Funciones - clasesalacarta

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Tema 8.- Funciones Elementales
Tipos de Funciones
Lineales
Cuadráticas
y = mx + n
y = ax2 + bx + c
Rectas
Parábolas
A trozos
Se calcula su dominio y se hace una
tabla de valores para cada trozo.
Radicales
y=
kx
Medias parábolas con el
eje paralelo al eje X
Proporcionalidad
Inversa
k
y=
x
hipérbolas con las
asíntotas paralelas
a los ejes
coordenados
Exponenciales y
Logarítmicas
No siguen un
modelo fijo
Parte Entera
Parte Decimal o Mantisa
La parte entera de un nº x es el
mayor nº entero  x.
A partir de eso, definimos la
función para entera de x, que hace
corresponder a cada número x su
parte entera.
Mant(x) = x – Ent(x)
Exponenciales
A partir de eso, definimos la función
parte decimal de x, que hace
corresponder a cada número x su
parte decimal.
Logarítmicas
x
y=a
y = loga x
Dominio : ℝ
Recorrido : (0,)
Dominio : (0,)
Recorrido : ℝ
Asíntota : y = 0
Punto de corte: (0,1)
Continua en ℝ
Continua en (0,)
Monotonía:
si a > 1 creciente ; si a < 1 decreciente
Cóncava : ℝ
si a>1 cóncava; si a<1 convexa
y = (0’5)x
y = 2x
y = 2x
y = log2 x
y
y = loga x  x = a  son funciones inversas
Funciones Arco
Arcoseno
Arcocoseno
Arcotangente
Definida en [-1,1] y que toma
π π
valores en - , tal que:
Es una función definida en [-1,1] y
π π
que toma valores en - , tal que:
arc.sen a = b  sen b = a
Creciente
sen (arcsen x) = x
arcsen (sen x) = x
arc.cos a = b  cos b = a
Es una función definida en ℝ y que
π π
toma valores en - , tal que:
2 2
arc tg a = b ⇒ tg b = a
Creciente
tg arc tg x = x
arc tg (tg x) = x
2 2
2 2
Decreciente
cos arc cos x = x
arc cos (cos x) = x
y = arc cos (x)
y = arc sen (x)
y = sen (x)
y = tg (x)
y = cos (x)
y = arc tg (x)
á
á
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Matemáticas _ B_ 1º Bach.
¿Qué es una Función?
f(x) es una función de R en R si a cada número real, x  Dom, le hace corresponder un único número real, f(x).
f: Dom  R
x  y = f(x)
El conjunto Dominio de los valores que puede tomar la variable independiente, “x”, se llama dominio de definición
de la función. El conjunto de los valores que toma la función se llama recorrido.
Puesto que tanto la variable “x” como la función f(x) toman valores reales, estas funciones se llaman funciones
reales de variable real.
Dominio
Funciones
Dominio
D(f) = R
f(x) = P(x)
P x
f x =
Q x
Polinómicas
Racionales
Radicales
f x =
Trigonométricas
P(x)
n: par
D(f) = R
n: impar
D(f) = R – {x  R /P(x) < 0}
P(x)
D(f) = R
f(x) = a
Exponenciales
Logarítmicas
n
D(f) = R – {x  R /Q(x) = 0}
f(x) = loga P(x)
D(f) = R – {x  R /P(x)  0}
f(x) = sen (x)
D(f) = R
f(x) = cos (x)
D(f) = R
f(x) = tg (x)
f(x) = sec (x)
f(x) = cosec (x)
f(x) =cotg (x)
Se ponen como cociente y se estudia su dominio como una función
racional (denominador diferente de cero).
Operaciones
Su m a
Diferencia
f + g x = f x + g(x)
Dom f + g = Dom f + Dom g
Producto
f · g x = f x + g(x)
Dom f · g = Dom f ∩ Dom g
f - g x = f x - g(x)
Dom f - g = Dom f ∩ Dom g
Cociente
f
g
Dom
Potencia
f(x)
x =
g(x)
f
=Dom f ∩ Dom g - x ∈ R ∕ g x = 0
g
Dom f x
f x gx
= Dom f ∩ Dom
g x
Recorrido
El recorrido de una función es el conjunto de números reales que son imagen para la función f(x).
f x = x+2 
R f x =R
f x = x4 + 4x + 1 
R f x = -3,∞
f x = x2 - 1 
Puntos de Corte
Eje de abscisas (0X)
Eje de ordenadas (0Y)
y=0
x=0
1, varios o ninguno
1 o ninguno
R f x = 0,+∞
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Tema 8.- Funciones Elementales
Simetría
Función Par
Función Impar
No simétrica
f(x) = f(-x)
f(-x) = -f(x)
Simétrica respecto al eje de
ordenadas
Simétrica respecto al origen de
coordenadas
Valor Absoluto de una Función
El valor absoluto de un número x coincide con x si es positivo o nulo, o con su opuesto si es negativo:
x =
-x
x
si x < 0
si x ≥ 0
y = x
El general el valor absoluto de una función se define:
f(x) =
- f(x)
f(x)
si x < 0
si x ≥ 0
Para representarla se iguala lo de dentro del valor absoluto a cero y se resuelve. Estos puntos nos dividen la
función en trozos por tanto podemos tratarla como una función a trozos.
Algunas Transformaciones de Funciones


y = f(x) ± k
f(x) + k  subimos k unidades
f(x) - k  bajamos k unidades
y = f (x ± k)
f(x + k)  hacia la izquierda k unidades
f(x – k)  hacia la derecha k unidades


y = f (x) + k
y = f (x)
y = f (x)
y = f (x + k)
y = f (x - k)
y = f (x) - k
y = f(-x)
Si cambiamos el signo a la x  hacemos simetría
respecto al eje de ordenadas.
y = - f(x)
Si cambiamos el signo a la y  hacemos simetría
respecto al eje de abscisas.
y = f (x)
y = f (x)
y = f (-x)
y = - f (x)
y = k f(x)
y = f (x)


y = k·f (x)
k > 1  se estira
0 < k < 1  se achata
y = 1/k f (x)
á
á
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Matemáticas _ B_ 1º Bach.
Composición de Funciones
Dadas 2 funciones, f y g, se llama función compuesta de f y g, y se designa g o f, a la función que transforma x en
g f x .
x
x
f
gof
g f x
g
f x
g f x
La expresión g o f(x) se lee f compuesta con g, se nombra en primer lugar la función de la derecha porque es la
primera en actuar sobre la x. En general, la función g [f(x)]  f [g(x)]
Función Inversa o Recíproca de Otra
-1
Se llama función inversa o recíproca de f a otra función (se designa f ) que cumple la siguiente condición:
-1
Si f(a) = b , entonces, f (b) = a
Como consecuencia f
-1
-1
[f(x)] = f [f (x)] = x
Además las gráficas de las dos funciones son simétricas respecto de la bisectriz del primero y tercer cuadrante (y
= x).