Guion de la Practicas Laboratorio Física I

GRADOS EN INGENIERÍA DE TECNOLOGÍAS
INDUSTRIALES E INGENIERÍA QUÍMICA
CURSO 2014-2015
PRÁCTICAS DE FÍSICA I
1. Estática y dinámica: principio de Arquímedes y ley de Stokes.
2. Leyes de la dinámica: 2ª ley de Newton.
3. Oscilaciones mecánicas: péndulo de Pohl.
4. Coeficiente adiabático del aire: oscilador de Flammersfeld.
Apéndice: Ajuste por el método de mínimos cuadrados.
ESCUELA DE INGENIERÍA Y ARQUITECTURA
UNIVERSIDAD DE ZARAGOZA
C/ MARÍA DE LUNA, 3
E-50018 ZARAGOZA
ESPAÑA
Prácticas de Física I (1er curso, Grados en Ing. de Tecnologías Industriales y Química)
PRÁCTICA 1
PRINCIPIO DE ARQUÍMEDES Y LEY DE
STOKES.
OBJETIVO:
La práctica trata del estudio experimental de la ley de Stokes, que relaciona la fuerza de
fricción viscosa que produce un fluido sobre un objeto que se mueve en él (fuerza de
arrastre).
Se va a manejar también el principio de Arquímedes. Más concretamente, se utilizará el
concepto de fuerza de empuje que experimenta un objeto al sumergirse en un fluido
para aplicarlo a la medida de la densidad de la glicerina utilizando una balanza
mecánica.
FUNDAMENTO TEÓRICO:
El principio de Arquímedes establece que todo cuerpo sumergido en un fluido
experimenta un empuje FE, vertical hacia arriba de valor igual al peso de fluido
desplazado:
Empuje = FE = gV,
donde  es la densidad del fluido y V el volumen del cuerpo que está sumergido en el
fluido. Es decir, medir el empuje permite obtener el valor de la densidad del fluido,
conocidos la gravedad y el volumen del cuerpo sumergido.
Cuando un objeto se mueve dentro de un fluido a poca velocidad (o es el fluido el que
se mueve estando el objeto fijo inmerso en él), sufre una fuerza viscosa o de arrastre que
es proporcional al tamaño del mismo y a su velocidad y se opone a ésta. En el caso de
un objeto esférico la fuerza está dada por:
F  6R v ,
(1)
donde  es una constante característica del fluido que se llama viscosidad y que indica
de una forma intuitiva lo “pastoso” que es el fluido. La unidad de viscosidad en el
sistema CGS (en toda esta práctica los números son más simples si se utiliza el sistema
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Prácticas de Física I (1er curso, Grados en Ing. de Tecnologías Industriales y Química)
CGS, por ejemplo g = 980 cm/s2) es el poise = dyns/cm2 = g/scm. Por ejemplo, el
aceite de oliva es muy viscoso mientras que el agua lo es menos (aunque el aceite es
menos denso que el agua). Los gases son también viscosos aunque mucho menos que
los líquidos. La viscosidad disminuye muchísimo con el aumento de la temperatura, la
experiencia diaria nos dice que los líquidos viscosos (como el aceite) se hacen más
fluidos al calentarlos.
En esta práctica vamos a estudiar experimentalmente si la ley de Stokes se cumple o no.
Para ello dejaremos caer bolas de acero de distinto radio en un tubo lleno de glicerina
(que es un líquido viscoso). El movimiento de una bola vendrá regulado por las leyes de
la Mecánica. Las fuerzas que actúan son (ver figura):
- la gravedad:
Fg  mg  Vg 
4 3
R g ( = densidad del acero = 7.86 g/cm3)
3
- Empuje, según Arquímedes, igual al peso del fluido desalojado:
4
Fe  Vf 0 g  R 30 g , siendo 0 la densidad del fluido.
3
- fuerza de fricción viscosa: Fv  6R v
La ecuación del movimiento (consideramos sentido positivo hacia abajo) es:
dv
, es decir:
dt
4 3
4
dv
R   0 g  6Rv  R 3
3
3
dt
Fg  Fe  Fv  ma  m
(2)
Si dejamos caer libremente una bola sin velocidad inicial en un fluido, al principio la
fuerza viscosa es cero y, si la densidad es mayor que la del fluido, se acelerará debido a
que la fuerza de la gravedad es mayor que el empuje. Pero no descenderá con
movimiento uniformemente acelerado porque conforme la velocidad aumenta aparece la
fuerza de rozamiento viscoso y la aceleración es cada vez menor. Finalmente se
alcanzará una velocidad límite cuando la suma de las tres fuerzas sea cero y a partir de
ese momento la bola se moverá con aceleración nula. La velocidad límite v0 se obtiene
poniendo en la ecuación (2) la aceleración cero:
3
Prácticas de Física I (1er curso, Grados en Ing. de Tecnologías Industriales y Química)
2R 2   0 g
4 3
R   0 g  6Rv 0  0  v 0 
3
9
(3)
, es decir, es proporcional al radio al cuadrado de la bola.
El tiempo T que tardará la bola en alcanzar la velocidad límite es del orden de 4 ó 5
veces el valor:
4 3
R  2 R 2 
.
(4)
T 3

6R
9
En nuestro caso, la velocidad límite se alcanza en pocos centímetros.
MÉTODO OPERATIVO:
I. Principio de Arquímedes: determinación de la densidad de la glicerina.
Se dispone de: una balanza mecánica, cilindros de 10 cm3 de volumen (inmersores) y
una probeta que contiene glicerina.
La balanza consta de un soporte (15) con un tornillo que permite el equilibrado de la
balanza (16), y de una pieza metálica que se apoya sobre él (brazo de la balanza). Dicho
brazo dispone de dos escalas graduadas y dos pesas deslizantes (5) y (6). La mayor de
las pesas desliza sobre una escala graduada en gramos, y la menor sobre una escala
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Prácticas de Física I (1er curso, Grados en Ing. de Tecnologías Industriales y Química)
graduada en centésimas de grado. La balanza estará en equilibrio cuando los punteros
del brazo (11) y del soporte (12) queden perfectamente enfrentados.
Se comienza haciendo un ajuste a cero con el tornillo (16) teniendo las pesas deslizantes
en la posición 0. Cuando la balanza está equilibrada, se coloca en el platillo el cuerpo
que se quiere pesar y se desplazan las pesas sobre las escalas hasta recuperar la posición
de equilibrio de la balanza (se mueve la pesa grande manteniendo la pesa pequeña en
cero, para finalmente ajustar la posición de la pesa pequeña). En estas condiciones,
bastará con sumar los valores de las posiciones en que descansen las pesas para obtener
la masa buscada.
La balanza está preparada para pesar utilizando un platillo (1) y su soporte (2). No es
posible equilibrar la balanza sin ellos, pero resulta más cómodo retirarlos para la
realización de la práctica. Por este motivo se equilibrará la balanza con estos accesorios
y habrá que tener en cuenta que cualquier medida posterior tendrá descontada su masa,
en adelante M. Al obtenerse el empuje como una diferencia de pesos, no será necesario
conocer el valor de M.
Sean maire la masa medida al colgar el inmersor del gancho de la balanza, y mglicerina la
obtenida al sumergir completamente el inmersor en la glicerina. El cilindro no debe
tocar las paredes de la probeta. Al sumergirlo por completo (incluido el tornillo),
experimentará un empuje que se podrá calcular restando al peso del inmersor el
obtenido tras introducirlo en el fluido:
FE = (maire + M) g – (mglicerina + M) g = (maire – mglicerina) g
Aplicando el principio de Arquímedes, se obtiene la siguiente expresión:
(maire – mglicerina) g = Vg
Sólo queda despejar la densidad y obtener su valor (¡no olvidar sus unidades!).
II. Ley de Stokes:
Se trata de dejar caer bolas de acero calibradas en un límite de tubo vertical lleno de
glicerina, que es un líquido muy viscoso. Se lanzarán bolas de distintos radios
(previamente conocidos) y se determinará experimentalmente la velocidad caída de cada
una midiendo con un cronómetro el tiempo que tardan en recorrer la distancia entre dos
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Prácticas de Física I (1er curso, Grados en Ing. de Tecnologías Industriales y Química)
marcas hechas con cinta aislante. Finalmente se representará en papel milimetrado el
R2
cociente
como función de R, que según la fórmula (2) debe ser constante e igual a
v0
9
si la ley de Stokes es válida. De todas formas recuérdese que la ley de
2   0  g
Stokes sólo es válida para pequeñas velocidades, por lo que los puntos se desviarán para
velocidades (y radios) grandes.
1) Se dispondrá de bolas de distinto radio, desde 0.5 mm a 2.5 mm Se dispondrá de un
palmer o calibrador para medir su diámetro o bien estará previamente medido y
anotado.
2) Lanzar 6 bolas de cada tamaño y determinar su velocidad límite de caída (= v 0)
midiendo el tiempo que tardan en recorrer la distancia entre dos marcas del tubo. Anotar
R2
en una tabla los datos obtenidos para cada bola. Calcular los valores de
que resultan
v0
para cada bola.
3) Hacer el promedio de los resultados de R2/v0 que corresponden a bolas del mismo
radio y representarlos en papel milimetrado tomando los valores de R como abscisas.
4) Decir si se cumple la ley de Stokes o no. Obtener la viscosidad de la glicerina de la
extrapolación a R  0.
La viscosidad de la glicerina no puede darse con un único valor. Utilizando un reómetro
de la Facultad de Ciencias, se ha medido la viscosidad de la glicerina que utilizamos en
el laboratorio para diferentes temperaturas en el rango de 10 a 40 ºC.
Medir con un termómetro la temperatura de la sala y comparar el resultado con los datos
obtenidos con el reómetro, que se muestran en la siguiente tabla:
T(ºC)
(poise)
================
10
18,2
15
13,6
20
8,0
25
6,3
30
4,5
35
3,3
40
2,5
6
Prácticas de Física I (1er curso, Grados en Ing. de Tecnologías Industriales y Química)
5) En este rango de temperaturas, el logaritmo neperiano de  es aproximadamente
lineal con la temperatura. Representar gráficamente y  ln ((T) / (20ºC) ) frente a T
(en ºC).
Ajustar los datos de la tabla a una recta por mínimos cuadrados y representar en la
misma gráfica los datos, la recta de ajuste y con un punto el dato medido en esta
práctica. ¿Coincide con lo esperado?
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Prácticas de Física I (1er curso, Grados en Ing. de Tecnologías Industriales y Química)
CUESTIONARIO PRÁCTICA 1:
PRINCIPIO DE ARQUÍMEDES Y LEY DE STOKES
I. Principio de Arquímedes:
Medidas con la balanza: maire=………………
Valor obtenido para la densidad:  =………..
mglicerina=………………
II. Ley de Stokes. Tabla de datos (apartado 2):
R(mm)
t(s)
2
v0(cm/s) R
R(mm)
(cms)
v0
3) y 4) En el papel milimetrado.
Viscosidad :
t(s)
2
v0(cm/s) R
(cms)
v0
Temperatura:
5) Datos de la tabla de viscosidad para distintas temperaturas.



Representar y  ln 
 frente a x  T  º C  . Ajustar los datos a una recta
   20º C  
y  a  bx por mínimos cuadrados y representarla junto con los datos.
Coeficientes del ajuste:
a=.....................
b=.......................
Valor de  obtenido del ajuste a la temperatura de trabajo: ............................
Representar también en la misma gráfica el valor encontrado experimentalmente en la
práctica.
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Prácticas de Física I (1er curso, Grados en Ing. de Tecnologías Industriales y Química)
PRÁCTICA 2
LEYES DE LA DINÁMICA:
2ª LEY DE NEWTON.
OBJETIVO:
En esta práctica se van a manejar las magnitudes básicas de la dinámica de una
partícula y se va a estudiar la relación entre la fuerza que actúa sobre una partícula y la
aceleración que le comunica.
FUNDAMENTO TEÓRICO:
Según la segunda Ley de Newton, la fuerza total F que actúa sobre un cuerpo es la
derivada temporal de su momento lineal p, F  dp / dt . Si la masa del cuerpo, m,
permanece constante durante el movimiento, la ecuación anterior es equivalente a:
F  ma , siendo a la aceleración de la partícula. Partiendo de ésta, puede demostrarse
que las ecuaciones de movimiento de un objeto que se mueve bajo la acción de una
fuerza constante en una trayectoria recta son: S  v0t  at 2 / 2 y v 2f  v02  2aS , donde S
es el espacio recorrido, v0 y v f son las velocidades en los instantes inicial y final
respectivamente y t es el tiempo transcurrido.
Se va a estudiar el movimiento de un carrito de masa mc que puede desplazarse sobre
un carril metálico. Una cuerda que pasa por una polea tira del carrito. La cuerda se
mantiene a una tensión T que puede modificarse colgando pesas de distinta masa (mp)
de un soporte (ms) en el otro extremo de la cuerda.
Como el movimiento del carrito es unidimensional prescindimos de la notación
vectorial de las magnitudes. Si puede despreciarse la acción del rozamiento, las
ecuaciones de movimiento para las masas involucradas son:
m
p
 ms  g  T   m p  ms  a
T  mc a
Cuando se introduce el rozamiento entre el carrito y el carril metálico, la última
ecuación se convierte en:
T – Froz = mca
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(1)
Prácticas de Física I (1er curso, Grados en Ing. de Tecnologías Industriales y Química)
ESQUEMA DEL MONTAJE EXPERIMENTAL Y MATERIAL NECESARIO:
Material necesario:
- Reloj
- Carrito, mc; Pesas, mp.
- Puertas 1 y 2.
-
Soporte guía para el movimiento del Carrito.
Algunos de los elementos de la práctica son bastante delicados. En particular los carritos
y la polea deben ser manejados con mucho cuidado.
Un aspecto importante de esta práctica consiste en la medida precisa de intervalos de
tiempo, para lo que se usan unas puertas fotoeléctricas (dos por montaje) conectadas a
un reloj.
Sobre el carrito móvil se coloca una pieza de cartón (C) con altura suficiente para ser
detectada por la célula (y disparar el reloj) y que permite caracterizar el movimiento del
carrito. Estos medidores tienen varios modos de funcionamiento, que se seleccionan con
el mando correspondiente. En esta práctica vamos a utilizar dos.
Modo “pulso”: El medidor nos proporciona directamente el tiempo que tarda el
carrito en recorrer la distancia entre las dos puertas.
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Prácticas de Física I (1er curso, Grados en Ing. de Tecnologías Industriales y Química)
Modo “gate”: Mide el tiempo durante el que un obstáculo bloquea la célula de
cada una de las puertas. En este caso el obstáculo es la pieza de cartulina colocada sobre
el carrito. Conociendo su longitud (se mide) puede hacerse un cálculo de la velocidad
del carrito cuando atraviesa cada puerta. Es importante tener en cuenta que en este
modo la primera medida de tiempo (durante el que la célula de la primera puerta está
bloqueada) queda almacenada en la línea de abajo (t-1) del medidor. La lectura de la
línea de arriba corresponde al tiempo acumulado de los dos pasos bajo las puertas
fotoeléctricas.
Además del mando que permite seleccionar el modo de medida, hay un botón de “reset”
que permite llevar a cero el reloj en cualquier momento.
Es importante familiarizarse con las diferentes medidas de tiempo que habrá que
realizar antes de comenzar la toma de datos propiamente dicha.
MÉTODO OPERATIVO:
El objetivo es determinar la aceleración del carrito sometido a fuerzas distintas. La
aceleración se determinará de forma indirecta, a partir de la medida de tiempos (célula
fotoeléctrica + reloj) y longitudes (regla). Será necesario medir la masa del soporte y de
las distintas pesas que se cuelguen para tensar la cuerda.
Para cada valor de fuerza aplicada sobre el carrito (distintos valores de la tensión) su
aceleración se va a medir por dos métodos:
Método 1. Partiendo del reposo, se medirá el tiempo que el carrito tarda en
recorrer una determinada distancia. Para ello, trabajando en modo “pulso” dejaremos
suelto al carrito en la posición más próxima posible a la puerta 1, sin que llegue a
dispararse el reloj y dejaremos que pase bajo la puerta 2, situada a una distancia S. Se
repetirá el proceso varias veces y se calculará la aceleración despejando en la ecuación
S  v0t  at 2 / 2 .
11
Prácticas de Física I (1er curso, Grados en Ing. de Tecnologías Industriales y Química)
Método 2. La aceleración del carrito también puede calcularse a partir de los
valores de su velocidad medidos en dos puntos separados una distancia S y usando la
ecuación v 2f  v02  2aS . Para calcular esas velocidades pondremos el medidor de
tiempo en modo “gate” y dejaremos en libertad el carrito desde una posición inicial de
manera que atraviese las dos puertas. Sabiendo la longitud del obstáculo utilizado (lo
medimos) y el tiempo durante el que dicho obstáculo bloquea la célula (lo da el reloj)
podemos calcular la velocidad del carrito al pasar bajo cada una de las dos puertas: v0 y
vf.
Parte 1: Medidas sin rozamiento
Recordar que para cada valor de tensión, (se proponen varios valores para la masa que
cuelga, a título indicativo) habrá que hacer varias medidas de los tiempos (al menos 5)
para obtener un resultado más fiable, mediante promediado. Escoger 3 valores de masas
en los rangos 5-10 g, 30-40 g, 60-70 g.
Parte 2: Medidas con rozamiento
Para aumentar el rozamiento con el carril, se puede acoplar a la parte inferior del carrito
una plaquita con un adhesivo de fieltro. Para la mayor de las masas usadas en el
apartado anterior, se repetirán las medidas que permiten calcular la aceleración por el
método 2 y se compararán los valores de aceleración obtenidos sin y con rozamiento.
Parte 3: Plano inclinado
En esta última parte se va a inclinar el carril convirtiéndolo así en un plano inclinado.
Utilizando una de las masas anteriores para tensar la cuerda, se repetirá la medida de la
aceleración del carrito tal y como se ha hecho antes y se comparará su valor con el
obtenido sin inclinar el carril.
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Prácticas de Física I (1er curso, Grados en Ing. de Tecnologías Industriales y Química)
CUESTIONARIO PRÁCTICA 2:
LEYES DE LA DINAMICA: 2ª LEY DE NEWTON.
1) Medidas sin rozamiento:
Determinar la aceleración del carrito, por los dos métodos descritos, para tres valores de
tensión.
Método 1:
m
t
p
t
1
t
2
t
3
t
4
<t>
5
a
Fórmula usada:
Método 2:
m
p
t
01
t
02
t
03
t
04
t
05
<t >
t
0
f1
t
f2
t
f3
t
t
f4
f5
<t>
Fórmula usada:
Conociendo la aceleración y la masa de las pesas que cuelgan puede calcularse la
tensión de la cuerda T (ecuaciones en (1)). Hacer los cálculos necesarios para rellenar la
tabla:
m
p
(m +m )(g-a)
a (método 2)
S
13
P
ma
c
f
a
Prácticas de Física I (1er curso, Grados en Ing. de Tecnologías Industriales y Química)
¿Son iguales las dos últimas columnas? En caso de que no lo sean, discutir las posibles
causas de la discrepancia.
2) Medidas con rozamiento:
Masa utilizada mp=
Aceleración del carrito
a=
Con los datos de que dispones, ¿es posible calcular el valor de la fuerza de rozamiento
que actúa sobre el carrito?
3) Medidas en el plano inclinado:
Masa utilizada mp=
Aceleración del carrito
a=
¿Es posible calcular el ángulo del plano inclinado a partir de esa medida de la
aceleración teniendo en cuenta los resultados anteriores?
En caso afirmativo, comparar ese ángulo con el valor que puede determinarse
geométricamente.
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Prácticas de Física I (1er curso, Grados en Ing. de Tecnologías Industriales y Química)
PRÁCTICA 3
OSCILACIONES MECÁNICAS:
PÉNDULO DE POHL.
OBJETIVO:
Estudio experimental de las oscilaciones amortiguadas libres y forzadas de un péndulo
de torsión y comparación de los datos experimentales con los calculados.
FUNDAMENTO TEÓRICO:
El péndulo de Pohl (ver dibujo) es un sistema oscilante en el que, para pequeñas
oscilaciones, el ángulo  respecto a la posición de equilibrio varía de forma armónica
con el tiempo. Por tanto, todo el tratamiento descrito en las clases de teoría para el
movimiento libre y forzado (con y sin amortiguamiento) es válido.
PÉNDULO LIBRE AMORTIGUADO
La ecuación de movimiento de este sistema es:
I   B  K
(1)
donde I es el momento de inercia del péndulo, B es una constante de proporcionalidad
que depende de la magnitud del amortiguamiento y K es la constante recuperadora del
muelle de torsión.
Dividiendo por I, nos encontramos con la ecuación característica de un oscilador libre:
       0
2
0
donde  
(2)
B
0 
I es la constante de amortiguamiento y
K
es la frecuencia angular
I
propia (natural) de las oscilaciones libres. En función de cuál sea la relación entre  0 y
 pueden darse tres situaciones:
2
2
1.  0 
Sobreamortiguamiento: el péndulo, tras sacarlo de su posición de
4
equilibrio, vuelve a ella sin oscilar.
2
2
2.  0 
Amortiguamiento crítico: la vuelta al equilibrio se produce lo más
4
rápidamente posible sin oscilar.
15
Prácticas de Física I (1er curso, Grados en Ing. de Tecnologías Industriales y Química)
3.  
2
0
2
4
Oscilador amortiguado. El péndulo oscila siguiendo la ecuación:
t
  A0 e 2 cos  1 t
(3)
donde A0 es la amplitud angular inicial del movimiento y  1   0 
2
2
4
NOTA: Si se utiliza la constante de amortiguamiento definida como =b/2m (o
=B/2I en el péndulo de la práctica), hay que sustituir  por 2 en todas las
expresiones que aparecen en este guión.
PÉNDULO FORZADO AMORTIGUADO
Cuando sobre el péndulo se ejerce un momento externo periódico, dado por la
expresión: M E  M 0 cos t , la ecuación de movimiento en este caso es (siendo
M0
):
F0 
I
       F 0 cos t
2
0
(4)
cuya solución será suma de la solución general vista arriba para las oscilaciones libres
más una solución particular, que caracterizará el estado estacionario de movimiento
descrita por:
  AF cos(t   )
(5)
donde la amplitud del movimiento forzado AF depende de la magnitud del momento
aplicado y de la frecuencia externa 

F0
AF 
  




(6)
2
2
2
(   02)    2
y el desfase entre el momento externo y la oscilación viene dado por:
  arctg

2 
 20  
16




Prácticas de Física I (1er curso, Grados en Ing. de Tecnologías Industriales y Química)
ESQUEMA DEL MONTAJE EXPERIMENTAL Y MATERIAL NECESARIO:
Material necesario:
- Péndulo de torsión (P
PT)
- Caja de control, que incluye:
-Motor impulsor (M
M)
-Fuente de alimentación (F
F) y amperímetro (A) para controlar la intensidad del
circuito
-Cronómetro (C
Cr)

Cr
PT
Conexiones
del circuito
de amortig.
F
OO:OO
00:00
Control de la
intensidad de
amortiguamiento
A
M
Control de la
velocidad del
motor
MÉTODO OPERATIVO:
En este montaje, el amortiguamiento del sistema se controla variando la intensidad que
circula por el circuito (leída en el amperímetro A). La intensidad se varía con el mando
del frontal de la fuente: a mayor intensidad, mayor amortiguamiento.
Por otra parte, el momento impulsor externo actúa sobre el extremo del muelle espiral.
La frecuencia angular  del momento externo puede variarse mediante los dos mandos
del motor (M) situados en la parte inferior del frontal de la fuente. El de la derecha
permite variaciones más pequeñas de la frecuencia (ajuste fino).
En la práctica se trata de:
1 a) Determinar el periodo de las oscilaciones libres del péndulo de torsión. Se aconseja
medir el tiempo que le cuesta al péndulo realizar N oscilaciones (por ejemplo 5) tN y
calcular el periodo: T=tN/N. Hay que realizar varias medidas para disminuir el error.
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Prácticas de Física I (1er curso, Grados en Ing. de Tecnologías Industriales y Química)
Repetir el procedimiento para distintos valores de amortiguamiento (distintos valores de
intensidad del circuito). Hay que controlar cuidadosamente la intensidad
de
amortiguamiento ya que puede ir disminuyendo en el transcurso de la medida y puede
ser necesario retocar el mando correspondiente.
b) Para uno de los valores de amortiguamiento, determinar la constante . Para
ello, observad el decrecimiento de la amplitud (A) de la oscilación en función del
tiempo, siendo A0 la amplitud inicial: An=A0exp(-t/2)=A0exp(-nT/2). (n indica el
número de oscilaciones contabilizadas y T es el periodo de la oscilación). Haced una
tabla de la amplitud de oscilación An en función de n y representad el log(A0/An) frente
a n. Trazad la recta que de forma aproximada mejor se ajuste a los datos que habéis
representado y obtened el valor de  a partir de la pendiente de la recta.
2 a) Para el mismo valor de amortiguamiento utilizado en el apartado anterior y
haciendo actuar el momento impulsor, observad que la amplitud de las oscilaciones
forzadas depende de la frecuencia con que se impulsa. Obtened la curva de resonancia
de amplitud variando la frecuencia del impulso externo.
b) Sabiendo que la anchura a altura mitad  de la curva de resonancia de
amplitud está relacionada con la constante de amortiguamiento mediante la expresión:
=  /3, obtened el valor de  y compararlo con el obtenido en el apartado 1b).
c) Observad el desfase entre la oscilación y el momento externo.
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Prácticas de Física I (1er curso, Grados en Ing. de Tecnologías Industriales y Química)
CUESTIONARIO PRÁCTICA 3
OSCILACIONES MECÁNICAS: PÉNDULO DE POHL
1) OSCILACIONES LIBRES AMORTIGUADAS
a) ¿Cuál es la frecuencia de las oscilaciones libres en ausencia de amortiguamiento?
b) Para los valores indicados de intensidad del circuito de amortiguamiento, indicad
cuáles son las frecuencias de oscilación.
INTENSIDAD (A)
FRECUENCIA(rad/s)
0,4
0,6
0,9
c) Para un valor de amortiguamiento elegido, medid las amplitudes (decrecientes)
An de las oscilaciones sucesivas. Obtened la constante  de amortiguamiento a partir de
la pendiente de la representación de log(A0/An) frente a n.
2) OSCILACIONES FORZADAS
a) Manteniendo el valor del amortiguamiento del apartado 1c), haced una tabla de
valores de amplitud AF de las oscilaciones forzadas para distintas frecuencias de la
fuerza externa (). Dibujad en la hoja de papel milimetrado adjunta la gráfica de A F
frente a  (curva de resonancia).
b) Una vez obtenida la curva de resonancia, determinad la constante  a partir de la
anchura de dicha curva.
c)
Observad el desfase entre la oscilación y el momento externo para
valores de la frecuencia externa  mayores y menores que 0.
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Prácticas de Física I (1er curso, Grados en Ing. de Tecnologías Industriales y Química)
OBJETIVO:
Determinar el coeficiente adiabático  del aire a partir de la oscilación periódica de una
masa m sobre un volumen V de ese gas.
FUNDAMENTO TEÓRICO:
En esta práctica observaremos la oscilación de un cilindro de material plástico en el
interior de un tubo de vidrio (colocado verticalmente) en cuya parte central se ha
practicado un pequeño orificio.
Para mantener una oscilación estable, no amortiguada, se introduce de forma continuada
aire (el gas bajo estudio) en dicho tubo. Supongamos que el oscilador está situado
inicialmente por debajo del orificio del tubo. El gas que fluye hacia el sistema causa una
ligera sobrepresión que mueve al oscilador hacia arriba. Cuando
el cilindro sube por encima de la abertura practicada en el tubo,
el aire se escapa por dicha abertura (y a través de la holgura entre
el tubo de vidrio y el cilindro) provocando una caída de presión
que conlleva la bajada del cuerpo oscilante. Una vez que el
cilindro vuelva a bloquear la salida de aire por el orificio, el flujo
de aire provocará un nuevo aumento de presión que elevará el
cilindro, iniciándose así un nuevo ciclo.
Consideremos la aplicación de la 2ª Ley de Newton al movimiento del cilindro en el
tubo de vidrio. De acuerdo con el esquema de la figura, puede expresarse como:
 Fy  Fin Fout  Fpeso  P  A  P0  A  mg  m
i
20
d 2 y (t )
dt 2
(1)
Prácticas de Física I (1er curso, Grados en Ing. de Tecnologías Industriales y Química)
donde P y P0 son, respectivamente, la presión del aire en el interior y el exterior del
recipiente. En la situación de equilibrio, la resultante de fuerzas se anula y la presión en
el interior del recipiente toma el valor P = Peq :
Peq  A  P0  A  mg  0  Peq  P0 
mg
mg
 P0  2
A
r
(2)
Puesto que el cilindro se separa poco de su posición de equilibrio, el valor de la presión
del gas en el interior del recipiente tampoco se separará mucho de Peq. Definiendo esa
diferencia como P = P - Peq , la ecuación (1) se simplifica a la forma
P  A  P r 2  m
d 2 y (t )
dt 2
(3)
Pero, ¿cómo podemos expresar P en función de y? Dado que el proceso oscilatorio
tiene lugar de forma relativamente rápida, se puede considerar adiabático. La ecuación
de estado de un proceso adiabático para el aire en el interior del recipiente establece que:
PV   C1
(4)
donde V es el volumen de aire,  el coeficiente adiabático que queremos hallar y C1 un
valor constante. La diferenciación de la ecuación (4) nos proporciona la siguiente
relación:
dP
d
P

C1V     C1V  1   ( PV  )V  1  

dV dV
V
De este modo, P  
(5)
P
V . Pero como la variación del volumen V respecto a la
V
situación de equilibrio es precisamente Ay, concluimos que
P  
P
Ay .
V
Reemplazando en (3) llegamos a la nueva expresión
m
d 2 y (t )
P
  A2 y
2
dt
V
…que aún no sabemos resolver porque P y V también dependen de y. Sin embargo, por
hallarnos en el régimen de pequeñas oscilaciones no es mala aproximación suponer que
21
(6)
Prácticas de Física I (1er curso, Grados en Ing. de Tecnologías Industriales y Química)
P Peq
, lo que convierte a (6) en la ecuación de un oscilador armónico en el que la

V Veq
fuerza es proporcional al desplazamiento
m
P
d 2 y (t )
  eq A2 y
2
dt
Veq
y la frecuencia natural de oscilación toma el valor 0  A
(7)
 Peq
mVeq
En consecuencia, el cuadrado del periodo de oscilación es inversamente proporcional al
coeficiente adiabático del gas:
T2 
4mVeq
(8)
 r 4 Peq
Y así podremos determinar a partir de la medición del periodo T.
Por otro lado, el coeficiente adiabático se puede predecir a partir de la teoría cinética de
los gases - con independencia del tipo de gas – considerando únicamente el número de
grados de libertad (f) de las moléculas del gas. Los grados de libertad de las moléculas
de un gas dependen del número de átomos que las componen. Así, un gas monoatómico
tiene solamente 3 grados de libertad, los de la traslación a lo largo de los tres ejes del
espacio, f=3; un gas diatómico tiene 2 grados adicionales debido a su capacidad de
rotación entorno a dos ejes principales de inercia, f=5; y finalmente, los gases
triatómicos tienen 3 grados de libertad por rotación y los 3 de traslación, haciendo que
f=6. Esto significa que a partir de la teoría cinética de los gases, y con independencia
del tipo de gas, el coeficiente adiabático será:  
f 2
f .
Para gases monoatómicos, f=3 y =1.67.
Para gases diatómicos, f=5 y  =1.40.
Para gases triatómicos, f=6 y  =1.33.
Con unos valores típicos de m = 4.59 10-3 kg, V = 1.14 10-3 m3, P0 = 99.56 103 Pa y
r
= 5.95 10-3 m, y tras unas diez medidas de unas 300 oscilaciones cada una, dan un
coeficiente adiabático del aire =1.38±0.08.
22
Prácticas de Física I (1er curso, Grados en Ing. de Tecnologías Industriales y Química)
ESQUEMA DEL MONTAJE EXPERIMENTAL Y MATERIAL NECESARIO:
Material necesario:

Cilindro (oscilador) de masa m y radio r.

Tubo de vidrio donde oscila el cilindro, con una ranura. Está colocado sobre un
matraz.

Soporte y pinza que sujetan lo anterior.

Bomba de aire y tubos de goma para conducir el gas.

Botella “amortiguadora” de la presión de gas.

Llave reguladora del flujo de aire.

Tubo capilar que introduce el aire en el matraz que soporta el tubo de vidrio.

Balanza para pesar el cilindro oscilador, y calibre o micrómetro para medir su
diámetro (se utiliza un cilindro idéntico al del montaje para no manipular éste).
La presión necesaria de aire se genera con una pequeña bomba de aire. Se coloca una
botella entre el oscilador y la bomba de gas para actuar como un amortiguador de la
presión del gas. El aire pasa a través de una válvula reductora para conseguir un ajuste
adecuado de la presión en la zona del montaje que nos interesa. En el tubo que conduce
el aire se inserta un tubito de vidrio con una bolita de algodón en su interior para atrapar
la humedad.
23
Prácticas de Física I (1er curso, Grados en Ing. de Tecnologías Industriales y Química)
Con la válvula reductora se debe regular la velocidad de flujo del gas de modo que el
cilindro oscile simétricamente alrededor de la marca. Si el centro de oscilación se
encuentra claramente por encima de la hendidura, si la oscilación no comienza, o si ésta
cesa cuando la presión del gas se reduce ligeramente, entonces lo más probable es que
haya entrado polvo en el sistema y el tubo de vidrio se debe limpiar de nuevo (avisar al
profesor*).
*Importante: El oscilador es una pieza de precisión y debe ser tratada con cuidado. Si
el oscilador está fuera del tubo, primero se establecerá el flujo de aire y después se
insertará el cilindro. Si el cilindro ya está dentro no hay que sacarlo, sino poner en
marcha la bomba. En ambos casos y ante cualquier modificación de la presión, debéis
colocar una mano sobre la abertura del tubo hasta que se obtenga una amplitud de
oscilación estable. La mano evitará una posible expulsión del cilindro del tubo de vidrio
por exceso de presión. Si el cilindro cae podría deformarse y dejar de ser válido para
oscilar dentro del tubo. Si el oscilador queda atascado en el extremo inferior del tubo,
hay que retirar el tubo de vidrio y aflojar cuidadosamente el oscilador con el extremo
romo de un lápiz. Además debéis ser cuidadosos con el material de vidrio,
especialmente con el tubo de oscilación.
MÉTODO OPERATIVO:
Medid la masa m del oscilador mediante una balanza.
Medid el diámetro 2r del oscilador testigo con un calibre. Tomad el valor medio de
varias mediciones en diferentes posiciones, ya que de este resultado depende en gran
medida la exactitud del objetivo de esta práctica.
Considerad g=9,8 m/s2 y medid la presión atmosférica P0 en el laboratorio con un
barómetro para obtener el valor de Peq.
El volumen de aire Veq (medido hasta la ranura del tubo) ha sido determinado
previamente para cada montaje, y aparece anotado sobre el matraz.
La parte experimental más delicada de esta práctica es la determinación del período T
de oscilación. Se utiliza el mismo cronómetro que en la práctica 2, pero esta vez en
modo “péndulo”. No obstante este modo está diseñado para otro tipo de medidas, con lo
24
Prácticas de Física I (1er curso, Grados en Ing. de Tecnologías Industriales y Química)
que habrá que hacer una pequeña adaptación de los resultados obtenidos. Si observáis el
piloto rojo que se enciende y apaga en el cronómetro (no en la puerta detectora)
comprobaréis que no mide en todas las oscilaciones (se registran dos de cada cuatro
oscilaciones), y además podréis observar que considera que ha transcurrido una
oscilación cuando el detector se bloquea y libera dos veces. En nuestro caso cada paso
del cilindro será una oscilación, con lo que el número de ciclos que leeréis en la pantalla
del cronómetro será la mitad del número de oscilaciones que deberéis anotar. ¡No
olvidéis multiplicar por dos el número de ciclos! Una vez hecha esta cuenta, el tiempo
que aparece en la pantalla será el transcurrido durante el número de ciclos calculado, de
donde puede obtenerse fácilmente el período T.
Es importante saber que la posición del detector es crítica: la altura del detector deberá
ser tal que el oscilador pase por ella y la vuelva a dejar libre en cada oscilación, porque
en caso contrario nos saltaremos oscilaciones. Por otra parte, para que el detector
funcione deberéis colocarlo de forma que la línea que une la célula fotoeléctrica y el
emisor sea casi tangente al tubo. Os puede llevar algo de tiempo encontrar la posición
adecuada. Sabréis que lo habéis conseguido cuando se encienda y apague el piloto rojo
incluido en el detector con cada oscilación.
Los valores medidos no dejarán de ser una aproximación al valor real de la magnitud
medida. Como en prácticas anteriores, intentaremos aproximarnos al valor real
realizando una serie de medidas y calculando el valor promedio de todas ellas, pero en
esta práctica daremos un pequeño paso más y calcularemos el error relativo. Nunca
basta con hacer una única medida, porque cualquier equivocación estropearía el
resultado del experimento. Haréis los siguientes cálculos:
1.
Cálculo de la media.
Se tomará como valor de la magnitud la media aritmética de los diversos valores
obtenidos. Si se realizan n medidas x1, x2,..., xn, el mejor valor que podemos dar de la
magnitud medida es la media x :
x
1
n
 xi
n i 1
25
Prácticas de Física I (1er curso, Grados en Ing. de Tecnologías Industriales y Química)
2. Cálculo del error absoluto x:
El error absoluto se define a partir del error en cada medición: i = |X − xi|, donde X es
el valor real de la magnitud, imposible de conocer. Sustituiremos el valor real por la
media obtenida en el apartado anterior, y la diferencia entre los valores medidos y dicha
media nos permitirá obtener x. Se aplica la siguiente definición:
x = (a+b)/2, donde a=max{i} y b=min{i}.
Llamaremos error absoluto a x. Puesto que tiene las mismas dimensiones que x, la
forma correcta de expresar cualquier magnitud es la siguiente:
(número ± error) unidades = (x ± x) unidades
3. Cálculo del error relativo x:
El error relativo se define como la relación entre el error absoluto y el valor real de la
magnitud
 = /|X|. Tampoco puede evaluarse exactamente, pero se utiliza su cota superior: x
x/|X|. Este error suele expresarse en %, multiplicando x por 100, y carece de
unidades.
Desechando medidas: A veces se obtienen medidas muy distintas al resto, que influyen
negativamente en los resultados desviando la media y aumentando el error. Si uno está
seguro de que un determinado valor “extraño” es debido a un error de medida y que no
refleja un efecto físico no previsto, se puede desechar y trabajar únicamente con el resto.
26
Prácticas de Física I (1er curso, Grados en Ing. de Tecnologías Industriales y Química)
CUESTIONARIO PRÁCTICA 4:
COEFICIENTE ADIABÁTICO
FLAMMERSFELD
1.
AIRE:
OSCILADOR
DE
Anota los valores del radio y la masa del cilindro oscilante:
Radio =
2.
DEL
Masa=
Medida del período de oscilación:
Completa la siguiente tabla con las medidas de tiempo obtenidas y el error relativo
calculado:
Medida1 Medida2 Medida3 Medida4 Medida5
Número de
t1
t2
t3
t4
t5
T
 
oscilaciones
50
100
200
300
3.
Anota el valor de la presión atmosférica que proporciona el barómetro sin olvidar
sus unidades.
P0 =
Anota el volumen de aire que cabe en el sistema (hasta la rendija).
Veq =
4.
Utilizando los datos anteriores y los proporcionados en el guión, calcula el
coeficiente adiabático del aire (completar la última columna de la tabla). A la vista de
los valores obtenidos, da el valor que estimes más adecuado a deducido.
deducido =
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Prácticas de Física I (1er curso, Grados en Ing. de Tecnologías Industriales y Química)
APÉNDICE
Ajuste por el método de MÍNIMOS CUADRADOS
Un problema muy general es obtener el mejor valor de una magnitud a partir de varias
medidas. En muchas ocasiones la relación funcional entre dos magnitudes x e y que
pueden medirse en un experimento es una relación lineal. Cuando realizamos el ajuste
por mínimos cuadrados de N parejas (x,y) de datos experimentales, nuestro objetivo es
obtener la ecuación de la recta que mejor representa a los datos medidos. Es decir,
tenemos que calcular a partir de los datos medidos, los parámetros a y b que determinan
la ecuación de una recta:
y = bx + a
(1)
donde b es la pendiente de la recta y a es la ordenada en el origen, es decir la altura a la
que corta la recta al eje de ordenadas.
Para concretar, supongamos que los valores que han resultado de un experimento son
los siguientes:
xi
yi
1
1,3
2
2,5
3
3,9
4
4,1
5
5,9
6
6,1
Ante un problema de este tipo, lo primero que conviene hacer es representar
gráficamente los resultados para observar si los valores medidos se aproximan a una
recta o no.
7
6
y
5
4
3
2
1
0
0
1
2
3
x
4
5
6
7
Figura: Representación de los pares de valores xi, yi correspondientes al experimento.
Se observa que los puntos están “casi” alineados. La recta que parece representar mejor
28
Prácticas de Física I (1er curso, Grados en Ing. de Tecnologías Industriales y Química)
la relación se ha dibujado “a ojo”. Es importante darse cuenta de que los seis puntos
dibujados no están todos sobre la misma recta. Esto es debido a los errores de las
medidas, por lo que los puntos se distribuyen de forma más o menos aleatoria en torno a
esa recta. A pesar de ello es claramente visible la tendencia lineal de los puntos.
Para determinar la recta que mejor se adapta a los puntos se emplea el llamado
método de los mínimos cuadrados. Para un valor de x determinado, la recta de ajuste
proporciona un valor diferente de y del medido en el experimento. Esta diferencia será
positiva para algunos puntos y negativa para otros, puesto que los puntos se disponen
alrededor de la recta. Por este motivo, la suma de estas diferencias para todos los puntos
es poco significativa (las diferencias negativas se compensan con las positivas). Por
ello, para medir la discrepancia entre la recta y los puntos, se emplea la suma de los
cuadrados de las diferencias, con lo que aseguramos que todos los términos son
positivos. Esta suma tiene la forma:
N
   ( yi  bxi  a) 2
(2)
i 1
De todas las posibles rectas que podemos trazar, caracterizadas por los parámetros a y b,
la recta que mejor se ajusta a los puntos es la que hace mínima la suma expresada en la
ecuación (2). Esto es fácil de comprender, puesto que esta suma representa la
discrepancia entre los puntos y la recta.
Las condiciones de mínimo (primeras derivadas nulas) conducen a las ecuaciones:
N
N
N
i 1
i 1
i 1
b xi2  a  xi   xi yi
(3)
N
N
i 1
i 1
b xi  aN   yi
donde N es el número de parejas de valores de que se parte para determinar la recta.
La solución de ese sistema son los valores de a y b. Dichas soluciones son:
29
Prácticas de Física I (1er curso, Grados en Ing. de Tecnologías Industriales y Química)
N
y
N
N
b
 xi
N
 xi y i
i 1
i 1

N
x
N
i 1
N
N
x x
i 1
i
i 1
N
y
i 1
N
a
i
i 1
N
N
N  xi y i   y i  xi
i 1
N  xi 
i
 
i 1
N
2
i 1
i 1
2
N
i 1
xi
2
i
N
i
 xi y i
i 1
x
i 1
N
 xi
i
2
i 1
N
x
N
i 1
N
N
x x
i 1
N
i
i 1
i

N
N
i 1
i 1
N
N
 y i  xi   xi  xi y i
2
 
i 1
N
N  xi 
2
i 1
i 1
2
N
i 1

N
N
i 1
i 1
 y i  b xi
xi
N
2
i
(4)
Con los datos del ejemplo y aplicando las ecuaciones anteriores, se obtiene:
b
6 x 100,5  23,8 x 21
 0,98
6 x 91 - 212
a
23,8 x 91  21 x 100,5
 0,53
6 x 91 - 212
coeficientes de la recta que mejor se ajusta a los datos según este método.
El caso de una relación lineal que hemos tomado como ejemplo no es tan especial como
podría pensarse, porque muchas relaciones funcionales de interés pueden transformarse
en lineales con un cambio de variable adecuado y/o tomando logaritmos.
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