Universidad de la República Facultad de Ciencias Centro de Matemática Cálculo I –Curso 2007 Práctico 8 1. Sea p : R → R un polinomio de grado n. Prueba que para a, x ∈ R cualesquiera se tiene (n) p(x) = p(a) + p0 (a)(x − a) + · · · + p n!(a) (x − a)n 2. Hacer las gráficas de los primeros 3 polinomios de Taylor en 0 de la función seno. √ √ 3. Hallar 7 con error menor a 0,01 mediante el desarrollo de la función x + 8. 4. Escribir la fórmula de Taylor con residuo para las siguientes funciones en los puntos indicados. Estimar la magnitud del residuo de orden 6 en cada caso: (a) sen(x) en π4 . (d) log(1 + x) en 0. (g) ex en a. (j) x6 + 5x3 + 4 en 2. (b) e−x en a. (e) ax en 0. (h) cosh(x) en 0. (c) senh(x) en 0. (f) cos(x) en π4 . (i) x5 + 3x3 − 4x2 + 2 en 1. 2 5. Hallar la serie de Taylor en 0 de una primitiva de la función ex . n+1 1 6. Use la igualdad 1−x = 1 + x + · · · + xn + x1−x y la fórmula de Taylor para calcular las derivadas sucesivas en el punto x = 0 de la función f : (−1, 1) → R dada por 1 f (x) = 1−x . 7. Calcular la derivada de orden 2001 y 2003 en x = 0 de f : R → R definida por x5 f (x) = 1+x 6. 8. a) Sea f : I → R de clase C ∞ en el intervalo I. Suponga que existe K > 0 tal que |f (n) (x)| ≤ K para todo x en I y todo n natural. Pruebe que, para x0 , x ∈ I vale P f (n) (x0 ) (x − x0 )n . f (x) = ∞ n=0 n! b) Aplicar el punto anterior para las funciones sen(x) y cos(x) con x0 = 0. 2 Rx 2 9. Sea f (x) = ex 0 e−t dt. Probar que f (0) = 0, f 0 (x) = 2xf (x) + 1, y encontrar la serie de Taylor de f en 0. 10. Calcular los siguientes lı́mites: (a) lı́mx→0 ex −(1+x) x2 lı́mx→+∞ xα e−x (c) lı́mx→0 (e) sen(3x) sen(x) (g) lı́mx→0 (b) lı́mx→1/2 cos(πx) 2x−1 (d) lı́mx→+∞ donde α > 0. ex −1−x2 /2+sen(x)−2x 1−cos(x)−x2 /2 log(x) xα donde α > 0. (f) lı́mx→0+ (h) lı́mx→0 1 xα ex −1 donde α ≥ 1. log(1+x)−x−x2 /2 tan(x)−sen(x) 11. Evaluar los siguientes lı́mites: n n (a) lı́mn→+∞ n 1 + n1 − e (b) lı́mn→+∞ 2e n + n2 1 + n1 − e n n n2 (c) lı́mn→+∞ n 1 + n1 − e log 1 + n1 (d) lı́mn→+∞ n sen( n1 ) 1 √ (e) lı́mn→+∞ n1 sen(n) n2 (f) lı́mn→+∞ n ( n a − 1) (a > 0). 12. Si f está definida en un entorno de a, f 0 es continua allı́ y f 00 (a) existe, demostrar que f (a + 2h) − 2f (a + h) + f (a) = f 00 (a) h→0 h2 lı́m 13. Demostrar que si f es continua en el intervalo [0, 1], entonces Z 1 lı́m x x→0 14. x f (z) dz = f (0) z2 a) Aproximar la solución de cos(x) = x mediante el método de Newton con valor inicial x0 = 34 . √ b) Aproximar 5 mediante el método de Newton con valor inicial x0 = 2. c) Utilizar el método de Newton para aproximar la solución de sen(x) = 0 con valor inicial 1 y estudiar el tamaño del error absoluto cometido. 15. Verificar que las aproximaciones mediante el método de Newton de la raı́z de a, donde a > 0, con valor inicial 1 estan dadas por 1 a x0 = 1 xn+1 = xn + 2 xn √ √ Mostrar que en general, xn → a si x0 > 0 y que xn → − a si x0 < 0. 16. Fórmula de Stirling. En este ejercicio probaremos que cuando n → ∞, n! √ →1 n+1/2 2π n e−n Rn a) Sea An = 1 log(x) dx = n log(n) − n + 1. Podemos obtener un valor aproximado Tn de An calculando el área debajo de la poligonal cuyos vertices son los puntos (k, log(k)), k = 1, . . . , n. Mostrar que Tn = log(2) + log(3) + · · · + log(n − 1) + b) Sea an = An − Tn . Notar que Tn /An → 1. Tn An = 1− an An 1 1 log(n) = log(n!) − log(n) 2 2 y que si probamos que an está acotada, entonces c) Verificar que ak+1 − ak es la diferencia del área bajo la curva y = log(x) en el intervalo [k, k + 1] y el área debajo de la poligonal en el mismo intervalo. Concluir que an es monótona creciente. 2 d ) Observar que ak+1 − ak ≤ bk donde bk es la diferencia del área bajo la tangente en el punto x = k + 1/2 en el intervalo [k, k + 1] y el trapecio con base [k, k + 1]. Probar que bk = log(k + log(k) + log(k + 1) 1 )− 2 2 Concluir que log 1 + bk ≤ 1 2k − log 1 + 1 2(k+1) 2 e) Sumar estas desigualdades y obtener que an ≤ 1 1 1 log(3/2) − log 1 + 2 2 2n Concluir que an está acotada y tiene lı́mite que llamaremos a. f ) Probar que 1 1 a − an ≤ log 1 + 2 2n g) Recordando que an = An − Tn mostrar que n! = αn nn+1/2 e−n donde αn = e1−an . h) Si denotamos α el lı́mite de αn , mostrar que n+1/2 −n αn i) Probar que α = e n+1/2 −n ≤ n! ≤ α n e √ 2π utilizando que √ (n!)2 22n √ π = lı́m n (2n!) n 3 1 1+ 4n