Lista de ejercicios - Departamento de matemáticas

Facultad de Ciencias
Departamento de Matemáticas
Grado de Matemáticas
Método de Diferencias Finitas
Lista de ejercicios: Ecuación del transporte lineal
Problema 1. Sean c > 0, y u0 : R → R, 1-periódica. Consideramos el problema
∂t u(x, t) + c ∂x u(x, t) = 0,
x ∈ (0, 1), t ∈ (0, T ]
(1)
u(0, t) = u(1, t),
t ∈ (0, T ]
(2)
u(x, 0) = u0 (x),
x ∈ [0, 1].
(3)
1. Escribir la forma matricial del esquema implı́cito centrado para (4).
2. Estudiar la estabilidad del esquema de Lax-Friedrichs en la norma L∞ .
3. Analizar el esquema centrado implı́cito (de Crank-Nicholson) dado por
uk+1
= ukj −
j
cτ k
cτ k+1
(u
− ukj−1 ) −
(u
− uk+1
j−1 ).
4h j+1
4h j+1
Problema 2.
Sean c > 0 y u0 : R → R una función 1-periódica. Consideramos el problema
∂t u(x, t) + c ∂x u(x, t) = 0,
(x, t) ∈ (0, 1) × (0, T ]
u(x, t) = u(x + 1, t),
u(x, 0) = u0 (x),
Sean h =
(x, t) ∈ R × (0, T ]
x ∈ (0, 1).
1
T
yτ=
con N, M ∈ N \ {0} y sea
N
M
cτ
λ= .
h
Definimos tk = kτ (k = 0, · · · , M ) y xj = jh (j ∈ Z) y denotamos por ukj una aproximación
de la solución exacta u en (xj , tk ). Denotamos también por ı el número complejo que satisface
ı2 = −1.
Consideramos el esquema de Beam-Warming
uk+1
− ukj
j
τ
+
λ(1 − λ) k
λ(λ − 2) k
λ(3 − λ) k
uj−2 +
uj−1 +
uj = 0
2τ
τ
2τ
con el dato inicial u0j = u0 (xj ) y la condición de contorno ukj+N = ukj , ∀j.
1. Demostrar que si u es suficientemente regular entonces el esquema es consistente de orden
dos en tiempo y espacio.
2. Realizar un análisis de Fourier (un método de Von Neumann riguroso) para probar que si
el factor de amplificación
Ah (p) =
λ(λ − 1)
(λ − 1)(λ − 2)
exp(−4ıπph) + λ(2 − λ) exp(−2ıπph) +
2
2
que se obtiene satisface |Ah (p)| ≤ 1 entonces el método es convergente en la norma k · k2,h :

h
N
X
1/2
(u(xj , tk ) − ukj )2 
≤ CT (h2 + τ 2 )
∀k = 1, · · · , M,
j=1
donde C > 0 es una constante que solo depende de u y de la velocidad de propagación c.
3. En los siguientes pasos buscamos las condiciones bajo las cuales la hipótesis |Ah (p)| ≤ 1
es cierta.
(a) Demostrar que
exp(2ıπph)Ah (p) = λ(λ − 1) cos(2πph) + λ(2 − λ) − (λ − 1) exp(2ıπph)
y deducir que
|Ah (p)|2 = (λ−1)2 λ(λ−2) cos2 (2πph)+2λ(2−λ)(λ−1)2 cos(2πph)+λ2 (2−λ)2 +(λ−1)2 .
(b) Usar la identidad
λ2 (2 − λ)2 + (λ − 1)2 = 1 + (λ − 1)2 λ(λ − 2)
para obtener
|Ah (p)|2 = 1 − (λ − 1)2 λ(2 − λ)(1 − cos(2πph))2 .
(c) Deducir la condición CFL que garantiza que |Ah (p)| ≤ 1.