Sol.
2
y = c1 x + c2 x ln x + x (ln x)
y = c1 x−1 + c2 x − ln x
5. x2 y 00 + 3xy 0 = 0, y(1) = 0, y 0 (1) = 4
8
Sol.
y = 2 − 2x−2
1
6
√
3 ln x
Capı́tulo 3
Transformada de Laplace
3.1.
Transformada de Laplace
Use la definición para encontrar la transformada de Laplace L {f (t)}
t, 0 ≤ t < 2
1. f (t) =
Sol. s12 − s12 e−s
2,
t≥2
−πs
sin t, 0 ≤ t < π
2. f (t) =
Sol. 1+e
s2 +1
0,
t≥π
3. f (t) = te4t
Sol.
4. f (t) = e−t sin t
1
(s−4)2
1
s2 +2s+2
Sol.
Use tablas para encontrar la transformada de Laplace L {f (t)}
1. f (t) = t2 + 6t − 3
2
2. f (t) = 1 + e2t
3. f (t) = et sinh t
3.2.
Sol.
2
s3
Sol.
1
s
+
1
2(s−2)
Sol.
6
s2
−
3
s
2
s−2
+
1
s−4
+
−
1
2s
Transformada inversa de Laplace
Use el álgebra apropiada y tabla de transformadas inversas básicas para
determinar la transformada de Laplace inversa L−1 {F (s)} de F (s)
n
o
3
1. L−1 (s+1)
Sol. 1 + 3t + 32 t2 + 61 t3
4
s
2. L−1
n
3. L−1
n
5
o
Sol.
5
7
sin 7t
o
Sol.
1
3
− 13 e−3t
s2 +49
1
s2 +3s
9
4. L−1
n
s
(s−2)(s−3)(s−6)
5. L−1
n
1
(s2 +1)(s2 +4)
3.3.
o
1 2t
2e
Sol.
o
1
3
Sol.
− e3t + 12 e6t
sin t −
1
6
sin 2t
Propiedades de la transformada de Laplace
y su inversa
3.3.1.
Transformada de la derivada
Mediante la transformada de Laplace resuelva el problema de valores iniciales.
1.
dy
dt
− y = 1,
y(0) = 0
2. y 0 + 6y = e4t ,
y = −1 + et
Sol.
y(0) = 2
Sol.
y=
1 4t
10 e
+
19 −6t
10 e
3. y 00 + 5y 0 + 4y = 0, y(0) = 1, y 0 (0) = 0
Sol. y = 43 e−t − 13 e−4t
√
√
0
Sol. y = 10 cos t +
4. y 00 + y =
√ 2 sin
√ 2t y(0) = 10, y (0) = 0
2 sin t − 2 sin 2t
3.3.2.
Primer y segundo teoremas de traslación
Encuentre F (s) ó f (t)
n
2 o
1. L t et + e2t
Sol.
1
(s−2)2
+
2
(s−3)2
+
1
(s−4)2
s
s−1
s+4
1 − et + 3e−4t cos 5t
Sol. s2 +25
− (s−1)
+ 3 (s+4)
2
2
+25
+25
n
o
s
3. L−1 s2 +4s+5
Sol. e−2t cos t − 2e−2t sin t
2. L
4. L−1
n
o
2s−1
Sol.
s2 (s+1)3
5 − t − 5e−t − 4te−t − 32 t2 e−t
Resuelve con transformada de Laplace las ecuaciones diferenciales
1. y 00 − 6y 0 + 13y = 0,
2. y 00 −y 0 = et cos t,
y(0) = 0, y 0 (0) = −3
y(0) = 0, y 0 (0) = 0
Sol.
Sol.
y = 12 − 12 et cos t+ 21 et sin t
Encuentre F (s) ó f (t)
1. L {tU (t − 2)}
Sol.
2. L {cos 2tU (t − π)}
n −πs o
3. L−1 se2 +1
Sol.
4. L−1
n
e−s
s(s+1)
o
Sol.
e−2s
s2
Sol.
−2s
+ 2e s
s
−πs
s2 +4 e
− sin tU (t − π)
U (t − 1) − e−(t−1) U (t − 1)
10
y = − 23 e3t sin 2t
Escriba cada ecuación en términos de funciones escalon unitarias y después
obtenga su transformada de Laplace
2 0≤t<3
1. f (t) =
Sol. f (t) = 2 − 4U (t − 3) ; L {f (t)} = 2s − 4s e−3s
−2
t≥3
−2s
−2s
t 0≤t<2
2. f (t) =
Sol. f (t) = t − tU (t − 2) ; L {f (t)} = s12 − e s2 − 2 e s
0
t≥2
Resolver el problema de valores iniciales usando transformada de Laplace
t 0≤t<1
0
1. y + 2y = f (t), y(0) = 0, donde f (t) =
0
t≥1
y = − 14 + 12 t+ 14 e−2t − 41 U (t − 1)− 12 (t − 1) U (t − 1)+ 41 e−2(t−1) U (t − 1)
Sol.
2. y 00 + 4y = sin tU (t − 2π) , y(0) = 1, y 0 (0) = 0
Sol. y = cos 2t − 16 sin 2 (t − 2π)U (t − 2π) +
3.3.3.
1
3
sin (t − 2π)U (t − 2π)
Transformada de tn f (t)
Obtenga la transformada de Laplace
1
1. L te−10t
Sol. (s+10)
2
2. L {t cos 2t}
3. L t2 sinh t
4. L te2t sin 6t
3.3.4.
s2 −4
(s2 +4)2
Sol.
6s2 +2
(s2 −1)3
Sol.
12s−24
Sol.
[(s−2)2 +36]
2
Transformada de la convolución de funciones
Calcule la transformada de Laplace
1. L 1 ∗ t3
Sol. s65
2. L {e−t ∗ et cos t}
3. L
3.3.5.
nR
t
0
τ et−τ dτ
o
Sol.
s−1
(s+1)[(s−1)2 +1]
Sol.
1
s2 (s−1)
Transformada de la integral
Obtener la transformada de Laplace, no evalúe la integral antes de transformar
nR
o
t
1
1. L 0 eτ dτ
Sol.
s(s−1)
2. L
nR
t
0
e−τ cos τ dτ
o
Sol.
s+1
s[(s+1)2 +1]
11
n R
o
t
3. L t 0 sin τ dτ
3s2 +1
s2 (s2 +1)2
Sol.
Evaluar la transformada inversa
n
o
1
1. L−1 s(s−1)
Sol. et − 1
2. L−1
3.3.6.
n
1
s3 (s−1)
o
Sol.
et − 21 t2 − t − 1
Transformada de funciones periódicas
Determine la transformada de Laplace de cada una de las funciones perióricas
1,
0≤t<a
1−e−as
1. f (t) =
, y f (t + 2a) = f (t)
Sol. s(1+e
−as )
−1, a ≤ t < 2a
1
2. f (t) = ab t, 0 ≤ t < b, y f (t + b) = f (t)
Sol. as bs
− ebs1−1
3. f (t) = sin t, 0 ≤ t < π,
3.4.
y
f (t + π) = f (t)
Sol.
coth(πs/2)
s2 +1
Solución de ecuaciones integrodiferenciales
usando transformada de Laplace
Use la transformada de Laplace para resolver la ecuación integral o la ecuación
integrodiferencial
Rt
1. f (t) + 0 (t − τ ) f (τ ) dτ = t
Sol. f (t) = sin t
Rt
2. f (t) = tet + 0 τ f (t − τ ) dτ
Sol. f (t) = − 18 e−t + 18 et + 34 tet + 14 t2 et
Rt
3. f (t) + 0 f (τ ) dτ = 1
Sol. f (t) = e−t
Rt
3
Sol. f (t) = 83 e2t + 18 e−2t +
4. f (t) = 1 + t − 83 0 (τ − t) f (τ ) dτ
1
1
2 cos 2t + 4 sin 2t
Rt
5. y 0 (t) = 1 − sin t − 0 y(τ )dτ, y(0) = 0
Sol. y (t) = sin t − 12 t sin 2t
3.5.
Movimiento armónico simple, amortiguado
y forzado, circuito LRC
Movimiento libre no amortiguado
1. Una masa que pesa 4 libras se une a un resorte cuya constante es 16√lb/pie.
2π
¿Cuál es el periodo del movimiento armónico simple?.
Sol.
8
12
2. Una masa que pesa 24 libras, unida al extremo de un resorte, alarga a
éste 4 pulgadas. Al inicio, la masa se libera desde el reposo en un punto
3 pulgadas arriba de la posición de equilibrio.
Encuentre la ecuación de
√
movimiento.
Sol. x(t) = − 41 cos 4 6t
3. Una masa que pesa 8 libras se une a un resorte. Cuando se pone en
movimiento, el sistema resorte-masa exhibe movimiento armónico simple.
Determine la ecuación de movimiento si la constante del resorte es 1 lb/pie
y la masa se libera inicialmente desde un punto 6 pulgadas abajo de la
posición de equilibrio, con una velocidad descendente de 32 pie/s exprese
la ecuación de movimiento en la √
forma alternativa x(t) = A sin (ωt + φ)
1
3
Sol. x(t) = 2 cos 2t + 4 sin 2t = 413 sin (2t + 0,5880)
Movimiento libre amortiguado
1. Una masa que pesa 4 libras se une a un resorte cuya constante es 2 lb/pie.
El medio ofrece una fuerza de amortiguamiento que es numéricamente
igual a la velocidad instantánea. La masa se libera desde un punto situado
1 pie arriba de la posición de equilibrio con una velocidad descendente de
8 pies/s. Determine el tiempo en el que la masa pasa por la posición de
equilibrio. En cuentre el tiempo en el que la masa alcanza su desplazamiento extremo desde la posición de equilibrio.
¿Cuál es la posición de la
masa en este instante?
Sol. 14 s; 21 s; x 21 = e−2 ; es decir, la pesa se
encuentra aproximadamente 0.14 pie debajo de la posición de equilibrio.
2. Una masa de 1 kilogramo se fija a un resorte cuya constante es 16 N/m y
luego el sistema completo se sumerje en un lı́quido que imparte una fuerza
amortiguadora igual a 10 veces la velocidad instantánea. Determine las
ecuaciones de movimiento si:
a) al inicio la masa se libera desde un punto situado 1 metro abajo de
la posición de equilibrio
b) al inicio la masa se libera desde un punto situado 1 metro abajo de
la posición de equilibrio con una velocidad ascendente de 12 m/s.
Sol.
a) x (t) = 43 e−2t − 13 e−8t
b) x (t) = − 23 e−2t + 35 e−8t
3. Una fuerza de 2 libras alarga un resorte 1 pie. Una masa que pesa 3.2 libras
se une al resorte, y luego se sumerge el sistema en un medio que ofrece
una fuerza de amortiguamiento igual a 0.4 veces la velocidad instantanea.
a) Encuentre la ecuación de movimiento si inicialmente se libera la masa
desde el reposo en un punto situado a 1 pie por encima de la posición
de equilibrio .
13
b) Exprese la √ecuación de movimiento
en la forma alternativa x(t) =
Ae−λt sin ω 2 − λ2 t + φ .
c) Calcule la primera vez en la cual la masa pasa a través de la posición
de equilibrio en la dirrección hacia arriba.
Sol.
a) x (t) = e−2t − cos 4t −
√
b) x (t) =
5 −2t
2 e
1
2
sin 4t
sin (4t + 4,249)
c) t = 1,294s
Movimiento forzado
1. Una masa que pesa 16 libras alarga 83 pie un resorte. La masa se libera
inicialmente desde el reposo desde un punto 2 pies abajo de la posición de
equilibrio, y el movimiento posterior toma lugar en un medio que ofrece
una fuerza de amortiguamiento igual a 21 de la velocidad instantánea. Encuentre la ecuación de movimiento si se aplica
una fuerza externa
a la masa
√
√
47
47
4
64
−t/2
igual a f (t) = 10 cos 3t. Sol. x (t) = e
− 3 cos 2 t − 3√
sin
t
+
2
47
10
3
(cos 3t + sin 3t)
2. Una masa de 1 slug, cuando se une a un resorte, causa en éste un alargamiento de 2 pies y luego llega al punto de reposo en la posición de equilibrio.
Empezando en t = 0, una fuerza externa igual a f (t) = 8 sin 4t se aplica al sistema. Encuentre la ecuación de movimiento si el medio circundante ofrece una fuerza de amortiguamiento igual a 8 veces la velocidad
instantánea. Sol. 41 e−4t + te−4t − 14 cos 4t
3. Cuando una masa de 2 kilogramos se une a un resorte cuya constante
es 32 N/m, éste llega al reposo en la posición de equilibrio. Comenzando
en t = 0, una fuerza igual a f (t) = 68e−2t cos 4t se aplica al sistema.
Determine la ecuación de movimiento en ausencia de amortiguamiento.
Sol. x (t) = − 12 cos 4t + 94 sin 4t + 12 e−2t cos 4t − 2e−2t sin 4t
Circuito en serie
1. Encuentre la carga en el capacitor de un circuito en serie LRC en t = 0,01 s
cuando L = 0,05 h, R = 2, C = 0,01 f , E(t) = 0 V , q(0) = 5 C e i(0) = 0 A.
Determine la primera vez en que la carga del capacitor es igual a cero.
Sol. 4,568 C; 0,0509 s
2. Encuentre la carga en el capacitor, la corriente en el circuito LRC y
también determine al carga maxima en el capacitor, considere L = 35 h,
1
R = 10, C = 30
f , E(t) = 300 V , q(0) = 0 C e i(0) = 0 A Sol. q(t) =
−3t
10 − 10e
(cos 3t + sin 3t)
i(t) = 60e−3t sin 3t; 10,432 C
14
3. Encuentre la carga y la corriente de estado estable en un circuito LRC en
serie cuando L = 1 h, R = 2, C = 0,25 f , E(t) = 50 cos t V Sol. qp =
100
150
150
ip = 100
13 sin t + 13 cos t
13 cos t − 13 sin t
4. Encuentre la carga en el capacitor de un circuito LRC en serie cuando
L = 12 h, R = 10, C = 0,01 f , E(t) = 150 V , q(0) = 1 C e i(0) = 0 A.
¿Cuál es la carga en el capacitor después de un largo tiempo? Sol. q(t) =
− 12 e−10t (cos 10t + sin 10t) + 32 ; 32 C
15
Capı́tulo 4
Series de Fourier y
ecuaciones diferenciales
parciales
4.1.
Funciones ortogonales
Muestre que las funciones provistas son ortogonales en el intervalo indicado
1. f1 (x) = ex , f2 (x) = xe−x − e−x ;
2. f1 (x) = x, f2 (x) = cos 2x;
[0, 2]
[−π/2, π/2]
Muestre que el conjunto de funciones provisto es ortogonal en el intervalo
indicado
n
o
1. sin nπ
x
, n = 1, 2, 3, . . . ; [0, p]
p
2.
n
o
1, cos nπ
p x , n = 1, 2, 3, . . . ;
[0, p]
n
o
nπ
3. 1, cos nπ
x,
sin
x
, n = 1, 2, 3, . . . , m = 1, 2, 3, . . . ;
p
p
4.2.
[−p, p]
Series de Fourier
Determine la serie de Fourier de f en el intervalo provisto.
0, −π < x < 0
1. f (x) =
x2 ,
0≤x<π
(
!
)
∞
n
n+1
π 2 X 2 (−1)
(−1)
π
2
n
Sol.
f (x) =
+
cos nx +
+
[(−1) − 1] sin nx
6 n=1
n2
n
πn3
16
−π < x < π
2. f (x) = x + π,
Sol.
∞
n
1
1
1 X (−1) + 1
cos nx
f (x) = + sin x +
π 2
π n=2 1 − n2
Sol.




0,
−2,
4. f (x) =
 1,


0,
−2 < x < −1
−1 ≤ x < 0
0≤x<1
1≤x<2
∞ 1 1X
nπ
nπ
3
nπ nπ
1
f (x) = − +
cos
x+
1 − cos
sin
x
− sin
4 π n=1
n
2
2
n
2
2
5. f (x) = ex ,
−π < x < π
2 sinh π
f (x) =
π
Sol.
4.3.
∞
n+1
X
(−1)
sin nx
n
n=1
0, −π < x < 0
sin x,
0≤x<π
3. f (x) =
Sol.
f (x) = π + 2
"
#
∞
n
1 X (−1)
+
(cos nx − n sin nx)
2 n=1 1 + n2
Series de Fourier de cosenos y senos
Determine si la función es par, impar o ninguna de las dos.
1. f (x) = sin 3x
2. f (x) = e|x|
x2 , −1 < x < 0
3. f (x) =
0≤x<1
−x2 ,
4. f (x) = x3 ,
0≤x≤2
Desarrolle la función en una serie apropiada de cosenos o senos
−1, −π < x < 0
1. f (x) =
1,
0≤x<π
Sol.
f (x) =
∞
n
2 X 1 − (−1)
sin nx
π n=1
n
17
2. f (x) = |x|,
−π < x < π
Sol.
3. f (x) = π 2 − x2 ,
f (x) =
−π < x < π
Sol.
4. f (x) =
x − 1,
x + 1,
f (x) =
∞
n+1
X
2π 2
(−1)
cos nx
+4
3
n2
n=1
−π < x < 0
0≤x<π
Sol.
4.4.
∞
n
π
2 X (−1) − 1
cos nx
+
2
π n=1
n2
f (x) =
∞
n
2 X 1 − (−1) (1 + π)
sin nx
π n=1
n
Ecuaciones diferenciales parciales
Use separación de variables para hallar, si es posible, soluciones producto
para la ecuación diferencial parcial dada.
1.
∂u
∂u
=
∂x
∂y
Sol.
u = c1 ec2 (x+y) donde c1 y c2 son constantes.
2. ux + uy = u
Sol.
u = c1 ey+c2 (x−y)
∂u
∂u
=y
∂x
∂y
Sol.
u = c1 (xy)
3. x
4.
4.5.
c2
∂2u
∂2u
∂2u
+
+ 2 =0
2
∂x
∂x∂y
∂y
Ecuación unidimensional del calor
∂2u
∂u
,
Resuelva la ecuación de calor k 2 =
∂x
∂t
condiciones expresadas.
0 < x < L,
t > 0 sujeta a las
1. u (0, t) = 0,
u (L, t) = 0
1, 0 < x < L/2
u (x, 0) =
0, L/2 < x < L
Sol.


nπ
∞
2 X  − cos 2 + 1  −k n2 π2 2 t
nπ
L
u (x, t) =
e
sin
x
π n=1
n
L
18
2. u (0, t) = 0, u (L, t) = 0
u (x, 0) = x (L − x)
3. u (0, t) = 0,
u (2, t) = 0
x, 0 < x < 1
u (x, 0) =
0, 1 < x < 2
4. Determine la temperatura u (x, t) en una varilla de longitud L si la temperatura inicial es f (x) y si los extremos x = 0 y x = L están aislados.
!
#
" Z
Z L
∞
L
2 2
2 X
nπ
nπ
t
−k nLπ
−ht 1
2
f (x) dx +
f (x) cos
xdx e
cos
x
Sol. u (x, t) = e
L 0
L n=1
L
L
0
4.6.
Ecuación de onda unidimensional
∂2u
∂2u
Resuelva la ecuación de onda a2 2 = 2 sujeta a las condiciones estable∂x
∂t
cidas.
1. u (0, t) = 0, u (L, t) = 0
1
∂u
u (x, 0) = x (L − x) ,
=0
4
∂t t=0
Sol.
u (x, t) =
∞
n
L2 X 1 − (−1)
nπa
nπ
cos
t sin
x
3
3
π n=1
n
L
L
2. u (0, t) = 0,
u (L, t) = 0
∂u
u (x, 0) = 0,
= sin x
∂t t=0
Sol.
3. u (0, t) = 0,
 u (L, t) = 0
2hx


,
L
u (x, 0) =
x

 2h 1 −
,
L
Sol.
4.7.
u (x, t) =
1
sin at sin x
a
L
0<x<
2 ,
L
≤x<L
2
∂u ∂t =0
t=0
nπ
∞
8h X sin 2
nπa
nπ
u (x, t) = 2
cos
t sin
x
π n=1 n2
L
L
Ecuación de Laplace en dos dimensiones
∂2u ∂2u
+
= 0 para una placa rectangular
∂x2 ∂y 2
sujeta a las condiciones establecidas.
Resuelve la ecuación de Laplace
19
1. u (0, y) = 0,
u (x, 0) = 0,
Sol.
u (a, y) = 0
u (x, b) = f (x)


Z a
∞
nπ
2 X
1
nπ
nπ
f (x) sin
u (x, y) =
xdx×sinh
y sin
x
nπ
a n=1 sinh
a
a
a
b 0
a
2. u (0, y) = 0, u (a, y) = 0
u (x, 0) = f (x), u (x, b) = 0
Sol.


Z a
∞
1
nπ
nπ
2 X
nπ
xdx×sinh
(b − y) sin
x
u (x, y) =
f (x) sin
a n=1 sinh nπ b 0
a
a
a
a
u (1, y) = 1 − y
∂u
=0
∂y y=1
3. u (0, y) = 0,
∂u
= 0,
∂y y=0
Sol.
4.
u (x, y) =
∞
n
1
2 X 1 − (−1)
x+ 2
sinh nπx cos nπy
2
π n=1 n2 sinh nπ
∂u
= u (0, y) u (π, y) = 1
∂x x=0
u (x, 0) = 0, u (x, π) = 0
Sol.
u (x, y) =
∞
n
n cosh nx + sinh nx
2 X 1 − (−1)
×
sin ny
π n=1
n
n cosh nπ + sinh nπ
20