Circunferencia

Geometría Euclídea
Capítulo III
LA CIRCUNFERENCIA
Circunferencia.
Circunferencia es el conjunto de los puntos del plano cuya distancia a un punto fijo llamado
centro, es una constante llamada radio.
Si tomamos el punto P de la circunferencia y el punto O como centro de la circunferencia tenderemos:
Si P∈ C, entonces |OP| = r
Si |OP| = r, entonces P∈C. Es decir si P∈C ⇒ |OP| = r es condición necesaria y suficiente.
Definición 1:
Llamaremos círculo de borde C, al conjunto de los puntos de la circunferencia y sus puntos interiores.
Definición 2:
Llamaremos recta diametral de una circunferencia C a toda recta que pase por su centro 0.
Corolario
Toda recta diametral corta a la circunferencia en dos, puntos A y B pertenecientes a semirrectas
opuestas de origen 0 que se llaman a semirrectas radiales.
Aplicamos para la demostración los conceptos de rayo interior
y recta con un punto en el interior de la figura vistos para
triángulos.
AB se llama segmento diametral de la circunferencia C, OA y
OB son radios, r = OA = OB
AB = OA + OB = r + r = 2 r. Esta Longitud d = 2r, se llama
diámetro de la circunferencia.
Definición 3:
Se llama cuerda de una circunferencia C a todo segmento PQ determinado por dos puntos de
ella.
Segmento PQ , cuerda PQ ∈ C, en Particular, todo segmento diametral es una cuerda.
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Las propiedades fundamentales referentes a las cuerdas son estas dos
1. La perpendicular desde el centro a una cuerda, la corta en su punto medio.
2. Los segmentos diametrales son las cuerdas de longitud máxima.
1) Demostramos por congruencia de triángulos rectángulos que
AM = MB
2) Por condición de triángulo rectángulo la hipotenusa r > AM,
por lo tanto 2r > AB, en el caso donde AB es el diámetro tendremos que 2r = AB = d, que es el valor máximo que puede
tomar AB por lo tanto el diámetro es la mayor de todas las cuerdas d > AB.
Definición 4.
Dos puntos cualesquiera A, B de una circunferencia la dividen en dos partes que se llaman arcos.
Estos son las intersecciones de la circunferencia con cada uno de los semiplanos de borde AB
que determina la recta que pasa por los puntos A y B. Para distinguir un arco de otro suele usarse
un tercer punto.
Si A y B son extremos de un segmento diametral, los dos arcos que determina son congruentes
pues la circunferencia es simétrica respecto de un diámetro cualquiera y también respecto de su
centro. Tales arcos se llaman semicircunferencia.
Posiciones relativas de una recta y una circunferencia
Si comparamos la distancia desde el centro de la circunferencia hasta la recta, con el radio de la circunferencia nos quedan las siguientes rectas:
Si la d(o, r) < Radio, la recta es secante. OP < radio
Si la d(o, r) = Radio, la recta es tangente. OR = radio
Si la d(o, r) > Radio, la recta es exterior. OQ > radio
Propiedad
Toda recta tangente a la circunferencia es perpendicular al radio que pasa por el punto de tangencia
Por cada punto de la circunferencia se puede trazar una sola tangente a la misma
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Ángulos centrales, inscritos y semiinscriptos
Definición 5.
Llamaremos ángulo central de una circunferencia C, a todo ángulo cuyos
lados sean semirrectas radiales.
La intersección de la circunferencia C con un ángulo central O, es un arco
de la circunferencia.
Definición 6.
Llamaremos ángulo inscripto en una circunferencia C, a todo ángulo sectorial cuyo vértice está en la circunferencia, y cuyos lados son semirrectas
secantes.
)
El ángulo Vˆ está inscripto en el arco AVB
La intersección de la circunferencia C con un ángulo inscripto Vˆ , es un arco de la circunferencia
interior al ángulo inscripto, diremos también que el ángulo subtiende o abarca ese arco. El arco
subtendido en este caso es el arco AB.
Definición 7.
Llamaremos ángulo semiinscripto en una circunferencia C, a todo ángulo sectorial cuyo vértice
está en la circunferencia, y cuyos lados son una semirrecta tangente y otra secante.
)
El ángulo A es seminscripto del arco ACB . El ángulo está seminscripto en el arco que no abarca, es decir el ángulo no contiene al
arco en el cual está seminscripto. Por lo tanto se desprende que en
el punto A existen dos ángulos seminscriptos, el ángulo HAˆ B en el
)
arco ACB y el suplementario en el arco AB.
La intersección de la circunferencia C con un ángulo central, o
seminscripto, es un arco de la circunferencia al cual abarca.
Teorema 1.
La medida de un ángulo inscripto es mitad de la del central que abarca el mismo arco.
Primer caso: Probemos primero el teorema en el caso en que el
centro O pertenece a un lado del ángulo inscripto. Como el triángulo VOA es isósceles ( VO = OA = r) sus ángulos de la base, V
y A, son congruentes (V=A), y como todo ángulo exterior de un
triángulo tiene por medida la suma de las medidas de los ángulos
del triángulo no adyacentes a él, resulta O = 2V, o sea V = ½ O.
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Los casos en que el centro O no pertenece a ningún lado del ángulo inscripto se reducen al anterior mediante una suma o una resta según el centro O sea interior
o exterior al ángulo inscripto.
Segundo caso: El centro O es interior al ángulo inscripto
Se traza el rayo r(VO) que corta a la circunferencia en C, de esta
forma aplicando el Primer caso nos queda:
BVC =
1
1
BOC y AVC = AOC
2
2
por propiedad uniforme de la suma:
1
1
1
BVC + AVC = BOC + AOC ⇒ V = O
2
2
2
Tercer caso: El centro O es exterior al ángulo inscripto
Se traza el rayo r(VO) que corta a la circunferencia en C, de
esta forma aplicando el Primer caso nos queda
AVC =
1
1
AOC y BVC = BOC
2
2
propiedad uniforme de la resta:
⇒ V =
AVC − BVC =
1
1
AOC − BOC
2
2
1
O
2
Teorema 2.
La medida de un ángulo semiinscripto es la mitad del ángulo central que abarca el mismo arco.
En el caso en que el lado AB del ángulo pase por el centro O el teorema se
verifica de inmediato pues, por ser un recta tangente perpendicular a la recta
diametral que pasa por el punto de tangencia, el ángulo semiinscripto es recto, y por otra parte el ángulo central que abarca el
mismo arco es un ángulo llano. Luego A = ½ O.
El caso en que el lado secante no pase por el centro 0
se reduce al anterior por suma o resta.
CAD + BAD = ½ AOD + ½ BOD ⇒ CAB = ½ AOB
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Arco capaz de un ángulo dado
Definición 8.
Se llama arco capaz de un ángulo convexo ∝ , a todo arco tal que todos los ángulos inscriptos
en él son congruentes al ángulo dado ∝.
Construcción. Trazada una semirrecta radial
OA, sea A su intersección con la circunferencia, se construye una semirrecta t de origen A
y perpendicular a OA. A partir de la semirrecta t, que es tangente en su origen A a la
circunferencia, se transporta el ángulo ∝, en
el semiplano que contiene la circunferencia;
así se determina el punto B de la circunferencia,
Solución:
Que da determinado así el arco capaz, es la intersección de C con
el semiplano de borde AB que no incluye t. Los ángulos marcados
son congruentes con ∝ pues uno de ello es transportado de ∝ semiinscripto en ese arco.
Ejercicios
1.- Demuestre que las tangentes a una circunferencia trazadas por los extremos de un diámetro
son paralelas
))
))
))
))
2.- Si los arcos AB y CD son mayores que una semicircunferencia y AB < CD . ¿Cuál es la
relación entre las cuerdas AB y CD ?
3.- Demuestre que todo ángulo inscripto en una semicircunferencia es recto.
4.- Dada una circunferencia C(O, r) y un punto exterior P, construya las tangentes a C(o, r) desde
el punto P. Demuestre que los segmentos de tangente son congruentes.
5.- Dada una circunferencia C(O, r) y un punto exterior P. ¿Cuántas rectas puedes trazar por P que
sean : a) secantes a la circunferencia. b) tangentes a la circunferencia
c) exteriores C(O ,r).
6.- Calcule el ángulo β, sabiendo que α = 15º y que δ + γ = 70º
7.- Calcule β, sabiendo que γ = 2δ y además α = 20º
8.- Si con los puntos D, O y C de la figura formáramos un triángulo
cuánto valdrían los ángulos D̂ y Cˆ para el γ del ejercicio 7.
9.- Por una C(O, r) traza dos diámetros perpendiculares AB y CD , por
los puntos A, B C y D traza las tangentes a la circunferencia, siendo
E, F G y H los puntos de intersección de las tangentes. Demuestra que
EFGH es un cuadrado.
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Construcciones Geométricas
En los problemas de construcción se trata de construir una figura geométrica con instrumentos,
que en la mayoría de los casos, son la regla y el compás. La solución del problema consiste no
tanto en la construcción de la figura como en explicar el modo de realizarla y en efectuar la demostración correspondiente. El problema se considera resuelto si se ha señalado el método de
construcción de la figura y se ha demostrado que realizando las construcciones indicadas se obtiene efectivamente la figura con las propiedades pedidas.
La regla como instrumento de construcciones geométricas permite trazar una recta cualquiera
que pasa por un punto y la recta que pasa por dos puntos. Con la regla no se puede realizar ninguna otra operación. En particular, no se puede construir segmentos aun cuando la regla esté
graduada, no pueden usarse simultáneamente ambos bordes de la regla, etc.
El compás como instrumento de construcciones geométricas permite describir desde un centro la
circunferencia de radio dado. En particular, el compás permite construir el segmento en una recta dada y a partir de un punto dado.
Consideremos los problemas elementales de construcción.
Construcción del triángulo de lados dados.
Constrúyase el triángulo de lados dados a, b y c
Solución. Tracemos con la regla una recta y marquemos en ella un punto B cualquiera. Tracemos con el compás una circunferencia de centro B y de radio a. Sea C su punto de intersección
con la recta. Tracemos ahora una circunferencia de centro B y de radio c y otra de centro C y de
radio b. Sea A el punto de intersección de estas circunferencias.
El problema no siempre tiene solución. Según el teorema 3.40, los segmentos a, b y c deben
satisfacerlas condiciones a + b > c, b + c > a y c + a > b.
Construcción del ángulo igual a uno dado.
Constrúyase a partir de una semirrecta y en el semiplano indicado el ángulo igual al ángulo dado.
Solución. Tracemos una circunferencia cualquiera de centro en el
vértice A del ángulo dado. Sean B y
C los puntos de intersección de la
circunferencia y de los lados del ángulo. Tracemos una circunferencia
de radio AB y de centro en el punto
O, o sea, en el punto de origen de la semirrecta dada. Indiquemos por B, el punto de intersección
de esta circunferencia y de la semirrecta dada. Tracemos la circunferencia de centro B, y de radio BC. El punto C, de intersección de las circunferencias trazadas en el semiplano dado se halla
en el lado del ángulo pedido.
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Para demostrarlo basta observar que los triángulos ABC y OB1C1, son congruentes
por ser triángulos de lados respectivamente congruentes. Los ángulos A y O son ángulos correspondientes de estos triángulos.
División del ángulo por la mitad.
Divídase por la mitad el ángulo dado.
Solución. Considerando el vértice A del ángulo dado como centro, tracemos una circunferencia de radio cualquiera. Sean B y C
los puntos de su intersección con los lados del ángulo.
Tracemos circunferencias del mismo radio y de centro en los puntos B y C. Sea D el punto de intersección de las mismas diferente
de A. La semirrecta AD divide el ángulo A por la mitad. Esto resulta de la igualdad de los triángulos ABD y ACD en los que los ángulos DAB y DAC son correspondientes.
División del segmento por la mitad.
Divídase por la mitad el segmento dado.
Solución. Sea AB el segmento dado. Tracemos dos circunferencias de radio AB y de centro en
los puntos A y B. Sean C y C1 los puntos de intersección de estas circunferencias. Se hallan en
semiplanos diferentes respecto a la recta AB. El segmento CC1, corta la recta AB en un punto O.
Este es precisamente el punto medio del segmento AB.
Efectivamente, los triángulos CAC1 y CBC1 son congruentes en virtud del tercer criterio de la igualdad de los triángulos. De aquí resulta la igualdad de los ángulos ACO y BCO.
Entonces, los triángulos ACO y BCO son congruentes por el primer criterio. Los lados AO y BO
son lados correspondientes de estos triángulos y, por consiguiente, son congruentes. O sea, O es
el punto medio del segmento AB.
Construcción de la perpendicular.
Trácese por el punto O la perpendicular a la recta a.
Solución. Se pueden presentar dos casos:
1) el punto O se halla en la recta a;
2) el punto O no se halla en la recta a.
Consideremos el primer caso.
Tracemos una circunferencia de radio cualquiera y de centro O. Corta la
recta en dos puntos A y B. Tracemos dos circunferencias de radio AB y
con centros en los puntos A y B. Sea C el punto de intersección de las
mismas. La recta pedida pasa por los puntos O y C. La perpendicularidad
de las rectas OC y AB resulta de la igualdad de los ángulos de vértice O
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en los triángulos ACO y BCO. Estos triángulos son congruentes por el tercer criterio de la
igualdad de los triángulos.
Consideremos el segundo caso
Tracemos una circunferencia de radio cualquiera que tiene su centro en O y que corta la recta a.
Sean A y B sus puntos de intersección con la recta a. Tracemos dos circunferencias de centro en
los puntos A y B y del mismo radio. Sea O1 el punto de intersección de las mismas distinto de
O. La recta pedida pasa por los puntos O y O1. Proponemos al lector argumentar esta construcción.
Lugar geométrico de puntos.
Uno de los métodos de solución de problemas de construcción es el método de lugares geométricos. Se llama lugar geométrico de puntos una figura formada por todos los puntos del plano que
poseen una propiedad determinada. Un importante lugar geométrico de puntos se enuncia en el
teorema siguiente:
Teorema 3.
El lugar geométrico de los puntos equidistantes de dos puntos A y B es la recta perpendicular al
segmento A B que pasa por su punto medio O.
Demostración.
De la igualdad de los triángulos AOC y BOC resulta que todo punto C
de dicha recta equidista de los puntos A y B. En estos triángulos los ángulos de vértice O son rectos,
el lado OC es común y AO = OB ya
que O es el punto medio del segmento AB. Probemos ahora que todo
punto D del plano equidistante de los puntos A y B se halla en la recta
OC.
Supongamos que el punto D no se halla en la recta OC. Los puntos A y B se hallan en distintos
semiplanos respecto a la recta OC. Supongamos, para concretar, que el punto D se halla en el
mismo semiplano que el punto B. Entonces, el segmento AD corta la recta OC en un punto E.
Según hemos demostrado, AE = BE. Por hipótesis, AD = BD. De aquí resulta que en el triángulo BDE se tiene DB = BE + ED. Pero estoes imposible porque la suma de dos lados es mayor
que el tercero.
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