ECUACIONES DE PRIMER GRADO Una ecuación es una

Lic. en Administración y Gestión Universitaria
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ECUACIONES DE PRIMER GRADO
Una ecuación es una igualdad entre dos miembros en la que aparece una incógnita.
Resolverla significa encontrar, si existe, el valor o los valores de la incógnita que verifican
la igualdad planteada.
Trabajaremos con ecuaciones de primer grado, ya que la incógnita está elevada como
máximo al exponente 1, con una incógnita.
Analicemos los siguientes ejemplos:
a)
–2x + 3 = 3x – 17
–2x – 3x = –17– 3
–5x = –20
x = (–20) : (–5)
x=4
En este caso hay un único valor que satisface a la ecuación planteada.
Verificación:
1º miembro : (–2).4 +3 = –8 +3 = –5
2º miembro: 3.4 – 17 = 12 – 17 = –5
b)
3(2x + 4) = 2(3x + 6)
6x + 12 = 6x + 12
6x – 6x = 12 – 12
0x = 0
La igualdad planteada se verifica para cualquier valor de la incógnita, por lo tanto la
ecuación tiene infinitas soluciones.
c)
2(x+5) – 8x = –3(2x+1)
2x +10 – 8x = –6x – 3
2x – 8x + 6x = –3 – 10
0x = –13
En este caso la igualdad no se verifica para ningún valor de la incógnita, por lo tanto la
ecuación no tiene solución.
Ejercicios
1)
Resuelva las siguientes ecuaciones.
a) 9 x  5  3  2( x  2)  9
Rta : x   1
b) (6 x  2) x  3 x(2 x  1)  0,1
Rta : x  0,1
c) ( x  2) 2  x 2  5  0
Rta : x  
x x 3 x 3 x
d) 


2
5
2
5
Técnicas cuantitativas de datos
4
9
9
Rta : x  
4
7
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e)
3x x
x 2x 1
 2 
14 7
2
4
f ) 3.(0, 2 x  1)  1, 2  0,5  x
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Rta : x  31,5
Rta : x   5, 75 ó 
3
1
9
 1
g )  0, 6 x      3 0,125 
2
8
 2
1 1
1
h) 0, 3 x    x  
2 5
3
Rta : x 
3
8
Rta : x 
17
4
23
4
2) Encuentre las dimensiones de un rectángulo cuyo perímetro es de 56 cm, si la longitud
es tres veces su ancho.
3) Una computadora cuesta $5 000. Se paga en cuatro cuotas, cada una es $100 más
elevada que la anterior. Calcular el importe de las cuotas.
4) Una persona gasta 1/3 de su dinero y luego 2/5 de lo que le queda. Tiene aún $600.
¿Cuánto tenía al principio?
5) Un automovilista recorre 748 km en tres etapas: en la segunda, el recorrido es de 124
km más que en la primera, y en la tercera de 100 km menos que en la segunda. ¿Cuántos
km recorrió en cada etapa?
6) Se han pagado $300 000 por una casa y un terreno. ¿Cuánto se abonó por cada uno si el
terreno cuesta las dos terceras partes de la casa?
7) Repartir $26 500 entre cuatro personas, de modo que la primera reciba 3/5 de lo que
recibe la segunda, la tercera 1/6 de lo que recibe la primera y la cuarta, 2/3 de lo que
recibe la tercera.
F  32 C
relaciona la temperatura en grados Farenheit (F) con la

180
100
temperatura en grados Celsius (C): a) exprese F en función de C, b) exprese C en
función de F, c) Si un termómetro marca 25ºC, ¿cuál es la temperatura en grados F?, d)
si un termómetro marca 80ºF, ¿cuál es la temperatura en grados C?
8) La expresión
9) Un equipo de fútbol ha logrado 18 puntos. El número de partidos ganados supera en dos
al número de partidos empatados. Si no perdió, ningún partido, ¿cuántos jugó, si por
cada partido ganado obtiene tres puntos y por cada empate un punto?
Técnicas cuantitativas de datos
8
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ECUACIONES CON MÓDULO
Planteamos algunos ejemplos:
a) | x | = 12
Según la definición de valor absoluto: x = 12 ó x = -12: S = {12; -12}
b) | x | = 0
Hay un único valor que satisface esta igualdad: x = 0: S = {0}
c) | x | = –3
El valor absoluto de un número real es un número no negativo, por lo tanto S = { } ó
S = .
d) | x + 3| = 9
Hay dos posibilidades: x + 3 = 9 o bien x + 3 = –9.
Si x + 3 = 9  x = 9 – 3  x = 6
Si x + 3 = –9  x = –9 – 3  x = –12
Entonces: S = {6;-12}
e) | 2x -7| = 5
Razonando como en el ejemplo anterior, existen 2 posibilidades:
2x – 7 = 5  x = 5 + 7  x = 12:2  x = 6
2x – 7 = –5  x = –5 + 7  x = 2:2  x = 1
De aquí: S = {1; 6}
Ejercicios
Resuelva las siguientes ecuaciones.
a) x  7
b) x   2
c) x  5,1
e) 6  x   11
f ) x  5 12
g ) 3x  4 16
h)
1 3
5
 x 
2 4
2
i)
2 1
. x 2  4
5 2
Técnicas cuantitativas de datos
j)
4 3  0,5 x
0,5
4
3
h) 2 x  8 10
d) x 
1
k ) 10 
1
3x  3 10
2
9
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INECUACIONES DE PRIMER GRADO
Una inecuación es una desigualdad entre dos miembros, entre los cuales alguno de los
términos es una incógnita.
Consideraremos las que tienen una única incógnita con exponente uno, es decir lineales.
Para resolver una desigualdad se utilizan las mismas técnicas que para resolver ecuaciones,
teniendo en cuenta que cuando se multiplica o divide ambos miembros por un número
negativo, cambia el sentido de la desigualdad.
Ejemplos:
2
5
2
x>
–3
5
a)
4
3
2
4
x≤  +6
9
3
b) 0, 2 x - 6 ≤ 
x+3>
x> 
S=( 
14
2
x≤
9
3
13
5
13
; +)
5
x≤
14 9
.
3 2
x ≤ 21
c) –3x + 9 ≤ 12
–3x ≤ 12-9
–3x ≤ 3
x ≥ –1
S = [ -1; +  )
S = (-  ; 21]
Ejercicios
1) Resuelva las siguientes inecuaciones.
a) 3x 
2
 x  0,3
9
b)  0,2  x  : 0,1  0,4  5 x
Técnicas cuantitativas de datos
1
4
c)   0,4 x    0,5 x 1
4
5
10