Topología y curvatura de superficies minimales en ℝ 3

“Topologı́a y curvatura
de superficies minimales de R3”
(sobre un trabajo de Pascal Collin)
Ma Magdalena Rodrı́guez Pérez (2001/2003)
2
Quisiera dedicar este trabajo a Joaquı́n Pérez, mi director de tesis,
a quien agradezco enormemente su dedicación y paciencia conmigo; y
a Jose y Ma José, por esas conversaciones constructivas y... por tantas
otras cosas.
Agradezco a Luis, Gabri, Javi, Ana, Antonio, Isa, César, Santi, Jose
Antonio y Pablo las cervecillas, los cafelillos y esos momentos de risas
que nos permiten seguir adelante.
3
4
Índice general
Introducción
7
Preliminares
13
El Problema de Plateau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Principios del máximo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Grafos minimales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1. Algunos resultados sobre grafos minimales
23
2. La tercera función coordenada de E es propia
43
3. Caracterización geométrica de anillos con curvatura total infinita 53
4. Grafos extraı́dos de superficies minimales estables
67
5. Demostración del Teorema Principal
79
Bibliografı́a
101
5
6
Introducción
En el siglo XVIII, el fı́sico-matemático suizo L. Euler comenzó a desarrollar
el método del Cálculo Variacional, que llegó a convertirse en uno de los instrumentos más importantes tanto en Matemáticas como en Fı́sica. El objetivo inicial de
Euler consistı́a en encontrar las longitudes máxima y mı́nima de curvas cumpliendo
ciertas condiciones (como pueden ser valores frontera prefijados). Posteriormente, J.
L. Lagrange (también fı́sico-matemático, nacido en Turı́n) aplicó los resultados de
Euler a diversos problemas. Entre ellos, el problema consistente en encontrar una
superficie que realizase un mı́nimo del funcional área y que tuviese valores frontera
prefijados (éste es el llamado Problema de Plateau, ver página 14). Ası́ surge, en el
siglo XVIII, la Teorı́a de Superficies Minimales en R3 .
En un primer paso, Lagrange restringió su estudio a las superficies obtenidas
como grafo de una función u, y obtuvo la ecuación de grafos minimales:
(1 + u2x2 )ux1 x1 − 2ux1 ux2 ux1 x2 + (1 + u2x1 )ux2 x2 = 0 ,
(1)
∂u
,
que es una ecuación casilineal elı́ptica de segundo orden (denotaremos uxi = ∂x
i
∂2u
uxi xj = ∂xi∂xj ). Pese a haber obtenido la ecuación (1), Lagrange no se preocupó de
buscar soluciones no triviales de dicha ecuación; ası́, la única superficie minimal que
se conocı́a era el plano. Euler descubrió la catenoide (inicialmente llamada alysseide),
superficie de revolución obtenida a partir de la catenaria; aunque fue el teórico
aeronáutico, geómetra y militar francés J. B. M. Meusnier quien comprobó que
porciones gráficas tanto de la catenoide como del helicoide verifican la ecuación (1).
Meusnier observó que todos los grafos de funciones verificando la ecuación (1) tenı́an
curvatura media H cero. La curvatura media del grafo de una función u definida
sobre un dominio del (x1, x2)-plano viene dada por
1
2
2
(1
+
u
)u
−
2u
u
u
+
(1
+
u
)u
H(u) =
x1 x1
x1 x2 x1 x2
x2 x2 ,
x2
x1
2(1 + |∇u|2)3/2
siendo ∇u = (ux1 , ux2 ) el gradiente de u. Surgió entonces el concepto de superficie
minimal: se dice que una superficie es minimal si su curvatura media es idénticamente nula (esto es, H = 0). Ahora bien, como toda superficie (regular) se escribe
localmente como un grafo, concluı́mos que toda superficie minimal proviene de soluciones locales de la ecuación (1). Además, es posible probar que todo grafo minimal
es un mı́nimo del área con sus condiciones frontera prefijadas. Por tanto,
7
“Para cada punto de una superficie minimal, existe un entorno de dicho punto
cuya área es la menor de entre todas las superficies con igual frontera”.
Y esta propiedad caracteriza a las superficies minimales.
Hasta más de medio siglo más tarde no surgieron nuevos ejemplos de superficies minimales: las superficies de Scherk (en honor al matemático alemán H. F.
Scherk, quien las descubrió), que son ejemplos concretos de grafos de Jenkins-Serrin
(ver Teorema 21). Por esa época (primera mitad del siglo XIX), se descubrieron relaciones entre la Teorı́a de Superficies Minimales y las Teorı́as de Funciones Armónicas
y Analı́ticas, lo cual permitió enormes avances en la resolución del Problema de
Plateau por parte de importantes matemáticos de la talla de Monge, Legendre,
Schwarz, Riemann o Weierstrass. Enneper y Weierstrass dieron un método de construcción de superficies minimales partiendo de dos funciones meromorfas definidas
sobre una superficie de Riemann cumpliendo una cierta condición de compatibilidad:
la Representación de Weierstrass [19]. La representación de Weierstrass fue prácticamente olvidada hasta que en los años 60 el matemático neoyorkino R. Osserman
la recuperó, lo cual permitió avanzar considerablemente en el conocimiento sobre superficies minimales completas aplicando resultados conocidos en Análisis Complejo
y en la teorı́a de Superficies de Riemann.
En este trabajo estudiaremos la relación entre la topologı́a y la curvatura total
de una supericie minimal M propiamente embebida en R3 (ver página 13), siendo
la curvatura total de M la integral sobre M de su curvatura de Gauss K
Z
C(M) =
K.
M
En un primer paso, supongamos que M es completa, inmersa (se admiten autointersecciones) y tiene curvatura total finita. En tal caso, el tipo conforme de M es el una
superficie de Rieman compacta menos una cantidad finita de puntos, llamados finales. Esto es consecuencia de un Teorema de Huber [8, 27]. Además, Osserman [19]
probó que en esta situación, la aplicación de Gauss de M se extiende conformemente
a los finales. Si adicionalmente los finales están embebidos, entonces un trabajo de
Schoen [25] nos dice que cada final de M es asintótico a un plano (en cuyo caso
se dice que es un final plano) o a media catenoide (y se dice que el final es de tipo
catenoide). Por lo tanto, si la curvatura total de M es finita, conocemos tanto su
topologı́a como su comportamiento asintótico.
No cabe esperar que topologı́a finita* implique curvatura total finita, ni siquiera
para superficies minimales propiamente embebidas, como bien pone de manifiesto
el helicoide. En [15], Meeks y Rosenberg aseguran que si el espacio ambiente es
*
Una superficie M tiene topologı́a finita si es homeomorfa a una superficie compacta finitamente
punteada.
8
completo, llano y no simplemente conexo (en vez de ser R3 ), entonces para superficies minimales propiamente embebidas equivalen topologı́a finita y curvatura total
finita. Nosotros queremos mantener R3 como espacio ambiente, ası́ que buscaremos
una hipótesis adicional sobre M para obtener un recı́proco, y ver cómo influye la
topologı́a de M sobre su curvatura total.
Nitsche demostró [18] que la catenoide vertical es el único anillo minimal propiamente embebido en R3 que corta cada plano horizontal siguiendo una curva de
Jordan estrellada, y lanzó la siguiente Conjetura que lleva su nombre:
Conjetura 1 La catenoide vertical es el único anillo minimal propiamente embebido
en R3 cuya intersección con cada plano horizontal consiste en una curva de Jordan.
Hoffman y Meeks probaron que una superficie minimal M propiamente embebida
en R3 puede tener como mucho dos finales (topológicamente) anulares con curvatura
total infinita, y conjeturaron lo siguiente:
Conjetura 2 Si M tiene al menos dos finales, entonces no tiene ningún final anular
con curvatura total infinita.
En [14], Meeks y Rosenberg afirmaban que los posibles finales anulares de M
con curvatura total infinita deben ser parabólicos; es decir, su tipo conforme es el
de S1 × [0, ∞) y cortan cada plano horizontal (salvo posible rotación) siguiendo una
curva de Jordan. Este trabajo de Meeks y Rosenberg motivó a Pascal Collin para
escribir [2], artı́culo que estudiaremos detalladamente a lo largo de este trabajo. En
él, se prueba el siguiente resultado:
Teorema 3 (Teorema Principal, [2]) Sea E un anillo minimal propiamente embebido en un semiespacio H ⊂ R3 tal que ∂E es una curva de Jordan contenida en
∂H. Entonces, E tiene curvatura total finita.
A continuación, comentaremos algunas consecuencias del Teorema 3, entre las
que se encuentran soluciones a las Conjeturas 1 y 2.
Teorema 4 Sea M una superficie minimal propiamente embebida en R3 con al
menos dos finales, y sea E un final anular de M. Entonces, E tiene curvatura total
finita.
Demostración. Un resultado de Meeks y Rosenberg [14] asegura que en nuestra
sutuación, E es asintótico a un plano y tiene curvatura total finita, o bien x3|E
es una función armónica propia. En este último caso, por el principio del máximo
(y por el Teorema de Sard) podemos considerar un subanillo E 0 ⊂ E con E − E 0
compacto, tal que E 0 cumple las hipótesis del Teorema Principal. Por tanto, E 0 tiene
curvatura total finita y lo mismo le pasa a E.
2
9
Teorema 5 Sea M una superficie minimal propiamente embebida en R3 con al
menos dos finales. Entonces, M tiene topologı́a finita si y sólo si M tiene curvatura
total finita, en cuyo caso la curvatura total de M viene dada por
C(M) = −4π grado(g) = 2π(χ(M) − n),
(2)
siendo n ≥ 2 el número de finales de M.
Demostración. Si M tiene curvatura total finita, entonces la ecuación (2) es la conocida fórmula de Jorge y Meeks [10]. Queda probar que si M tiene topologı́a finita,
entonces tiene también curvatura total finita. Como M tiene topologı́a finita, todos
sus finales son anulares y sólo hay una cantidad finita n de ellos. Como n ≥ 2, el
Teorema 4 asegura que cada final de M tiene curvatura total finita, luego M también
la tiene.
2
El Teorema 5 admite como corolario inmediato la Conjetura de Nitsche, ya que
nos afirma que una superficie M verficando las hipótesis de la Conjetura 1 tiene
curvatura total finita igual a −4π. Por tanto, M ha de ser una catenoide [19].
Teorema 6 La única superficie minimal propiamente embebida en R3 con exactamente dos finales y topologı́a finita es la catenoide.
Demostración. Sea M una superficie minimal propiamente embebida en R3 con exactamente dos finales y topologı́a finita. Sabemos por el Teorema 5 que M tiene
curvatura total finita. Como M es propia, también es completa y ahora el Teorema 6 se deduce directamente de un Teorema de Schoen [25], que caracteriza la
catenoide como la única superficie minimal inmersa en R3 , con curvatura total finita
y exactamente dos finales embebidos.
2
Teorema 7 Sea M una superficie minimal propiamente embebida en R3 de género
cero con n ≥ 2 finales. Entonces, n = 2, y M es una catenoide.
Demostración. No es más que aplicar el Teorema 5 y un resultado de López y Ros [12]
que dice que las únicas superficies minimales completas en R3 con curvatura total
finita y género cero son la catenoide y el plano.
2
Del Teorema 7 se deduce también claramente que la Conjetura de Nitsche se
resuelve positivamente.
Para terminar esta introducción, veamos un esquema de la demostración del Teorema Principal. Comencemos notando que no es restrictivo suponer que el semiespacio H que aparece en el enunciado del Teorema Principal es {X = (x1 , x2, x3) :
x3 ≥ 0}. Para cada t ∈ R denotaremos por Pt al plano horizontal {x3 = t}. Ası́, un
final E en las condiciones del Teorema Principal será un final anular propiamente
10
embebido en el semiespacio superior H, y su frontera ∂E será una curva de Jordan
contenida en ∂H = P0 .
En el Capı́tulo 1 probaremos en primer lugar un lema técnico, que asegura que
toda superficie minimal M propiamente embebida en la región {x1 ≥ 0, 0 ≤ x3 ≤ t0 }
con borde ∂M contenido en P0 salvo posiblemente un compacto, es necesariamente
asintótica a P0 . Probaremos lo anterior dejando a M por debajo de un grafo minimal
asintótico a P0 . A su vez, este grafo minimal se obtendrá aplicando una homotecia
al lı́mite de una sucesión de grafos de Jenkins-Serrin con valores frontera por encima de M (ver Teorema 21 para una descripción de grafos de Jenkins-Serrin). Este
lema técnico nos permitirá demostrar el Teorema 1.4, que dirá que si Ω es un dominio contenido en un semiplano H sobre el cual se define una solución u 6= 0 de la
ecuación (1) con u|∂Ω = 0, entonces contiene (salvo posiblemente un compacto) a toda semirrecta r ⊂ H no paralela a ∂H. El último resultado de este primer Capı́tulo
es el Teorema 1.8, que prueba que si u, v son dos soluciones de la ecuación de grafos
minimales con gradiente acotado, definidas sobre un dominio Ω ⊂ R2 con frontera
no compacta y tales que u|∂Ω = v|∂Ω salvo un compacto, entonces sus grafos o bien
son asintóticos o bien se alejan más que cualquier potencia del logaritmo.
Comenzaremos el Capı́tulo 2 con el Lema 2.1, que nos permite asegurar que un final E en las condiciones del Teorema Principal o está contenido en P0 o tiene tercera
función coordenada no acotada. En este último caso, demostraremos un resultado
de Meeks y Rosenberg [14] (Teorema 2.2) que asegura que x3 es propia (es decir,
E corta a cada banda horizontal {0 ≤ x3 ≤ t} en un compacto para cada t ≥ 0).
Para probar el Teorema 2.2 supondremos por reducción al absurdo que x3 |E no es
propia y construiremos un grafo minimal G con gradiente acotado definido sobre un
dominio simplemente conexo de P0 con frontera no compacta, y ∂G estará (salvo un
compacto) a altura constante a0 . Pero G contendrá un arco propio y divergente a
altura estrictamente menor que a0, luego G no podrá ser asintótico a Pa0 , contradiciendo ası́ el Teorema 1.8. Como consecuencia del Teorema 2.2 obtendremos que E se
puede parametrizar conformemente en {0 < |z| ≤ 1} con tercera función coordenada x3 (z) = − ln |z|. En particular, no existirá ningún punto con normal vertical en E.
El Capı́tulo 3 lo dedicaremos a hacer un estudio de la geometrı́a de un final E
en las condiciones del Teorema Principal, supuesto que éste tiene curvatura total
infinita (ya que el Teorema Principal lo demostraremos por reducción al absurdo).
En concreto, estudiaremos el corte de E con planos Π tranversales a E y no horizontales. Veremos que si Π ∩ ∂E = ∅, entonces Π ∩ E contiene al menos una
curva no compacta y a lo más una curva compacta (en este último caso, la curva
compacta será homóloga a ∂E). Si además Π contiene al vector flujo a lo largo
de ∂E (definido en la página 55), entonces Π ∩ E contendrá infinitas componentes
conexas. A continuación introduciremos un nuevo concepto: diremos qué significa
que una componente de la intersección de E con un semiespacio con frontera no
11
horizontal está bien o mal orientada. Finalmente, demostraremos como resultado
central de este Capı́tulo la Proposición 3.6, que asegura la existencia de un plano Π
no horizontal y transversal a E y de dos componentes conexas bien orientadas S1
y S2 de la parte de E a un lado de Π, que son simplemente conexas, con frontera
contenida en Π y que se pueden unir a ∂E mediante arcos contenidos en E −(S1 ∪S2 ).
En el Capı́tulo 4 daremos un método para extraer grafos a partir de superficies
minimales estables bajo ciertas condiciones técnicas. Estas condiciones serán verificadas por ciertos discos estables Dn contenidos en el dominio exterior H− de E en
H, discos obtenidos a partir de las componentes S1, S2 dadas en la Proposición 3.6
por aplicación del Lema de Dehn.
Finalmente, en el Capı́tulo 5 construiremos una curva c0 homotópicamente no
trivial en H− contenida en una unión de grafos extraı́dos a partir de uno de los
anteriores discos estables, Dm0 ; como en particular tendremos c0 ⊂ Dm0 ⊂ H− ,
obtenemos la contradicción deseada (Dm0 es un disco pero c0 es no nulhomotópica
en H− ), probando ası́ el Teorema Principal.
12
Preliminares
Una superficie M de R3 se dice minimal si tiene curvatura media H = 0.
Diremos que M es embebida si no tiene autointersecciones; y que M es propia si la
intersección de M con cualquier bola cerrada de R3 es un compacto de M.
En [6] podemos encontrar una prueba de que, en general, dada una superficie
orientable Σ ⊂ R3, si denotamos** por i = (x1 , x2, x3)|Σ a la inclusión de Σ en R3, y
por ∆i = (∆(x1|Σ ), ∆(x2|Σ ), ∆(x3|Σ )) a su Laplaciano, entonces
∆i = 2HN,
donde N : Σ → S2 es la aplicación de Gauss definida sobre Σ y H es la curvatura
media de Σ respecto de N . En particular, esto nos dice que las funciones coordenadas de una superficie minimal orientable son funciones armónicas respecto de la
estructura de superficie de Riemann inducida por su primera forma fundamental.
Lo anterior es un ejemplo de la estrecha relación que existe entre la Teorı́a de
Superficies Minimales y el Análisis. Otra muestra de ello es la siguiente versión del
Principio de Reflexión de Schwarz para minimales y la aplicación, por ejemplo, del
Teorema Grande de Picard en distintos puntos a lo largo de este trabajo.
Teorema 8 (Principio de Reflexión de Schwarz [6]) Si una superficie minimal
M contiene un segmento rectilı́neo l, entonces M es invariante por la rotación de
ángulo π alrededor de la recta que contiene a l. Además, si M contiene en su frontera
un segmento rectilı́neo l, entonces M se puede extender por la rotación de ángulo
π alrededor de la recta que contiene a l, obteniendo ası́ una superficie minimal que
contiene a l en su interior.
Teorema 9 (Teorema grande de Picard) Sea f una función holomorfa definida
en un disco punteado {0 < |z| < r} ⊂ C, para cierto R > 0. Si f tiene una
singularidad esencial en z = 0, entonces f toma todos los valores en C infinitas
veces salvo a lo más una excepción.
**
x1, x2, x3 denotarán a lo largo de todo este trabajo las coordenadas euclı́deas de
13
R3 .
Una superficie minimal M ⊂ R3 se dice estable si para cualquier dominio relativamente compacto Ω ⊂⊂ M *** se tiene que el funcional área definido sobre variaciones normales (no triviales) de Ω que fijan ∂Ω tiene segunda derivada no negativa;
es decir, si cada compacto contenido en M es un mı́nimo del área en el conjunto
de superficies minimales “cercanasçon igual frontera. Un Teorema de Do Carmo y
Peng [?] asegura que la única superficie orientable, minimal completa y estable en
R3 es el plano.
Teorema 10 [26, 21] Existe una constante C > 0 cumpliendo que para cada superficie minimal estable M ⊂ R3 y cada punto P ∈ M se tiene
|K(P )| ≤
C
,
distM (P, ∂M )2
donde K es la curvatura de Gauss de M y distM (P, ∂M ) es la distancia intrı́nseca
entre P y la frontera de M.
El Problema de Plateau
El Problema de Plateau consiste en encontrar una superficie minimal (con
topologı́a prescrita) cuya frontera sea la unión de una familia prefijada de curvas
de Jordan disjuntas de R3. Recibe este nombre en honor al fı́sico belga J. A. F.
Plateau, quien interpretó fı́sicamente dicho problema: la pelı́cula jabonosa formada
entre curvas cerradas de alambre es una superficie minimal. Inmediatamente después
de estudiar la existencia de solución de un Problema de Plateau, surge la preguntas
de si, en caso de existir solución, es única o si está embebida.
Sea W ⊂ R3 un subdominio compacto con frontera diferenciable a trozos consistente en una cantidad finita de 2-sı́mplices con ángulos interiores menores o iguales
que π, y cada 2-sı́mplice con curvatura media no negativa respecto del normal interior de W . Diremos que la frontera de W es una buena barrera para resolver el
Problema de Plateau.
Teorema 11 ([16]) Sea W ⊂ R3 un subdominio compacto cuya frontera es una
buena barrera para resolver el Problema de Plateau y Γ una unión disjunta de curvas
diferenciables a trozos, contenidas en ∂W , que bordean una superficie compacta y
orientable Σ ⊂ W . Entonces, existe una solución M embebida en W del Problema
de Plateau para Γ. Además, M es homotópica a Σ y tiene la menor área de entre
todas las superficies orientables contenidas en W , homotópicas a Σ y con frontera
Γ (en particular, M es estable).
Teorema 12 (Lema de Dehn [16, 17]) Sea W ⊂ R3 un subdominio compacto
cuya frontera es una buena barrera para resolver el Problema de Plateau y Γ una
***
Escribiremos Ω ⊂⊂ M cuando Ω sea un dominio contenido en M y Ω sea compacto.
14
curva de Jordan en ∂W que sea nulhomotópica en W . Entonces, existe un disco
D ⊂ W minimal y embebido con ∂D = Γ, que tiene la menor área de entre todas las
superficies orientables contenidas en W con frontera Γ. En particular, D es estable.
Teorema 13 (Radó [23]) Sea Γ ⊂ R3 una curva de Jordan regular que admite
una proyección inyectiva sobre una curva plana, convexa y regular Γ0 . Entonces,
existe una única solución M del Problema de Plateau para Γ. Además, M es grafo
sobre el dominio acotado por Γ0 y minimiza el área en la familia de superficies de
R3 con frontera Γ. En particular, M es estable.
Principios del máximo
Teorema 14 Sea Ω ⊂ R2 un dominio regular y sean u1, u2 dos soluciones de la
ecuación de grafos minimales (1). Entonces,
1. Si u1 − u2 alcanza un máximo local en Ω, entonces u1 − u2 es constante.
2. Si Ω es acotado y u1 ≤ u2 en ∂Ω, entonces u1 ≤ u2 en Ω.
3. Si Ω es acotado y u1 = u2 en ∂Ω, entonces u1 = u2 en Ω.
Sean M1 y M2 dos superficies minimales de R3 y P un punto de M1 ∩ M2 donde
ambas superficies son tangentes (es decir, TP M1 = TP M2). Supongamos que M1 , M2
vienen dadas localmente alrededor de P como grafos respectivos de u1, u2, funciones
definidas sobre un entorno del plano tangente común en P . Diremos que M1 se queda
a un lado de M2 alrededor de P si u1 ≤ u2 (resp. u1 ≥ u2), y lo denotaremos por
M1 ≤ M2 (resp. M1 ≥ M2 ).
Teorema 15 (Principio del máximo [25]) Sean M1 y M2 dos superficies minimales de R3. Supongamos que se da una de las dos siguientes situaciones:
1. 0 es un punto interior de ∂M1 ∩ ∂M2 , T0M1 = T0M2 y T0∂M1 = T0∂M2 .
2. 0 es un punto interior de M1 y M2 , y T0 M1 = T0 M2.
Entonces, M1 ≥ M2 en un entorno de 0 sólo si M1 = M2 en dicho entorno.
Una vez que sepamos que dos superficies minimales coinciden en un abierto no
vacı́o, un argumento de conexión permite asegurar el siguiente enunciado.
Corolario 16 Sean M1 , M2 ⊂ R3 dos superficies minimales cerradas, conexas y
posiblemente con borde. Supongamos que M1 ∩ M2 contiene un conjunto con interior
no vacı́o en las topologı́as inducidas de M1 y M2. Si ∂M2 ∩ M̊1 = ∅, entonces
M1 ⊂ M2 .
15
Existe una versión más sofisticada del principio del máximo debida a Meeks y
Rosenberg [13] (ver también Langevin y Rosenberg [11]), que afecta a superficies
minimales posiblemente no compactas.
Teorema 17 (Principio del máximo en el infinito) Sea M1 , M2 dos superficies
minimales propiamente inmersas en R3 , conexas, disjuntas, con frontera compacta
(posiblemente vacı́a). Entonces,
1. Si ∂M1 6= ∅, entonces existen X ∈ ∂M1 e Y ∈ M2 tales que |X − Y | =
distR3 (M1 , M2 ).
2. Si ∂M1 = ∂M2 = ∅, entonces M1 y M2 son dos planos paralelos.
Como aplicación del Principio del Máximo se obtiene el siguiente Teorema.
Teorema 18 [Teorema del Semiespacio [7]] Si M es una superficie minimal propiamente inmersa en R3 , conexa y no llana, entonces M no está contenida en ningún
semiespacio.
Diremos que una superficie M embebida en R3 (no necesariamente minimal)
cumple la Propiedad de la envolvente convexa si todo dominio relativamente compacto Ω ⊂ M está contenido en la envolvente convexa**** de ∂Ω.
Teorema 19 [20] Una superficie embebida en R3 cumple la Propiedad de la envolvente convexa si y sólo si su curvatura de Gauss es menor o igual que cero.
Corolario 20 Las superficies minimales embebidas en R3 satisfacen la Propiedad
de la envolvente convexa.
Grafos minimales
Sean Ω un dominio del plano y u ∈ C 2(Ω). El grafo Gu de u es una superficie
minimal de R3 si y sólo si u cumple la ecuación casilineal elı́ptica de segundo orden
(1). Como ya señalamos en la introducción, toda superficie minimal regular proviene
de soluciones locales de la ecuación (1).
Para nosotros, el Problema de Dirichlet consistirá en encontrar soluciones u ∈
C 2(Ω) ∩ C(Ω) de la ecuación (1) con valores frontera prefijados (u|∂Ω = f , siendo
f una función continua sobre ∂Ω). No sólo es interesante estudiar la existencia de
solución, sino también la unicidad.
Sea f una función continua a trozos en ∂Ω (es decir, continua en ∂Ω salvo en
un subconjunto finito). El Problema de Dirichlet admite la siguiente generalización:
aaa Supongamos que tanto Ω como f son acotados. Consideramos el Problema de
****
3
Se define la envolvente convexa de Ω ⊂ R como el menor convexo de
16
R3 que contiene a Ω.
Plateau asociado a la curva de Jordan Γ formada por f (∂Ω) más los segmentos
verticales sobre los puntos de ∂Ω, que unan los extremos de ramas consecutivas del
grafo de f . Por el Teorema 11, sabemos que existe una superficie minimal M tal que
∂M = Γ. Si M es el grafo de una función u definida sobre Ω, diremos que u es una
solución al Problema de Dirichlet sobre Ω con valores frontera f .
Si Ω es un dominio convexo acotado y f es una función continua sobre ∂Ω, el
Teorema de Radó 13 nos asegura la existencia de una única superficie minimal M
con ∂M = f (∂Ω), que es grafo sobre Ω (en particular, estable).
Cabe otra posible generalización del Problema de Dirichlet, consistente en admitir valores infinitos en el borde de Ω. El siguiente Teorema resuelve dicho problema
en casos particulares.
Teorema 21 (Jenkins-Serrin [9]) Sea Ω un dominio convexo y acotado tal que
∂Ω contiene una cantidad finita de segmentos rectilı́neos abiertos {Ai }i , {Bj }j cumpliendo que ningún par de segmentos Ai (resp. Bj ) tienen un extremo común, y que
∂Ω − [(∪i Ai) ∪ (∪j Bj )] consiste en un número finito de arcos abiertos {Ck }k unión
con los extremos de los {Ai}i , {Bj }j , {Ck }k . Sea
P={P : P ⊂ Ω polı́gono cerrado simple cuyos vértices son extremos de los Ai , Bj , Ck }.
X
long(Ai )
Para cada P ∈ P, denotamos por γ(P ) al perı́metro de P , α(P ) =
y β(P ) =
X
Ai ⊂P
long(Bj ). Consideremos los valores frontera f : ∂Ω → R dados por
Bj ⊂P
f |∪i Ai = +∞, f |∪j Bj = −∞, siendo f |∪k Ck una función continua y acotada.
1. Si la familia {Ck }k no es vacı́a, entonces existe una solución de la ecuación
(1) definida en Ω con valores frontera f si y sólo si
2α(P ) < γ(P ) y 2β(P ) < γ(P ) ,
∀P ∈ P .
(3)
Y en caso de existir, dicha solución es única.
2. Si ∪k Ck = ∅, entonces existe una solución de la ecuación (1) en Ω si y sólo si
α(Ω) = β(Ω)
y se cumple (3) para cualquier otro polı́gono (propio) de P.
Además, si existe dicha solución, es única salvo constante aditiva.
3. Si u, v : Ω → R son dos soluciones del Problema de Dirichlet planteado en el
apartado anterior y cumplen u ≥ v sobre los arcos Ck , entonces u ≥ v sobre
todo Ω.
En cualquiera de los casos anteriores, a la solución u de la ecuación (1) con valores frontera f la llamaremos extensión minimal de f a Ω.
17
Figura 1: Grafos de Jenkins-Serrin.
Para entender mejor las condiciones del teorema de Jenkins y Serrin, estudiemos
el caso particular en el que Ω es un cuadrilátero. Si los lados de Ω son A1, C1 , A2, C2,
entonces la condición necesaria y suficiente se reduce a:
long(A1) + long(A2) < long(C1 ) + long(C2 ).
Y análogamente si los lados de Ω son B1 , C1 , B2 , C2 . En general, un polı́gono que
tenga como mucho un lado Ai y como mucho un lado Bj , admite un grafo de Jenkins
y Serrin. También admite solución un polı́gono regular con un número par de lados
en el que se distribuyen los lados Ai , Bj de forma alternativa.
A continuación veremos un resultado de unicidad de solución para un problema
de Dirichlet con condiciones frontera de tipo lineal, para dominios contenidos en un
sector convexo. Dadas dos semirrectas r, r0 ⊂ R2 con el mismo origen, llamaremos
sector al interior de la envolvente convexa de r ∪ r0 , y ángulo del sector al ángulo
formado por dichas semirrectas. Un sector se dirá propio si su ángulo es estrictamente
menor que π.
Lema 22 Sea Ω un dominio contenido en un sector propio S de R2, S simétrico
respecto del eje x1 . Sea f : ∂Ω → R dada por f (x) = λx1 para cada x = (x1, x2 ) ∈ Ω,
con λ ∈ R. Entonces, u : Ω → R definida como u(x) = λx1 es la única extensión
minimal de f a Ω.
18
Demostración. Podemos suponer que S = {x = (x1 , x2) ∈ R2 : x1 > 0, µx1 + |x2 | >
0} para cierto µ > 0 y que Ω ⊂ S. Sea u(x) = λx1 para todo x ∈ Ω, y sea
v : Ω → R otra extensión minimal de f a Ω distinta de u. Supongamos que existe
y = (y1 , y2) ∈ Ω tal que v(y) > u(y) y lleguemos a una contradicción. Consideremos
en S la familia creciente de triángulos {TL }L>0 , siendo TL = {x ∈ S : x1 < L}.
Para cada L > 0, denotaremos a los lados del triángulo TL por CL1 = ∂TL ∩ {x1 <
L, x2 < 0}, CL2 = ∂TL ∩ {x1 < L, x2 > 0} y AL = ∂TL − CL1 ∪ CL2 . Por el Teorema de
Jenkins-Serrin, sabemos que existe una única solución uL de la ecuación (1) definida
sobre TL cumpliendo uL |CL1 ∪CL2 = λx1 y uL |AL = +∞ (si partiésemos de la existencia
de un punto y ∈ Ω con v(y) < u(y), impondrı́amos uL |AL = −∞ y razonarı́amos de
forma análoga).
Figura 2: El grafo de Jenkins-Serrin uL es la superficie rayada.
Nótese que ∂GuL ⊂ {x3 = λx1} ∩ (∂S × R) y que el espacio tangente a GuL en
el origen es {x3 = λx1 }. Como Ω ∩ ∂S = ∅, podemos tomar L0 > 0 suficientemente
pequeño cumpliendo TL0 ∩ Ω = ∅, luego GuL0 ∩ Gv = ∅. De la unicidad del Teorema
de Jenkins-Serrin se deduce que para todo L > 0, GuL se obtiene a partir de GuL0
mediante una homotecia con centro el origen. Como el espacio tangente a GuL0 en
el origen es {x3 = λx1 }, deducimos que los grafos GuL decrecen cuando L → +∞
hasta el lı́mite Σ = {x3 = λx1 } ∩ (S × R), siendo la convergencia uniforme sobre
compactos de S × R (nótese que Gu ⊂ Σ). Como v(y) > λy1, entonces hay un
primer grafo GuL que corta a Gv ; esto es, existe L0 = mı́n{L > L0 : Gv ∩ GuL 6= ∅}.
Gv ∩ GuL0 6= ∅ es claramente cerrado en Gv . Como ∂Ω ∩ ∂S = ∅, concluı́mos que la
intersección Gv ∩ GuL0 es interior a ambos grafos. Y como Gv queda a un lado de
GuL0 , el principio del máximo implica que Gv ⊆ GuL0 . Pero esto no es posible porque
v no toma el valor +∞.
2
19
Finalizaremos esta Sección de preliminares con tres resultados más sobre grafos
minimales. En el primero se dan condiciones para tomar lı́mites en una sucesión de
grafos minimales. Los dos últimos expresan un control sobre el tamaño relativo de
un grafo minimal en términos de la curvatura o de la distancia al borde.
Teorema 23 Sea {un }n∈N una sucesión de soluciones de la ecuación 1 definidas
sobre un dominio Ω ⊂ R2 . Supongamos que se cumplen:
1. Existe x0 ∈ Ω tal que {un (x0)}n es una sucesión acotada.
2. {|∇un|}n está uniformemente acotada en compactos de Ω.
Entonces, existe una parcial de {un }n convergente en la topologı́a de C k , ∀k ≥ 0, a
una solución u : Ω → R de (1).
Una sencilla demostración del Teorema anterior puede encontrarse en [21].
Lema 24 (Lema del grafo uniforme [21]) Sea M una superficie minimal propiamente inmersa en un abierto O ⊂ R3 . Supongamos que la curvatura de Gauss de
M cumple |K| ≤ C0 para cierto C0 > 0.
1 dist(P, ∂O)
1. Para cada P ∈ M, consideramos R(P ) = mı́n
. Entonces,
,
4C0
2
existe un entorno de P en M que es grafo sobre el disco D(P, R(P )) centrado
en P y de radio R(P ) contenido en el plano tangente afı́n a M en P .
2. Si u ∈ C ∞ D(P, R(P )) es la función que define dicho grafo, entonces para
cada Q ∈ D(P, R(P )) se cumple:
|u(Q)| ≤ 8C0 |P − Q|2;
|∇u|(Q) ≤ 8C0 |P − Q|;
|∇2u| ≤ 16C0 .
Denotaremos a lo largo de todo el trabajo por B(X, R) a la bola abierta de R3
de centro X y radio R.
Corolario 25 Sea M una superficie minimal estable. Consideremos P ∈ M cumpliendo distR3 (P, ∂M ) ≥ 2d para cierto d > 0. Entonces, existe un entorno V de P
en M ∩ B(P, d) y existen dos constantes positivas µ y ν (independientes M, P ) de
forma que V se puede ver como grafo de una función u acotada por µd y definida
sobre el disco cerrado contenido en el espacio tangente afı́n a M en P , centrado en
P y de radio νd. Además, ν se puede tomar como una función creciente en d, y
podremos tomar µν tan pequeño como queramos.
20
Demostración. Nótese que distM (Q, ∂M) ≥ distR3 (Q, ∂M) ≥ d para todo Q ∈
M ∩ B(P, d). Por el teorema 10 (M es una superficie minimal estable), tenemos una
estimación uniforme de la curvatura de Gauss sobre M ∩ B(P, d):
|K(Q)| ≤
C
,
d2
para todo Q ∈ M ∩ B(P, d)
(recordemos que C es una constante universal). Consideramos el espacio tangente
d
afı́n a M en P que denotaremos por TeP M. Por el lema 24, basta tomar 0 < ν < 4C
(ya que en este caso, O = R3) y µ = 8c
ν 2 . Además, es claro que podemos tomar µν
d
tan pequeño como queramos, puesto que ν es arbitrariamente pequeño.
2
21
22
Capı́tulo 1
Algunos resultados sobre grafos
minimales
El siguiente resultado nos da condiciones para que una superficie minimal
con borde apoyado en un semiplano (salvo un compacto), sea asintótica a dicho
semiplano. Recordemos que x denota un par (x1, x2 ) ∈ R2 y que Pt = {x3 = t} para
cada t ∈ R.
Lema 1.1 Sea M una superficie minimal propiamente inmersa (no necesariamente
conexa) contenida en el cuadrante {(x, x3) ∈ R3 : x1 ≥ 0, x3 ≥ 0} y tal que ∂M =
A ∪ B, donde A está contenido en un compacto K y B ⊂ P0 . Entonces, existe una
solución w de la ecuación (1) definida sobre H = {x ∈ R2 : x1 ≥ 0} que sólo depende
de K y que verifica:
1.
lı́m w(x) = 0;
|x|→+∞
2. Si sup x3 < +∞, entonces x3 ≤ w(x) para todo (x, x3) ∈ M.
M
Figura 1.1: La parte sombreada se corresponde con M ∩ K.
23
Demostración. Identificaremos H ≡ {(x, x3) ∈ R3 : x3 = 0, x1 ≥ 0} y denotaremos
por x ≡ (x, 0) a los puntos de H, y Dn = {x ∈ H : |x| < n} para cada n ∈ N.
Recordemos que dada una función u, estamos denotando su grafo por Gu .
En un primer paso, fijados C, r > 0 y f ∈ C0∞ (] − r, r[) no negativa, construiremos una sucesión de grafos minimales {Gwn (f,C)}n∈N,n>r que admitirá una parcial
convergente a un grafo minimal definido sobre todo H, grafo que no dependerá de
la elección de C > 0. Sean C, r > 0, f ∈ C0∞ (] − r, r[) no negativa y n ∈ N tal que
n > r. Llamamos wn (f, C) a la solución del Problema de Dirichlet sobre Dn con
valores frontera continuos a trozos
f (x2 ) si x1 = 0 y |x2| < n
C
si x1 > 0 y |x| = n,
donde f es la extensión por 0 de f a todo R, ver la figura 1.2.
Figura 1.2: El borde de wn (f, C).
Nótese que 0 ≤ wn (f, C) ≤ h por el principio del máximo, con h = máx máx f, C .
]−r,r[
wn (f,C)
Ası́, G
3
⊂ S(0, h) = {(x, x3) ∈ R : 0 ≤ x3 ≤ h}.
Afirmación 1.2 La sucesión {wn (f, C)}n>r admite una parcial convergente a una
solución w(f, C) de la ecuación (1) definida sobre H. Además,
1.
lı́m w(f, C)(x) = 0 ;
|x|→+∞
2. w(f, C) no depende de C, por lo que denotaremos wf = w(f, C).
Demostración de la Afirmación 1.2. Todos los puntos de {x1 = x3 = 0} son puntos de
acumulación de {Gwn (f,C)}n>r . Por la Observación ?? deducimos que {Gwn (f,C)}n>r
admite una parcial convergente al grafo de una solución w(f, C) de la ecuación (1)
definida sobre todo H. Además, como Gwn (f,C) ⊂ S(0, h) para cada n > r y S(0, h)
es cerrado, entonces también será Gw(f,C) ⊂ S(0, h).
24
Es claro que {x1 = x3 = 0, |x2 | ≥ r} ⊂ Gw(f,C) . Fijemos n0 ∈ N tal que
n0 > r. Por el principio de reflexión de Schwarz, podemos extender la superficie
minimal Gw(f,C) − (Dn0 × R) a un anillo minimal Σ ⊂ S(−h, h), que es grafo sobre
P0 −Dn0 ∪ (−Dn0 ) = {X ∈ P0 : |X| > n}. En particular, la aplicación de Gauss de Σ
toma valores sólo en un hemisferio de S2, luego Σ tiene curvatura total finita. Como
además Σ está propiamente embebido y contenido en la banda S(−h, h), deducimos
que Σ es un final plano. Y como {x1 = x3 = 0, |x2| > r} ⊂ Gw(f,C) , concluı́mos que
Gw(f,C) es asintótico a P0 . Luego, lı́m w(f, C)(x) = 0.
|x|→+∞
Nos queda probar que w(f, C) no depende de C. Tomemos 0 < C 0 < C y
veamos que w(f, C 0) = w(f, C). Sabemos que existen parciales de {wn (f, C 0)}n y
{wn (f, C)}n convergentes a w(f, C 0) y w(f, C) respectivamente (no hay problema
en tomar la misma parcial para ambos lı́mites; y por no complicar la notación,
seguiremos llamando {wn (f, C 0)}n y {wn (f, C)}n ) a dichas parciales). Como C 0 < C,
se tiene por definición wn (f, C 0)|∂Dn ≤ wn (f, C)|∂Dn para todo n > r. Y por el
principio del máximo, wn (f, C 0) ≤ wn (f, C) en Dn . Tomando lı́mites, obtenemos
que w(f, C 0) ≤ w(f, C) en todo H. Para probar la otra desigualdad, usaremos la
siguente propiedad:
Existe n0 > r tal que para cada n ≥ n0 podemos elegir m ≥ n verificando
wn (f, C 0)|∂Dn ≥ wm (f, C)|∂Dn .
Supuesto que la propiedad es cierta, será wn (f, C 0) ≥ wm (f, C) en todo Dn por el
principio del máximo; y tomando n → ∞, concluiremos que w(f, C 0) = w(f, C)
en H. Para comprobar la propiedad anterior, razonaremos por reducción al absurdo: Supongamos que existe una sucesión divergente {n(k)}k∈N de números naturales tal que para todo
k ∈ N y todo m
≥ n(k), existe x(k, m) ∈ ∂Dn(k) con
0
wn(k) (f, C ) x(k, m) < wm (f, C) x(k, m) . En particular, x(k, m) no puede estar
sobre ∂Dn(k) ∩ {x1 = 0}. Por tanto, lı́m |x(k, m)| = lı́m n(k) = ∞. Y aplicando el
k→∞
k→∞
primer apartado de la Afirmación, obtenemos que lı́m wm (f, C) x(k, m) = 0. Y
k→∞
como wn(k) (f, C 0) x(k, m) = C 0, tomando k → ∞ se deduce que C 0 ≤ 0, contradicción. Con esto queda demostrada la propiedad de arriba, y con ella la Afirmación
1.2.
Para cada λ ≥ 1, denotaremos por Hλ : R3 → R3 a la homotecia de razón λ y
centro el origen, y wf,λ : H → R será la solución de (1) dada por
1
wf,λ(x) = λ wf ( x).
λ
Esto es, Gwf,λ = Hλ (Gwf ). Es claro que lı́m wf,λ(x) = 0, para cualquier λ ≥ 1.
|x|→∞
Por compacidad, existe R > 0 tal que K ⊂ B(0, R). El Lema 1.1 estará probado si encontramos una función f ∈ C0∞ (] − R, R[) no negativa y λ ≥ 1 tales que
25
w = wf,λ cumpla las condiciones de dicho lema (dicha elección sólo dependerá del
compacto K). Como el primer apartado del lema se cumple para toda wf,λ, supongamos que C0 = sup x3 < +∞ y encontremos f ∈ C0∞(] − R, R[) no negativa y λ ≥ 1
M
cumpliendo x3 ≤ wf,λ(x) para todo (x, x3) ∈ M.
Nótese que C0 > 0 salvo en el caso trivial M ⊂ P0 , y que dada f ∈ C0∞(] − R, R[)
no negativa, wf es lı́mite de una parcial de {wn (f, C0)}n>R . Para λ ≥ 1, denotaremos
1
wn (f, C0, λ)(x) = λ wn (f, C0 )( x),
λ
x ∈ Hλ (Dn ).
Claramente, wf,λ es el lı́mite de una parcial de {wn (f, C0, λ)}n>R .
Afirmación 1.3 Existen f ∈ C0∞ (] − R, R[) no negativa y λ ≥ 1 tales que para todo
n ∈ N con n > R, se tiene L(n, f, λ) = R+ , siendo
n
o
L(n, f, λ) = t > 0 : wn (f, C0, λ)(x)+t ≥ x3 para todo (x, x3) ∈ M∩ Hλ (Dn )×R .
Demostración de la Afirmación 1.3. Fijemos f ∈ C0∞ (] − R, R[) no negativa y λ ≥ 1
(a determinar). Sea n ∈ N, n > R. Como wn (f, C0 , λ) ≥ 0 y C0 = supM x3, entonces
C0 ∈ L(n, f, λ). Por tanto, L(n, f, λ) 6= ∅. Además, por definición es claro que
L(n, f, λ) es cerrado en R+ y que si t ∈ L(n, f, λ), entonces [t, ∞[⊂ L(n, f, λ).
Probemos que L(n, f, λ) es abierto para ciertas elecciones de f y λ, con lo cual
tendremos por conexión probada la Afirmación. Por abreviar notación, escribiremos
Gt = Gwn (f,C0 ,λ) + te3* para cada t > 0.
Figura 1.3: Gt se obtiene trasladando Gwn (f,C0,λ) verticalmente hacia arriba.
Fijemos t ∈ L(n, f, λ), y sea d = dist(M, Gt ). Si d > 0, entonces existe ε > 0 tal
que ]t − ε, +∞[⊂ L(n, f, λ), y habremos acabado. Supongamos entonces que d = 0.
Como Gt es compacto y M es propiamente inmersa, existe Q ∈ Gt ∩ M.
*
Denotaremos por {e1 , e2, e3} la base euclı́dea usual.
26
Nótese que ∂Gt ⊂ {x1 = 0} ∪ {x3 = λC0 + t}. Como M̊ ∩ {x1 = 0} = ∅ por el
principio del máximo, y M̊ ∩ {x3 = λC0 + t} = ∅ por definición de C0 (y porque
C0 < λC0 + t), deducimos que ∂Gt ∩ M̊ = ∅, luego Q 6∈ ∂Gt ∩ M̊.
Vamos a probar que Q es un punto interior a Gt y a M, suponiendo por reducción al absurdo que Q ∈ Gt ∩ ∂M y llegando a una contradicción para elecciones
convenientes de f, λ. Como f es no negativa, se tiene que Gt ⊂ {x3 ≥ t}. En particular, x3(Q) ≥ t > 0 y por tanto Q ∈ A ⊂ K ⊂ B(0, R). Por otro lado, como wf,λ
es diferenciable en H y B(0, R) es compacto, existe una constante L = L(f, R) > 0
cumpliendo
|wf (0) − wf (x)| ≤ L|x|,
para todo x ∈ B(0, R) ∩ H.
Esta constante L es invariante por homotecias. Es decir, dado x ∈ B(0, λR) ∩ H,
|wf,λ(0) − wf,λ(x)| ≤ L|x|.
(1.1)
En particular, (1.1) es cierto para cada x ∈ B(0, R) ∩ H, y obtenemos λ f(0) −
wf,λ(x) ≤ |wf,λ(0) − wf,λ(x)| ≤ L|x| ≤ LR, de donde wf,λ(x) ≥ λf (0) − LR.
Tomando f (0) > 0 (recordemos que f determina, junto con R = R(K), la constante
R para que se de
L > 0), basta elegir λ > L+1
f (0)
wf,λ(x) > R,
para todo x ∈ B(0, R) ∩ H.
En particular, wf,λ(x) > x3(Q) ya que Q ∈ B(0, R) . Por otra parte, si tomamos
f tal que máx f ≤ C0 , entonces la sucesión {wm (f, C0, λ)}m>R es decreciente; luego
]−R,R[
wn (f, C0, λ)(x) ≥ wf,λ(x). Por tanto, wn (f, C0, λ)(x) + t > wf,λ(x) > x3(Q) para
todo x ∈ B(0, R) ∩ H. En particular, no puede ser Q ∈ Gt , contradicción. Nótese
que las restricciones impuestas a f, λ no dependen de n.
De lo anterior deducimos que Q ∈ G̊t ∩ M̊ . Como t ∈ L(n, f, λ), M queda por
debajo de Gt . Aplicando el principio del máximo en el interior, deducimos que Gt y
M coinciden en un entorno de Q. Por el Corolario 16, Gt coincide con la componente
conexa de M ∩ (Hλ (Dn ) × R) que contiene a Q. Pero esto no es posible, ya que Gt
alcanza la altura C0 + t. Esto concluye la demostración de la Afirmación 1.3.
Usando la Afirmación 1.3, podemos elegir f ∈ C0∞ (] − R, R[) no negativa y
λ ≥ 1 cumpliendo wn (f, C0, λ)(x) + t ≥ x3 para cualesquiera n > R, (x, x3) ∈
M ∩ Hλ (Dn ) × R) y t > 0. Pasando a una parcial, obtenemos
wf,λ(x) + t ≥ x3 para cualesquiera (x, x3) ∈ M y t > 0.
Tomando t & 0 y w = wf,λ, queda probado el segundo apartado del Lema.
27
2
Una consecuencia del Lema 22 es que si Ω ⊂ R2 es un dominio contenido en un
semiplano H que admite una solución no trivial de la ecuación (1) con condiciones
frontera cero, entonces Ω no puede estar contenido en ningún sector propio de R2 .
Por tanto, toda semirrecta r ⊂ H que no sea paralela a la frontera de H corta
necesariamente a Ω. El siguiente teorema mejora esta propiedad si suponemos que
Ω es simplemente conexo.
Teorema 1.4 Sea Ω un dominio simplemente conexo contenido en un semiplano
H y sea u ∈ C 2(Ω) ∩ C(Ω), u 6= 0, una solución de la ecuación (1) tal que u|∂Ω = 0.
Entonces, toda semirrecta r ⊂ H que no sea paralela a ∂H está contenida en Ω
salvo posiblemente un compacto.
Demostración. Veamos que podemos suponer u > 0 en todo Ω: Sea Ω̂ una componente conexa de Ω − {x ∈ Ω : u(x) = 0}, y supongamos que u > 0 en Ω̂ (si u < 0,
razonarı́amos con −u). Como u|∂Ω = 0, entonces u|∂ Ω̂ = 0. Supongamos que existe
una componente conexa γ ⊂ ∂ Ω̂ compacta. Ω es simplemente conexo, luego existe
un disco D ⊂ Ω tal que ∂D = γ. Como D es compacto y u|∂D = 0, el principio
del máximo implica u|D = 0, lo cual nos lleva a que u = 0 en Ω, imposible. Por
tanto, ∂ Ω̂ no tiene componentes conexas compactas. Y como Ω̂ es un dominio plano,
deducimos que Ω̂ es simplemente conexo, y Ω̂ está en las mismas condiciones que Ω.
Nótese además que si probamos el Lema para Ω̂ también lo tendremos para Ω. Por
tanto, supondremos en lo que sigue que u es positiva en Ω.
Sea r una semirrecta contenida en H que no sea paralela a ∂H. Observemos que,
prolongando r en caso necesario, podemos suponer que r tiene su extremo en ∂H.
Podemos por tanto elegir un sistema de coordenadas conveniente (no necesariamente
ortogonal) de forma que sea H = {x ∈ R2 : x1 ≥ 0} y r = {x ∈ H : x2 = 0}. A
lo largo de toda la demostración, será x = (x1, x2 ) ∈ H en el anterior sistema de
coordenadas.
Supongamos por reducción al absurdo que (H− Ω) ∩ r no es compacto. Sea a > 0
un valor regular de u y de u|Ω∩r , que existe por el Teorema de Sard. Consideramos
una componente conexa Ωa de {x ∈ Ω : u(x) > a}. Como u|∂Ω = 0, se tiene que
u|∂Ωa = a. Nótese que u|Ωa es una solución no trivial de (1) con valores frontera
constantemente a, luego Ωa no puede estar contenido en ningún sector de ángulo
estrictamente menor que π (Lema 22). El razonamiento que sigue es elaborado, por
lo que daremos un pequeño esquema del mismo para esclarecer la demostración del
Teorema. Para esta componente Ωa encontraremos una componente frontera Γa , un
−
**
punto Qa ∈ (H − Ω) ∩ r y dos componentes conexas distintas Ω+
a , Ωa de Ω − [0, Qa ]
(probaremos que este último conjunto es no conexo) con las siguientes propiedades:
**
En general, dados dos puntos P, Q, denotaremos por [P, Q] (resp. ]P, Q[, ]P, Q] o [P, Q[ ) al
segmento cerrado (resp. abierto, abierto en P y cerrado en Q o cerrado en P y abierto en Q) que
une dichos puntos.
28
Γa ∩ r es compacto;
Γa ∩ [Qa, ∞[r = ∅, donde [Qa, ∞[r denota la semirrecta contenida en r con
extremo Qa ;
u|Ω+a y u|Ω−a son positivas y no acotadas.
Supuestas estas propiedades, construiremos dos dominios Ω(1), Ω(2) del tipo Ωa1 ,
−
con a1 > a, siendo Ω(1) ⊂ Ω+
a y Ω(2) ⊂ Ωa . El razonamiento terminará viendo que
uno de los dominios Ω(i) estará contenido en un sector propio.
Empecemos a probar las afirmaciones que aparecen en el párrafo anterior. Como
u|∂Ωa = a, razonando como hemos hecho antes con Ω̂, deducimos que ∂Ωa no tiene
componentes conexas compactas, luego Ωa es un dominio simplemente conexo y no
acotado. Además, r corta a ∂Ωa , ya que en caso contrario Ωa estarı́a contenido en
un sector propio de H, contradiciendo el Lema 22. Como a es valor regular de u|Ω∩r ,
deducimos que ∂Ωa ∩ r es transversal. Fijemos Q0 ∈ ∂Ωa ∩ r. Como ∂Ωa ∩ [0, Q0]
es compacto, tenemos asegurada la existencia de un punto Pa ∈ ∂Ωa ∩ r verificando
x1(Pa ) ≤ x1 (P ) para todo P ∈ ∂Ωa ∩ r. Llamemos Γa a la componente conexa
de ∂Ωa que contiene a Pa , que sabemos que no puede ser compacta. Pa divide a
−
+
Γa en dos ramas infinitas que denotaremos por Γ+
a y Γa , siendo Γa la contenida
en {x ∈ H : x2 > 0} en un pequeño entorno de Pa (esto se tiene asegurado por
transversalidad).
Figura 1.4: Pa es el punto de ∂Ωa ∩ r más cercano al origen.
Denotaremos por ]P, Q[Γa (resp. [P, Q]Γa ) al trozo abierto (resp. cerrado) de arco
contenido en Γa comprendido entre P y Q, para cualesquiera P, Q ∈ Γa ; y ]P, ∞[r
(resp. [P, ∞[r ) denotará la semirrecta abierta (resp. cerrada) contenida en r con
origen P , para cada P ∈ r.
−
Afirmación 1.5 I = Γ+
a ∩ r es compacto (análogamente, Γa ∩ r es compacto, luego
Γa ∩ r es compacto).
Demostración de la Afirmación 1.5. Por reducción al absurdo, supongamos que
existe una sucesión {Pn }n∈N en I tal que P1 = Pa , lı́m x1(Pn ) = +∞ y x1(P ) <
n→∞
29
Figura 1.5: P1 = Pa , y x1 (P ) < x1 (Pn ) para cada P ∈]Pa , Pn [Γa ∩r.
x1(Pn ) para cada P ∈]Pa , Pn [Γa ∩r (en particular, los puntos Pn están ordenados
tanto en x1 como en Γ+
a , ver Figura 1.5).
v(x)
∈ R+ ∪ {+∞}. Es claro
Llamamos v = u − a ∈ C 2(Ωa ) ∩ C(Ωa) y λ = sup
x∈Ωa x1
que
v(x) ≤ λx1 para todo x ∈ Ωa .
Denotaremos por vn a la solución del Problema de Dirichlet en {x ∈ H : x2 > 0}
obtenida como lı́mite en k de las funciones {vn,k }k∈N dadas por el siguiente problema
de contorno

x (P )
 vn,k es solución de (1) en T n,k = {x ∈ H : x2 > 0, x1 + x2 < x11 (Pn1 ) k}
v (x) = λx1 si x2 = 0 y 0 < x1 < x1(Pn )
 n,k
en ∂T n,k − {x2 = 0, 0 ≤ x1 ≤ x1(Pn )}.
vn,k (x) = 0
Figura 1.6: Valores frontera de v1,k . Izquierda: caso λ < +∞. Derecha: caso λ = +∞.
Nótese que para n y m fijos, los grafos Gvn,k , Gvm,k son homotéticos para k suficientemente grande (aquı́ estamos usando la unicidad del Teorema de JenkinsSerrin). En consecuencia, Gvn , Gvm son también homotéticos. Además, 0 ≤ vn,k (x) ≤
λx1 en T n,k por el principio del máximo. Tomando k → ∞, obtenemos 0 ≤ vn (x) ≤
λx1 en {x ∈ H : x2 > 0}.
30
Para cada n ∈ N, consideremos el triángulo Tn = {x ∈ H : x1 + |x2| < x1(Pn )}
y sea wn la única solución de la ecuación (1) definida sobre Tn con valores frontera

 vn (x) si x1 > 0 y x2 > 0
si x1 > 0 y x2 < 0
wn (x) =
λx1

0
si x1 = 0.
Figura 1.7: Valores frontera de wn . Izquierda: caso λ < +∞. Derecha: caso λ = +∞.
Como los grafos Gvn son homotéticos, las condiciones frontera que definen a wn
también lo son. Y por tanto, los grafos Gwn son homotéticos. Pasando a una parcial (a
la que denotaremos de la misma forma), la sucesión {Gwn }n converge uniformemente
sobre compactos de H × R a un grafo G∞ sobre H. Como los Gwn son homotéticos
y las razones de dichas homotécias divergen a +∞, G∞ está contenido en el plano
tangente común a todos los Gwn en el origen, Π = {x3 = λ0 x1 } para cierto λ0 ∈ R.
Veamos que 0 ≤ λ0 < λ: Como 0 ≤ wn |∂Tn ≤ λx1 , el principio del máximo
asegura que 0 ≤ wn ≤ λx1 en Tn . Tomando n → ∞ deducimos que 0 ≤ λ0 ≤ λ.
Por otro lado, nótese que wn < λx1 en Tn (ya que en caso contrario el principio del
máximo obligarı́a a ser wn = λx1 en Tn , y esto conducirı́a a que vn y λx1 coinciden
en un punto interior de {x ∈ H : x2 > 0}; de nuevo por el principio del máximo
y usando que vn ≤ λx1 llegarı́amos a que vn = λx1 en {x ∈ H : x2 > 0}, en
contradicción con que vn = 0 en algunos puntos del eje x1 ). Si λ = λ0 , entonces
contradiremos el principio del máximo en la frontera aplicado a Gwn y Π alrededor
del origen. Por tanto, concluı́mos que 0 ≤ λ0 < λ.
El razonamiento que sigue demostrará que λ ≤ λ0 , en contradicción con la desigualdad que acabamos de obtener. Con esto, tendremos probada la Afirmación
1.6.
Para cada n ∈ N, denotaremos por Ωa,n a la componente conexa de Ωa − [Pn , ∞[r
que contiene a Pa en su frontera. Vamos a probar que v ≤ wn sobre Ωa,n ∩Tn . Consideremos para cada n ∈ N la curva ηn = [0, Pa ]∪]Pa, Pn [Γa ∪[Pn , ∞[r , que está embebida
en H ya que hemos tomado la sucesión {Pn }n cumpliendo [Pa , Pn ]Γa ∩ r ⊂ [Pa, Pn ]
(ver Figuras 1.8 y 1.9). Como ηn es propia en H, ηn divide a H en dos componentes
−
−
−
conexas: H+
n y Hn . Llamamos Hn a aquella que cumple {x1 = 0, x2 < 0} ⊂ ∂Hn .
−
−
Nótese que Hn contiene a {x ∈ H : x2 < 0} salvo un compacto y que Hn ∩ {x2 > 0}
es relativamente compacto, con ∂(H−
n ∩ {x2 > 0}) ⊂]Pa , Pn [Γa ∪[Pa , Pn ].
31
Figura 1.8: Aunque Ωa es no acotado, puede que Ωa,n sı́ sea acotado.
Figura 1.9: En general, Ωa,n ∩ {x2 > 0} ⊂ H−
n ∩ {x2 > 0}, inclusión propia.
−
Como Ωa,n ∩ ηn = ∅, entonces o bien Ωa,n ⊂ H+
n o bien Ωa,n ⊂ Hn . Veamos que
−
Ωa,n ⊂ H−
n : Sea U un pequeño entorno de Pa en H cumpliendo Γa ∩ U ⊂ {x2 < 0}
+
y Γ+
a ∩ U ⊂ {x2 > 0}. Ası́, ηn ∩ U ⊂ {x2 ≥ 0} y Hn ∩ U ⊂ {x2 > 0}. Pero
6 ∅, ya que Pa ∈ ∂Ωa,n ∩r y dicha intersección es transversal. Por
Ωa,n ∩U∩{x2 < 0} =
−
+
tanto, Ωa,n ∩U 6⊂ H+
n , y Ωa,n ⊂ H n . En particular, el conjunto Ωa,n = Ωa,n ∩{x2 > 0}
+
está contenido en H−
n ∩ {x2 > 0}, luego Ωa,n es relativamente compacto.
+
Escribimos ∂Ω+
a,n = An ∪ Bn , con An ⊂ [Pa , Pn ] y Bn ⊂ Γa ∩ {x2 > 0}. Sobre An ,
es vn = λx1 ≥ v; y sobre Bn , v = 0 ≤ vn . Concluı́mos por el principio del máximo
+
(Ω+
a,n es compacto) que v ≤ vn en Ωa,n . Para probar que v ≤ wn en Ωa,n ∩ Tn , basta
ver que v ≤ wn en ∂(Ωa,n ∩ Tn ), gracias de nuevo al principio del máximo. Nótese
que ∂(Ωa,n ∩ Tn ) ⊂ (∂Ωa,n ∩ Tn ) ∪ (Ωa,n ∩ ∂Tn ).
Si x ∈ ∂Ωa,n ∩ Tn , es v(x) = 0 ≤ wn (x).
32
Si x ∈ Ωa,n ∩ ∂Tn ∩ {x2 > 0}, entonces v(x) ≤ vn (x) = wn (x) (aquı́ usamos
que v ≤ vn en Ω+
a,n ).
Si x ∈ Ωa,n ∩ ∂Tn ∩ {x2 < 0}, entonces v(x) ≤ λx1 = wn (x).
De lo anterior, deducimos que
v ≤ wn
en Ωa,n ∩ Tn .
(1.2)
Tomando n → ∞ en (1.2), se tendrá que v ≤ λ0 x1 sobre Ωa . Por definición de λ,
esto implica que λ ≤ λ0 , contradicción. Con esto queda probada la Afirmación 1.5.
Figura 1.10: Ωa,n ∩ Tn es el trozo coloreado en gris oscuro.
−
Afirmación 1.6 Γ+
a ⊂ {x2 > 0} salvo un compacto (análogamente, Γa ⊂ {x2 < 0}
salvo un compacto).
Demostración de la Afirmación 1.6. Como la curva η = [0, Pa ] ∪ Γ+
a es embebida y
+
−
propia, divide a H en dos componentes conexas: H y H . Llamamos H− a aquella
cumpliendo {x1 = 0, x2 < 0} ⊂ H− . Como Ωa ∩ η = ∅, Ωa estará contenido en H+
o en H− . Considerando un entorno de Pa y, razonando como en la demostración de
la Afirmación 1.5, llegamos a que Ωa ⊂ H− .
Supongamos por reducción al absurdo que Γ+
a ∩ {x2 ≤ 0} no es compacto. Por la
+
Afirmación 1.5, Γa ∩ {x2 > 0} tendrı́a que ser compacto, luego se alcanza el máximo
h > 0 de x2 sobre Γ+
a ∩ {x2 > 0}. Y por tanto, Ωa estarı́a contenido en el sector
{x1 > 0, x2 < h} de ángulo menor que π, lo cual no es posible por el Lema 22. Esta
contradicción demuestra la Afirmación 1.6.
−
Por la Afirmación 1.6, tenemos que Γ+
a ⊂ {x2 > 0} (resp. Γa ⊂ {x2 < 0})
++
−−
salvo un compacto. Llamaremos Γa (resp. Γa ) a la rama infinita maximal de Γ+
a
33
++
(resp. Γ−
⊂ {x2 > 0} (resp. Γ−−
⊂ {x2 < 0}). Sabemos que Γa ∩ r es
a ) tal que Γa
a
compacto por la Afirmación 1.5, luego podemos tomar un punto Qa ∈ r verificando
Γa ∩ [Qa, ∞[r = ∅. Como (H − Ω) ∩ r se suponı́a no compacto, y cualquier Q0a ∈
[Qa, ∞[r sigue cumpliendo Γa ∩ [Q0a, ∞[r = ∅, no perdemos generalidad suponiendo
que Qa 6∈ Ω (ver Figura 1.11).
Afirmación 1.7 Toda curva γ ⊂ Ω que conecte Γ++
con Γ−−
corta necesariamente
a
a
a [0, Qa ].
Demostración de la Afirmación 1.7. La clave de la demostración estará en el hecho
con
de que Ω es simplemente conexo. Tomemos una curva γ ⊂ Ω que conecte Γ++
a
−−
Γa . En particular, γ tiene puntos en {x ∈ H : x2 > 0} y en {x ∈ H : x2 < 0},
luego γ ∩ r 6= ∅. Supongamos que γ ∩ r ∩ Γa 6= ∅. Como Γa ∩ [Qa, ∞[r = ∅, se tiene
6 γ ∩ r ∩ Γa ⊂ γ ∩ [0, Qa], y se tiene la tesis de la Afirmación
Γa ∩ r ⊂ [0, Qa], luego ∅ =
1.7 en este caso.
Por tanto, podemos suponer que γ∩r∩Γa = ∅. Tampoco resta generalidad asumir
que γ es diferenciable y que γ ∩ r es transversal. γ podrı́a no ser embebida, pero
es claro que quitándole a γ una cantidad finita de subarcos abiertos, conseguiremos
un arco diferenciable a trozos γ̃ ⊂ γ uniendo los mismos extremos Pa+ ∈ Γ++
y
a
−
−−
Pa ∈ Γa que γ, tal que γ̃ no tenga autointersecciones.
También es claro que γ̃ corta a r, y que podemos suponer γ̃ diferenciable en cada
punto de γ̃ ∩ r, siendo dicha intersección transversal. Nótese que el arco ]Pa+ , Pa− [Γa
podrı́a cortar a γ̃. Si Q ∈]Pa+ , Pa− [Γa ∩γ̃, entonces necesariamente Q 6∈ r (porque
estamos suponiendo γ ∩ r ∩ Γa = ∅), luego o bien Q ∈ {x ∈ H : x2 > 0} o bien
Q ∈ {x ∈ H : x2 < 0}. Si se da lo primero sustituiremos Pa+ por Q, mientras que
si se da lo segundo sustituiremos Pa− por Q. Reiterando este proceso una cantidad
finita de veces, encontraremos un arco diferenciable a trozos γ̂ uniendo puntos P + ∈
Γa ∩ {x2 > 0} y P − ∈ Γa ∩ {x2 < 0}, tal que c = γ̂∪]P + , P − [Γa es una curva de
Jordan contenida en Ω. Como Ω es simplemente conexo, c es el borde de un disco
contenido en Ω. Además, por construcción, c ∩ r 6= ∅ es tranversal. Como Qa 6∈ Ω,
la semirrecta [Qa, ∞[r corta a c en una cantidad finita par de puntos. Como γ̂ ∩ r
consiste en una cantidad impar de puntos (porque x2(P + ) > 0, x2 (P − ) < 0 y γ̂ ∩ r
es transversal), concluı́mos que γ̂ ∩ [0, Qa] consiste en una cantidad impar de puntos.
En particular, γ̂ corta a [0, Qa], lo que termina la demostración de la Afirmación
1.7.
y Γ−−
están
De la Afirmación 1.7 deducimos que Ω − [0, Qa] no es conexo, y Γ++
a
a
+
−
contenidas en componentes conexas distintas, Ωa y Ωa (resp.), de Ω − [0, Qa].
Veamos que u no está acotada sobre Ω+
fuera
a : Por reducción al absurdo, si u|Ω+
a
)
implicarı́a
u(x)
→
0
cuando
acotada, entonces el Lema 1.1 (nótese que u > 0 en Ω+
a
= a > 0. Análogamente,
|x| → +∞, con x ∈ Ω+
a . Pero esto es imposible porque u|Γ++
a
.
u no está acotada sobre Ω−
a
34
−
Figura 1.11: Ω+
a es la parte coloreada en gris oscuro, y Ωa en gris claro.
Observemos que todo lo anterior es válido para cualquier valor regular a > 0
de u y u|Ω∩r . Fijado un valor regular a0 de u y de u|Ω∩r , a0 > 0, obtenemos Qa0 ∈
(H − Ω) ∩ r verificando Γa0 ∩ [Qa0 , ∞[r = ∅. Definimos
M0 = máx{u(x) : x ∈ Ω ∩ [0, Qa0 ]},
y sea a1 un valor regular de u y u|Ω∩r tal que a1 > máx{a0, M0 }. Como u no
−
está acotada (superiormente) sobre Ω+
a0 y Ωa0 , podemos considerar componentes
−
conexas Ω(1) y Ω(2) de {x ∈ Ω : u(x) > a1 } tales que Ω(1) ⊂ Ω+
a0 y Ω(2) ⊂ Ωa0 .
Sabemos que Ω(1) y Ω(2) son dominios simplemente conexos y no acotados. Usando
la Afirmación 1.5 con Ω(i), i = 1, 2, en lugar de Ωa deducimos que Γ(i) ∩ r es
compacto, donde Γ(i) es la componente
conexa de ∂Ω(i) que contiene al punto
P (i) ∈ ∂Ω(i) ∩ r verificando x1 P (i) ≤ x1(P ) para todo P ∈ ∂Ω(i) ∩ r.
Sean Γ(i)+ , Γ(i)− las dos ramas infinitas en que P (i) divide a Γ(i), siendo Γ(i)+
aquella contenida en {x ∈ H : x2 > 0} en un pequeño entorno de P (i). Como (Γ(1)∪
Γ(2)) ∩ r es compacto, podemos tomar un punto R ∈ (Γ(1) ∪ Γ(2)) ∩ r verificando
x1(R) ≥ x1 (P ) para todo P ∈ (Γ(1)∪Γ(2))∩r. Sin pérdida de generalidad, podemos
suponer que R ∈ Γ(1).
+
Sea α una curva en Ω+
∈ Γ++
a0 uniendo R con un punto R
a0 (nótese que α
+
existe por conexión de Ωa0 ). Además, se puede tomar α ⊂ Ω+
a0 ∩ {x2 > 0} de
+
forma que R sea el único punto de corte de α con Γa0 . Consideremos la curva η̂ =
[0, Pa0 ]∪]Pa0 , R+ [Γa0 ∪α ∪ [R, ∞[r . η̂ es una curva propiamente embebida y coincide
con la semirrecta r salvo un compacto.
Veamos que η̂ ∩ Γ(2) = ∅:
[0, Pa0 ] ∩ Γ(2) = ∅, ya que Pa0 es el primer punto de r (medido desde el origen)
donde u = a0, y u|Γ(2) = a1 > a0 .
]Pa0 , R+ [Γa0 ∩Γ(2) = ∅, ya que u = a0 sobre ]Pa0 , R+ [Γa0 , mientras que u = a1
sobre Γ(2).
35
Figura 1.12: Ω(1) ∩ [0, Q0] = ∅, porque a1 > M0 ; y Ω(1) ⊂ Ωa0 porque a1 > a0 .
−
α ∩ Γ(2) = ∅, porque α ⊂ Ω+
a0 y Γ(2) ⊂ Ωa0 .
[R, ∞[r ∩Γ(2) = ∅, por definición de R y porque estamos suponiendo R ∈ Γ(1).
Como η̂∩Γ(2) = ∅ y η̂ coincide con r salvo un compacto, podemos trasladar paralelamente r en el sentido positivo de x2 obteniendo una semirrecta r0 tal que r0 ∩Γ(2) = ∅.
Ası́, Ω(2) se queda en un sector angular de ángulo menor que π, que no es posible.
Con esto queda probado el Teorema 1.4.
2
El siguiente Teorema nos da condiciones en las que dos grafos han de ser asintóticos. Nos permitirá demostrar en el capı́tulo siguiente que un final E ⊂ H en las
condiciones del Teorema Principal o bien está contenido en P0 o bien tiene tercera
función coordenada propia (en particular, no acotada).
Teorema 1.8 (Meeks-Rosenberg [14]) Sea Ω ⊂ R2 un dominio con frontera no
compacta, y sean u, v dos soluciones de (1) en Ω. Consideremos D = u − v y, para
cada r > 0, M(r) = sup{|D(x)| : x ∈ Ω, |x| = r}. Supongamos que D|∂Ω tiene
soporte compacto y que |∇u| y |∇v| están acotados.
1. Si M(r) es una función acotada, entonces M(r) → 0 cuando r → +∞.
2. Si M(r) es no acotada, entonces lı́m inf
r→∞
M(r)
> 0 para todo n ∈ N.
(ln r)n
Demostración. Empezaremos introduciendo algo de notación. Para cada r > 0, sean
Ωr = {x ∈ Ω : |x| < r}, Cr = {x ∈ Ω : |x| = r}. Como u|∂Ω y v|∂Ω coinciden salvo
en un compacto, podemos tomar r0 > 0 tal que u = v en ∂Ω ∩ {|x| ≥ r0 }.
36
Consideremos la 1-forma sobre Ω
!
ux 1
vx1
ω= p
dx2 −
−p
1 + |∇u|2
1 + |∇v|2
ux 2
vx2
p
−p
1 + |∇u|2
1 + |∇v|2
!
dx1 .
ω es cerrada porque u, v son soluciones de (1).
Afirmación 1.9 Para todo r > 0,
Z
Z
2
|ω| dA ≤
Ωr
Dω
∂Ωr
(aquı́ dA denota el elemento de área en R2 ).
Demostración de la Afirmación 1.9. Como ω es cerrada, el Teorema de Stokes asegura que
Z
Z Dp
Z
E
p
2
2
Dω =
d(Dω)dA =
1 + |∇u| N1 − 1 + |∇v| N2 , N1 − N2 dA,
∂Ωr
Ωr
Ωr
1
(−ux1 , −ux2 , 1)
1+|∇u|2
v
donde N1 = √
es el normal al grafo Gu de u, y N2 se define
análogamente para el grafo G de v. Teniendo en cuenta que N1, N2 son unitarios,
se tiene
Dp
E
p
1 + |∇u|2 N1 − 1 + |∇v|2 N2 , N1 − N2
p
p
1 + |∇u|2 + 1 + |∇v|2 1 − hN1 , N2 i
=
p
p
1 + |∇u|2 + 1 + |∇v|2
|N1 − N2 |2 ≥ |N1 − N2|2 .
=
2
Por otro lado, notemos que |N1 −N2 |2 ≥ |π(N1 −N2 )|2, donde π(x1, x2 , x3) = (x1, x2).
Nótese que
!
ux 1
2
p
−p
1 + |∇u|2
1 + |∇v|2
!2
ux 2
vx2
p
−p
= |ω|2.
1 + |∇u|2
1 + |∇v|2
|π(N1 − N2 )| =
+
Por tanto,
Z
2
vx1
2
|ω| dA ≤
Ωr
Z
2
|N1 − N2| dA ≤
Ωr
Z
Dω,
∂Ωr
y la Afirmación 1.9 está probada.
Para estimar la función M(r), nos será útil introducir otras dos funciones auxiliares. Definimos para cada r > 0
37
Z
µ(r) =
2
|ω| dA − c0
y
η(r) =
Ωr
donde c0 =
R
Dω =
∂Ω
Z
|ω|ds ,
Cr
R
∂Ω∩{|x|<r0 }
Dω, y s es el parámetro arco de Cr .
Afirmación 1.10 Sean r, r1 con r0 ≤ r1 ≤ r. Entonces se tiene
Z
2
η(r) ≤ 2πr
|ω|2ds,
(1.3)
Cr
µ(r1 ) +
Z
2
|ω| dA ≤
Dω,
(1.4)
η(τ )2
dτ ≤ M(r)η(r).
2πτ
(1.5)
Ωr −Ωr1
µ(r1 ) +
Z
r
r1
Z
Cr
Demostración de la Afirmación 1.10. (1.3) es consecuencia directa de la desigualdad
de Cauchy-Schwarz. Probemos (1.4):
Z
Z
Z
Z
Afirm. 1.9
2
2
µ(r1 ) +
|ω| dA =
|ω| dA − c0 ≤
Dω − c0 =
Dω.
Ωr −Ωr1
Ωr
∂Ωr
Cr
Por último, (1.5) se debe a que
µ(r1 ) +
Z
r
r1
η(τ )2 (1.3)
dτ ≤ µ(r1 ) +
2πτ
(1.4)
≤
Z
Z r Z
r1
Z
|ω| ds dτ = µ(r1 ) +
2
Cτ
Dω ≤ sup |D|
Z
Cr
Cr
|ω|2dA
Ωr −Ωr1
|ω|ds = M(r)η(r),
Cr
y la Afirmación 1.10 está probada.
Afirmación 1.11 Existe d0 > 0 verificando
d0 |∇D| ≤ |ω|
en Ω.
Demostración de la Afirmación 1.11. Como |∇u| y |∇v| están acotados, los normales N1 , N2 a Gu , Gv omiten un entorno del ecuador horizontal de S2 . Nótese que
la diferencia de dos puntos del hemisferio superior abierto de S2 se hace arbitrariamente próxima a vertical sólo cuando ambos puntos convergen a un mismo lı́mite
del ecuador horizontal. Como esto no es posible para puntos de N1 (Ω), N2(Ω), concluı́mos que en los puntos de Ω donde N1 6= N2 se tiene que N1 − N2 toma valores
en un conjunto que omite un entorno de la vertical (i.e., N1 − N2 toma valores fuera
38
p
de un cono { x21 + x22 < λ|x3 |}, para cierto λ > 0). En particular, existe a ∈]0, 1]
tal que
|π(N1 − N2)| ≥ a |N1 − N2 | en Ω.
Y como |π(N1 − N2 )|2 = |ω|2 , entonces se tiene que
|ω| ≥ a |N1 − N2 | en Ω.
Si probamos que existe L > 0 tal que L |N1 − N2 | ≥ |∇D| en Ω, habremos acabado
la demostración de la Afirmación 1.11 tomando d0 = La .
Consideremos la aplicación I : S2 ∩ {x3 > 0} → P1 dada por I(x1, x2, x3) =
( xx13 , xx23 , 1). Es claro que I es un homeomorfismo de S2 ∩ {x3 > 0} en P1, cuyo único
punto fijo es (0, 0, 1). También es fácil probar que dado ρ ∈]0, 1], I es lipschitziana
sobre Kρ = S2 ∩{x3 ≥ ρ}. Como N1 (Ω), N2 (Ω) ⊂ Kρ para cierto ρ ∈]0, 1], concluı́mos
que existe L > 0 cumpliendo |I(N1) − I(N2 )| ≤ L|N1 − N2 | en Ω. Por último,
un cálculo directo muestra que |I(N1) − I(N2 )| = |∇D|, de donde se concluye la
Afirmación 1.11.
Veamos que podemos reducir el Teorema 1.8 al caso en que M(r) > 0 para todo
r ∈ [r0 , +∞[: En efecto, supongamos que M(r1 ) = 0 para algún r1 ≥ r0 . Si M(r) > 0
en ]r1, +∞[, bastarı́a tomar un nuevo r0 > r1. Si por el contrario existiese r2 > r1
tal que M(r2 ) = 0, entonces serı́a 0 = D = u − v en ∂W , siendo W = {x ∈ Ω : r1 ≤
|x| ≤ r2}. Por el principio del máximo (Teorema 14), deducirı́amos u = v en W y
por tanto u = v en Ω, en cuyo caso el Teorema serı́a evidente. Por tanto, de ahora
en adelante supondremos M(r) > 0 para todo r ≥ r0.
Afirmación 1.12 Dado r ≥ r0 , se tiene
Z
M(r) ≤
|∇D|ds.
Cr
Demostración de la Afirmación 1.12. Fijemos r ≥ r0. Como C r es compacto, existe
P ∈ Cr tal que |D(P )| = M(r) > 0 (nótese que no puede ser P ∈ ∂Cr ). Consideramos la componente conexa Γ de C r que contiene a P y sea γ : [0, l] → Γ
una parametrización por el arco de Γ. Ası́, P = γ(l0 ) para algún l0 ∈]0, l[. Como
D|∂Cr = 0, se tiene
Z l
Z
Z
Z l0
0
0
(D ◦ γ) (t) dt ≤
|dDγ(t) (γ (t))| dt = |dD|ds ≤
|∇D|ds.
D(P ) =
0
0
Γ
Cr
Si D(P ) > 0, obtenemos directamente la desigualdad de la Afirmación 1.12. Si por
el contrario D(P ) < 0, bastarı́a cambiar D por −D en el razonamiento anterior, con
lo que la Afirmación 1.12 está demostrada.
39
Afirmación 1.13 Sean r ≥ r0 y d0 cumpliendo la Afirmación 1.11. Entonces,
(i) d0 M(r) ≤ η(r),
d2
(ii) µ(r) + c0 ≥ 0
2π
Z
r
0
M(τ )2
dτ .
τ
Demostración de la Afirmación 1.13.
Z
Z
Afirm. 1.12
Afirm. 1.11
d0 M(r) ≤ d0
|∇D|ds ≤
Cr
|ω|ds = η(r),
Cr
que es (i). En cuanto a (ii),
µ(r) + c0 =
Z
Ωr
2
|ω| dA =
Z r Z
0
Z
(1.3)
|ω| ds dτ ≥
r
2
Cτ
0
η(τ )2 (i) d20
dτ ≥
2πτ
2π
Z
0
r
M(r)2
dτ.
τ
Por otro lado, el Teorema 14 implica que |D| = |u − v| no puede tener ningún
máximo local en Ω − Ωr0 , luego M(r) tampoco puede tener un máximo local en
]r0, +∞[. Como consecuencia, si M(r) es no decreciente en algún intervalo [r1, r2 ] ⊂
[r0, +∞[ entonces seguirá siendo no decreciente en [r1, +∞[. En particular, podemos
tomar r0 suficientemente grande de forma que M(r) sea monótona en [r0, +∞[.
Afirmación 1.14 Sean M+ , r1 , r2 > 0 tales que r0 ≤ r1 < r2, µ(r1 ) > 0, y M(r) ≤
M+ para todo r ∈ [r1, r2 ]. Entonces,
r2 < r1 exp
4πM+2
.
µ(r1 )
4πM+2
y supongamos
Demostración de la Afirmación 1.14. Llamamos r̃ = r1 exp
µ(r1 )
por reducción al absurdo que r̃ ≤ r2 .
Consideramos la función ξ : [r1, r̃[→ R dada por
ξ(r) =
1
r
2M+
−
ln
µ(r1 ) 2πM+ r1
−1
.
µ(r1 )
ξ(r)2
. En particular, ξ es estrictamente creciente
> 0 y ξ 0 (r) =
2M+
2πM+ r
en [r1, r̃[. Además, es claro que ξ(r) → +∞ cuando r → r̃− .
Consideremos el conjunto
n
o
A = r ∈ [r1 , r̃[: ξ < η en [r1, r] .
Ası́, ξ(r1 ) =
40
De (1.5) se deduce que µ(r1 ) ≤ M(r1 )η(r1 ). Y por tanto, ξ(r1 ) = 2M1 + µ(r1 ) ≤
1
M(r1 ) η(r1 ) ≤ 12 η(r1) < η(r1). Esto prueba que que r1 ∈ A. Claramente, A
2M+
es abierto en [r1 , r2]. También es claro que A es un intervalo con extremo inferior
r1 . Veamos que A es cerrado en [r1, r̃[: Tomemos una sucesión {r̃n }n∈N en A, con
r̃n % r∞ ∈ [r1, r̃[. Como r̃n ∈ A para todo n ∈ N, se cumple ξ < η en [r1, r∞ [.
Queda entonces ver que ξ(r∞ ) < η(r∞ ).
Fijado n ∈ N, se tiene
Z r̃n
Z r̃n
µ(r1 )
ξ(r)2
0
M+ ξ(r̃n ) = M+ ξ(r1 ) +
+
dr
ξ (r)dr =
2
2πr
r1
r1
µ(r1 )
+
≤
2
Z
r̃n
r1
µ(r1 )
η(r)2
dr ≤ M(r̃n ) η(r̃n ) −
,
2πr
2
donde hemos usado (1.5) en la última desigualdad. Como M+ > 0 y M(r̃n ) ≤ M+ ,
tendremos
M(r̃n )
µ(r1 )
µ(r1 )
η(r̃n ) −
≤ η(r̃n ) −
.
ξ(r̃n ) ≤
M+
2M+
2M+
µ(r1 )
< η(r∞ ). Luego r∞ ∈ A, y A
2M+
es cerrado en [r1, r̃[. Por conexión obtenemos que A = [r1, r̃[, luego ξ < η en [r1, r̃[.
Esta desigualdad contradice que lı́m− ξ(r) = +∞ y que η está definida en r̃. Por
Tomando n → ∞, obtenemos ξ(r∞ ) ≤ η(r∞ ) −
r→r̃
tanto, r2 < r̃, y la Afirmación 1.14 está probada.
A continuación, probaremos el primer apartado del Teorema 1.8: Supongamos
que M(r) es acotada pero M(r) 6→ 0 cuando r → +∞. Como M(r) es monótona y
positiva en [r0, +∞[ y M(r) 6→ 0 cuando r → +∞, existe M0 > 0 tal que M(r) ≥ M0
en [r0, +∞[. Por la Afirmación 1.13, tenemos
Z
Z
d20 r M02
d2 M 2
r
d20 r M(τ )2
dτ ≥
dτ = 0 0 ln
para cada r ≥ r0.
µ(r) + c0 ≥
2π 0
τ
2π r0 τ
2π
r0
En particular, tomando r1 > r0 suficientemente grande podemos suponer µ(r) > 0 en
[r1, +∞[. Por otro lado, estamos suponiendo que existe M+ > 0 tal que M(r) ≤ M+
en [r1, +∞[. Como µ(r1 ) > 0, podemos aplicar la Afirmación 1.14 concluyendo que
4πM 2
r < r1 exp µ(r1+) para todo r > r1, lo cual es absurdo. Y ası́, el apartado 1 del
Teorema 1.8 está probado.
Para terminar, supongamos que M(r) es no acotada. Como M(r) se sabı́a monótona
en [r0, +∞[, deducimos que M(r) % +∞ cuando r → +∞. Ası́, de nuevo existe
M0 > 0 tal que M(r) ≥ M0 en [r0, +∞[. Razonando como antes llegaremos a que
41
tomando r1 > r0 suficientemente grande, podemos suponer µ(r) > 0 siempre que
r ∈ [r1 , +∞[.
Sea r2 > r1 . Como M(r) es monótona y no decreciente en [r0, +∞[, se tiene que
M(r) ≤ M(r2 ) para todo r ∈ [r1 , r2]. Tomando M+ = M(r2 ) en la Afirmación 1.14,
(r2 )2
. En particular, obtenemos
deducimos que r2 < r1 exp 4πM
µ(r1 )
1/2
µ(r1 ) r2
ln
para todo r2 > r1.
(1.6)
M(r2 ) >
4π
r1
La ecuación (1.6) nos dice que si acotamos µ(r1 ) por abajo, tendremos una estimación inferior del crecimiento de M(r2 ) en términos de ln rr21 , siempre que r2 > r1 .
Vamos entonces a estimar inferiormente µ(r) para r ≥ r1 :
Z r
Z
Afirm. 1.13 d2
d20 r M(τ )2
M(τ )2
0
µ(r) + c0 ≥
dτ ≥
dτ
2π 0
τ
2π r1
τ
"
2#r
2
Z r 2
(1.6) d2 µ(r )
d
τ
d20 µ(r1 )
µ(r
)
dτ
r
τ
1
1
0
0
=
≥
ln
=
.
ln
ln
8π 2
r1 τ
16π 2
r1
16π 2
r1
r1
r1
Ası́,
2
d20 µ(r1 )
r
µ(r) + c0 ≥
para todo r ≥ r1 .
(1.7)
ln
16π 2
r1
Para usar esta estimación inferior de µ(r) en (1.6) y mejorar la estimación de M(r2 ),
√
fijaremos r1 < r < r2 . Sustituyendo r1 por r2 r1 en (1.6) obtenemos
r 1/2
√
r 1/2 √
µ( r2 r1 )
µ( r2 r1 ) + c0
c0
r2
r2
ln
−
ln
=
.
M(r2 ) >
4π
r1
4π
4π
r1
√
Usando ahora (1.7) con r = r2 r1, lo anterior se acota inferiormente por
("
# r )1/2
r 2
1 d20 µ(r1 )
c0
r2
r2
ln
−
ln
2
4π 16π
r1
4π
r1
"
r 3
r #1/2
d20 µ(r1 )
1
r2
r2
ln
= √
− c0 ln
.
2
2 π
16π
r1
r1
Por tanto,
"
r 3
r #1/2
1
d20 µ(r1 )
r2
r2
− c0 ln
para todo r2 > r1 .
ln
M(r2 ) > √
2
2 π
16π
r1
r1
(1.8)
Luego M(r2 ) tiene un crecimiento, cuando r2 → +∞, al menos como el de (ln r2 )3/2
(salvo constantes). Esta cota inferior puede mejorarse reiterando el proceso anterior,
esto es, mejorando la cota de µ(r) + c0 como hemos hecho en (1.7), pero integrando
)2
a
partir
de
(1.8)
, y luego sustituyendo esta cota mejorada de
la nueva cota de M (τ
τ
µ(r) en (1.8). De esta forma puede probarse que M(r2 ) admite como cota inferior a
2
cualquier potencia de ln r2 . Esto termina la demostración del Teorema.
42
Capı́tulo 2
La tercera función coordenada de
E es propia
En este capı́tulo probaremos que un final minimal E en las condiciones del
Teorema fundamental o bien está contenido en el plano horizontal P0 (recordemos
que Pt = {x3 = t} para cada t ≥ 0), o bien su tercera función coordenada es una
función armónica propia. Como consecuencia, veremos que si E no está contenido en
P0 , entonces E es conformemente un disco punteado. Primero, veamos el siguiente
Lema 2.1 (Meeks-Rosenberg [14]) Sea Σ ⊂ H = {x ∈ R3 /x3 ≥ 0} una superficie minimal propiamente inmersa tal que ∂Σ 6= ∅ (∂Σ no necesariamente compacta).
Si x3(∂Σ) ≥ δ, entonces x3 (Σ) ≥ δ.
Demostración. Supongamos por reducción al absurdo que ε = inf{x3(p) : p ∈ Σ} <
δ. Salvo traslación, podemos suponer que ε = 0 (por no complicar la notación,
seguimos llamando δ a lo que serı́a δ − ε).
Consideremos el disco cerrado D ⊂ P0 de radio uno y centrado en el origen.
Como Σ ∩ P0 = ∅ (por el principio del máximo) y D es compacto, se tiene que
e al disco obtenido al trasladar
d = dist(D, Σ) > 0. Llamamos d˜ = mı́n{ δ2 , d2 } > 0, y D
˜
verticalmente D hasta altura d.
Para cada t ≥ 1, denotamos por St a la circunferencia en P0 de radio t y centro el
e son circunferencias horizontales coaxiales. Por un trabajo de Schoen
origen. St y ∂ D
[25], sabemos que todas las posibles superficies minimales inmersas con frontera
e han de ser necesariamente de revolución, y por tanto trozos de catenoides.
St ∪ ∂ D
e Una de ellas es
Nótese que hay como mucho dos catenoides con frontera St ∪ ∂ D.
e Para cada t ≥ 1,
estable (la solución del Problema de Plateau con borde St ∪ ∂ D).
e
llamamos Ct al trozo de catenoide estable tal que ∂Ct = St ∪ ∂ D.
C1 está contenida en el cilindro macizo vertical finito D × [0, d̃], luego C1 y Σ
e ∪ Ct converge (sobre
son disjuntas. Además, Ct depende continuamente de t y D
3
compactos de R ) a Pd˜ cuando t → ∞. Como hay puntos de Σ por debajo de Pd˜,
existirá una primera catenoide Ct̃ que corta a Σ; esto es, existe t̃ = mı́n{t > 1 :
43
e
Figura 2.1: Ct es el trozo de catenoide estable bordeado por St ∪ ∂ D.
Ct ∩ Σ 6= ∅}. Como Ct̃ ∩ ∂Σ = ∅ (ya que d˜ < δ) y ∂Ct̃ ∩ Σ = ∅, entonces Ct̃ y Σ han
de cortarse en un punto interior a ambas. Pero esto no es posible por el principio
del máximo.
2
Teorema 2.2 ([14]) Sea E ∼
= S1 × [0, +∞[ un final minimal propiamente embebido
en H con ∂E ⊂ P0 . Entonces, o bien E ⊂ P0, o bien la tercera función coordenada
definida sobre E es una función armónica propia.
Demostración. Supongamos que E 6⊂ P0 . Nótese que, asumido cierto el Teorema,
tendrá que ser x3 (E) no acotado. Por tanto, veamos en un primer paso que x3|E no
está acotada superiormente. En caso contrario, existirı́a t0 > 0 verificando x3 (P ) < t0
para todo P ∈ E. Consideramos la función y3 = t0 − x3 . Ası́, E ⊂ {y3 ≥ 0} e
y3 (∂E) = t0 − x3 (∂E) = t0. El Lema 2.1 implicarı́a E ⊂ {y3 ≥ t0 }, luego E ⊂ {x3 ≤
0}, y E ⊂ P0 , contradicción.
Definimos
A = {t ≥ 0 : (x3|E )−1 [0, t] es compacto} y L = sup A.
Nótese que 0 ∈ A, ya que el principio del máximo asegura que (x3|E )−1 (0) = ∂E, y
∂E es compacto. Ası́, el supremo anterior tiene sentido. El Teorema estará probado
una vez demostrado que L = ∞. Para ello, supongamos que L es finito, y lleguemos
a una contradicción.
Afirmación 2.3 (x3|E )−1 [0, L] y (x3|E )−1 (L) son no compactos.
Cuando no dé lugar a confusión, escribiremos x3 = x3|E (por no arrastrar notación).
−1
Demostración de la Afirmación 2.3. Como x−1
3 (L) es un cerrado de x3 [0, L], basta probar que x−1
3 (L) no es compacto. Por reducción al absurdo, supongamos que
(L)
es
compacto.
Consideremos la superficie minimal Σ obtenida al quitarle a
x−1
3
44
−1
x−1
3 [L, ∞[ un pequeño entorno relativamente compacto U de x3 (L). Nótese que ∂Σ
ε
es compacto. Podemos tomar x3 (∂Σ) = L + ε para cierto ε > 0. Como x−1
3 [L, L + 2 ]
−1
ε
no es compacto (por definición de L) y x3 [L, L + 2 ] − Σ ⊂ U es compacto, podemos
ε
asegurar que x−1
3 [L, L + 2 ] ∩ Σ 6= ∅. Pero esto contradice el Lema 2.1, y demuestra
la Afirmación 2.3.
Figura 2.2: U es un pequeño entorno relativamente compacto de x−1
3 (L) en Σ
(L)
compacto).
(supuesto x−1
3
Sea a0 > L un valor regular de x3|E (fijo a lo largo de toda la demostración).
El argumento para encontrar la contradicción deseada consiste en construir una
sucesión de grafos minimales contenidos en {0 < x3 ≤ a0} que convergerá a un grafo
minimal G con gradiente acotado definido sobre un dominio simplemente conexo y no
acotado de P0 . ∂G estará contenido (salvo un compacto) en Pa0 . Por el Teorema 1.8,
G tendrá que ser asintótico a Pa0 . Pero veremos que esto no es posible, puesto que
G contendrá un arco propio y divergente a altura menor o igual que L.
Para cada valor regular a > a0 de x3|E , consideremos
Ea = (x3|E )−1 [0, a].
Nótese que, por el Teorema de Sard, podemos tomar a > a0 tan grande como
queramos. A continuación, haremos una descripción geométrica de Ea .
Afirmación 2.4 Ea es conexo y, salvo ∂E que es compacta y está a altura cero,
todas las componentes conexas de ∂Ea son no compactas y están contenidas en Pa .
Además, ∂Ea − ∂E 6= ∅.
Demostración de la Afirmación 2.4. Por el principio del máximo, (E − ∂E) ∩ P0 = ∅,
luego ∂Ea ⊂ ∂E ∪ Pa . Además, como x3 no está acotada superiormente en E,
deducimos que E ∩ Pa 6= ∅, de donde ∂Ea − ∂E 6= ∅.
Veamos que Ea es conexo. Sabemos que una componente conexa de Ea contiene
a ∂E. Si Ea tuviese alguna componente conexa Σ disjunta de ∂E, entonces serı́a
∂Σ ⊂ Pa. Por el Lema 2.1 se tendrı́a Σ ⊂ {x3 ≥ a}, luego Σ ⊂ Pa. Finalmente, esto
implicarı́a que E ⊂ Pa , contradicción con que ∂E ⊂ P0 . Por tanto, Ea es conexo.
45
Ya sólo resta probar que las componentes conexas de ∂Ea ∩ Pa son no compactas.
Sea γ ⊂ ∂Ea una componente conexa, γ 6= ∂E. Supongamos por reducción al
absurdo que γ es compacta. Entonces, γ es topológicamente S1 , y separa al anillo E
en dos componentes conexas: una compacta (a la que llamaremos F ) y la otra no
compacta.
Figura 2.3: Posibles posiciones de γ, dependiendo de si rodea o no el final.
De nuevo por el principio del máximo, se tiene que ∂E ⊂ ∂F (por tanto, el
dibujo de la izquierda de la Figura 2.3 no es posible). Por ser Ea conexo, deducimos
que Ea = F , luego Ea es compacto. Pero esto es imposible, ya que x−1
3 [0, L] ⊂ Ea
−1
y x3 [0, L] no es compacto (Afirmación 2.3). Con esto, queda probada la Afirmación 2.4.
Consideremos un arco α embebido en Ea que conecte ∂E con una de las componentes conexas de x−1
3 (a). Sean U (α) un entorno tubular abierto de α en Ea y
∆ = Ea − U (α). Nótese que ∆ es simplemente conexo.
Figura 2.4: Izquierda: Dibujo en R3 de ∆. Derecha: Dibujo topológico de ∆.
Para cada t > 0, denotaremos por C(t) al cilindro macizo y cerrado de radio
t alrededor del eje x3 . Sea {tn }n∈N una sucesión en R+ estrictamente creciente di46
vergiendo a +∞ y tal que ∂C(tn) sea transverso a E para todo n ∈ N. Avanzando suficientemente en el ı́ndice n, podemos suponer que t1 cumple ∂∆ ∩ {x3 < a} ⊂ C(t1)
(t1 depende de a). Para cada n ∈ N, denotaremos por ∆(tn ) a la componente conexa
de ∆ ∩ C(tn ) que contiene a ∂E ∩ ∆.
Figura 2.5: Izquierda: Dibujo en R3 de ∆(tn) (∂∆(tn) ⊂ P0 ∪ ∂C(tn) ∪ Pa).
Derecha: Dibujo topológico, con ∆(tn ) en gris oscuro y ∆ − ∆(tn ) en gris claro.
Afirmación 2.5 ∆(tn) es topológicamente un disco.
Demostración de la Afirmación 2.5. Como ∆(tn ) es un dominio plano, basta probar
que ∂∆(tn) es conexo. Visto en R3 , ∆(tn) es un conexo acotado. Como E es propio en
R3 , ∆(tn) ha de ser relativamente compacto en E. En particular, cada componente
conexa de ∂∆(tn) es compacta. Sea Γ1 ∼
= S1 la componente conexa de ∂∆(tn) que
contiene a ∂E ∩ ∆. Supongamos que existe otra componente conexa Γ2 de ∂∆(tn).
Como Γ1 contiene a ∂E ∩ ∆, debe ser Γ2 ⊂ ∂C(tn) ∪ (C(tn) ∩ Pa ). Como Γ2 ∼
= S1
y ∆ es topológicamente un disco, se tiene que Γ2 es borde de un disco abierto
D ⊂ ∆. Además, D ∩ ∆(tn) = Γ2 (en caso contrario, tendrı́amos ∆(tn ) ⊂ D, luego
∂E ∩ ∆ ⊂ ∂D y ∂D tendrı́a más de una componente conexa, contradicción). Ahora
veamos cuál es la posición de D en R3 : Como ∂C(tn) y E se cortan transversalmente
y D ∩ ∆(tn ) = ∅, deducimos que D está localmente contenido en el exterior de
C(tn ) ∩ {0 ≤ x3 ≤ a}*. Además, ∂D ⊂ ∂(C(tn) ∩ {0 ≤ x3 ≤ a}), pero esto
contradice la propiedad de la envolvente convexa (nótese que C(tn ) ∩ {0 ≤ x3 ≤ a}
es una región compacta y convexa de R3 ), y prueba la Afirmación 2.5.
Llamamos Ω al anillo exterior a ∂E en P0, B ⊂ H a la región cerrada cuyo borde
es Ω ∪ E y Ba,n = B ∩ {x3 ≤ a} ∩ C(tn). Ba,n es una 3−variedad adecuada para
resolver Problemas de Plateau con datos en ∂Ba,n según el Teorema 11. Además,
∂∆(tn) es una curva de Jordan contenida en ∂Ba,n , y es homológicamente trivial
*
De hecho, D ⊂ ∆ ⊂ Ea = x−1
3 [0, a], luego D está localmente contenido en el exterior de C(tn ).
47
en Ba,n por ser borde del disco ∆(tn ) ⊂ Ba,n . Por el Lema de Dehn, sabemos que
∂∆(tn) es el borde de un disco minimal y embebido D(tn ) ⊂ Ba,n que minimiza el
área de entre todos los discos contenidos en Ba,n con borde ∂∆(tn). Nótese que o bien
D(tn ) coincide con ∆(tn ), o bien D(tn ) y ∆(tn ) sólo se cortan a lo largo de ∂∆(tn).
Como ∆(tn ) ⊂ ∂Ba,n , en éste último caso D(tn ) divide a Ba,n en dos componentes
conexas. En cualquier caso, D(tn ) es estable por ser un mı́nimo del área.
Figura 2.6: D(tn ) es la solución del Problema de Plateau en Ba,n
con valores frontera ∂∆(tn).
Como D(tn ) es estable, cumple la estimación de Schoen para superficies minimales estables. Esto es, existe una constante universal C > 0 cumpliendo
KD(tn ) (P ) ≤
C
dist P, ∂D(tn )
2
para todo P ∈ D(tn ),
(2.1)
La desigualdad (2.1) nos permitirá considerar regiones de D(tn ) suficientemente alejadas de ∂D(tn ) que se podrán poner como grafos sobre subconjuntos de Ω. Éstos
serán los grafos minimales de los que hablábamos al comienzo de la demostración.
Demos ahora la siguiente definición:
Dados un valor regular a > a0 de x3 |E y k ∈ N, decimos que el par
(a, tk ) es admisible si para cualesquiera tn , t, P con tk ≤ t tn ** y
P ∈ D(tn ) ∩ ∂C(t) ∩ {x3 ≤ a0}, se tiene que TP D(tn ) forma con P0 un
ángulo menor o igual que π/4.
Geométricamente, esto quiere decir que para tn tk , no se alejan demasiado de la
horizontal los planos tangentes en puntos de D(tn ) por debajo de Pa0 y comprendidos
entre los cilindros coaxiales ∂C(tk ), ∂C(tn), suficientemente lejos de ∂C(tn).
Afirmación 2.6 Existen pares admisibles.
**
Dados a, b ∈
mayor) que b.
R, escribiremos a b (resp. a b) cuando a sea mucho menor (resp. mucho
48
Demostración de la Afirmación 2.6. A partir de ahora, supondremos que el valor regular a de x3 cumple a L. Observemos que para cada n ∈ N, ∂D(tn ) = ∂∆(tn) ⊂
∂∆ ∪ ∂C(tn) ⊂ C(t1) ∪ Pa ∪ ∂C(tn) y ∂D(tn ) tiene puntos en cada uno de los conjuntos C(t1), Pa y ∂C(tn). Tomando a y tk suficientemente grandes en términos de L y
t1 respectivamente, deducimos que
para todo punto P ∈ D(tn ) ∩ ∂C(t) ∩ {x3 ≤ a0 }
con tk ≤ t tn , dist P, ∂D(tn ) se hace arbitrariamente grande. Por la desigualdad (2.1), |KD(tn) (P )| se hace arbitrariamente pequeña. Entonces, la segunda forma
fundamental de D(tn ) es uniformemente próxima a cero en un disco geodésico arbitrariamente grande alrededor de P . Esto nos dice que el plano tangente a D(tn ) en
P es casi horizontal: si no fuese ası́, podrı́amos tomar un disco geodésico suficientemente grande como para que cortase el plano P0 , que no es posible. Por tanto,
(a, tk ) es admisible, y queda probada la Afirmación 2.6.
Afirmación 2.7 Sea (a, tk ) un par admisible. Para todo tn tk y todo t ∈]tk , tn /2],
cada componente conexa de Wn (t) = D(tn ) ∩ (C(t) − C(tk )) ∩ {x3 ≤ a0 } es un grafo
minimal sobre P0 .
Demostración de la Afirmación 2.7. Por definición de par admisible, para tn suficientemente grande se tiene que TP Wn (t) = TP D(tn ) forma con la horizontal un
ángulo menor o igual que π/4 para todo t ∈]tk , tn /2] y todo P ∈ Wn (t). Fijemos
t ∈]tk , tn /2]. Como queremos probar que cada componente conexa de Wn (t) es un
grafo, supongamos directamente que Wn (t) es conexo (por no complicar la notación)
y veamos que, en tal caso, Wn (t) es un grafo.
Por definición de par admisible, para cada s ∈]tk , t[⊂]tk, tn /2], se tiene que ∂C(s)
es transverso a Wn (t) y cada componente conexa Γ(s) de ∂C(s) ∩ Wn(t) es una curva
regular y embebida cuya inclinación con la horizontal es a lo más π/4. En particular,
Γ(s) es localmente un grafo sobre su proyección vertical en la circunferencia ∂C(s) ∩
P0 . Nótese que esta última condición elimina la posibilidad de que Γ(s) sea cerrada
y nulhomotópica en ∂C(s). Veamos que Γ(s) no puede ser cerrada: Supongamos que
Γ(s) es cerrada. Como Γ(s) está embebida y es localmente un grafo sobre ∂C(s)∩P0 ,
deducimos que Γ(s) es realmente un grafo sobre dicha circunferencia. Como D(tn ) es
un disco, Γ(s) será borde de un disco Ds ⊂ D(tn ). Pero el Teorema de Radó asegura
que Ds es un grafo sobre C(s) ∩ P0, contenido entre alturas 0 y a. En particular, Ds
cortará a la curva α, contradicción. Esto prueba que Γ(s) es un arco embebido con
extremos a altura a0, y es un grafo sobre algún arco de ∂C(s) ∩ P0.
Para terminar, basta probar que no existen Γ1 (s), Γ2 (s) componentes conexas
de ∂C(s) ∩ Wn (t) que sean grafos sobre arcos α1 , α2 ⊂ ∂C(s) ∩ P0 (resp.) tales
que α1 ⊂ α2 . Como los planos tangentes en puntos de Wn (t) forman siempre un
ángulo con la horizontal menor o igual que π/4, y estamos suponiendo Wn (t) conexo,
podemos asumir que la aplicación de Gauss N de Wn (t) toma valores en el hemisferio
superior de la esfera unidad, fuera de un entorno del ecuador horizontal. Nótese que
Wn (t) divide a (C(t) − C(tk )) ∩ {x3 ≤ a0 } en dos componentes conexas. N apunta
hacia una de ellas. Por otra parte, podemos suponer que no existen componentes
49
conexas de ∂C(s) ∩ Wn(t) entre Γ1 (s) y Γ2 (s), luego N toma valores en el hemisferio
inferior sobre Γ1 (s) o sobre Γ2 (s), contradicción. Esto prueba la Afirmación 2.7.
Fijemos un par admisible (a, tk ) y sea tn0 tk cumpliendo ∆ ∩ C(tk ) ⊂ ∆(tn0 )
y la Afirmación 2.7. Por la Afirmación 2.3, existe un arco η ⊂ x−1
3 (L) propio y
no acotado cuya intersección con C(tk ) es un único punto Q (el extremo de η).
Sean π(x1, x2 , x3) = (x1, x2, 0) y β el arco vertical con origen π(Q) y extremo Q,
β = [π(Q), Q].
Afirmación 2.8 D(tn0 ) ∩ β 6= ∅.
Demostración de la Afirmación 2.8. Si Q ∈ D(tn0 ), entonces es claro. Si Q 6∈ D(tn0 ),
entonces D(tn0 ) 6= ∆(tn0 ), ya que Q ∈ ∆ ∩ C(tk) ⊂ ∆(tn0 ). Ası́, D(tn0 ) divide a Ba,n0
en dos componentes conexas: una de ellas conteniendo a Ω ∩ C(tn0 ) en su frontera,
y la otra conteniendo a ∆(tn0 ) en su frontera. Si llamamos Q0 al punto más bajo de
∆(tn0 )∩β, entonces se tiene que π(Q) y Q0 están en componentes conexas distintas de
Ba,n0 − D(tn0 ). Por tanto, [π(Q), Q0] ∩ D(tn0 ) 6= ∅, y la Afirmación 2.8 está probada.
Como D(tn0 ) ∩ β 6= ∅, podemos considerar el punto de corte de β con D(tn0 ) de
menor altura, Qn0 (nótese que podrı́a ser Qn0 = Q en el caso en el que D(tn0 ) y
∆(tn0 ) coincidieran).
Llamamos Gn0 a la componente conexa de Wn0 (tn0 /2) que contiene a Qn0 . Como
tn0 cumple la Afirmación 2.7, sabemos que Gn0 es un grafo sobre P0 .
Observemos que lo anterior es válido para todo n ≥ n0 . Obtenemos ası́ una sucesión {Gn }n≥n0 de grafos minimales definidos sobre subconjuntos de Ω. Nótese que
podemos tomar ε > 0 arbitrariamente pequeño tal que Gn sea transversal a ∂C(tk +
ε) para todo n ≥ n0 . En adelante, seguiremos llamando Gn a Gn − C(tk + ε). De esta
forma, tenemos asegurado que ∂Gn es analı́tica salvo en puntos de ∂C(tk + ε) ∩ Pa0 .
Como (a, tk ) es un par admisible, los grafos Gn tienen gradiente uniformemente acotado. Además, {Gn }n≥n0 tiene puntos de acumulación (por ejemplo, todos los de
50
∂Gn0 ∩ Pa0 ). Por el Teorema (23), existe una parcial de {Gn }n≥n0 convergente (en
la topologı́a C r , ∀r) a un grafo minimal G con gradiente acotado definido sobre un
dominio propio y no compacto de Ω. Además, ∂G ⊂ ∂C(tk + ε) ∪ Pa0 es no vacı́o y
diferenciable salvo (posiblemente) en puntos de ∂C(tk + ε) ∩ Pa0 .
Afirmación 2.9 G es simplemente conexo.
Demostración de la Afirmación 2.9. El grafo minimal G se ha obtenido como lı́mite
de una parcial de {Gn }n≥n0 . Por no complicar la notación, seguimos llamando
{Gn }n≥n0 a dicha parcial. También simplificaremos escribiendo tk en vez tk + ε
(nótese que esto no modifica la sucesión {tn }n∈N ).
Supongamos por reducción al absurdo que G no fuese simplemente conexo. Esto
es, supongamos que existe una curva γ ⊂ ∂G no nulhomotópica (como G es un
dominio plano, podemos suponer γ en el borde de G). γ se obtiene como lı́mite de
una sucesión de curvas {γn }n≥n0 , con γn ∈ ∂Gn para cada n ≥ n0. En principio, se
tendrı́a γn ⊂ ∂C(tk)∪Pa0 ∪∂C(tn/2); pero como γ es compacta y ∂G ⊂ ∂C(tk )∪Pa0 ,
podemos tomar n0 suficientemente grande cumpliendo γn ⊂ ∂C(tk ) ∪ Pa0 para todo
n ≥ n0. Nótese además que γn 6⊂ Pa0 por el principio del máximo, y que γn 6⊂ ∂C(tk )
porque Gn es un grafo sobre un dominio contenido en P0 (o por la Propiedad de la
envolvente convexa). Ası́, γn tiene trozos contenidos en Pa0 y trozos en ∂C(tk ).
Vista en el disco D(tn ), γn es borde de un subdisco Dn relativamente compacto
en D(tn ). Supongamos que γn separa a Dn de Gn sobre D(tn ). Como Gn ⊂ {x3 <
a0}, concluı́mos que Dn está localmente por encima de Pa0 (al menos en puntos
transversales, que siempre existen). Por tanto, x3|Dn alcanza un máximo en un punto
interior de Dn , en contradicción con el principio del máximo. Ası́, Dn y Gn coinciden
localmente alrededor de γn . Como Dn es un disco, concluı́mos que Gn ⊂ Dn .
Vamos a probar que Dn ⊂ Gn para todo n ≥ n0 (y se tendrá Dn = Gn ). Esto
probará la Afirmación 2.9, ya que la sucesión {Dn }n≥n0 convergerá a un disco D ⊂ G
con ∂D = γ, contradicción. Supongamos por reducción al absurdo que Dn 6⊂ Gn .
˚n . Afirmamos que b
γn ⊂ Pa0 ∪ ∂C(tk): En efecto, en
Entonces existe b
γn ⊂ ∂Gn ∩ D
caso contrario encontrarı́amos un punto P ∈ b
γn ∩ ∂C(tn/2) ∩ {x3 < a0}, pero Dn
está contenido en C(tn /2) (propiedad de la envolvente convexa), y encontraremos
una contradicción aplicando el principio del máximo a Dn y al plano tangente a
γn ⊂ Pa0 ∪ ∂C(tk ). Y además, b
γn ∩ Pa0 6= ∅ (propiedad de
∂D(tn /2) en P . Por tanto, b
la envolvente convexa) y b
γn ∩ ∂C(tk ) 6= ∅ (principio del máximo). Ahora podemos
γn un razonamiento como el de
aplicar a Gn y al subdisco de Dn encerrado por b
arriba, llegando a una contradicción. Y la Afirmación 2.9 queda probada.
Como G es simplemente conexo, no acotado y G ⊂ {0 < x3 ≤ a0 }, entonces se
tiene que ∂G está formado por arcos no acotados a altura a0 con posibles trozos
compactos contenidos en ∂C(tk ). Estamos en condiciones de aplicar el Teorema 1.8,
el cual nos dice que G debe ser asintótico al plano Pa0 .
51
Por otro lado, como η ⊂ E y G es lı́mite de grafos en Ba,n , deducimos que o
bien η ∩ G = ∅ o bien η ⊂ G ⊂ E (ésta es una sencilla aplicación del principio del
máximo en el interior o en la frontera, ya que estamos tomando tanto G como η
cerrados). El caso η ⊂ G ⊂ E es imposible porque G es asintótico a Pa0 , pero η
es un arco divergente a altura L < a0. Por tanto, η ∩ G = ∅. Recordemos que, por
construcción, Gn corta el segmento vertical [π(Q), Q] para todo n ≥ n0 . Pasando al
lı́mite, G también cortará dicho segmento. Pero estamos suponiendo Q 6∈ G, luego
Q está estrictamente por encima de G. Por otro lado, π(η) no puede cortar a ∂π(G),
ya que η está por encima de G sobre π(η) ∩ ∂π(G) ∩ ∂C(tk ) = π(Q), y G se queda
por encima de η sobre π(η) ∩ (∂π(G) − ∂C(tk )) (puesto que ∂G − ∂C(tk ) ⊂ Pa0 ,
η ⊂ PL , y L < a0 ), luego serı́a η ∩ G 6= ∅, contradicción. Y como π(η) está contenido
en π(G) para puntos próximos a π(Q), concluı́mos que π(η) es un arco divergente
contenido en π(G). Por tanto, el segmento vertical cerrado que une cada punto Q0
de η con P0 corta a G (por debajo de altura L), y G no puede ser asintótico al plano
2
Pa0 , contradicción. Ası́, L ha de ser finito, y el Teorema 2.2 queda probado.
Corolario 2.10 Sea E ∼
= S1 × [0, +∞[ un final minimal propiamente embebido en
H con ∂E ⊂ P0 y E 6⊂ P0. Entonces, E se puede parametrizar conformemente en
{0 < |z| ≤ 1}, con tercera función coordenada x3(z) = − ln |z|. En particular, no
existe ningún punto con normal vertical en E.
Demostración. Sea {hn }n∈N un sucesión divergente de valores regulares positivos de
x3 = x3|E . Fijado n ∈ N, sabemos por el Teorema 2.2 que x−1
3 (hn ) es compacto.
−1
Por tanto, toda componente conexa α de x3 (hn ) es una curva de Jordan. Además,
nótese que α ∩ ∂E = ∅, ya que ∂E ∩ Phn = ∅. El principio del máximo asegura
que α no puede ser borde de un disco topológico contenido en E, luego α ha de
ser homóloga a ∂E. Y de nuevo por el principio del máximo, x−1
3 (hn ) consiste en
una única componente conexa y compacta homóloga a ∂E. Por otra parte, sabemos
por la Afirmación 2.4 que x−1
3 [0, hn ] es conexo. Entonces, existe un biholomorfismo
−hn
[0,
h
. Ası́, x3 ◦ φn y − ln |z| son dos
φn : A(0; Rn , 1) → x−1
n ], siendo Rn = e
3
funciones armónicas definidas en A(0; Rn , 1) que coinciden en ∂A(0; Rn, 1). Por el
principio del máximo para funciones armónicas, deducimos que (x3 ◦φn )(z) = − ln |z|
para todo z ∈ A(0; Rn , 1).
Como hn → +∞, el lı́mite de {A(0; Rn , 1)}n es el disco punteado A(0; 0, 1). También es claro que el lı́mite de {x−1
3 [0, hn ]}n es E. Además, los biholomorfismos φn
convergerán o bien a un biholomorfismo φ : A(0; 0, 1) → E o bien a una función constante. Esto último no es posible, ya que para cada n, φn ||z|=1 es una parametrización
(independiente de n) de ∂E. Por último, la condición (x3 ◦ φn )(z) = − ln |z| implica
2
que (x3 ◦ φ)(z) = − ln |z|, lo que prueba el Corolario.
52
Capı́tulo 3
Caracterización geométrica de
anillos con curvatura total infinita
Recordemos que E ∼
= S1 × [0, +∞[ es un final minimal propiamente embebido en H con ∂E ⊂ P0 y E 6⊂ P0 , y que estamos denotando por H+ y H− a las
componentes conexas de H − E, siendo H− ∩ P0 la componente conexa no compacta
de P0 − ∂E. Orientamos E considerando en cada uno de sus puntos el normal N
que apunta hacia H+ .
Sea Π = {X ∈ R3 : hX − X0 , ui = 0} un plano transversal a E, con X0 ∈ R3
y u un vector no vertical de R3 que orienta a Π. Denotamos Π+ = {X ∈ H :
hX − X0 , ui > 0} y Π− = {X ∈ H : hX − X0 , ui < 0}.
Si S es una componente conexa de E∩Π+ , entonces ∂S ⊂ ∂E∪Π ⊂ P0 ∪Π = ∂Π+.
Como S está propiamente embebida, separa a Π+ en dos componentes conexas: S +
y S − . Llamamos S − a aquella para la cual S − ∩ P0 es la componente conexa no
compacta de (P0 ∩ Π+ ) − ∂S (nótese que podrı́a ser S − ∩ P0 = P0 ∩ Π+ ). Orientamos
S considerando en cada uno de sus puntos el normal que apunta hacia S + . Nótese
que, a priori, la orientación de S no tiene por qué coincidir con la orientación inducida
de E.
Figura 3.1: S es la parte sombreada de E.
53
Diremos que S está bien orientada si su orientación coincide con la inducida de
E, y que S está mal orientada en caso contrario (en la Figura 3.1, la componente
conexa S de E ∩ Π+ está bien orientada; sin embargo, la componente conexa S de
E ∩Π+ que podemos ver en la Figura 3.2 está mal orientada). Nótese que para que S
esté bien orientada, basta que coincidan en un punto de S los normales que apuntan
a S + y a H+ . En la práctica, para decidir si una componente conexa de E ∩ Π+
está bien orientada, usaremos la siguiente caracterización:
Observación 3.1 (Caracterización de componentes bien orientadas) Sea Π
un plano transversal a E, no horizontal y S una componente conexa de E ∩ Π+ .
Tomemos un punto Q de S y γ ⊂ Π+ una curva C 1 a trozos, transversal a S, que
parta de Q y llegue a S − ∩ P0 . Si Q0 es el último punto de corte de γ con S, entonces
0
S está bien orientada si y sólo si hγQ
0 , NQ0 i < 0.
Además, como S es transversal a Π y a P0 , el mismo enunciado es válido si tomamos
Q, Q0 ∈ S y γ ⊂ Π+ .
Figura 3.2: Izquierda: S es una componente conexa de E ∩ Π+ mal orientada.
Derecha: ampliación de S.
Lema 3.2 Sea Π un plano transversal a E y no horizontal, y sea S una componente
conexa bien orientada de E ∩ Π+ . Si Π0 es un plano paralelo a Π o se obtiene a
partir de Π mediante una rotación alrededor de Π ∩ P0 (manteniendo la orientación
mediante la translación o rotación) y se cumple que S ∩ Π0 6= ∅ es transversal,
entonces existe una componente conexa bien orientada S 0 de E ∩ Π0+ , con S 0 ⊂ S.
Demostración. Consideremos un de punto Q ∈ S ∩ Π0 donde x3 |S∩Π0 alcance su
mı́nimo, que sabemos que existe porque x3 |E es propia; y sea γ ⊂ Π0 el segmento
que minimiza la distancia de Q a P0 , recorrido desde Q hasta P0. Nótese que Q
54
es el único punto de corte de γ con S. Como S está bien orientada, la Caracteri0
, NQ i < 0. De nuevo por la Caracterización 3.1 deducimos
zación 3.1 afirma que hγQ
que la componente conexa S 0 de S ∩ Π0+ que contiene a Q en su frontera es una
2
componente conexa bien orientada de E ∩ Π0+ , y S 0 ⊂ S.
Lema 3.3 Sea Π un plano no horizontal, transversal a E, con ∂E∩Π = ∅. Entonces,
E ∩ Π es una colección de curvas diferenciables con las siguientes propiedades:
1. Existe al menos un curva no compacta en E ∩ Π.
2. Existe a lo sumo una curva compacta en E ∩ Π. En este caso, dicha curva es
homóloga a ∂E.
Demostración. Por transversalidad, E ∩ Π o es vacı́o o consiste en una unión de
curvas diferenciables. El punto 2 es una sencilla aplicación del principio del máximo
(teniendo en cuenta que ∂E ∩ Π = ∅). Probemos entonces 1: Consideremos un vector
unitario u que oriente a Π de forma que sea ∂E ⊂ Π− , y supongamos por reducción
al absurdo que E ∩Π o es vacı́o o se reduce a una única curva compacta Γ homóloga a
∂E. Por el Corolario 2.10, ningún punto de E puede tener normal vertical. Además,
si E ∩ Π = Γ, el mismo Corolario implica que el normal N no toma los valores ±u
en E ∩ Π+ . Si suponemos E ∩ Π = ∅, de un trabajo de Fang y Meeks [5] obtenemos que en E ∩ Π+ hay sólo una cantidad finita de puntos donde N es ortogonal
a Π. Por el Teorema Grande de Picard tenemos que, en ambos casos, la aplicación
de Gauss de E ∩ Π+ no puede tener una singularidad esencial, luego E ∩ Π+ tiene
curvatura total finita. En consecuencia, E también tiene curvatura total finita en
ambos casos, luego es E es un final de tipo plano o catenoide. Por el Corolario 2.10,
concluı́mos que E es un final de tipo catenoide con normal lı́mite vertical. De aquı́ se
deduce inmediatamente que E ∩Π contiene una curva no compacta, contradicción. 2
Corolario 3.4 Sea η una curva divergente y propiamente embebida en E partiendo
de ∂E. Si Π es un plano no horizontal tal que (∂E ∪ η) ∩ Π = ∅, entonces las
componentes conexas de E∩Π son curvas no compactas. En particular, si orientamos
Π de forma que ∂E ∪ η ⊂ Π− , entonces las componentes conexas de E ∩ Π+ son
simplemente conexas (ya que E ∩ Π+ es un dominio plano).
Para seguir obteniendo información sobre la geometrı́a de nuestro final E, recordemos que el vector flujo F a lo largo de ∂E se define como
Z
ν ds,
F=
∂E
donde ν es el conormal unitario exterior a E a lo largo de ∂E (i.e. ν es tangente a
E, normal a ∂E y saliente a E) y ds denota el elemento de longitud en ∂E.
55
Afirmamos que F no puede ser 0: En efecto, como E ⊂ H y ∂E ⊂ P0 , la tercera
coordenada ν3 de ν es menor o igual que 0 a lo largo de ∂E; por tanto, la tercera
coordenada F3 de F también es menor o igual que 0, siendo F3 = 0 si y sólo si ν3 = 0
idénticamente en ∂E. Este último caso es claramente imposible por el principio del
máximo en la frontera. Por tanto, F 6= 0.
El lema 3.3 nos da información sobre las curvas obtenidas al cortar E con un
plano no horizontal, transversal a E y que no corte a ∂E. A continuación veremos
cómo mejorar esta información para cortes de E con planos que contengan a F.
Lema 3.5 Sea Π un plano no horizontal, transversal a E, que contenga a F y tal que
∂E ∩Π = ∅. Entonces, se da una de las dos siguientes posibilidades (no excluyentes):
1. E es un final de tipo catenoide con normal lı́mite vertical.
2. E ∩ Π tiene un número infinito de componentes conexas (a lo más, una de
ellas compacta).
Demostración. Sea u un vector unitario ortogonal a Π y h la función altura respecto
de u, restringida a E: h(z) = hψ(z), ui, donde ψ : {0 < |z| ≤ 1} → R3 es una
parametrización conforme de E. Como F ∈ Π, tenemos
Z
Z
Z
Z
0 = hF, ui = −
hdψ ◦ J, uids = −
dhψ, ui ◦ J = −
(dh ◦ J ) =
dh∗ ,
∂E
∂E
∂E
∂E
donde J es la rotación de π/2 en el espacio tangente a E, y h∗ : {0 < |z| ≤ 1} → R es
la conjugada armónica de h, que por la condición anterior es una función univaluada
(nótese que h∗ está definida salvo constante aditiva). Veamos que h∗ es estrictamente
monótona sobre cada componente conexa Γ de E ∩ Π. Identificando Γ con la curva
correspondiente en {0 < |z| ≤ 1},
(h∗ ◦ Γ)0 = (dh∗ )Γ (Γ0 ) = −(dh)Γ (J (Γ0)) = − J (Γ0 ), u .
Como Π es transversal a E, la función que aparece en el mienbro de la derecha no
tiene ceros a lo largo de Γ. Por conexión, h∗ es estrictamente monótona sobre Γ.
Por las ecuaciones de Cauchy-Riemann, ϕ = h + ih∗ : {0 < |z| ≤ 1} → C es una
función holomorfa. Sobre cada componente conexa de Γ de E ∩ Π, h es constante y
h∗ es estrictamente monótona. Ası́, ϕ es inyectiva sobre Γ.
Sea a = h|E∩Π ∈ R y ra = {w ∈ C : Re(w) = a}. Es claro que ϕ−1 (ra) =
E ∩ Π. Supongamos primeramente que E ∩ Π tiene un número finito de componentes conexas. Por tanto, ϕ sólo toma un número finito de veces cada punto de
ra . Por el Teorema Grande de Picard, ϕ no puede tener una singularidad esencial
en 0, lo cual equivale a que dϕ no tenga una singularidad esencial en 0. Por el
3
dz también es meromorfa. Expresando u en
Corolario 2.10 sabemos que φ3 = 2 ∂x
∂z
combinación lineal de la base canónica, obtendremos tres coeficientes reales, y la
56
combinación lineal de las 1-formas de la representación de Weiestrass φ1, φ2 , φ3 con
estos coeficientes nos dará la 1-forma diferencial dϕ. Usando esta combinación lineal,
el hecho de que dϕ, φ3 son linealmente independiente y que tanto dϕ como φ3 tienen
a lo más un polo en el origen, obtenemos que φ1 y φ2 son también meromorfas, y
por tanto E es de curvatura total finita (Osserman [19]).
2
Proposición 3.6 Supongamos que E tiene curvatura total infinita. Entonces, existe
un plano orientado Π no horizontal, transversal a E, con ∂E ⊂ Π− ; y existen
dos componentes conexas distintas S1 y S2 de E ∩ Π+ verificando para i = 1, 2 lo
siguiente:
1. Si está bien orientada;
2. Si es simplemente conexa;
3. ∂Si ⊂ Π;
4. Existe un arco αi ⊂ E − (S1 ∪ S2 ) que une ∂Si con ∂E.
Demostración. Salvo una rotación de eje vertical, podemos suponer que hF, e1i = 0,
donde F es el vector flujo a lo largo de ∂E. Denotaremos por Πa al plano vertical
determinado por la ecuación x1 = a, para cada a ∈ R.
En primer lugar, vamos a probar que la primera función coordenada x1 no
está acotada sobre E. En concreto, vamos a probar la siguiente
Afirmación 3.7 Existen dos curvas η y η̂ diferenciables a trozos, embebidas en E,
y con extremos contenidos en ∂E tales que x1 |η diverge a +∞ y x1 |η̂ diverge a −∞.
b transversal a E, dado
Demostración de la Afirmación 3.7. Consideremos un plano Π
b = ∅. Sabemos por el Lema 3.3
por la ecuación x1 − x3 = ρ ∈ R, tal que ∂E ∩ Π
b
que E ∩ Π contiene al menos una curva Γ no compacta. Como la tercera función
coordenada de E es propia (Teorema 2.2), deducimos que x3 diverge a +∞ sobre
b Consideramos un punto
Γ. Y por tanto, x1 diverge a +∞ sobre Γ (ya que Γ ⊂ Π).
Q ∈ Γ y un arco γ diferenciable y embebido en E que vaya de ∂E a Q y sólo corte
a Γ en Q (ver Figura 3.3). Llamamos η a la curva formada por γ desde ∂E hasta
Q prolongada a través de Γ por una de las dos ramas infinitas en que Q divide a Γ.
Con esto, tenemos asegurado que x1|η diverge a +∞. Obtenemos de este modo la
curva η que buscábamos.
Con un razonamiento análogo aplicado un plano de ecuación x1 + x3 = ρ, obtenemos una curva η̂ embebida en E que parte de ∂E y tal que x1(η̂) diverge a −∞,
y ası́ concluı́mos la demostración de la Afirmación 3.7.
57
Figura 3.3: Representando E por {0 < |z| ≤ 1}, las curvas divergentes contenidas
en E se identifican con aquellas curvas contenidas en {0 < |z| ≤ 1} con extremos
en z = 0.
Consideramos la curva η̂ dada en la Afirmación anterior, y sea a0 ∈ R. Como η̂ ∩
{x1 ≥ a0} es compacto, podemos considerar a0 suficientemente grande cumpliendo
Πa0 ∩ η̂ = ∅. Además, podemos tomar Πa0 transverso a E (Teorema de Sard) y
tal que η̂ ∪ ∂E ⊂ Π−
a0 , considerando en Πa0 la orientación dada por e1 . Por el
Corolario 3.4, sabemos que E ∩ Πa0 está formado por curvas no compactas, y que
las componentes conexas de E ∩ Π+
a0 son simplemente conexas. Además, el Lema 3.5
asegura que E ∩ Πa0 está formado por un número infinito de componentes conexas.
El plano Π de la Proposición lo obtendremos a partir de Πa0 mediante traslaciones
y/o rotaciones alrededor de Πa0 ∩ P0 .
Afirmación 3.8
1. Existe una componente conexa Γ de E ∩ Πa0 que se conecta a P0 por un arco
β contenido en Πa0 − E.
2. Sea S una componente conexa de E∩Π+
a0 para la cual existe un arco β contenido
en Πa0 − E uniendo ∂S con P0 . Entonces, S está bien orientada y x1 |S no
está acotada superiormente.
Demostración de la Afirmación 3.8. Como x3 |E es propia, entonces existe Q0 ∈
E ∩ Πa0 verificando x3(Q0) = mı́n x3 . Nótese que x3 (Q0) > 0, ya que Πa0 ∩ E ∩ P0 =
E∩Πa0
Πa0 ∩ ∂E = ∅. Llamamos Γ a la componente conexa de E ∩ Πa0 que contiene a Q0
y β al arco vertical cerrado [Q0, π(Q0)] ⊂ Πa0 − E, siendo π(x1, x2, x3 ) = (x1 , x2, 0).
Es claro que Γ y β ası́ elegidos cumplen 1.
Probemos 2: Sea Q0 ∈ ∂S el extremo superior de β. Como β no corta a E salvo
−
0
0
en Q0 y ∂E ⊂ Π−
a0 , entonces βQ0 apunta hacia H ; esto es, hβQ0 , NQ0 i < 0. Por
la caracterización 3.1, S es una componente conexa bien orientada de E ∩ Π+
a0 .
Para ver que x1 no está acotada superiormente sobre S, consideremos el plano
Πa0 ,λ = {x1 − λx3 = a0} para cierto λ > 0 tal que S ∩ Πa0 ,λ 6= ∅ sea transversal (Πa0 ,λ se obtiene girando Πa0 respecto de Πa0 ∩ P0 un ángulo suficientemente
58
pequeño; nótese que tomar λ > 0 implica Πa0 ,λ ⊂ Π+
a0 ). Sea Γλ una componente
conexa de S ∩ Πa0 ,λ. Por el Corolario 3.4 sabemos que Γλ es no compacta, ya que
(∂E ∪ η̂) ∩ Πa0,λ = ∅. Como x3 es propia, concluı́mos que x3|Γλ no está acotada
superiormente, de donde deducimos que x1|Γλ no está acotada superiormente (ya
que Γλ ⊂ Πa0 ,λ). En particular, x1 |S no está acotada superiormente, y la Afirmación
3.8 queda probada.
Afirmación 3.9 Si existen dos curvas Γ1 , Γ2 de E ∩ Πa0 cumpliendo el apartado 1
de la Afirmación 3.8, entonces la Proposición 3.6 es cierta.
Demostración de la Afirmación 3.9. Fijemos i = 1, 2. Como Γi es no compacta y
no corta a ∂E, podemos pensar topológicamente en E como {0 < |z| ≤ 1}, y en Γi
como un arco diferenciable embebido y disjunto con origen y final en z = 0. Sea Si0
0
0
la componente conexa de E ∩ Π+
a0 tal que Γi ⊂ ∂Si . Nótese que Si está localmente
a un lado de Γi , y que Si0 ∩ {|z| = 1} = ∅.
Supongamos en primer lugar que S10 6= S20 . Consideremos para i = 1, 2 un arco
compacto ci embebido en E uniendo ∂Si0 con ∂E. Por compacidad de ci , existe a0 ≥ a0
−
tal que c1 ∪ c2 ⊂ Π−
a0 (nótese que ∂E ⊂ Πa0 ). No perdemos generalidad suponiendo
que E ∩ Πa0 es transversal. Tomemos Π = Πa0 y veamos que cumple la tesis de
la Proposición. Sabemos por el apartado 2 de la Afirmación 3.8 que Si0 está bien
orientada y que Π ∩ Si0 6= ∅. Por el Lema 3.2, existe una componente conexa bien
orientada Si de E ∩ Π+ , con Si ⊂ Si0. En particular, S1 6= S2 (porque S10 ∩ S20 = ∅).
Además, Si ⊂ E − η̂, luego Si es simplemente conexa (Corolario 3.4). Y es claro que
∂Si ⊂ Π, ya que ∂Si0 ⊂ Πa0 ⊂ Π− . Ya tenemos los tres primeros apartados de la
tesis de la Proposición. Para obtener el cuarto apartado, basta considerar un arco
c0i propiamente embebido en Si0 − Si con origen en ∂Si y extremo el origen de ci , y
αi = c0i ∪ ci . Ası́, αi ⊂ (Si0 − Si ) ∪ Π− ⊂ E − (S1 ∪ S2 ) une ∂Si con ∂E.
Supongamos ahora que S10 = S20 . Cambiando la orientación de Πa0 (i.e. consideramos el plano Πa0 orientado por −e1), se tiene que ∂E ⊂ Π+
a0 y que Γ1 , Γ2 bordean
componentes conexas distintas Sb1, Sb2 ⊂ E ∩ Π+
a0 (resp.). Sea i ∈ {1, 2}. Sabemos por
el segundo apartado de la Afirmación 3.8 que Sbi está bien orientada. Consideremos
a0 < a0 cumpliendo (∂E ∪η) ⊂ Π−
a0 (con la nueva orientación, −e1 ). Razonando como
en el segundo apartado de la Afirmación 3.8 con un plano del tipo {x1 + λx3 = a0 }
para cierto λ > 0 suficientemente pequeño, llegamos a que x1 no está acotada inferiormente sobre Sbi , luego Sbi ∩ Πa0 6= ∅. Por el Lema 3.2, sabemos que existe una
e
b
componente conexa Sei de E ∩ Π+
a0 bien orientada, Si ⊂ Si .
Y ahora, Se1 , Se2 están en las mismas condiciones que S10 , S20 del caso S10 6= S20 .
Razonando de forma análoga cambiando Si0 por Sei , Πa0 por Πa0 , la orientación e1
por −e1 y η̂ por η, se concluye la Afirmación 3.9.
59
Figura 3.4: Dos ejemplos del caso S10 6= S20 (demostración de la Afirmación 3.9).Las
curvas con trazo continuo y extremos en z = 0 se correponden con componentes
conexas de E ∩ Πa0 , y las de trazo discontinuo representan componentes conexas de
E ∩ Π.
Figura 3.5: Dos ejemplos del caso S10 = S20 (demostración de la Afirmación 3.9).
60
Para terminar de probar la Proposición 3.6, sólo nos queda estudiar el caso en el
que existe una única componente Γ0 de E ∩ Πa0 cumpliendo el primer apartado de
la Afirmación 3.8. En particular, todos los segmentos verticales cerrados que unen
puntos de E ∩ Πa0 con P0 cortan a Γ0 (i.e. Γ0 es la componente conexa más baja de
Πa0 ∩ E).
Llamamos S a la componente conexa de E ∩ Π+
a0 tal que Γ0 ⊂ ∂S. Sabemos que
S está bien orientada, x1|S no está acotada superiormente, S es simplemente conexa
(ya que η̂ ∪ ∂E ⊂ Π−
a0 ) y ∂S ⊂ Πa0 . Como x3 es propia y Γ0 es una curva divergente
en R3, x3|Γ0 diverge a +∞ en ambos extremos de Γ0 . Por tanto, existe Q0 ∈ Γ0
tal que x3 (Q0) = mı́n x3 |Γ0 . Nótese que x3(Q0) > 0 porque Γ0 ∩ ∂E = ∅, y que
x3(Q0 ) = mı́n x3|S por el principio del máximo. Por otro lado, Γ0 está propiamente
embebida en E, luego Γ0 divide a E en dos componentes conexas, una de las cuales,
F , contiene a ∂E. Llamaremos z(Q0) al punto de {0 < |z| ≤ 1} que parametriza a
Q0 ∈ E. Como Γ0 es la componente conexa más baja de Πa0 ∩ E y x3(z) = − ln |z|,
concluı́mos que en el anillo {|z(Q0)| < |z| ≤ 1} no existen puntos de E ∩ Πa0 .
Afirmamos que S no puede estar contenida en F : En caso contrario, S tendrı́a
e0 distinta de Γ0 contenida en F (porque S ⊂ Π+
alguna componente frontera Γ
a0 ,
−
e0 contendrı́a puntos en {|z(Q0)| <
∂E ⊂ F y ∂E ⊂ Πa0 ). Pero tal componente Γ
e0 ⊂ E ∩ Πa0 . Por tanto, S 6⊂ F , luego S ∩ F = ∅.
|z| ≤ 1}, contradicción con que Γ
Denotaremos por γ1 , γ2 a las ramas infinitas de Γ0 tales que Γ0 − {Q0} = γ1 ∪ γ2 .
Figura 3.6: S es la zona sombreada en gris oscuro, que en el dibujo tiene más de
una componente frontera, mientras que F es la zona sombreada en gris más claro.
e0 de ∂S distinta de Γ0 , enAfirmación 3.10 Si existe una componente conexa Γ
tonces se cumple la Proposición 3.6 (este es el caso de la Figura 3.6).
Demostración de la Afirmación 3.10. Llamamos S 0 a la componente conexa de E ∩
0
0
e
e
Π−
a0 tal que Γ0 ⊂ ∂S . Como Γ0 separa sobre E a ∂E de Γ0 , entonces ∂E ∩ S =
0
∅, y ∂S ⊂ Πa0 . Tomando µ > 0 suficientemente pequeño, obtenemos un plano
Π0 = {x1 + µx3 = a0} transversal a E, verificando S 0 ∩ Π0 6= ∅ y η̂ ∩ Π0 = ∅ (sigue
siendo ∂E ⊂ Π0− ). Sabemos que, en tales condiciones, existe una componente conexa
Γ ⊂ S 0 ∩ Π0 no compacta (Corolario 3.4).
61
A continuación, definiremos una curva γ ⊂ E − η̂ embebida, diferenciable a
trozos, divergente, partiendo de ∂E, con γ ∩ Γ0 = {Q0}. γ se obtendrá recorriendo
consecutivamente tres arcos que definimos como sigue:
Comenzamos saliendo de un punto de ∂E y llegando a Q0 por un arco diferenciable y propiamente embebido en (E ∩ Π−
a0 ) − η̂ (por ejemplo, podemos
tomar este arco en {|z(Q0)| < |z| ≤ 1} ⊂ F , ver Figura 3.7).
e0 ∪ S 0 , con origen Q0
Continuamos con un arco diferenciable contenido en S ∪ Γ
y extremo en un punto P0 ∈ Γ (podemos suponer que P0 es el primer punto
de corte de este arco con Γ). Nótese que este arco es disjunto de η̂, puesto que
η̂ ∩ Π0 = ∅.
Finalmente, recorremos cualquiera de las dos ramas infinitas en que P0 divide
a Γ, que son disjuntas de η̂ porque η̂ ∩ Π0 = ∅.
Figura 3.7: Las infinitas componentes conexas de E ∩ Πa0 se encuentran en el cı́rculo
interior al anillo A ⊂ F . En el dibujo de la derecha, las curvas en gris se corresponden con componentes conexas de E ∩ Π0.
Nótese que x1 + µx3 está acotada sobre γ. Por tanto, existe b > a0 tal que
Π = {x1 + µx3 = b} cumple γ ∩ Π = ∅. Vamos a ver que este plano verifica la tesis
de la Proposición 3.6. Claramente, ∂E ⊂ Π− .
Como x3 no está acotada sobre γ1 ni γ2 , entonces γ1 y γ2 cortan a cualquier
recta horizontal contenida en Πa0 ∩ {x3 ≥ x3(Q0)}. En particular, cortan a r(b) =
0
) : x2 ∈ R} (aquı́ estamos usando que Q0 ∈ γ y que Π se ha
Πa0 ∩ Π = {(a0, x2 , b−a
µ
elegido cumpliendo γ ∩ Π = ∅). Usando de nuevo que x3 es propia, podemos tomar
b > a0 de forma que γi ∩ r(b) consista en un único punto Qi , i = 1, 2 (ver Figura
3.8, derecha). Podemos suponer x2(Q1) = mı́n x2|Γ0 ∩r(b) y x2 (Q2) = máx x2 |Γ0 ∩r(b)
(esto es, x2 (Q1) < x2 (Q2)). Consideramos las componente conexas S1 , S2 de E ∩ Π+
que contienen a Q1, Q2 en su borde (resp.). Veamos que estas componentes S1 , S2
62
cumplen la Proposición 3.6. Nótese que γ ∪ η̂ divide a E en dos componentes conexas.
Como (γ ∪ η̂) ∩ Γ0 = {Q0}, entonces γ1 y γ2 caen en componentes conexas distintas
de E − (γ ∪ η̂), luego S1 y S2 son disjuntas (en particular, S1 6= S2 ).
Sea i = 1, 2. Como ∂E ∪ η̂ ⊂ Π− , el Corolario 3.4 asegura que Si es simplemente
conexa. Y es claro que ∂Si ⊂ Π. Llamamos αi al trozo de γi que va desde Qi
hasta Q0, seguido por del arco contenido en γ que parte de Q0 y llega a ∂E. Ası́,
αi ⊂ E − (S1 ∪ S2) une ∂Si con ∂E, y cumple el apartado 4 de la Proposición 3.6.
Ya sólo nos falta probar el apartado 3 (i.e. Si está bien orientada). Como Γ0 es la
componente conexa más baja de E ∩ Πa0 , deducimos que (r(b) − [Q1, Q2]) ∩ E = ∅.
Denotamos por L1 y L2 las semirrectas con orı́genes Q1 y Q2 (resp.) cumpliendo
L1 ∪ L2 = r(b)−]Q1, Q2[. Como x3|E es propia, existen ρ1 < x2(Q1) y ρ2 > x2(Q2 )
0
} = ∅, i = 1, 2.
tales que E ∩ Π ∩ {x2 = ρi , x3 ≤ b−a
µ
Figura 3.8: A la izquierda, tenemos un dibujo sobre el plano vertical {x2 = x2 (Q0)}.
A la derecha, el dibujo está sobre Πa0 .
Sea ξi la curva obtenida recorriendo consecutivamente el segmento horizontal
0
0
)] ⊂ r(b) con el segmento [(a0, ρi , b−a
), (b, ρi , 0)] ⊂ Π. Ası́ construi[Qi, (a0, ρi , b−a
µ
µ
1
da, ξi ⊂ Π es una curva C a trozos, que parte de Qi ∈ ∂S ∩ ∂Si , no vuelve a cortar
a E y llega a S − ∩ Si− ∩ P0 . Como S está bien orientada, h(ξi0 )Qi , NQi i < 0. Luego
Si está bien orientada, y acabamos la demostración de la Afirmación 3.10.
Supongamos entonces que Γ0 = ∂S, pues en otro caso ya tendrı́amos probada
la Proposición 3.6. Nótese que Γ0 divide a E en dos componente conexas: S y F
(recordemos que F es la componente conexa de E − Γ0 tal que ∂E ⊂ F , y S 6⊂ F ).
Como E ∩ Πa0 tiene infinitas componentes conexas y S ∩ Πa0 = Γ0 , entonces existe
e0 de E ∩ Πa contenida en F (de hecho, hay infinitas).
una componente conexa Γ
0
Consideremos δ > 0 tal que E ∩ Πa0+δ sea transversal y supongamos que Πa0+δ
sigue estando en las mismas condiciones que Πa0 . Esto es, supongamos que existe
una única curva Γδ ⊂ E ∩Πa0+δ que puede unirse a P0 mediante un arco contenido en
Πa0 +δ − E, y que si denotamos por Sδ a la componente conexa de Π+
a0 +δ tal que Γδ ⊂
∂Sδ , entonces ∂Sδ = Γδ (en otro caso, habrı́amos acabado la demostración partiendo
63
de Πa0 +δ en vez de Πa0 ). Nótese que podemos considerar (por transversalidad) δ
suficientemente pequeño de forma que sea Sδ = S∩Π+
a0 +δ . Además, la existencia de la
e0 implica que tomando δ suficientemente pequeño, podemos considerar
componente Γ
eδ de E ∩ Πa +δ contenida en F .
una componente conexa Γ
0
eδ ⊂ F y S ∩ F = ∅, entonces Γδ y Γ
eδ están separadas por
Como Γδ ⊂ S, Γ
∂S = Γ0 sobre E.
Figura 3.9: F es la parte coloreada en gris, y S es la parte en blanco.
Sea d = mı́n x3|Γeδ . Como Γδ es la componente más baja de E ∩ Πa0 +δ , se tiene
d > mı́n x3 |Γδ > mı́n x3|Γ0 = x3 (Q0) > 0 (la segunda desigualdad se debe a que
Γδ ⊂ S). Existe d0 >> d tal que γi ∩ Pd0 consiste en un único punto Qi , i = 1, 2.
Suponemos x2(Q1) < x2(Q2 ), y denotamos E 0 = (x3 |E )−1 [d0 , +∞[. Observemos que
eδ están contenidas en E 0 salvo un compacto, y que γ1 ∩ E 0 , γ2 ∩ E 0 separan
Γ0 , Γδ y Γ
eδ , Γδ ⊂ Πa +δ , concluı́mos que γ1 ∩ E 0 y
eδ ∩ E 0 de Γδ ∩ E 0 sobre E 0 . Como Γ
a Γ
0
γ2 ∩ E 0 están contenidas en componentes conexas distintas S10 y S20 de E 0 ∩ Π−
a0 +δ .
+
0
0
0
Cambiando la orientación e1 por −e1, se tiene que S1 , S2 ⊂ E ∩ Πa0 +δ .
Sean ρ1 , ρ2 ∈ R tales que ρ1 < x2(P ) < ρ2, para todo P ∈ (x3|E )−1 [0, d0 ] (en
particular, ρ1 < x2 (Q1) < x2(Q2) < ρ2 ). La curva ξi obtenida al recorrer el segmento
[Qi, (a0, ρi , d0)] seguido de [(a0, ρi , d0 ), (a0, ρi , 0)] es una curva C 1 a trozos que parte
de ∂S, no vuelve a cortar a E y llega a S − ∩ P0 . Como S está bien orientada, se
tiene que
(3.1)
h(ξi0 )Qi , NQi i < 0.
Por otra parte, como E − E 0 es un anillo y ξi no corta a E, entonces la curva
contenida en ξi que parte de Qi hasta cortar a Pd0 es una curva C 1 a trozos, que
parte de Qi ∈ Si0 , no vuelve a cortar a E 0 y llega a Si0 − ∩ Pd0 . Por (3.1), deducimos
0
que Si0 es una componente conexa bien orientada de E 0 ∩ Π+
a0 +δ (en E se considera
la orientación inducida de E).
Sea i = 1, 2. Si0 es una componente conexa bien orientada de E 0 ∩ Π+
a0 +δ , propiamente embebida, con ∂Si0 ⊂ Πa0 +δ ∪ Pd0 . Como x3|E es propia, entonces ∂Si0 ∩ Pd0
64
Figura 3.10: La parte coloreada se corresponde con el subanillo E 0 ⊂ E.
es un compacto, y deducimos por el Teorema 1.1 que x1 no está acotada sobre Si0
(pues en caso contrario Si0 serı́a asintótica al plano Πa0+δ , que no es posible porque
γi ⊂ Si0 y dist(γi , Πa0+δ ) = δ > 0). Podemos entonces considerar a00 < a0 tal que Πa00
sea transversal a E y ∂E 0 ⊂ Π−
a00 .
Como x1 |Si0 no está acotada, entonces Si0 ∩ Πa00 6= ∅, y sabemos por el Lema 3.2
que existe una componente conexa Si00 ⊂ E 0 ∩ Π+
a00 bien orientada. Además, como
0
∂E ⊂ Pd0 es una curva compacta homóloga a ∂E y ∂Si00 ⊂ Πa00 , deducimos que Si00
00
es una componente conexa bien orientada de E ∩ Π+
a00 . Nótese que Si puede tomarse
simplemente conexa sin más que tomar a00 a0 cumpliendo ∂E ∪ η ⊂ Π−
a00 . Ya
concluı́mos por la Afirmación 3.9, y queda probada la Proposición 3.6.
2
65
66
Capı́tulo 4
Grafos extraı́dos de superficies
minimales estables
Para cada α ∈ [0, π] denotaremos por P(α) al plano vectorial orientado por
~nα = (sin α, 0, − cos α).
Nótese que P(0) = P0 con orientación −e3 y P(π) = P0 con orientación e3. Además,
dados 0 ≤ α < β ≤ π y t > 0, denotaremos por pr(α, β, t) a la región (abierta)
determinada por los planos P(α), P(β) y Pt ; esto es,
pr(α, β, t) = {X ∈ R3 : hX, ~nα i < 0, hX, ~nβ i > 0, x3(X) < t} .
Obsérvese que si 0 < α < β < π, entonces pr(α, β, t) es un prisma triangular infinito
(abierto); y que pr(0, π, t) es la región (abierta) de R3 determinada por P0 y Pt , para
cada t > 0.
Figura 4.1: Izquierda: pr(α, β, t), con 0 < α < β < π y t > 0.
Derecha: pr(0, π, t), con t > 0.
Dados dos planos Π y Π0, ∠(Π, Π0) denotará el ángulo formado por dichos planos,
considerándolo siempre en [0, π/2] (en particular, ∠ es simétrico).
67
Dados 0 ≤ α < β ≤ π y 0 < t0 < t, diremos que una superficie Σ pertenece a la
familia Aα,β,t0,t si:
Σ es una superficie minimal estable;
Σ ⊂ P(α)− ;
∂Σ ∩ pr(α, β, t) = ∅;
x3(Σ) ≥ t0.
Nótese que es posible que se de el caso ∂Σ ⊂ ∂pr(α, β, t), y que para todo β 0 ∈]α, β],
es pr(α, β 0, t) ⊂ pr(α, β, t), luego Aα,β,t0,t ⊂ Aα,β 0,t0 ,t .
Lema 4.1 Dados 0 ≤ α < β ≤ π/2 y t0 > 0, existen ε ∈]0, β − α[, λ ∈]0, 1[ y
θ0 ∈]0, π/2[ tales que para cualesquiera t > t0 , Σ ∈ Aα,β,t0,t y Q ∈ Σ∩pr(α, α+ε, λt),
se cumple
∠(TQΣ, P(α)) ≤ θ0.
Demostración. Dados ε ∈]0, β − α[ y λ ∈]0, 1[, definimos
1
sin(β − α − ε) 1 − λ
d(ε, λ) = mı́n
,
> 0.
2
sin(α + ε)
λ
Nótese que d(ε, λ) es decreciente en ε y en λ.
Afirmación 4.2 Sean t > t0, Σ ∈ Aα,β,t0,t y Q ∈ Σ ∩ pr(α, α + ε, λt). Entonces,
distR3 (Q, ∂Σ) ≥ 2 d(ε, λ) x3 (Q) ≥ 2 d(ε, λ) t0 .
Demostración de la Afirmación 4.2. Como Q ∈ P(α+ε)+ , entonces tg(α + ε) ≥
x3 (Q)
x1 (Q)
(ver Figura 4.2), y
x3 (Q) sin β
distR3 (Q, P(β)) = hQ, ~nβ i = x1(Q) sin β − x3(Q) cos β ≥
− x3(Q) cos β
tg(α + ε)
= x3 (Q)
sin β cos(α + ε) − cos β sin(α + ε)
sin(β − α − ε)
= x3 (Q)
.
sin(α + ε)
sin(α + ε)
Por otra parte, se tiene que distR3 (Q, Pt ) = t − x3(Q) ≥ x3λ(Q) − x3(Q) = x3 (Q) 1−λ
.
λ
−
Como ∂Σ ∩ pr(α, β, t) = ∅ y Σ ⊂ P(α) , entonces distR3 (Q, ∂Σ) ≥ 2 d(ε, λ) x3 (Q),
y ya tenemos probada la Afirmación 4.2.
Por la Afirmación 4.2 y el Corolario 25, sabemos que existen µ(ε, λ), ν(ε, λ) > 0
cumpliendo que para cualesquiera t > t0, Σ ∈ Aα,β,t0,t (en particular, Σ es estable)
68
Figura 4.2: Q ∈ P(e
α), con α
e ∈]α, α + ε[, luego
x3 (Q)
x1 (Q)
= tg α
e < tg(α + ε).
y Q ∈ Σ ∩ pr(α, α + ε, λt), se tiene que un entorno de Q en Σ puede escribirse como
grafo de una función definida sobre un disco del espacio afı́n tangente de Σ en Q de
radio ν(ε, λ) d(ε, λ) t0 , estando la función acotada por µ(ε, λ) d(ε, λ) t0 . Además, el
Corolario 25 asegura que se puede tomar ν(ε, λ) como función creciente en d(ε, λ).
Como esta última es decreciente en ε, λ, también ν(ε, λ) será decreciente en ε, λ.
Elegiremos ε ∈]0, β − α[ y λ ∈]0, 1[ de forma que tengamos cierto control sobre
la distancia de Σ ∩ pr(α, α + ε, λt) a P(α). Más concretamente, tomaremos ε, λ
cumpliendo la siguiente
Afirmación 4.3 Existen ε ∈]0, β − α[ y λ ∈]0, 1[ tales que para cualesquiera t > t0 ,
Σ ∈ Aα,β,t0,t y Q ∈ Σ ∩ pr(α, α + ε, λt) se verifica
distR3 (Q, P(α)) ≤
ν(ε, λ)
d(ε, λ)x3(Q).
2
Además, podemos tomar ε tan pequeño como queramos.
Demostración de la Afirmación 4.3. Sean ε ∈]0, β − α[, λ ∈]0, 1[, t > t0, Σ ∈ Aα,β,t0,t
x3(Q)
y Q ∈ P(α)− , luego
y Q ∈ Σ ∩ pr(α, α + ε, λt). Ası́, tg(α + ε) ≥
x1(Q)
distR3 (Q, P(α)) = hQ, −~nα i = −x1(Q) sin α + x3 (Q) cos α
≤ x3 (Q)
sin(α + ε) cos α − cos(α + ε) sin α
sin ε
= x3(Q)
.
sin(α + ε)
sin(α + ε)
Por tanto, la desigualdad de la Afirmación 4.3 estará probada si tomamos ε, λ cumsin ε
pliendo sin(α+ε)
≤ ν(ε,λ)
d(ε, λ). Teniendo en cuenta la definición de d(ε, λ), lo anterior
2
equivale a
ν(ε, λ)
sin(β − α − ε) 1 − λ sin(α + ε)
mı́n
,
.
(4.1)
1≤
4
sin ε
λ
sin ε
69
Si α 6= 0, tomamos λ = 1/2. Y como lı́m sin(β−α−ε)
= +∞ , lı́m sin(α+ε)
= +∞ y ν(ε, λ)
sin ε
sin ε
ε→0
ε→0
es decreciente en ε, podemos tomar ε > 0 suficientemente pequeño verificando (4.1).
Supongamos por el contrario que α = 0. Como lı́m sin(β−ε)
= +∞, lı́m 1−λ
= +∞
sin ε
λ
ε→0
λ→0
y ν(ε, λ) es decreciente tanto en ε como en λ, de nuevo podemos tomar ε, λ > 0
suficientemente pequeños cumpliendo (4.1).
Nótese que, en ambos casos, estas elecciones de λ, ε son independientes de t, Σ y
Q; y que podemos tomar ε tan pequeño como queramos. Ası́, queda demostrada la
Afirmación 4.3.
Fijemos ε y λ cumpliendo la Afirmación 4.3. Estos ε, λ serán los que aparecen
en el enunciado del Lema 4.1. Para obtener θ0 , consideramos la función auxiliar
f : [0, π/2] → R dada por
f (θ) = −ν sin θ + µ cos θ,
donde ν = ν(ε, λ) y µ = µ(ε, λ). f es continua y estrictamente decreciente en
[0, π/2]. Como f (0) = µ y f (π/2) = −ν, existe θ0 ∈]0, π/2[ tal que f (θ0 ) = −ν/2,
luego f (θ) ≥ −ν/2 si y sólo si θ ∈ [0, θ0]. Veamos que ε, λ y θ0 ası́ elegidos cumplen
el Lema 4.1.
Fijemos t > t0, Σ ∈ Aα,β,t0,t y Q ∈ Σ ∩ pr(α, α + ε, λt), y sea
θ = ∠(TQ Σ, P(α)).
Queremos obtener θ ≤ θ0, para lo cual probaremos que f (θ) ≥ −ν/2.
Denotemos por TeQ Σ al plano tangente afı́n de Σ en Q, D(Q, r) será el disco
abierto de centro Q y radio r contenido en TeQ Σ, y ~n el normal a Σ en Q que cumple
h~n, ~nαi ≤ 0. Llamemos d = d(ε, λ)x3 (Q) > 0. Por la Afirmación 4.2, sabemos
que distR3 (Q0, ∂Σ) ≥ d para todo Q0 ∈ Σ ∩ B(Q, d), y el Corolario 25 asegura
la existencia de una función u definida sobre D(Q, νd) y acotada por µd tal que
V = Gu = {X + u(X)~n : X ∈ D(Q, νd)} es un entorno de Q en Σ ∩ B(Q, d).
Como pretendemos estimar un ángulo, podemos trabajar vı́a una aplicación
conforme. Para facilitar los cálculos, consideramos una isometrı́a h de R3 tal que
h(Q) = 0 y h(P(α)) = P−δ (orientado por −e3), siendo δ = distR3 (Q, P(α)). Como
hemos tomado ε, λ cumpliendo la Afirmación 4.3, entonces
δ≤
ν
d.
2
(4.2)
Además, componiendo con un giro alrededor del eje x3 podemos suponer que el
normal a h(Σ) en 0 es (sin θ, 0, cos θ). Denotaremos ũ = u ◦ h−1 .
Afirmación 4.4 Existe Q0 ∈ h(V) tal que x3 (Q0) ≤ d f (θ).
70
Demostración de la Afirmación 4.4. Observemos primero que si T0h(Σ) = P0 , entonces θ = 0, f (θ) = µ y x3 = ũ ◦ π ≤ µd, siendo π la proyección de R3 sobre las dos
primeras componentes. Por tanto, en este caso cualquier punto Q0 ∈ h(V) cumple la
Afirmación 4.4.
Supongamos ahora T0 h(Σ) 6= P0 . Ası́, podemos considerar X ∈ h ∂D Q, νd ⊂
T0h(Σ) con x3 (X) < 0. Sea Q0 el punto de h(∂V) cuya proyección ortogonal sobre
T0h(Σ) es X. Entonces, νd sin θ = |X| sin θ = −x3 (X) > 0 (ver Figura 4.3), y
x3 (Q0) = x3(X) + ũ(X) cos θ = −νd sin θ + ũ(X) cos θ
≤ −νd sin θ + µd cos θ = d f (θ).
La Afirmación 4.4 queda ası́ probada.
Figura 4.3: h(V) es el grafo de ũ definido sobre el disco contenido en T0h(Σ) centrado
en el origen y de radio νd.
Sea Q0 ∈ h(V) cumpliendo la Afirmación 4.4. Como V ⊂ P(α)− , tomando
imágenes por h obtenemos que x3(Q0) ≥ −δ. Y con esto,
f (θ) ≥
−δ (4.2) −ν
x3(Q0)
≥
,
≥
d
d
2
lo cual prueba el Lema 4.1.
2
Corolario 4.5 Dados 0 ≤ α < β ≤ π/2 y t0 > 0, existen ε ∈]0, β − α[, λ ∈]0, 1[ y
θ00 ∈]0, π/2[ tales que para cualesquiera t > t0 , Σ ∈ Aα,β,t0,t y Q ∈ Σ∩pr(α, α+ε, λt),
se cumple
∠(TQΣ, P(α + ε)) ≤ θ00 .
71
Demostración. Sean ε, λ, θ0 cumpliendo el Lema 4.1. Téngase en cuenta que
∠(TQΣ, P(α + ε) ≤ ∠(TQ Σ, P(α)) + ∠(P(α), P(α + ε)) ≤ θ0 + ε.
Tomando ε > 0 suficientemente pequeño verificando θ00 = θ0 + ε < π/2, obtenemos
directamente lo que buscamos.
2
Dados 0 ≤ α < β ≤ π/2 y t0 > 0, existen ε ∈]0, β − α[, λ ∈]0, 1[ y θ00 ∈]0, π/2[
cumpliendo el Corolario 4.5. Consideremos la proyección ortogonal p : P(α + ε)+ →
P(α + ε). Dado X ∈ P(α + ε), denotaremos
LX = p−1 (X)
y
D(X, r) = B(X, r) ∩ P(α + ε).
Diremos que un punto P ∈ LX es un punto extremal de Σ respecto de P(α + ε) si
P ∈ Σ y además se cumple que:
si Q ∈ Σ ∩ LX , entonces Q ∈ [X, P ].
Fijemos también una sucesión creciente {tn }n∈N de reales positivos divergiendo a
+∞. Para la demostración del Teorema Principal asociaremos a cada una de las
componentes bien orientadas obtenidas en la Proposición 3.6, S1 y S2 , una sucesión
de superficies minimales estables a la que le aplicaremos el siguiente Lema:
Lema 4.6 Sea {Σn }n∈N una sucesión de superficies relativamente compactas y simplemente conexas, con Σn ∈ Aα,β,t0,tn para cada n ∈ N. Supongamos que existen
X0 ∈ P(α + ε) y δ0 > 0 verificando la siguiente condición de uniformización:
Para cada n ∈ N, existe un punto Pn ∈ Σn ∩ LX0 tal que |Pn − X0 | ≥ δ0.
Entonces, para cada n ∈ N suficientemente grande existen un dominio Ωn ⊂ P(α+ε)
y un grafo minimal Gun , con un : Ωn → R+
0 , cumpliendo:
1. X0 ∈ Ωn ⊂ Bn = P(α + ε) ∩ {0 < x3 < λtn };
2. Ωn es conexo y simplemente conexo;
3. un |∂Ωn ∩Bn = 0;
4. |∇un | ≤ tgθ00 ;
5. Para cada X ∈ Ωn , u
bn (X) = X + un (X)~nα+ε ∈ LX es extremal con respecto a
Σn .
Además, la sucesión {Gun }n admite una parcial convergente a un grafo minimal Gu ,
siendo u : Ω → R+
0 y Ω ⊂ P(α + ε) un dominio simplemente conexo cumpliendo
u|∂Ω = 0.
72
Demostración. Sean X0 ∈ P(α + ε) y δ0 > 0 cumpliendo la condición de uniformización. Es claro que, para n ∈ N suficientemente grande, se tiene X0 ∈ Bn
(en adelante, sólo trabajaremos con estos n ∈ N). Como por hipótesis existe un
punto Pn ∈ Σn ∩ LX0 y X0 ∈ Bn , concluı́mos que X0 ∈ p(Σn ∩ p−1 (Bn )). Sea Ωn la
componente conexa de p(Σn ∩ p−1 (Bn )) que contiene a X0 . Nótese que dado X ∈ Ωn ,
sobre la semirrecta LX existen puntos de Σn . Además, la distancia de los puntos de
Σn ∩ LX a P(α + ε) está acotada superiormente (pues Σn ∈ P(α)− ), y por ser Σn
relativamente compacta, existe
un (X) = máx{|X − P | : P ∈ Σn ∩ LX }.
Esto define una función un : Ωn → R+
0 (en principio, no puede presuponerse ninguna
regularidad sobre un ). Nótese que la condición de uniformización implica un (X0 ) ≥
δ0. Veamos que un es una función continua, con lo que obtendremos que el grafo
Gun es conexo. Para cada X ∈ Ωn , denotaremos
u
bn (X) = X + un (X)~nα+ε ∈ Gun ⊂ Σn .
Para probar la continuidad de un necesitamos la siguiente
Afirmación 4.7 Dado X ∈ Ωn , existen un entorno (conexo) UX,n de u
bn (X) en
Σn y RX,n > 0 proporcional a un (X) tales que p : UX,n → D(X, RX,n ) es un
difeomorfismo.
Demostración de la Afirmación 4.7. Por el Corolario 4.5, sabemos que
p : Σn ∩ pr(α, α + ε, λtn ) → P(α + ε)
es un difeomorfismo local. Dado X ∈ Ωn , una simple aplicación del Teorema de la
bn (X) en Σn ∩pr(α, α+ε, λtn )
Función Inversa prueba que existe un entorno UX,n de u
(que podemos suponer conexo) y existe RX,n > 0 tales que p : UX,n → D(X, RX,n ) es
un difeomorfismo. Sólo queda probar que tomando UX,n convenientemente pequeño,
podemos elegir RX,n proporcional a un (X).
Veamos en primer lugar que
distR3 (b
un (X), ∂Σn ) > de = un (X) cos(α + ε).
(4.3)
e
Como Σn ∈ Aα,β,t0,tn , entonces basta probar que distR3 (b
un (X), P(α + ε) ∪ Pλtn ) ≥ d.
e Además,
Como 0 < α + ε, es claro que distR3 (b
un (X), P(α + ε)) = un (X) > d.
un (X)) + de (ver Figura 4.4), de donde obtenemos
α + ε < π/2, luego x3 (X) = x3 (b
un (X)) < λtn − de (ya que X ∈ Ωn ⊂ Bn ). Ası́, distR3 (b
un (X), Pλtn ) =
que x3 (b
e y dist 3 (b
e
un (X)) > d,
λtn − x3 (b
R un (X), ∂Σn ) > d.
Denotaremos por Teubn (X)Σn al plano tangente afı́n a Σn en u
bn (X), y ~n será el
bn (X) que cumple h~n, ~nαi ≤ 0. Como se cumple (4.3), el
normal unitario a Σn en u
73
Figura 4.4: |X − u
bn (X)| = un (X), y de = un (X) cos(α + ε).
Corolario 25 asegura que existen
µ
n , νn > 0, y existe una función vn definida sobre
de
el disco cerrado D X,n = B X, νn 2 ∩ Teubn (X)Σn para los cuales
e X,n = {Y + vn (Y ) ~n : Y ∈ DX,n }
U
e X,n ⊂ UX,n .
es un entorno de u
bn (X) en Σn . Achicando νn , podemos suponer U
e
Además, |vn (Y )| ≤ µn d2 para todo Y ∈ D X,n. Recordemos también que el Corolario 25 nos permite tomar µνnn tan pequeño como queramos, en particular, podemos
suponer que se cumple
νn
.
(4.4)
µn <
tan θ00
Una sencilla aplicación del Teorema de Pitágoras nos asegura que para cada
Y, Y 0 ∈ P(α + ε)+ se tiene que |p(Y ) − p(Y 0 )|2 + hY − Y 0 , ~nα+ε i2 = |Y − Y 0 |2 (ver
Figura 4.5), luego
|p(Y ) − p(Y 0 )|2 = |Y − Y 0 |2 − hY − Y 0, ~nα+ε i2 = |(Y − Y 0) ∧ ~nα+ε |2 .
Figura 4.5: El Teorema de Pitágoras se aplica al triángulo Y Y 0 Y 00.
74
En particular, aplicando lo anterior a u
bn (X) e Y + vn (Y )~n, con Y ∈ D X,n , se tiene
que
bn (X) − Y − vn (Y ) ~n ∧ ~nα+ε X − p Y + vn (Y ) ~n = u
≥ u
bn (X) − Y ∧ ~nα+ε − |vn (Y )| |n ∧ ~nα+ε |
bn (X), ~nα+ε ) − |vn (Y )| sin ∠(~n, ~nα+ε ).
= |b
un (X) − Y | sin ∠(Y − u
Nótese que Y − u
bn (X) ∈ Teubn (X)Σn . Por el Corolario 4.5, sabemos que ∠(Y −
u
bn (X), ~nα+ε ) ≥ π/2 − θ00 y ∠(−~n, ~nα+ε ) ≤ θ00 . Por tanto, queda
bn (X)| sin(π/2 − θ00 ) − |vn (Y )| sin θ00
X − p Y + vn (Y ) ~n ≥ |Y − u
≥ |Y − u
bn (X)| cos θ00 − µn
de
sin θ00 .
2
Tomando ahora Y ∈ ∂DX,n , obtenemos
de (4.4)
> 0.
X − p Y + vn (Y ) ~n ≥ (νn cos θ00 − µn sin θ00 )
2
e X,n , siendo R
eX,n )) ⊂ U
eX,n =
La desigualdad anterior demuestra que ũn (D(X, R
νn cos θ00 −µn sin θ00 e
d.
2
eX,n ) mediante p.
Figura 4.6: Un entorno de u
bn (X) en Gun es difeomorfo a D(X, R
Como p|f es un difeomorfismo sobre su imagen, terminamos tomando UX.n =
U
−1 X,n
eX,n ) , que es un grafo sobre D(X, R
eX,n ). Y ahora R
eX,n es proD(X, R
p|f
UX,n
e que a su vez lo era a ũn (X). Esto concluye la Afirmación 4.7.
porcional a d,
Afirmación 4.8 un ∈ C(Ωn ).
75
Demostración de la Afirmación 4.8. Por la Afirmación 4.7, para cada X ∈ Ωn ,
bn (X) en Σn y un radio RX > 0 proporcional
existen un entorno (conexo) UX de u
a un (X) tales que UX se escribe como grafo de una función continua uX definida
sobre D(X, RX ) ⊂ Ωn , UX = GuX .
Sea X ∈ Ωn . Para probar que un es continua en X, tomemos una sucesión {Xk }k
convergente a X, y probemos que {un (Xk )} → un (X). Como Σn es relativamente
compacta, sabemos que la sucesión {b
un (Xk )}k admite una parcial convergente a
un punto P ∈ Σn . Y como {Xk } → X, entonces P estará en la misma vertical
(respecto de P(α + ε)) que u
bn (X). Ası́, será P = X + l ~nα+ε , con l ≥ 0. Si probamos
que l = un (X), ya habremos acabado. Por extremalidad de un (X), es claro que
l ≤ un (X). Por otro lado, sabemos que Xk ∈ D(X, RX ) a partir de cierto término,
y que un (Xk ) ≥ uX (Xk ). Tomando lı́mites, obtenemos l ≥ uX (X) = un (X), ya que
uX sı́ es continua, luego l = un (X), y la Afirmación 4.8 queda probada.
Ya tenemos probado que Gn = Gun ⊂ Σn es un grafo minimal definido sobre Ωn
(nótese en particular que un es C ∞). Por construcción, se cumplen los apartados 1
y 5 del Lema 4.6. Para el apartado 3, tengamos en cuenta
u
bn (∂Ωn ∩ Bn ) ⊂ ∂Σn ∪ [Σn ∩ (Pt0 ∪ P(α + ε))].
Como ∂Σn ∩ pr(α, β, tn ) = ∅ y por el principio del máximo Σn ∩ Pt0 = ∅, concluı́mos que u
bn (∂Ωn ∩ Bn ) ⊂ Σn ∩ P(α + ε), de donde el apartado 3 del Lema 4.6
queda probado. El apartado 4 se debe a que ∠(TP Σn , P(α + ε)) ≤ θ00 para todo
P ∈ Gn ⊂ Σn ∩ pr(α, α + ε, λtn ). Probemos 2: Como hemos tomado Ωn conexo,
sólo falta probar que Ωn es simplemente conexo. Sea γ ⊂ Ωn una curva de Jordan, y
γn = (p|Gn )−1 (γ). Como Σn es simplemente conexa, γn es borde de un disco Dn ⊂ Σn .
Además, la propiedad de la envolvente convexa nos asegura que Dn ⊂ p−1 (Bn ).
Nótese que Dn tiene como retracto de deformación un punto. Componiendo dicho
retracto de deformación con p, obtenemos que γ es nulhomotópica en Ωn . Y por
tanto, Ωn es un dominio simplemente conexo, lo cual acaba con los cinco puntos del
enunciado del Lema 4.6.
Para terminar, probemos que la sucesión {un }n∈N obtenida anteriormente admite
una parcial convergente a una solución de (1) definida sobre un dominio simplemente
conexo. Por 3, podemos considerar para cada n ∈ N la extensión de un por 0 a
todo Bn , que denotaremos por un . un sigue siendo continua, y es diferenciable a
trozos. Veamos que la sucesión un admite una parcial convergente a una función u
diferenciable a trozos definida sobre todo P(α + ε) ∩ {x3 > 0}.
Como Σn ⊂ P(α)− , {un }n es una sucesión uniformemente acotada en cada
semidisco Dm = P(α + ε) ∩ {x3(X) > 0, |X| < m} ⊂ P(α + ε) ∩ {x3 > 0}. Además,
por el apartado 4 del Lema 4.6, la sucesión de gradientes {∇un } está uniformemente
acotada por tan θ00 en Dm . En estas condiciones, el Teorema de Arzelá-Ascoli asegura
76
que, tras pasar a una parcial, {un }n converge uniformemente en Dm a una función
continua definida en Dm . Usando un argumento diagonal, conseguiremos una parcial,
a la que seguiremos denotando {un }n , que converge uniformemente sobre compactos
de P(α + ε) ∩ {x3 > 0} a una función continua u.
Nótese que para cada n ∈ N se tiene que un ≥ 0 y un (X0 ) ≥ δ0 . Tomando
lı́mites, obtenemos que u ≥ 0 y u(Q0) ≥ δ0 > 0. Podemos por tanto considerar la
componente conexa Ω de {X ∈ P(α + ε) : u(X) > 0} que contiene a X0 , y sea
u = u|Ω . Como un |Bn−Ωn = 0 para cada n ∈ N, se tiene que u|∂Ω = 0.
Afirmación 4.9 Para cada X ∈ Ω, existen un entorno abierto V(X) de X en Ω y
un natural n(X) tales que V(X) ⊂ Ωn para todo n ≥ n(X), y u es lı́mite uniforme de
un en V(X). En particular, u ∈ C ∞ (Ω), u es solución de la ecuación (1), y u|Ω > 0.
Demostración de la Afirmación 4.9. Fijemos X ∈ Ω tal que u(X) > 0. Por continuidad de u, existe V(X) entorno relativamente compacto de X en Ω tal que
u|
> 0. Ası́, 0 < u|V(X) = u|V(X) = lı́m un |V(X). Como V(X) es relativamente
V(X)
compacto y u|
> 0, deducimos que un |V(X) > 0 a partir de un natural n(X),
V(X)
y por tanto V(X) ⊂ Ωn y un |V(X) = un |V(X) para todo n ≥ n(X). Ası́, u|V(X) es
lı́mite uniforme de las soluciones un |V(X) de la ecuación (1), y la Afirmación 4.9
está probada.
Afirmación 4.10 En la situación anterior, dado un compacto K ⊂ Ω, existe nK ∈
N tal que K ⊂ Ωn para todo n ≥ nK . Además, {un }n converge uniformemente en
K a u, y se cumple
mı́n u|K
en K.
(4.5)
un ≥
2
Demostración de la Afirmmación 4.10. Sea X ∈ K. Por la Afirmación 4.9, existen
V(X) entorno abierto de X en Ω y n(X) ∈ N tales que V(X) ⊂ Ωn para todo
n ≥ n(X), y u es lı́mite uniforme de {un }n sobre V(X). Por compacidad, existen
k
[
X1 , . . . , Xk ∈ K tales que K ⊂
V(Xi ). Llamemos nK = máx{n(X1 ), ..., n(Xk )}.
i=1
Ası́, K ⊂ Ωn para cada n ≥ nK , y {un }n≥nK converge uniformemente a u en K.
Por último, (4.5) es consecuencia directa de que u es positiva y continua en Ω, y
{un }n≥nK converge uniformemente a u en K.
Para terminar la demostración del Lema 4.6, sólo resta probar que Ω es un
dominio simplemente conexo. Sea γ ⊂ Ω una curva de Jordan. Por la Afirmación 4.10
mı́n u|
aplicada al compacto K = γ, existe nγ ∈ N tal que γ ⊂ Ωn y un |γ ≥ 2 γ , para cada
n ≥ nγ . Sea D ⊂ P(α + ε) el dominio interior encerrado por γ. Como γ ⊂ Ωn y Ωn es
77
simplemente conexo, deducimos que D ⊂ Ωn . Por el principio del máximo, sabemos
que un |D ≥ mı́n2u|γ . Tomando lı́mites, obtenemos u|D ≥ mı́n2u|γ > 0, luego D ⊂ Ω. Ya
tenemos probado que Ω es simplemente conexo, y esto concluye la demostración del
Lema 4.6.
2
78
Capı́tulo 5
Demostración del Teorema
Principal
Sea E un final en las condiciones del Teorema Principal. Supondremos que E
tiene curvatura total infinita, y llegaremos a una contradicción. Por la Proposición 3.6, sabemos que existe un plano Π no horizontal, transversal a E, y con
∂E ⊂ Π− ; y que existen dos componentes conexas S1 , S2 de E ∩ Π+ bien orientadas, simplementes conexas y con frontera ∂Si ⊂ Π que se conecta a ∂E mediante
una curva ci ⊂ E − (S1 ∪ S2 ). Salvo traslación y/o rotación de eje vertical, podemos
suponer que Π = P(β), para cierto β ∈]0, π] (siguiendo la notación de la página 67).
Sea S una de las dos componentes conexas S1 , S2 cumpliendo la Proposición 3.6.
Consideremos α = sup{θ ≥ 0 : S ∩ P(θ)+ = ∅}. Nuestro primer objetivo será probar
que α = 0, que es una forma de expresar que la tercera función coordenada tiene un
crecimiento en S menor que sublineal (como ocurre en un final de tipo catenoide).
Sea t0 = mı́n x3 |S > 0, que existe por el principio del máximo y por ser x3|E
propia; además, sabemos que dicho mı́nimo se alcanza en ∂S. Fijemos un punto
Q0 ∈ S y una sucesión estrictamente creciente {tn }n∈N de reales positivos divergiendo a +∞, con t1 > x3 (Q0) ≥ t0 (suponemos S ∩ Ptn transversal para cada n ∈ N).
Ası́, para cada n ∈ N se tiene que Q0 ∈ S ∩ {x3 < tn }. Denotaremos por S(n)
a la componente conexa de S ∩ {x3 < tn } que contiene a Q0. Nótese que S(n) es
relativamente compacta por ser x3 |E es propia y que ∂S(n) ⊂ ∂S ∪ Ptn . Como S es
simplemente conexa, deducimos que S(n) es un disco topológico. El Lema de Dehn
asegura la existencia de un disco minimal estable Σ(n) con borde ∂S(n), contenido
en H− ∩ pr(α, β, tn) ∩ {x3 ≥ t0} (en particular, mı́n x3|Σ(n) ≥ t0). Sabemos además
que o bien Σ(n) = S(n), o bien Σ(n) ∪ S(n) bordea un dominio simplemente conexo
contenido en H− . Nótese que Σ(n) ∈ Aα,β,t0,tn (ver definición en la página 68).
Lema 5.1 Si α ∈ [0, π/2[, entonces podemos suponer que el plano Π respecto del
cual está definida la componente S, es de la forma Π = P(β), para cierto β ∈]α, π/2].
79
Este Lema cambia el plano Π = P(β) asociado a la componente S. Por tanto, la
componente en {S1 , S2 } − {S} no tendrá ya asociado el mismo plano Π. Una vez
probado que α = 0, será posible tomar de nuevo P(β), con β ≤ π/2, común a las
dos componentes.
Demostración. Por definición de α (y por el Teorema de Sard), podemos tomar
β 0 ∈]α, mı́n{β, π/2}] tal que S ∩ P(β 0) 6= ∅ sea transversal. Por el Lema 3.2, sabemos
que existe una componente conexa S 0 de E ∩ P(β 0)+ bien orientada, con S 0 ⊂ S.
Falta comprobar que S 0 es simplemente conexa, y que se puede conectar a ∂E
mediante un arco contenido en E − (S 0 ∪ S 00), donde {S, S 00} = {S1 , S2}. Se concluye
siguiendo un razonamiento similar al seguido en el primer caso de la demostración
de la Afimación 3.9.
2
En lo que sigue, denotaremos para cada n ∈ N
En = [(E ∩ {x3 < tn }) − S(n)] ∪ Σ(n).
Para cada n ∈ N suficientemente grande, existirá m(n) ∈ N, m(n) ≥ n, para
el que construiremos una curva γn ⊂ Em(n) , uniendo ∂E con Ptm(n) . Tomaremos
un entorno tubular Un de γn en Em(n) y aplicaremos el Lema de Dehn con borde
∂(Em(n) − Un ) tomando como 3-variedad el dominio contenido en H de los dos en
que Em(n) divide a {0 < x3 < tm(n) }. De esta forma, construiremos una sucesión de
discos minimales estables {Dn }n y, supuesto que α > 0, construiremos una curva
de Jordan homotópicamente no trivial en Dn para n suficientemente grande. Esta
contradicción probará que α = 0.
Definimos el semiespacio abierto por encima de Pt
At = {x3 > t},
para cada t > 0 ;
la región infinita (abierta) determinada por P(α), P(α + ε), {x2 = 1} y {x2 = −1}
(ver Figura 5.1)
cos α
cos(α + ε)
Bε =
x3 < x1 <
x3, |x2 | < 1 ,
sin(α + ε)
sin α
donde ε se elige en ]0, β − α[ (si α ∈ [0, π/2[, hemos cambiado β como dice el
Lema 5.1); y el cilindro vertical macizo y abierto de radio L
CL = {x21 + x22 < L2 },
para cada L > 0 .
Para la construcción de la curva γn daremos tres pasos. En el primero, construiremos el arco central de la curva γn sobre un grafo minimal contenido en Σ(m(n)) ∩
Bε ⊂ Em(n) para cierto ε ∈]0, β − α[. En un segundo paso, uniremos un extremo
80
Figura 5.1: Izquierda: en gris, Bε en el caso 0 ≤ α < α + ε < π/2.
Derecha: Bε en el caso π/2 ≤ α < α + ε < π.
de un subarco de este arco central de γn con ∂E mediante una curva contenida
en Em(n) ∩ CL , para cierto L > 0 suficientemente grande. Por último, uniremos
el otro extremo del subarco central con un punto en Ptm(n) mediante un arco en
Σ(m(n)) ∩ Atn .
Para dar cada uno de estos tres pasos, necesitamos una de las tres siguientes
Afirmaciones:
Afirmación 5.2 Existen ε ∈]0, β − α[, λ ∈]0, 1[, n0 ∈ N y una sucesión {un }n≥n0
de soluciones de (1) cumpliendo
1. Para cada n ≥ n0 , un está definida sobre un dominio Ωn simplemente conexo
contenido en P(α + ε) ∩ {0 < x3 < λtn } verificando un |∂Ωn ∩{x3<λtn } = 0.
2. Para cada n ≥ n0, el grafo minimal Gun está formado por puntos extremales
de Σ(n) respecto de P(α + ε).
3. Pasando a una parcial, {un }n≥n0 converge hacia una solución u : Ω → R+
0 de
(1), siendo Ω un dominio simplemente conexo contenido en P(α+ε)∩{x3 > 0};
y se cumple u|∂Ω = 0.
Demostración de la Afirmación 5.2. Consideremos en primer lugar el caso 0 ≤ α <
π/2. Por el Lema 5.1, podemos suponer que Π = P(β), para cierto β ∈]α, π/2].
Recordemos que Σ(n) ∈ Aα,β,t0,tn . Para estos valores α, β y t0, sabemos que existen
ε ∈]0, β − α[ y λ ∈]0, 1[ cumpliendo el Corolario 4.5. Para obtener la Afirmación 5.2
en este primer caso, vamos a aplicar el Lema 4.6, pero para ello necesitamos un
punto X0 ∈ P(α + ε) verificando la condición de uniformización que aparece en las
hipótesis de dicho Lema.
Por definición de α, podemos tomar un punto P0 ∈ S ∩P(α+ε)+ . Llamamos X0 =
p(P0 ), siendo p : P(α + ε)+ → P(α + ε) la proyección ortogonal sobre P(α + ε). Como
∂E ⊂ P(β)− ⊂ P(α + ε)− y α + ε ∈]0, π/2[, entonces LX0 = p−1 (X0 ) ⊂ P(α + ε)+
nos define un segmento orientado l con origen X0 y extremo en H− ∩ P0 . Y por ser S
81
una componente bien orientada, si P00 es el punto de l más alejado de X0 , entonces el
vector tangente ~v a l en P00 apunta hacia H− . Sea n0 ∈ N cumpliendo que P00 ∈ S(n)
para todo n ≥ n0 . Si Σ(n) = S(n), entonces es claro que l ∩ Σ(n) 6= ∅. Si por el
contrario Σ(n) 6= S(n), entonces se tiene que ~v es entrante al dominio encerrado por
S(n) ∪ Σ(n). Como l termina en H− ∩ P0 , que está contenido en el dominio exterior
de S(n) ∪ Σ(n), deducimos que l corta a Σ(n). En cualquiera de los dos casos, existe
un punto Pn ∈ l ∩ Σ(n), y además se tiene que |Pn − X0 | ≥ |P00 − X0 |. Tomamos
entonces δ0 = |P00 − X0 | > 0, y se cumple la condición de uniformización en X0 que
aparece en el enunciado del Lema 4.6. Ya estamos en condiciones de aplicar dicho
Lema, el cual prueba directamente la Afirmación 5.2 en este primer caso.
Consideremos ahora el caso π/2 ≤ α < π (nótese que no puede ser α = π, ya que
serı́a S ⊂ P0 , contradicción con que E tiene curvatura total infinita).
π+α Razonando
como en el Lema 5.1, podemos suponer que Π = P(β), con β ∈ α, 2 . Llamamos
α0 = α2 y β 0 = β − α2 . Ası́, α0 ∈]0, π/2[ y β 0 ∈]α0 , π/2]. Nótese que
pr (α0 , β 0, t0n ) ⊂ Rot−α0 pr(α, β, tn )
0
α
t y Rot−α0 la rotación de ángulo −α0 alrededor del eje x2 (ver
siendo t0n = sin
sin α n
Figura 5.2). Además, si llamamos Σ(n)0 = Rot−α0 (Σ(n)), entonces mı́n x3|Σ(n)0 ≥
α0
t00 = sin
t (ver Figura 5.2).
sin α 0
0
α
Figura 5.2: tdn = sin(π − α) = sin α, luego t0n = d sin α0 = sin
t . Análogamente,
sin α n
0
sin α
0
t0 = sin α t0. La zona en gris claro se corresponde con pr(α, β, tn ) ∩ {x3 ≥ t0}; y
pr (α0 , β 0, t0n ) ∩ {x3 ≥ t00 } es la parte rayada.
Por tanto, Σ(n)0 ∈ Aα0 ,β 0,t00 ,t0n . Sean ε ∈]0, β − α[ y λ0 ∈]0, 1[ cumpliendo el
Corolario 4.5 para α0 , β 0 y t00. Podemos aplicarle el caso anterior a Σ(n)0 , obteniendo
ası́ una sucesión convergente de grafos minimales que cumple la Afirmación 5.2
para ε, λ0 y cierta parcial {Σ(n)0 }n≥n0 . Rotando ahora el ángulo α0 alrededor del
α0 sin(α+ε)
eje x2 y tomando λ = λ0 sin
(ver Figura 5.3), obtenemos una sucesión de
sin α sin(α0 +ε)
un
grafos minimales {G }n cumpliendo los tres apartados de la Afirmación 5.2. La
Afirmación 5.2 queda ası́ demostrada.
82
Figura 5.3: t00n = d0 sin(π −α−ε) = d0 sin(α+ε) =
t0n
sin(α0 +ε)
sin(α+ε) =
sin α0 sin(α+ε)
t .
sin α sin(α0 +ε) n
Sea c ∈ {c1 , c2} la curva contenida en E − (S1 ∪ S2 ) que une ∂S con ∂E, y Γ0
la componente conexa de ∂S que contiene al punto QS = c ∩ ∂S. Fijemos L0 > 0 y
a0 > t0 cumpliendo ∂E ∪ c ⊂ CL0 ∩ {x3 < a0}.
Afirmación 5.3 Dados a > a0 y ε ∈]0, β − α[, existen T > a y L > L0 cumpliendo
para todo n ∈ N con tn ≥ 2T y todo P punto extremal de Σ(n) respecto de P(α + ε)
que:
Si x3(P ) < a, entonces existe una curva η embebida en En ∩ CL con
origen P y extremo en ∂E.
Además, η − Σ(n) ⊂ c ⊂ E − (S1 ∪ S2 ).
Demostración de la Afirmación 5.3. A cada componente conexa Γ de ∂S le asociamos
un punto QΓ ∈ Γ tal que x3(QΓ ) = mı́n x3 |Γ (sabemos que existe por ser x3|E
propia). Recordemos que para cada P ∈ Γ, [QΓ, P ]Γ denota el trozo (cerrado) de Γ
comprendido entre QΓ y P . Sea
[
[QΓ, P ]Γ
Γa =
P ∈Γ∩{x3 ≤a}
(nótese que Γ ∩ {x3 ≤ a} ⊂ Γa , pero que en general no se da la igualdad, ver
Figura 5.4). Claramente, Γa es conexo y compacto.
Denotaremos
Λa = {Γ componente conexa de ∂S : x3(QΓ ) ≤ a} y f (a) = sup máx x3|Γa .
Γ∈Λa
Nótese que, dada una componente conexa Γ de ∂S, puede ser Γa = ∅ (si x3(QΓ ) > a).
Sin embargo, Λa 6= ∅, ya que hemos tomado a > a0, y por tanto Γ0 ∈ Λa (en efecto,
83
Figura 5.4: Dibujo sobre P(β). Γa es la parte más gruesa.
x3(QΓ0 ) ≤ x3(QS ) < a0). Como Λa 6= ∅ y x3 no está acotada superiormente sobre
ninguna componente de ∂S, deducimos que f (a) ≥ a. Vamos a probar que el supremo
que aparece en la definición de f (a) es de hecho un máximo. Para ello, veamos que
para cada altura t > t0 existe un número finito de componentes conexas de ∂S
conteniendo puntos a altura menor o igual que t (en particular, esto nos dirá también
que Γa es compacto): En caso contrario, existirı́a una sucesión de puntos {Qk }k en
∂S ∩ {x3 ≤ t}, con cada Qk en una componente conexa distinta de ∂S. Como x3|E
es propia, entonces la sucesión {Qk }k tendrı́a un punto de acumulación Q∞ ∈ E,
que no es posible. En particular, ∂S ∩ {x3 ≤ a} está formado por una cantidad finita
de componentes conexas, de donde concluı́mos que Λa es un conjunto finito. Luego
f (a) es un máximo, y f (a) < +∞.
Para cada componente conexa Γ de ∂S, tomamos una curva ηΓ ⊂ S con origen
QΓ y extremo QS (nótese que Γ ∈ Λa no implica ηΓ ⊂ S ∩ {x3 ≤ a}, ver Figura 5.5).
Como Λa es un conjunto finito, entonces existe fe(a) = máx máx x3 |ηΓ < +∞.
Γ∈Λa
Figura 5.5: En este caso, Γ ∈ Λa, pero no es posible tomar una curva contenida en
S ∩ {x3 ≤ a} uniendo QΓ con QS
Sean T > fe(a), tn ≥ 2T y P ∈ Σ(n) ∩ {x3 < a} extremal con respecto a P(α + ε).
Nótese que QS ∈ ∂S(n) = ∂Σ(n) (ya que tn > a0).
Sean M y M0 las componentes conexas de Σ(n) ∩ {x3 < T } verificando P ∈
M y QS ∈ ∂M0. Vamos a probar que M = M0 : M0 divide a pr(0, β, T ) en dos
componentes conexas: M0+ , M0− . Llamamos M0− a aquella que cumple ∂M0− ∩P0 6= ∅.
Como S está bien orientada, llegamos a que S ⊂ M0+ en un entorno de QS . Como
84
M ⊂ Σ(n), entonces M es relativamente compacta, y x3 |M alcanza su mı́nimo en
una componente Γ de ∂M . x3(P ) < a, luego x3 (QΓ) = mı́n x3 |M < a, y Γ ∈ Λa .
Consideramos la curva ηΓ ⊂ S, que une QΓ con QS . Hemos tomado T > fe(a), lo cual
implica que ηΓ está contenida en una misma componente conexa de S ∩ {x3 < T }.
Como S ⊂ M0+ en un entorno de QS , deducimos que ηΓ ⊂ M0+ (por conexión, y
porque o bien Σ(n) ⊂ S, en cuyo caso ηΓ ⊂ M0 , o bien Σ(n) ∩ S = ∅, y ηΓ ∩ M0 = ∅).
Y por tanto, M ⊂ M0+ (ya que P ∈ ηΓ ∩ M y Σ(n) es embebida). A continuación,
probaremos que también se tiene M ⊂ M0− , con lo cual ya tendremos probada la
igualdad M = M0 . Para ello, distinguimos dos casos:
(i) Supongamos que 0 ≤ α < π/2. Como P es extremal, si X = p(P ), entonces el
trozo de LX entre P y P0 no corta a Σ(n). En particular, P ∈ M0− , de donde
concluı́mos directamente que M ⊂ M0− .
(ii) Supongamos ahora que π/2 ≤ α < π. Consideramos el segmento γP ortogonal
sin α
,
a P(α + ε) con origen P y extremo en P(α). Si tomamos T > cos εa sin(α+ε)
entonces γP ⊂ {x3 < T } (ver Figura 5.6). Como P es extremal, sabemos que
γP ∩ Σ(n) = ∅. Además, Σ(n) ∩ P(α) también es vacı́o porque Σ(n) ∈ Aα,β,t0,tn ,
por lo que si prolongamos γP hasta P0 sobre P(α), entonces obtenemos un arco
en M0− partiendo de P , lo cual nos dice que P ∈ M0− , como querı́amos.
Figura 5.6: d2 =
d1
sin(π−α−ε)
=
d1
;
sin(α+ε)
d3 =
y d4 = d3 cos(α − π/2) = d3 sin α =
d2
cos ε
=
d1
;
cos ε sin(α+ε)
d1 sin α
.
cos ε sin(α+ε)
Como d1 < a, entonces x3(γP ∩ P(α)) = d4 <
a sin α
.
cos ε sin(α+ε)
sin α
, luego M = M0 en cualquiera de los casos (i), (ii)
Tomamos T > cos εa sin(α+ε)
anteriores. Entonces, podemos tomar una curva ηe ⊂ M0 partiendo de P y llegando
a QS . Como Σ(n) es relativamente compacta, es claro que podemos tomar L > 0
85
verificando ηe ⊂ CL . Pero queremos que L sea independiente de n. Probaremos que ηe
está contenida en un cilindro CL , donde L sólo dependerá de a. Tomaremos L > L0 ,
con lo cual tendremos asegurado c ⊂ CL . La curva η que buscamos será ηe ∪ c.
Cambiamos momentáneamente el sistema de coordenadas, considerando como
tercera función coordenada y3 = 2T − x3 , y le aplicamos el Lema 1.1 a {(x, y3) ∈
Σ(n) : 0 ≤ y3 ≤ 2T }, que tiene su borde contenido en {y3 = 0} salvo una parte
contenida en el compacto K = ∂S ∩ {x3 ≤ T } ⊂ P(β). Como y3 está claramente
acotada sobre Σ(n) ∩ {0 ≤ y3 ≤ 2T }, entonces existe una solución w de (1) que
sólo depende de K, que cumple lı́m w(x) = 0 y tal que que y3 ≤ w(x) para todo
|x|→+∞
(x, y3) ∈ Σ(n) ∩ {0 ≤ y3 ≤ 2T }; o lo que es equivalente, 2T − x3 ≤ w(x) para todo
(x, x3) ∈ Σ(n)∩{0 ≤ x3 ≤ 2T }. En particular, como ηe ⊂ M0 ⊂ Σ(n)∩{0 ≤ x3 ≤ T },
entonces
T ≤ w(x), para todo (x, x3) ∈ ηe.
Como hemos dicho antes,
lı́m w(x) = 0. Por tanto, existe L > L0 tal que w(x) <
|x|→+∞
T para cada |x| ≥ L. Nótese que L sólo depende de T y de w, que a su vez sólo
dependen de a y K; luego L es independiente de n. Ası́, ηe ⊂ {(x, x3) : w(x) ≥ T } ⊂
CL . Ya basta tomar η = ηe ∪ c. En efecto, c ⊂ [E − (S1 ∪ S2 )] ∩ {x3 < tn } ∩ CL0 ⊂
En ∩ CL , y por construcción ηe ⊂ Σ(n) ∩ CL ⊂ En ∩ CL . Ası́, η es una curva embebida
en En ∩ CL uniendo P con ∂E, y η − Σ(n) ⊂ c. La Afirmación 5.3 queda ası́ probada.
Afirmación 5.4 Para cualesquiera t > 0, tn > t, y P ∈ Σ(n) con x3 (P ) > f (t)
(según la notación introducida en la página 83), existe una curva η embebida en
Σ(n) ∩ {x3 > t} con origen P y extremo en Ptn .
Demostración de la Afirmación 5.4. Sea Σ la componente conexa de Σ(n) ∩ {x3 >
f (t)} que contiene a P . Sabemos que Σ es relativamente compacta, y que ∂Σ ⊂
∂Σ(n) ∪ Pf (t). Por el principio del máximo, no puede ser ∂Σ ⊂ Pf (t), luego ∂Σ ∩
∂Σ(n) 6= ∅. Podemos por tanto considerar una curva γ ⊂ Σ partiendo de P y
llegando a un punto P 0 ∈ ∂Σ(n). Pueden darse dos casos: P 0 ∈ Ptn o P 0 ∈ P(β).
En el primer caso, ya habrı́amos acabado tomando η = γ. Supongamos entonces
que estamos en el segundo caso. Sea Γ la componente conexa de ∂Σ(n) ∩ P(β) que
contiene a P 0 . Nótese que no existen P10 , P20 ∈ Γ∩{x3 < t} tales que P 0 ∈]P10 , P20 [Γ , ya
que serı́a P 0 ∈ Γt , luego x3(P 0 ) ≤ f (t), contradicción. Por tanto, podemos prolongar
γ a través de ∂Σ(n) ∩ P(β) ∩ {x3 > t} hasta Ptn , obteniendo ası́ la curva η del
enunciado, con lo que se obtiene la Afirmación 5.4.
Ya estamos en condiciones de construir las curvas γn de las que hablábamos
al comienzo del capı́tulo. Por no complicar la notación, restringiremos la sucesión {tn }n∈N a la parcial que cumple el tercer apartado de la Afirmación 5.2, y
la seguiremos denotando como la sucesión original. Fijemos ε ∈]0, β − α[ y λ ∈]0, 1[
cumpliendo la Afirmación 5.2, y recordemos que a0 > t0 y L0 > 0 cumplı́an
86
∂E ∪ c ⊂ CL0 ∩ {x< a0}.
Lema 5.5 Existen T > a0 y L > L0 cumpliendo que para cada n ∈ N con tn ≥ 2T ,
existe m(n) ∈ N, con tn ≤ λtm(n) , para el cual podemos construir una curva γn ⊂
Em(n) ∩ (Atn ∪ Bε ∪ CL ) uniendo ∂E con Ptm(n) , cumpliéndose γn − Σ(m(n)) ⊂ c ⊂
E − (S1 ∪ S2 ).
Demostración. Fijamos {un : Ωn → R+ }n cumpliendo la Afirmación 5.2 (ε, λ estaban
ya fijados), y sea u : Ω → R+ el lı́mite de una parcial de {un }n . Consideremos el
semiplano H = P(α + ε) ∩ {x3 ≥ 0} y la semirrecta r = H ∩ {x2 = 0}, Nótese que
Ω ⊂ H es un dominio simplemente conexo, y que u ∈ C 2(Ω)∩C(Ω), u 6= 0 y u|∂Ω = 0.
Estamos, por tanto, en condiciones de aplicar el Teorema 1.4, el cual nos asegura
que r ⊂ Ω salvo un compacto. Recordemos que se define û(X) = X + u(X)~nα+ε ,
para cada X ∈ Ω. Denotaremos γ = û|Ω∩r , que es una curva divergente partiendo
de P(α + ε) (ya que u|∂Ω = 0).
Fijemos a > máx{a0, mı́n x3|γ }, y sean T > a y L > L0 cumpliendo la Afirmación 5.3 (recordemos que T, L son independientes de n). Sea R0 ∈ γ con x3 (R0 ) < a
tomar
y fijemos tn > 2T . Como x3 |γ no está acotada superiormente, podemos
Rn ∈ γ con x3(Rn ) > f(tn ). Consideremos el compacto Kn = p [R0 , Rn ]γ ⊂
Ω, donde p : P(α + ε)+ → P(α + ε) es la proyección ortogonal. Por la Afirmación 4.10, existe m(n) ≥ n tal que Kn ⊂ Ωm para cada m ≥ m(n). En particular, tn ≤ f (tn ) < x3 (Rn ) ≤ λtm(n) . Consideramos
bm(n) (Kn ). Nótese
que
γn = u
γn ⊂ Σ(m(n)) ∩ Bε ⊂ Em(n) ∩ Bε . Sean R0,n = u
bm(n) p(R0 ) y R0n = u
bm(n) p(Rn ) .
Como {un }n converge a u, entonces podemos tomar m(n) suficientemente grande
cumpliendo x3(R0,n ) < a y x3(R0n ) > f(tn ). Nos quedamos con [R0,n, R0n ]γn , que
seguimos llamando γn . Como x3(R0,n ) < a, la Afirmación 5.3 asegura que podemos
extender γn mediante un arco desde R0,n hasta ∂E sobre Em(n) ∩CL (a esta extensión
la seguimos denotando por γn ), siendo γn − Σ(m(n)) ⊂ c. Y por la Afirmación 5.4,
prolongamos γn mediante un arco contenido en Σ(m(n)) ∩ Atn ⊂ Em(n) ∩ Atn desde
R0n hasta Ptm(n) . Ası́, obtenemos una curva γn ⊂ Em(n) ∩(Atn ∪Bε ∪CL ), que podemos
tomar embebida, uniendo ∂E con Ptm(n) , con γn − Σ(m(n)) ⊂ c.
2
Fijemos T > a0 , L > máx{L0, 1}, {m(n)}tn≥2T y {γn }tn ≥2T cumpliendo el
Lema 5.5. Para cada n ∈ N con tn ≥ 2T , consideramos un entorno tubular Un de γn
contenido en Em(n) ∩ (Atn ∪ Bε ∪ CL ). Nótese que Em(n) divide a {0 ≤ x3 < tm(n) } en
−
−
dos componentes conexas. Sea H−
n aquella verificando Hn ⊂ H . Ası́, Em(n) − Un es
−
un disco con borde contenido en ∂Hn . Por el Lema de Dehn, existe un disco minimal
estable Dn ⊂ H−
n con frontera ∂Dn = ∂(Em(n) − Un ). Nótese que el anillo Dn ∪ Un
es homólogo en H− a Em(n) y a E ∩ {x3 < tm(n) }.
87
Lema 5.6 α = sup{θ ≥ 0 : S ∩ P(θ)+ = ∅} = 0.
Demostración. Vamos a suponer por reducción al absurdo que α > 0 y vamos a
construir una curva c0 ⊂ Dm0 (m0 ∈ N suficientemente grande) que será no nula en
π1(H− ), contradicción con que Dm0 ⊂ H− es un dominio simplemente conexo.
Para cada n ∈ N, vamos a construir cuatro grafos minimales G1n , G2n , S
G3n y G4n
contenidos en Dn . La curva c0 de la que hablábamos estará contenida en 4i=1 Gim0
(m0 ∈ N suficientemente grande). Para construir las sucesiones {G1n }n , {G2n }n ,
{G3n }n , {G4n }n , aplicaremos el Lema 4.6 a la sucesión {Dn }n respecto de los planos
Π(1), Π(2), Π(3), Π(4) (resp.) definidos como sigue:
Sean ε1 ∈]0, mı́n{α, π/2}[ y λ1 ∈]0, 1[ cumpliendo el Corolario 4.5 para los valores α0 = 0, β 0 = mı́n{α, π/2} y t0 . Definimos Π(1) como el plano dado por la
ecuación x1 sin ε1 −x3 cos ε1 = L sin ε1, orientado por ~n(1) = (sin ε1, 0, − cos ε1).
Sean ε2 ∈]0, π/2[ y λ2 ∈]0, 1[ cumpliendo el Corolario 4.5 para α0 = 0, β 0 = π/2
y t0. El plano Π(2) vendrá dado por la ecuación −x2 sin ε2 −x3 cos ε2 = L sin ε2,
y estará orientado por ~n(2) = (0, − sin ε2, − cos ε2).
Sean ε3 ∈]0, mı́n{π − β, π/2}[ y λ3 ∈]0, 1[ cumpliendo el Corolario 4.5 para
los valores α0 = 0, β 0 = mı́n{π − β, π/2} y t0 . Π(3) será el plano de ecuación
−x1 sin ε3 − x3 cos ε3 = L sin ε3 , orientado por ~n(3) = (− sin ε3 , 0, − cos ε3).
Sean ε4 ∈]0, π/2[ y λ4 ∈]0, 1[ cumpliendo el Corolario 4.5 para α0 = 0, β 0 = π/2
y t0 . Π(4) será el plano de ecuación x2 sin ε4 − x3 cos ε4 = L sin ε4, orientado
por ~n(4) = (sin ε4 , 0, − cos ε4).
No hay problema en considerar ε1 = ε2 = ε3 = ε4 y λ1 = λ2 = λ3 = λ4 , sin más que
tomar en cada caso el mı́nimo de los cuatro valores.
Nótese que para cada n ∈ N, la superficie minimal estable Dn ⊂ {t0 ≤ x3 <
tm(n) } es simplemente conexa y relativamente compacta. Además, ∂Dn − Ptm(n) ⊂
CL ∩ {x3 ≥ 0} ⊂ ∩4i=1 Π(i)−. En particular, Dn ∈ Ait0 ,tm(n) para cada n ∈ N y cada
i ∈ {1, 2, 3, 4}, donde Ait0 ,tm(n) se definde como la familia de superficies minimales
estables Σ tales que x3 (Σ) ≥ t0, Σ ⊂ P(0)− y ∂Σ ∩ pri (0, ε1 , tm(n)) = ∅, donde
pr1 (0, ε1 , tm(n)) = {X ∈ R3 : hX, ~n0 i < 0, hX, ~nε1 i > 0, x3 (X) < tm(n)} + Le1 ;
pr2 (0, ε1 , tm(n)) = {X ∈ R3 : hX, ~n00 i > 0, hX, ~n0π−ε1 i < 0, x3(X) < tm(n) }−Le2;
pr3 (0, ε1 , tm(n)) = {X ∈ R3 : hX, ~n0 i > 0, hX, ~nπ−ε1 i < 0, x3(X) < tm(n) }−Le1;
pr4 (0, ε1 , tm(n)) = {X ∈ R3 : hX, ~n00 i < 0, hX, ~n0ε1 i > 0, x3 (X) < tm(n)} + Le2 ,
88
Figura 5.7: Para i ∈ {1, 2, 3, 4}, Π(i) será el plano sobre el que se definirán los grafos
{Gin }n .
siendo n0θ = (0, sin θ, − cos θ) para cada θ ∈ [0, π].
Para aplicar el Lema 4.6 a Dn respecto del plano Π(i), con i ∈ {1, 2, 3, 4} (cambiando en el sistema de coordenadas x1 por x1 + L, −x2 + L, −x1 + L o x2 + L, según
corresponda), necesitamos en cada uno de los cuatro casos encontrar un punto X(i)
sobre cada plano Π(i) para el cual se cumpla la condición de uniformización.
Sea i ∈ {1, 2, 3, 4}. Para encontrar X(i), tomemos en primer lugar un punto
P (i) ∈ E ∩ Π(i)+ , lo cual es posible por el Lema 3.3 (basta considerar un plano
Π cumpliendo Π(i) ∩ P0 ⊂ Π ⊂ Π(i)+ ∩ P(0)− ; el Lema 3.3 asegura que E ∩ Π ⊂
E ∩ Π(i)+ contiene una curva no compacta). Sea pi : Π(i)+ → Π(i) la proyección
ortogonal sobre Π(i). Para cada X ∈ Π(i), LiX denotará la semirrecta p−1
i (X) ⊂
+
Π(i) , orientada partiendo de X. Sea X(i) = pi (P (i)) ∈ Π(i). Vamos a comprobar
que se cumple la condición de uniformización en X(i). Sea P (i)0 el último punto de
corte de LiX(i) con E (pasando a una parcial, podemos suponer que x3(P (i)0) < tn
para todo n ∈ N). Entonces, el vector tangente a LiX(i) en P (i)0 es entrante a H− . Y
a
como Dn ∪Un y E ∩{x3 < tm(n) } son homólogos en H− , entonces el
vector tangente LiX(i) en P (i)0 apuntará hacia el dominio delimitado por Dn ∪Un ∪ E ∩{x3 < tm(n) }
en {0 < x3 < tm(n) }. Como LiX(i) llega a P0 , que está en el exterior de dicho dominio,
entonces será LiX(i) ∩(Dn ∪Un ) 6= ∅. Ası́, existe un punto Pn (i) ∈ LiX(i) ∩(Dn ∪Un ) con
|Pn (i) − X(i)| ≥ |P (i) − X(i)|. Como hemos tenido cuidado tomando x3(P (i)0) < tn ,
entonces Pn (i)) 6∈ Atn . Además, ε1 < mı́n{α, π − β}, luego Bε ⊂ Π(1)− ∪ Π(3)− ;
y L > 1, luego Bε ⊂ Π(2)− ∪ Π(4)− . Ası́, Bε ⊂ ∪4i=1 Π(i)−. Y como claramente
CL ⊂ ∪4i=1 Π(i)− , deducimos que Pn (i) 6∈ Un , y por tanto Pn (i) ∈ Dn . Ası́, X(i)
89
cumple la condición de uniformización del Lema 4.6 con δ0i = |P (i) − X(i)| > 0.
Ya estamos en condiciones de aplicar el Lema 4.6, el cual asegura la existencia
para cada i ∈ {1, 2, 3, 4} de una sucesión de grafos minimales {Gin }n cumpliendo:
Para cada n ∈ N, Gin ⊂ Dn es un grafo formado por puntos extremales de Dn
respecto de Π(i).
Para cada n ∈ N, Gin es grafo de una función uin definida sobre un dominio
simplemente conexo Ωin ⊂ Π(i) ∩ {t0 ≤ x3 < λ1 tm(n)}, y uin = 0 en ∂Ωin ∩ {x3 <
λ1 tm(n) }.
Una parcial (que se puede tomar común a las cuatro sucesiones) de {uin }n converge a una solución ui de (1) definida sobre un dominio simplemente conexo
Ωi ⊂ Π(i) ∩ {x3 ≥ t0}, con ui |∂Ωi = 0.
Afirmación 5.7 Existe m0 ∈ N cumpliendo que ∂Ωim0 ∩ ∂Ωjm0 6= ∅, para cualesquiera (i, j) ∈ Θ = {(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 1)}.
Demostración de la Afirmación 5.7. Sea (i, j) ∈ Θ. Consideramos la semirrecta
ri,j = Π(i) ∩ Π(j) ∩ {x3 ≥ 0}. Por el Teorema 1.4, sabemos que ri,j ⊂ Ωi ∩ Ωj
salvo un compacto. Seguiremos denotando por ri,j a la semirrecta contenida en la
anterior intersección con Ωi ∩ Ωj . Sea K un compacto contenido en ri,j ⊂ Ωi ∩ Ωj .
Por la Afirmación 4.10, existe ni,j tal que K ⊂ Ωin ∩ Ωjn para todo n ≥ ni,j . Además,
podemos tomar ni,j suficientemente grande cumpliendo K ⊂ {x3 < λ1 tni ,j }. Por
6 ∅ para todo n ≥ ni,j . Tomamos m0 =
tanto, ri,j ∩ Ωin ∩ Ωjn ∩ {x3 < λ1 tn } =
máx{n1,2, n2,3, n3,4, n4,1}. Como Π(i) ∩ Π(j) ∩ {x3 ≤ λ1 tm0 } 6⊂ Ωim0 ∩ Ωjm0 , tenemos
asegurada la existencia
de un punto P (i, j) ∈ ∂(Ωim0 ∩ Ωjm0 ) ∩ {x3 ≤ λ1 tm0 } ⊂
∂Ωim0 ∩ Ωjm0 ∪ Ωim0 ∩ ∂Ωjm0 . Supongamos que P (i, j) ∈ ∂Ωim0 y probemos que
P (i, j) ∈ ∂Ωjm0 . Por simetrı́a, habrı́amos probado la Afirmación 5.7.
i (P (i, j)) = P (i, j); luego la semirrecta
Como P (i, j) ∈ ∂Ωim0 , entonces ud
m0
i
LP (i,j) = {P (i, j) + l ~n(i) : l > 0} no corta a Dm0 (por extremalidad). Se tiene
que pj P (i, j) + l ~n(i) = P (i, j) + l ~n(i) − hl ~n(i), ~n(j)i~n(j) = P (i, j) + l ~n(i) −
2
cos ε1 ~n(j) . Ası́, si P = pj P (i, j) + l ~n(i) , entonces
x3(P ) = x3(P (i, j)) + l h~n(i), e3i − cos2 ε1 h~n(j), e3i
= x3(P (i, j)) − l cos ε1 sin2 ε1 ).
(5.1)
En particular, x3 (P ) < x3(P (i, j)) ≤ λ1 tm0 . Luego la proyección de la recta LiP (i,j)
sobre Π(j) se queda por debajo de Pλ1 tm0 . Consideramos la extensión por cero de
ujm0 a todo Π(j) ∩ {x3 ≤ λ1 tm0 }, que denotamos por ujm0 , y definimos la función
j
→
R,
Φ(l)
=
l
h~
n
(i),
~
n
(j)i
−
(u
◦
p
)
P
(i,
j)
+
l
~
n
(i)
.
Φ : R+
j
0
m0
90
Como ujm0 ≥ 0, entonces Φ(0) ≤ 0. Vamos a probar por otro lado que Φ(0) ≥ 0, con
lo cual tendremos Φ(0) = 0, que equivale a que se cumpla ujm0 (P (i, j)) = 0. Y como
estamos suponiendo que P (i, j) ∈ Ωjm0 , entonces concluı́mos que P (i, j) ∈ ∂Ωjm0 ,
como querı́amos.
Probemos por tanto que Φ(0) ≥ 0: Nótese que si Φ(l) = 0, entonces P (i, j) +
l ~n(i) ∈ Gjm0 ⊂ Dm0 . Pero esto no es posible si l > 0, ya que LiP (i,j) ∩ Dm0 = ∅.
Por continuidad, Φ no cambia de signo en R+ . Además, ujm0 |Ωjm ∩{x3<t0 } = 0 (ya que
0
d
j
x3 ◦ um0 ≤ x3 en Π(j)
∩ {x3 ≤ λ1 tm0 } y Dm0 ⊂ {x3 ≥ t0}), de donde deducimos por
3 (P (i,j))−t0
j
(5.1) que (um0 ◦ pj ) P (i, j) + l n
~ (i) = 0 para todo l > xcos
. En consecuencia,
ε1 sin2 ε1
lı́m Φ(l) = +∞, y Φ ≥ 0. En particular, Φ(0) ≥ 0, que es lo que querı́amos
l→+∞
demostrar. Acaba ası́ la demostración de la Afirmación 5.7.
Para cada (i, j) ∈ Θ, fijemos un punto P (i, j) ∈ ∂Ωim0 ∩ ∂Ωjm0 , que podemos
tomar por la Afirmación 5.7 que acabamos de probar.
Para cada i ∈ {1, 2, 3, 4}, consideramos j, j 0 ∈ {1, 2, 3, 4} con (i, j), (j 0, i) ∈ Θ.
Como P (i, j), P (j 0 , i) ∈ ∂Ωim0 , existe por conexión un arco ηi ⊂ Ωim0 uniendo P (i, j)
con P (j 0 , i). Nótese que se cumple uim0 |∂ηi = 0. Consideramos la curva de Jordan
d
i ◦ η ⊂ ∪4 Gi
c0 = ∪4i=1 u
i
i=1 m0 ⊂ Dm0 .
m0
Figura 5.8: η1 está contenida en Ω1m0 ⊂ Π(1), que es la parte coloreada en gris.
Afirmación 5.8 La curva de Jordan c0 ⊂ Dm0 no es homotópicamente trivial en
H− .
Demostración de la Afirmación 5.8. Dado P ∈ c0 , existen i ∈ {1, 2, 3, 4} y X ∈ ηi
−
d
i (X) = P . Como c ⊂ ∪4 Gi
tales que u
0
i=1 m0 y Um0 ⊂ Π(i) , entonces P es un punto
m0
91
extremal de Dm0 ∪ Um0 respecto de Π(i). Además, Dm0 ∪ Um0 ⊂ H− , de donde
deducimos que la semirrecta abierta contenida en LiX partiendo de P no corta a E.
Vamos a probar que, para cada (i, j) ∈ Θ, el triángulo T (i, j) de vértices P (i, j),
i
LP (i,j) ∩ P0 y LjP (i,j) ∩ P0 no corta a E. Ası́, podremos construir una homotopı́a (en
[ [
−
i
H ) que deforme c0 en una curva e
c0 ⊂ P0 a través de
LX ∪ T (i, j) .
(i,j)∈Θ
X∈ηi
Supongamos que T (i, j) ∩ E 6= ∅. Razonando como en veces anteriores (viendo
hacia dónde apuntan los normales), llegamos a que T (i, j) ∩ (Dm0 ∩ Um0 ) 6= ∅. Como
T (i, j) ∩ Um0 ⊂ Π(i)+ ∩ Π(j)+ ∩ Um0 = ∅, deducimos que T (i, j) ∩ Dm0 6= ∅. Además,
Dm0 ∩ ∂T (i, j) = {P (i, j)} (ya que Dm0 ∩ P0 = ∅ por el principio del máximo y
Dm0 ∩ LiP (i,j) = Dm0 ∩ LjP (i,j) = ∅ por extremalidad). Por el principio del máximo,
T (i, j) ∩ Dm0 contiene al menos una curva de Jordan. Y como Dm0 es simplemente
conexa, dicha curva de Jordan bordea un disco contenido en Dm0 . Aplicando de
nuevo el principio del máximo a este disco, llegamos a que Dm0 está contenida en el
plano que determina T (i, j), contradicción.
Probemos que e
c0 no es homotópicamente trivial en H− , con lo cual quedará probada la Afirmación 5.8. e
c0 ⊂ ∪4i=1 Π(i)+ ∩ P0 es una curva de Jordan cumpliendo
e
c0 ∩ Π(i)+ 6= ∅ para cada i ∈ {1, 2, 3, 4}, luego ∂E ⊂ CL ∩ P0 está contenido en el dominio interior encerrado por e
c0 en P0 (recordemos que ∂E ⊂ CL0 y L > L0 ). Ası́, ∂E
ye
c0 son dos curvas homotópicas en H− ∩ P0 (en particular, lo son en H− ), de donde
concluı́mos que e
c0 no es homotópicamente trivial en H− , acabando la demostración
de la Afirmación 5.8.
Como c0 ⊂ Dm0 y Dm0 es simplemente conexo, entonces c0 bordea un disco
contenido en Dm0 . Pero Dm0 ⊂ H− , lluego c0 es homotópicamente trivial en H− ,
contradicción con la Afirmación 5.8. Ası́, queda probado el Lema 5.6.
2
A continuación, seguiremos un razonamiento que nos llevará a una contradicción,
probando ası́ el Teorema Principal. Volvemos a considerar S1 , S2 cumpliendo la
Proposición 3.6. Por el Lema 5.6, sabemos que
sup{θ ≥ 0 : S1 ∩ P(θ)+ = ∅} = sup{θ ≥ 0 : S2 ∩ P(θ)+ = ∅} = 0.
El Lema 5.1 nos permite suponer que S1 , S2 están definidas con respecto a un plano
P(β), con β ∈]0, π/2]. Para i ∈ {1, 2}, fijamos un punto Qi0 ∈ Si y consideramos
una sucesión estrictamente creciente y divergente {tn }n∈N de reales positivos, con
t1 > máx{x3(Q10 ), x3(Q20 )} (suponemos S1 ∩ Ptn y S2 ∩ Ptn transversales para cada
n ∈ N). Ası́, para cada n ∈ N se tiene que Qi0 ∈ Si ∩ {x3 < tn }. Denotaremos por
Si (n) a la componente conexa de Si ∩ {x3 < tn } que contiene a Qi0. Razonando como
en la página 79 para S(n), deducimos que Si (n) es un disco.
92
Sea t0 = mı́n x3 |S1 ∪S2 > 0. El Lema de Dehn asegura la existencia de un disco
minimal estable Σ1 (n) con frontera ∂S1(n) contenido en H− ∩ pr(0, β, tn) ∩ {x3 ≥
t0}. Aplicamos de nuevo el Lema de Dehn, obteniendo un disco minimal estable
Σ2 (n) con frontera ∂S2 (n) contenido en el dominio exterior de (E − S1 (n)) ∪ Σ1 (n)
en {0 < x3 < tn }, intersección con pr(0, β, tn) ∩ {x3 ≥ t0}. Obtenemos ası́ dos
discos minimales estables y disjuntos Σ1 (n), Σ2(n) con fronteras ∂S1(n), ∂S2 (n)
respectivamente. Nótese que Σ1 (n), Σ2 (n) ∈ A0,β,t0,tn para cada n ∈ N.
Por la Afirmación 5.2, existen ε ∈]0, β[, λ ∈]0, 1[, n0 ∈ N y dos sucesiones
{u1n }n≥n0 , {u2n }n≥n0 de soluciones de (1) cumpliendo para i = 1, 2:
1. Para cada n ≥ n0 , uin está definida sobre un dominio Ωin simplemente conexo
contenido en P(ε) ∩ {0 < x3 < λtn } verificando uin |∂Ωin ∩{x3<λtn } = 0.
i
2. Para cada n ≥ n0 , el grafo minimal Gun está formado por puntos extremales
de Σi (n) respecto de P(ε).
3. {uin }n≥n0 admite una parcial (que seguiremos denotando como la sucesión orii
ginal) convergente hacia una solución ui : Ωi → R+
0 de (1), siendo Ω un doi
minio simplemente conexo contenido en P(ε)∩{x3 > 0}, y se cumple u |∂Ωi = 0.
Tomamos la parcial común para {u1n }n ,{u2n }n .
El Teorema 1.4 asegura que Ω1 ∩ Ω2 6= ∅. Por la Afirmación 4.10 y tomando n0
suficientemente grande, podemos suponer que Ω1n ∩ Ω2n 6= ∅ para todo n ≥ n0 . Como
Σ1 (n) ∩ Σ2 (n) = ∅ y uin = 0 en ∂Ωin ∩ {x3 < λtn }, entonces Ω1n ⊂ Ω2n o Ω2n ⊂ Ω1n .
Nos quedamos sin pérdida de generalidad con una parcial que cumpla Ω2n ⊂ Ω1n
para cada término de la sucesión. Usaremos resultados demostrados anteriormente
a lo largo de este capı́tulo para S = S2 , tomando ciertas precauciones que iremos
señalando.
Fijemos L0 > 0 y a0 > t0 cumpliendo ∂E ∪ c2 ⊂ CL0 ∩ {x3 < a0} (recordemos
que c2 ⊂ E − (S1 ∪ S2 ) es un arco que conecta ∂S2 con ∂E). Por el Lema 5.5, existen
T > a0 y L > máx{L0, 1} verificando que, para cada n ∈ N con tn ≥ 2T , existe
2
m(n) ∈ N cumpliendo tn ≤ λtm(n) , y existe una curva γn ⊂ Em(n)
∩ (Atn ∪ Bε ∪
2
CL ) uniendo ∂E con Ptm(n) , siendo Em(n) = [E − S2 (m(n))] ∪ Σ2 (m(n)). Además,
γn − Σ2 (m(n)) ⊂ E − (S1 ∪ S2 ), luego γn ∩ S1 = ∅. Podemos por tanto tomar un
2
− S1, con Un ⊂ (Atn ∪ Bε ∪ CL ). El Lema de Dehn
entorno tubular Un de γn en Em(n)
1,2
− Un )
nos asegura la existencia de un disco minimal estable Dn con borde ∂(Em(n)
1,2
2
contenido en el dominio exterior de Em(n) = [Em(n) − S1 (m(n))] ∪ Σ1 (m(n)) en
{0 ≤ x3 < tm(n) } (en particular, Dn ⊂ H− ).
El razonamiento que seguiremos es parecido al seguido en la demostración del
Lema 5.6. Vamos a construir cuatro sucesiones de grafos {G1n }n , {G2n }n , {G3n }n ,
{G4n }n , con ∪4i=1 Gin ⊂ Dn , y obtendremos una curva de Jordan c0 ⊂ ∪4i=1 Gim0 para
cierto m0 ∈ N suficientemente grande, que no será trivial en π1(H− ). Pero como
93
c0 ⊂ Dm0 ⊂ H− y Dm0 es simplemente conexo, ya tendremos la contradicción que
prueba el Teorema Principal.
Los planos Π(2), Π(3), Π(4) se definen exactamente igual que en la demostración
del Lema 5.6, al igual que las sucesiones {G2n }n , {G3n }n , {G4n }n . Ahora no podemos
definir el plano Π(1) como hacı́amos allı́ porque α = 0. Para obtener una sucesión de
grafos minimales {G1n }n formados por puntos extremales de Dn respecto de cierto
plano Π(1) giraremos los discos Dn , contruiremos los grafos sobre dichos discos
girados (aplicando el Lema 4.6), y desharemos finalmente el giro.
o
n
L (1+sin ε)
π
0
.
Sea Rα0 la rotación de ángulo α = 2 − ε y eje x1 = L/2, x3 = − 2 cos ε
Denotaremos R−α0 = (Rα0 )−1 .
Afirmación 5.9 Rα0 (P(0)) = P(α0 ), Rα0 (P(ε)) = {x1 = −L sin ε} y [Rα0 (At ) ∪
Rα0 (CL )] ∩ pt = ∅ para cada t > 0, donde pt = pr(α0 , π2 , sint ε ).
Demostración de la Afirmación 5.9. Rα0 (P(0)) será un plano paralelo a P(α0 ) (conservando la orientación al trasladar paralelamente). Por tanto, para probar que
Rα0 (P(0)) = P(α0 ) bastará ver que 0 ∈ Rα0 (P(0)). P = Rα0 (L/2, 0, 0) = − L2 (sin ε, 0, cos ε) ∈
Rα0 (P(0)), luego también se tendrá 0 = P + |P |(sin ε, 0, cos ε) ∈ Rα0 (P(0)) (ver Figura 5.9, izquierda), y Rα0 (P(0)) = P(α0 ).
Veamos ahora que Rα0 (P(ε)) = {x1 = −L sin ε}. Que es un plano vertical con x1
constante, es claro. Sea Q = P(ε) ∩ {x1 = L/2, x2 = 0}. Se tiene (ver Figura 5.9,
derecha) que x3 (Q) = L2 (1, 0, tan ε), y x1(Rα0 (Q)) = −L sin ε. Deducimos entonces
que Rα0 (P(ε)) = {x1 = −L sin ε}.
Figura 5.9: Izquierda: P = Rα0 ( L2 , 0, 0) = − L2 (sin ε, 0, cos ε) y ~v = (cos α0 , 0, sin α0 ) =
(sin ε,h 0, cos ε) ∈ P(αi0 ). Derecha: x3(Q) = L2 tan ε, y x1(Rα0 (Q)) = L2 −
cos ε
L(1+sin ε)
2 cos ε
+ x3 (Q) = −L sin ε.
Fijemos t > 0. Probemos a continuación que Rα0 (At) ∩ pt = ∅. Rα0 (Pt ) es un
plano paralelo a P(α0 ) que cumple Rα0 (Pt ) ⊂ P(α0 )− . Y Rα0 (At) es el semiespacio
que se queda a la izquierda de Rα0 (Pt ) ( es decir, aquel hacia el que apunta −~nα0 ). Si
P = Rα0 (Pt )∩{x1 = 0, x2 = 0}, entonces se tiene que x3(P ) = sint ε (ver Figura 5.10),
y Rα0 (At) ∩ pt = ∅.
94
Figura 5.10: Izquierda: At es la parte en gris, y Rα0 (At) se corresponde con la parte
rayada. Se comprueba que x3 (P ) = sint ε . Derecha: pt = pr(α0 , π2 , sint ε ) está en gris.
Por otro lado, Rα0 ({x1 = L}) es un plano paralelo a P(π − ε) que pasa por
Rα0 (L, 0, 0) = 0, luego Rα0 ({x1 = L}) = P(π − ε). Y Rα0 (CL ) ⊂ P(π − ε)− , luego
Rα0 (CL ) ∩ pt = ∅, y queda probada la Afirmación 5.9.
ε)
Figura 5.11: r = {x1 = L2 , x3 = −L(1+sin
}. Izquierda: CL está en gris, y Rα0 (CL )
2 cos ε
es la parte rayada. Derecha: pt = pr(α0 , π2 , sint ε ) es la parte coloreada en gris.
Aplicaremos el Lema 4.6 a una sucesión de superficies minimales estables de
la forma {Rα0 (Dn0 )}n , para ciertos Dn0 ⊂ Dn para cada n ∈ N. Será Rα0 (Dn0 ) ∈
Aα0 , π , t0 , tn . Para aplicar dicho Lema, necesitamos considerar un plano (sobre el
2 sin ε sin ε
que estarán definidos los grafos), y comprobar que se cumple la condición de uniformización en uno de sus puntos.
t0
Sea ε1 ∈]0, ε[ cumpliendo el Corolario 4.5 para α0 , π/2 y sin
(como dijimos
ε
en la demostración del Lema 5.6, podemos tomar ε1 = ε2 = ε3 = ε4 ). El plano
Π(1) = R−α0 (P(α0 + ε1 )) será el dado por la ecuación x1 sin ε1 − x3 cos ε1 = L sin ε1
(ya que R−α0 (0) = (L, 0, 0)), orientado por ~n(1) = (sin ε1, 0, − cos ε1 ). Denotaremos
por p1 : Π(1)+ → Π(1) a la proyección ortogonal sobre Π(1), y L1X = (p1 )−1 (X) para
95
cada X ∈ Π(1) (orientamos como siempre L1X partiendo de X).
Afirmación 5.10 Existe una función φ : R−α0 (ptn ) → R (ptn definido como en la
Afirmación 5.9) cumpliendo:
1. φ(P ) < 0 para cada P ∈ Un ∩ R−α0 (ptn ).
1
2. φ(P ) = 0 si y sólo si P ∈ Gum(n) ∩ R−α0 (ptn ).
3. Si P ∈ Π(1)+ ∩ R−α0 (ptn ) es un punto extremal de Dn respecto de Π(1), entonces φ(Q) > 0 para todo Q ∈]P, ∞[L1p (P ) ∩R−α0 (pt ).
1
Demostración de la Afirmación 5.10. Llamamos u1m(n) a la prolongación por 0 de
u1m(n) a P(ε) ∩ {x3 < tn } (recordemos que tn < λtm(n) ). Nótese que (p ◦ R−α0 ) (ptn ) ⊂
P(ε) ∩ {x3 < tn }. Por tanto, podemos definir
φ : R−α0 (ptn ) → R,
φ(P ) = hP, ~nε i − (u1m(n) ◦ p)(P ).
Por la Afirmación 5.9, sabemos que (Atn ∪ CL ) ∩ R−α0 (ptn ) = ∅. Por tanto,
u2
Un ∩ R−α0 (ptn ) ⊂ Bε . Recordemos que γn ∩ Bε ⊂ G m(n) . Podemos por tanto tomar
2
2
Un ∩ Bε ⊂ Gum(n) . Ası́, si P ∈ Un ∩ R−α0 (ptn ), entonces P ⊂ Gum(n) , y p(P ) ∈
Ω2m(n) ⊂ Ω1m(n) . Luego u1m(n) (P ) > u2m(n) (P ), y φ(P ) = [(u2m(n) − u1m(n)) ◦ p](P ) < 0.
Esto prueba el apartado 1 de la Afirmación 5.10.
La implicación a la izquierda del apartado 2 se cumple trivialmente por definición
de φ. Probemos la implicación la derecha. Si φ(P ) = 0, con P ∈ R−α0 (ptn ), entonces
(u1m(n) ◦ p)(P ) = hP, ~nε i > 0, de donde deducimos que p(P ) ∈ Ω1m(n) y que P =
u1
(b
u1m(n) ◦ p)(P ) ∈ G m(n) , lo cual acaba con el segundo apartado.
Nos queda probar 3. Supongamos que P ∈ R−α0 (ptn ) ∩ Π(1)+ es un punto extremal de Dn respecto de Π(1). Como Σ1(m(n)) ⊂ P(0)− , entonces φ(QP ) > 0
por definición de φ, siendo QP = L1p1 (P ) ∩ P(0). Sea I la componente conexa de
{Q ∈ L1p1 (P ) ∩ R−α0 (ptn ) : φ(Q) > 0} que contiene a QP en su borde. Veamos que
]P, QP [⊂ I. Supongamos por reducción al absurdo que existe Q ∈ ∂I∩]P, QP [. Entonces, φ(Q) = 0. Por el segundo apartado (ya demostrado) de la Afirmación 5.10,
u1
serı́a Q ∈ G m(n) ∩ R−α0 (ptn ) ⊂ Σ1 (m(n)). Sea Q0 ∈ [Q, QP [ el último punto de
corte de L1p1 (P ) con Σ1 (m(n)). El vector tangente a L1p1 (P ) en Q0 es entrante al do1,2
∪ Dn ∪ Un en {0 < x3 < tm(n) }, de donde se deduce
minio delimitado por Em(n)
0
que [Q , QP [∩(Dn ∪ Un ) 6= ∅. Por el primer apartado de la Afirmación anteriormente
probado, sabemos que I ∩ Un = ∅, y [Q0, QP [∩Dn 6= ∅, lo cual es absurdo por
extremalidad de P . La Afirmación 5.10 queda demostrada.
Sea φ : R−α0 (ptn ) → R cumpliendo la Afirmación 5.10. Consideramos, para cada
n ∈ N,
Dn0 = Dn ∩ {P ∈ R−α0 (ptn ) : φ(P ) ≥ 0}.
96
Afirmación 5.11 ∂Dn0 ⊂ ∂R−α0 (ptn ).
Demostración de la Afirmación 5.11. ∂Dn0 ⊂ ∂Dn ∩ {P ∈ R−α0 (ptn ) : φ(P ) ≥ 0} ∪
Dn ∩ ∂{P ∈ R−α0 (ptn ) : φ(P ) ≥ 0} ⊂ ∂Dn ∩ {P ∈ R−α0 (ptn ) : φ(P ) ≥ 0} ∪
Dn ∩ {P ∈ R−α0 (ptn ) : φ(P ) = 0} ∪ ∂R−α0 (ptn ).
En primer lugar, deducimos que ∂Dn ∩ {P ∈ R−α0 (ptn ) : φ(P ) ≥ 0} = ∅ a partir
de los siguientes puntos:
∂Dn ⊂ ∂E ∪ ∂Un ∪ Ptm(n)
(∂E ∪ Ptm(n) ) ∩ R−α0 (ptn ) ⊂ (CL ∪ Atn ) ∩ R−α0 (ptn ) = ∅, por la Afirmación 5.9.
∂Un ∩ {P ∈ R−α0 (ptn ) : φ(P ) ≥ 0} = ∅, por el primer apartado de la Afirmación 5.10.
Por otro lado, el segundo apartado de la Afirmación 5.10 asegura que
1
Dn ∩ {P ∈ R−α0 (ptn ) : φ(P ) = 0} = Dn ∩ Gum(n) ∩ R−α0 (ptn ).
u1
u1
Se pueden dar dos casos: Dn ∩ G m(n) ∩ R−α0 (ptn ) = ∅ o Dn ∩ G m(n) ∩ R−α0 (ptn ) 6= ∅.
u1
Si se da el primer caso, hemos terminado. Supongamos entonces que Dn ∩ G m(n) ∩
R−α0 (ptn ) 6= ∅.
1
Nótese que ∂Dn ∩Gum(n) ∩R−α0 (ptn ) ⊂ (∂E∪∂Un ∪Ptm(n) )∩Σ1 (m(n))∩R−α0 (ptn ) ⊂
Afirm. 5.10
(CL ∪ ∂Un ∪ Atn ) ∩ Σ1(m(n)) ∩ R−α0 (ptn ) = ∂Un ∩ Σ1 (m(n)) ∩ R−α0 (ptn ). Re2
cordemos que Un ⊂ Em(n)
− S1 , luego Un ∩ Σ1 (m(n)) = ∅. Y por tanto, ∂Dn ∩
0
Σ1 (m(n)) ∩ R−α (ptn ) = ∅, luego Dn ∩ Σ1 (m(n)) ∩ R−α0 (ptn ) 6= ∅.
1,2
Como Dn ∩Σ1 (m(n))∩R−α0 (ptn ) 6= ∅, Σ1 (m(n))∩R−α0 (ptn ) ⊂ Em(n)
, y Dn se que1,2
1,2
da a un lado de Em(n) , por el Principio del Máximo deducimos que Dn = Em(n)
−Un =
(E ∩ {0 ≤ x3 < tm(n) }) − Un (esta segunda igualdad se debe a que, como Dn es una
1,2
− Un debe ser diferenciable en ∂Si (m(n)),
superficie minimal, en particular Em(n)
1
luego Σi (m(n)) = Si (m(n)), i = 1, 2). En este caso, serı́a Dn0 = Gum(n) ∩ R−α0 (ptn ),
que cumple lo deseado. La Afirmación 5.11 queda ası́ probada.
Afirmación 5.12 Existe un punto X(1) ∈ Π(1) cumpliendo la condición de uniformización del Lema 4.6 para la sucesión {Dn0 }n .
Demostración de la Afirmación 5.12. En primer lugar, observemos que si Dn ∩
1
Σ1 (m(n)) 6= ∅, entonces Dn = (E∩{0 ≤ x3 < tm(n) })−Un , y Dn0 = Gum(n) ∩R−α0 (ptn );
luego se cumple trivialmente la condición de uniformización para cualquier punto
de Ω1 . Supongamos entonces que Dn ∩ Σ1 (m(n)) = ∅.
97
Fijemos P (1) ∈ E ∩ Π(1)+ (sabemos que existe, por el Lema 3.3), y sea X(1) =
p1 (P (1)) ∈ Π(1). Pasando a una parcial, podemos suponer que X(1) ∈ R−α0 (ptn )
para todo n ∈ N. Razonando como en veces anteriores, deducimos que L1X(1) ∩
(Dn ∪ Un ) 6= ∅, y Pn (1) ∈ L1X(1) ∩ (Dn ∪ Un ) cumpliendo |Pn (1) − X(1)| ≥ |P (1) −
X(1)|. Podemos suponer que Pn (1) es un punto extremal de Dn ∪ Un respecto de
Π(1), y por tanto ]Pn (1), ∞[L1X(1) ∩Σ1 (m(n)) = ∅. Veamos que Pn (1) ∈ Dn0 , con lo
cual habremos acabado. Como hemos supuesto X(1) ∈ R−α0 (ptn ), entonces Pn (1) ∈
R−α0 (ptn ). Basta demostrar que φ(Pn (1)) ≥ 0 (por definición de Dn0 y porque φ|Un <
0). Supongamos por reducción al absurdo que φ(Pn (1)) < 0. Si llamamos Q =
L1X(1) ∩ P(0), entonces sabemos que φ(Q) > 0; luego existirá Q0 ∈]Pn (1), Q[ tal que
φ(Q0) = 0. La Afirmación 5.10 asegura que Q0 ∈ Σ1 (m(n)), contradicción con que
]Pn (1), Q[∩Σ1(m(n)) = ∅. Obtenemos por tanto que φ(Pn (1)) ≥ 0, y Pn (1) ∈ Dn0 .
Ası́, X(1) cumple la condición de uniformización del Lema 4.6 para la sucesión
{Dn0 }n , tomando δ01 = |P (1) − X(1)|. Y la Afirmación 5.12 queda probada.
De la Afirmación 5.11 deducimos que ∂Rα0 (Dn0 ) ⊂ ∂ptn . Y la Afirmación 5.12
nos dice que existe un punto Rα0 (X(1)) ∈ Rα0 (Π(1)) = P(π/2 + ε1 − ε) que cumple
la condición de uniformización del Lema 4.6 para la sucesión Rα0 (Dn0 ) respecto de
e1 }n cumP(π/2 + ε1 − ε). Existe entonces una sucesión de grafos minimales {G
n
0 , obtenemos una sucesión de grafos
pliendo
el
Lema
4.6.
Aplicando
la
rotación
R
−α
n
o
e1 ) cumpliendo:
G1n = R−α0 (G
n
n
Para cada n ∈ N, G1n ⊂ Dn0 ⊂ Dn es un grafo formado por puntos extremales de
Dn0 (y por tanto de Dn , por el tercer apartado de la Afirmación 5.10) respecto
de Π(1).
Para cada n ∈ N, G1n es grafo de una función vn1 definida sobre un dominio
simplemente conexo Wn1 ⊂ Π(1)∩{x3 < λ1 tn }, y vn1 = 0 en ∂Wn1 ∩{x3 < λ1 tn }.
La sucesión {vn1 }n converge a una solución v 1 de (1) definida sobre un dominio
simplemente conexo W 1 ⊂ Π(1) ∩ {x3 ≥ 0}, con v 1 |∂W 1 = 0.
La única diferencia con respecto a la situación a la que llegamos en el Lema 5.6
es que aquı́ Wn1 es un dominio de {x3 < λ1 tn }, y no de {x3 < λ1 tm(n) }. Pero en
la demostración de la Afirmación 5.7 trabajábamos en {x3 ≤ λ1 tn }, luego todo lo
allı́ hecho es válido en este caso. Construı́mos la curva η1 ⊂ Wm1 0 y la curva de Jordan c0 ⊂ Dm0 (para m0 ∈ N suficientemente grande) de forma idéntica a lo hecho
en la demostración del Lema 5.6. Para probar que c0 no es trivial en π1(H− ) (Afir1
vm
(X), ∞[L1X no corta a
mación 5.8) sólo resta comprobar que si X ∈ η1 , entonces ]b
0
1
E. Como b
vm0 (X) en un punto extremal de Dm0 respecto de Π(1), la Afirmación 5.10
1
1
(X), ∞[L1X ∩R−α0 (ptn ), y ]b
vm
(X), ∞[L1X ∩Um0 = ∅.
asegura que φ > 0 sobre ]b
vm
0
0
1
Por tanto, b
vm0 (X) es un punto extremal de Dm0 ∪ Um0 respecto de Π(1), luego
98
1
]b
vm
(X), ∞[L1X ∩E = ∅ (razonando con los tangentes, como hemos en veces anterio0
res), como querı́amos probar.
Hemos obtenido una curva de Jordan c0 ⊂ Dm0 ⊂ H− no nulhomotópica en H− ,
contradicción con que Dm0 es un disco. Esto prueba el Teorema Principal.
99
100
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