AlgLinealtarea3 2016-II

Tarea 3 de Álgebra Lineal I
1. Determina cuales de las siguientes funciones son transformaciones lineales
(a) T : R2 −→ R2 definida por T (x, y) = (1, y).
(b) T : R2 −→ R2 definida por T (x, y) = (sen(x), y).
(c) T : R3 −→ R2 definida por T (x, y, z) = (x + 2, x + y + z)
(d) T : R3 −→ R2 definida por T (x, y, z) = (x + 2y, x + y + z).
(e) T : R2 −→ R definida por T (x, y) = xy
(f) T : R3 −→ R3 definida por T (x, y, z) = (x, y, z) + (1, 0, 1).
P
(g) T r : Mm×m (K) −→ K definida por T r(A) = m
i=1 aii .
(h) T : Mm×n (K) −→ Mm×n (K) definida por T (A) = At .
(i) T : P2 (R) −→ P3 (R) definida por T (f (x)) = x(f (x)) + f 0 (x).
a11 a12 a13
2a11 − a12 a13 + 2a12
(j) T : M2×3 (K) −→ M2×2 (K) definida por T (
)=
a21 a22 a23
0
0
R
(k) T : P2 (R) −→ P3 (R) definida por T (f (x)) = f (x)dx.
2. Sea T : V −→ W una transformación lineal.
(a) Demuestra que T (0V ) = 0W .
(b) Demuestra que T (−v) = −T (v) para todo v ∈ V .
(c) Sean v, v 0 ∈ V tal que T (v) = 0V y T (v 0 ) = w. Demuestra que T (v + v 0 ) = w.
3. Sea T : V −→ W una K-transformación lineal y sean w1 , w2 , . . . , wn elementos de W que
son linealmente independientes. Supongamos que existen elementos v1 , v2 . . . , vn de V tal que
T (vi ) = wi para i = 1, . . . , n. Demuestra que S = {v1 , v2 , . . . , vn } es linealmente independiente.
4. Sea V un R-e.v y T : V −→ R una R-transformación lineal. Sea W = {v ∈ V | F (v) = 0}.
Supongamos que W 6= V y sea v0 ∈ V tal que v0 ∈
/ W.
(a) Demuestra que W es un subespacio de V y que todo elemento v ∈ V se puede escribir
como v = w + cv0 con w ∈ W y c ∈ R.
(b) Demuestra que si {v1 , v2 , . . . , vn } es una base de W , entonces {v0 , v1 , . . . , vn } es una base
de V .
5. Sea T : Rn −→ Rn una transformación lineal y P, A ∈ Rn con A 6= 0. Muestra que la imagen
bajo T de la linea recta L := {P + tA | R}, es una linea recta o un punto. Dados dos puntos
P, Q ∈ Rn el segmento de recta entre P y P + Q es {P + tQ | t ∈ [0, 1]}. Demuestra que la
imagen bajo T de un segmento de recta es un segmento de recta.
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Álgebra Lineal I
Prof: Valente Santiago Vargas.
Ayudante: Miguel Angel Guadarrama
Tarea 3 de Álgebra Lineal I
6. Dados dos vectores u, v ∈ Rn linealmente independientes, definimos el siguiente conjunto de
elementos de Rn ,
P = {tu + rv | t, r ∈ [0, 1]}.
Describe geométricamente en R2 y R3 al conjunto P .
7. Sea T : R2 −→ R2 transformación lineal tal que T (1, 0) = (1, 1) y T (0, 1) = (−1, 2). Sea
S el cuadrado cuyas esquinas son (0, 0), (1, 0), (1, 1), (0, 1). Demuestra que la imagen de este
cuadrado es un paralelogramo. Más general, si u y v son vectores linealmente independientes
en R2 y T : R2 −→ R2 lineal, entonces la imagen del paralelogramo formado por u y v es el
paralelogramo formado por T (u) y T (v).
8. Sea T : R2 −→ R2 R-lineal tal que
(a) T (3, 1) = (1, 2) y T (−1, 0) = (1, 1)
(b) T (4, 1) = (1, 1) y T (1, 1) = (3, −2)
(c) T (1, 1) = (2, 1) y T (−1, 1) = (6, 3),
calcula T (1, 0) en cada caso.
9. Sea T : R2 −→ Rn y β = {u, v} una base de R2 . Demuestra que T (u), T (v) son linealmente
independientes o la imagen de T tiene dimensión 1 o la imagen es {0Rn }.
10. Sea v un vector no cero en R2 y T : R2 −→ Rn una transformación R-lineal. Demuestra que
si T (v) = 0, entonces la imagen de T es una linea recta o {0Rn }.
11. Sean V y W espacios vectoriales de dimensión finita sobre K tales que dimK (V ) = dimK (W ) =
n.
a) Demuestra que Si T : V −→ W es una transformación lineal tal que Ker(T ) = {0V }
entonces T es suprayectiva.
b) Demuestra que si T : V −→ W es una transformación lineal tal que Im(T ) = W entonces
T es inyectiva.
12. Sea T : V −→ W K-lineal y w ∈ W . Sea v0 ∈ V un elemento tal que T (v0 ) = w. Demuestra
que cualquier solución de la ecuación T (v) = w es de la forma v = v0 + u donde u ∈ Ker(T ).
13. Sea V := {f : R −→ R | f es infinitamente diferenciable} y sea D : V −→ V tal que
D(f ) = f 0 . Calcula el kernel de D.
14. Consideremos el K-espacio vectorial V = Mm×m (K).
P
a) Sea T : Mm×m (K) −→ K definida por T (A) = m
i=1 aii . Calcula la dimensión de Ker(T )
y encuentra una base de Ker(T ).
b) Demuestra que Mm×m (K) = W1 ⊕ W2 , donde W1 es el subespacio de las matrices
simétricas y W2 es el subespacio de las matrices antisimétricas.
15. Sea P : Mm×m (K) −→ Mm×m (K) definida por P (A) =
A+At
2 .
a) Demuestra que P es una transformación lineal.
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Tarea 3 de Álgebra Lineal I
b) Muestra que Ker(P ) es el subespacio de las matrices antisimétricas y calcula la dimensı́on
de Ker(P ).
16. Sean V y W K-espacios vectoriales. Sea V × W := {(v, w) | v ∈ V, w ∈ W }. Si definimos
la suma como (v1 , w1 ) + (v2 , w2 ) := (v1 + v2 , w1 + w2 ) y para λ ∈ K definimos λ(v1 , w1 ) :=
(λv1 , λw1 ). Demuestra que V × W es un K-espacio vectorial. Si dimK (V ) = n y dimK (W ) =
m, demuestra que dimK (V × W ) = m + n. Si U ⊆ V es un subespacio vectorial de V ,
demuestra que D = {(u, u) | u ∈ U } es un subespacio de V × V .
17. Sea V un K-espacio vectorial de dimensión finita. Demuestra que si U y W son subespacios
de V , entonces dimK (U ) + dimK (W ) = dimK (U + W ) + dimK (U ∩ W ). Hint: Considera la
función T : U × W −→ V tal que T (u, w) = u − w.
18. Sean V y W K-espacios vectoriales de dimensión finita y T : V −→ W una transformación
K-lineal.
a) Demuestra que si dimK (V ) > dimK (W ), entonces Ker(T ) 6= {0V }.
b) Demuestra que si dimK (V ) = dimK (W ) y Ker(T ) = {0V }, entonces T es un isomorfismo.
19. Sean F : V −→ W y G : W −→ Z transformaciones K-lineales tales que F y G son invertibles.
Demuestra que GF es invertible y que (GF )−1 = F −1 G−1 .
20. Sea T : R3 −→ R3 definida por
a) T (x, y, z) = (x − y, x + z, x + y + 2z)
b) T (x, y, z) = (2x − y + z, x + y, 3x + y + z).
Demuestra que en cada caso que T es un isomorfismo.
21. Sea T : V −→ V una transformación K-lineal. Demuestra que si T 2 = 0, entonces IV − T es
invertible.
22. Sea T : V −→ V K-lineal tal que tal que T 2 + 2T + IV = 0, demuestra que T es invertible.
23. Sea V un K-espacio vectorial y T : V −→ V lineal tal que T 2 = T . Demuestra que V =
Ker(T ) ⊕ Im(T ). Hint: escribe a cada elemento v ∈ V como v = v − T (v) + T (v).
24. Sean V y W K-espacios vectoriales de dimensión finita. Demuestra que si dimK (V ) =
dimK (W ), entonces V y W son isomorfos.
25. Sean V y W Q-espacios vectoriales de dimensión finita. Sea T : V −→ W es una función tal
que T (v + v 0 ) = T (v) + T (v 0 ) para todos v, v 0 ∈ V . Demuestra que T es Q-lineal.
26. Sea T : R3 −→ R una transformación R-lineal.
a) Demuestra que existen escalares a, b, c ∈ R tal que T (x, y, z) = ax + by + cz. Generalizar
el resultado para T : Rn −→ R y T : Rn −→ Rm .
b) Describe geométricamente las posibilidades para el Kernel de T .
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