Álgebra y Geometría

Álgebra y Geometría
1.
a) Dados tres puntos A, B y C en el plano demuestra que la circunferencia de
es recto.
diámetro AC pasa por B si y sólo si el ángulo ABC
b) Dados dos puntos A y B del plano y una recta r, determina, cuando sea
posible, un punto P ∈ r tal que AP
B sea recto.
2. Si P y Q son dos puntos (del plano o del espacio), se denota d(P, Q) la distancia
entre ellos. Si u y v son vectores, se denota u, v su producto escalar. Sean
A y B puntos distintos del plano. Decide qué conjuntos son C = {X ∈ R2 :
−−→ −−→
AX, BX = 0} y D = {X ∈ R2 : d(X, A) = d(X, B)}. Represéntalos.
3. Se consideran en el plano los puntos A = (−3, 2) y B = (5, 4).
−→
a) Dibuja la recta que pasa por ellos, calcula d(A, B), el vector BA y las coordenadas del punto medio de A y B.
b) Encuentra el punto C del segmento AB que dista de A el triple que de B.
¿Hay puntos en la recta que une A con B y fuera del segmento AB que
cumplan esta condición? En caso afirmativo, calcúlalos.
c) Sean O = (0, 0) y C el punto del segmento AB que has hallado en b);
encuentra, si existen, los puntos de la recta que une O con C que equidistan
de A y B.
d ) Determina el conjunto M = {P ∈ R2 : d(P, A) = 2d(P, B)}.
4. Halla las bisectrices de los ángulos determinados por las rectas 4x − 3y + 10 = 0
y 5x + 12y − 4 = 0. Comprueba que son dos rectas perpendiculares.
5. Halla la ecuación de la circunferencia que pasa por (3, 0), (−1, 0) y (0, 3).
6. Halla los valores de k para que la ecuación x2 + y 2 − 4x + 6y + k = 0 represente:
a) una circunferencia,
b) un punto,
c) ningún punto.
7. Halla las ecuaciones de las rectas tangentes a la circunferencia x2 + y 2 + 4x + 6y −
12 = 0 en los puntos de abscisa 2.
8. Inscribe un rectángulo de lados paralelos a los ejes y perímetro 12 en la elipse
x2 + 2y 2 = 6.
x2 y 2
9. Halla las ecuaciones de la recta tangente y de la recta normal a la elipse +
=
9 16
1, en el punto de abscisa 1 situado en el primer cuadrante.
10. Inscribe un triángulo equilátero en la hipérbola x2 −7y 2 = 4, que tenga un vértice
en un vértice de la hipérbola.
1
11. Halla las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la parábola y 2 = 8x en los
puntos de abscisa x = 2.
12. Observa la figura siguiente y encuentra el punto P de la recta r que hace mínima la
suma d(P, A) + d(P, B). Para este punto P , razona que si d(P, A) + d(P, B) = 2a,
la recta r es la tangente en P a la elipse de los puntos X del plano tales que
d(X, A) + d(X, B) = 2a.
A
•
r
•B
13. Considera los puntos del espacio A = (4, 8, 11), B = (−3, 1, 4) y C = (2, 3, −3).
a) ¿Cuánto miden los lados del triángulo ABC ? Comprueba que se trata de
un triángulo rectángulo. Calcula los puntos medios de sus lados.
−→ −−→ −→
b) Comprueba que AB + BC + CA es el vector nulo.
c) Calcula el área del triángulo. ¿Cuánto mide la altura del triángulo ABC
trazada desde B sobre el segmento AC?
d ) Localiza todos los puntos D que determinan junto con A, B y C un paralelogramo. ¿Existe D tal que el paralelogramo sea un rectángulo?
14.
a) Considera un punto A = (a, b) del plano, r > 0 y el conjunto C definido por
C = {(x, y) : d((x, y), A) = r}. Describe geométricamente a C y encuentra
su ecuación implícita. Justifica que C también viene descrito por
x = a + r cos t
C:
y = b + r sen t, t ∈ [0, 2π].
b) Si P = (a, b, c) es un punto del espacio R3 , decide qué conjuntos son S =
{(x, y, z) ∈ R3 : d((x, y, z), P ) = r}, E = {(x, y, z) ∈ R3 : (x−a)2 +(y−b)2 =
r 2 } y F = {(x, y, z) ∈ R3 : (x − a)2 + (z − c)2 = r 2 }. [Resuélvelo primero
para P = (0, 0, 0)].
c) Si S, E y F son las figuras descritas en (b) y Π = {(x, y, z) : z = 0} , estudia
los conjuntos S ∩ Π, S ∩ E, E ∩ Π, S ∩ F y F ∩ Π.
15. Representa de forma esquemática los siguientes subconjuntos de R3 :
a) {(x, y, z) : z = 1}
b) {(x, y, z) : x = z; y = 2z}
c) {(x, y, z) : x = z = 1} d) {(x, y, z) : x = y = z = 1}
e) {(λ, μ, 1) : λ, μ ∈ R} f ) {(x, y, z) : y = 2x}
g) {(x, y, z) ∈ R3 : x + 2y + 2z − 12 = x2 + y 2 + z 2 − 25 = 0}.
2
16.
a) ¿Es cierto que si la matriz cuadrada A no es nula tampoco lo es A2 ?
b) Demuestra que si A es una matriz cuadrada de orden 3, entonces el producto
A · At es una matriz simétrica.
17. Si P es una matriz cuadrada, notaremos |P | el determinante de P .
1 1
1 1
Sean A =
yB=
.
0 −1
0 1
a) Calcula, para cada n ∈ N, las potencias An y B n .
b) ¿Existe alguna matriz P de orden 2 con |P | no nulo tal que P A = BP ?
c) Encuentra todas las matrices Q de orden 2 tales que QA = BQ.
18. ¿Es invertible la matriz cuadrada A = (aij ) de orden 4 tal que aij = i + j?
19. En la figura 1, los centros de los cuatro semicírculos son los puntos medios de los
lados del cuadrado. Determina la razón entre las áreas de la región sombreada y
el cuadrado.
Figura 1:
20. Construye con regla y compás un cuadrado cuya área sea la suma (diferencia) de
las áreas de dos cuadrados dados.
21. Dados dos círculos, construye otro con regla y compás cuya área sea la suma
(diferencia) de las de ambos. ¿Es su perímetro la suma (diferencia) de los de los
círculos dados?
22. Las circunferencias K y K son concéntricas. La cuerda AB de la exterior K,
que mide 6 cm, es tangente a la interior K . Halla el área de la corona circular
determinada por K y K .
23. El lado de un cuadrado ABCD es 3 cm. El vértice P del cuadrado P QRS, de
lado 4 cm, es el centro de ABCD (ver figura 2). Determina el área de la zona
común a ambos cuadrados.
3
Figura 2:
24. Sabiendo que las áreas de los triángulos ABC y ABD de la figura 3 son 5 y 4,
CE
.
determina
ED
Figura 3:
25. Teorema de la altura. El triángulo ABC es rectángulo en C y CH es la altura
sobre la hipotenusa. Los triángulos rectángulos AHC y CHB son semejantes.
Demuestra que CH 2 = AH · HB.
26. Los triángulos ABC y A B C son semejantes. Si la razón de semejanza es k,
¿cuál es la razón entre sus áreas?
27. Desde el punto A, se trazan las tangentes a una circunferencia como se muestra
en la figura 4. Si AX = 10, P es un punto arbitrario de la circunferencia y BC
es tangente en P , determina el perímetro del triángulo ABC.
28. a) Prueba que en un triángulo cualquiera, las tres alturas concurren. (Sugerencia:
considera el triángulo que se obtiene al trazar por cada vértice una recta paralela
al lado opuesto).
4
Figura 4:
b) Demuestra que las tres medianas de un triángulo concurren en un punto.
Comprueba que las medianas dividen el triángulo en seis de igual área. Sugerencia:
Las medianas AM y BN se cortan en el punto G y por ello Área(AMB) =
Área(ANB) = 12 Área (ABC) y, por tanto, Área(ANG) = Área(BGM) = a.
C
C
a
N
a
A
M
G
N
a
a
B
A
M
G
a
P
h1
a
h2
B
La recta que pasa por C y G corta al lado AB en el punto P . Justifica que
Área(ANG) = Área(GNC) = a y, análogamente, Área(BGM) = Área(MGC) =
a. Por lo tanto, los triángulos AGC y BGC tienen común el lado GC y la misma
área, de lo que se deduce la igualdad de las alturas h1 y h2 .
Como h1 y h2 son también las alturas, sobre el lado común P G, de los triángulos
AGP y GBP , concluimos que las áreas de estos triángulos son iguales. Y los
segmentos AP y P B tienen la misma longitud, lo que significa que P es el punto
medio del segmento AB y se deduce que CP es la mediana.
29. Sea K una circunferencia y P un punto exterior a ella. Las rectas r y r , ambas
pasan por el punto P y cortan a K en los puntos A y B y A y B respectivamente.
Demuestra que los triángulos P A B y P AB son semejantes. Comprueba que
5
P A · P B = P A · P B .
30. Se considera una circunferencia C de centro O y radio R. Dado un punto P del
plano, distinto de O, se llama inverso (o transformado) de P respecto de dicha
circunferencia al punto T (P ) = Q que está en la semirrecta que tiene origen en
O y pasa por P y tal que OP · OQ = R2 .
a) Comprueba que T (Q) = P y que si P está en C entonces T (P ) = P .
b) Justifica que si r es una recta que pasa por O y P = O está sobre r, entonces
T (P ) ∈ r (y es distinto de O).
c) Considera una circunferencia C que pasa por O y corta a C. Justifica que existe
una recta r que no pasa por O tal que si P ∈ C , entonces T (P ) ∈ r. [Sugerencia:
Sea A ∈ C tal que AO es un diámetro de C y B su transformado. Justifica que
para todo P ∈ C distinto de O, si Q es su transformado, entonces los triángulos
OAP y OBQ son semejantes].
d) Demuestra que si s es una recta que no pasa por O, entonces su transformada
es una circunferencia que pasa por O. [Sugerencia: considera ahora B el punto
de intersección de s con la perpendicular a s trazada desde O. Su transformado
A es el extremo del diámetro OA de la circunferencia buscada].
Ejercicios de reserva
−
31. Sean A y B puntos del plano y k un número real no negativo. Sea →
u un vector
2
unitario de R . Dibujar los siguientes conjuntos:
a) {X ∈ R2 : |d(X, A)2 − d(X, B)2 | = 2k}
−−→ →
u = k}
b) {X ∈ R2 : AX, −
32. Sea P un punto de la región encerrada por el triángulo equilátero ABC. Prueba
que la suma de las distancias de P a los lados del triángulo es una cantidad que
no depende de P .
33. Sea P un punto del lado desigual de un triángulo isósceles. Demuestra que la
suma de distancias de P a los otros dos lados es una cantidad que no depende de
P.
34. Para cada punto P de la hipérbola xy = a2 se considera el triángulo que tiene por
lados a los ejes de coordenadas y a la tangente en P a la hipérbola. Demuestra
que el área de dicho triángulo es independiente del punto P escogido.
35.
a) Sea (a, b) un punto de la recta x + y = 2. Prueba que a2 + b2 ≥ 2.
b) Sea (a, b, c) un punto del plano x + y + z = 3. Prueba que a2 + b2 + c2 ≥ 3.
6
36.
a) Sea A una matriz con coeficientes reales con 2 filas y 2 columnas. ¿Cuánto
vale |(A · At )| ?
b) Es posible que dos matrices no cuadradas A y B puedan ser multiplicadas
por los dos lados AB y BA. ¿Qué condición deben cumplir?
37. Un cuadrado mágico de tamaño n es una matriz de orden n × n cuyos elementos
son los enteros 1, 2, · · · , n2 , de forma que las sumas de los elementos de cada fila,
columna o diagonal son iguales.
a) Prueba que no existen cuadrados mágicos de orden 2.
8 1 x
b) Completa el siguiente cuadrado mágico: x x x
x x x
38. Construye un cuadrado cuya área sea el doble (la mitad) del área de otro cuadrado
dado.
39. Dados varios cuadrados, construye otro cuya área sea la suma de las de todos
ellos.
40. La recta r corta al par de lados opuestos AB y CD de un cuadrado ABCD en
los puntos M y N. Otra recta s, perpendicular a la anterior, corta a los lados
BC y DA en los puntos P y Q. Demuestra que los segmentos MN y P Q tienen
igual longitud.
41. Las rectas r y r se cortan en el punto A. La recta s, perpendicular a r, corta
a r y r en los puntos B y C. Otra recta s , paralela a s, corta a r y r en los
puntos B y C . Se forman así dos triángulos rectángulos ABC y AB C . Utiliza
este hecho para demostrar que
AC
BC
AB
=
= AB
AC
BC
Demuestra el mismo resultado para un par de rectas paralelas s y s no perpendiculares a r.
42. En el triángulo ABC, rectángulo en C, la altura CH sobre la hipotenusa divide
a ésta en dos segmentos de longitudes 9 y 16 cm. El punto N del lado BC es tal
que AN corta a CH en su punto medio M. Determina AN.
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