Capítulo 3 Asignación de la Renta y Crecimiento

Fdsðwxor 6
Dvljqdflöq gh od Uhqwd |
Fuhflplhqwr
614 Lqwurgxfflöq
Od hyroxflöq gho SLE gh wrgdv odv hfrqrpðdv pxhvwud xqd hyroxflöq txh xf0
wýd douhghgru gh xqd whqghqfld ghwhuplqdgd1 Hvwh fdsðwxor hvwä ghglfdgr
d lqwhqwdu frpsuhqghu od uhodflöq h{lvwhqwh hqwuh hvwd whqghqfld | od dvlj0
qdflöq gh od uhqwd qdflrqdo gh od hfrqrpðd1 Hq ghqlwlyd/ föpr dihfwdq odv
ghflvlrqhv gh orv krjduhv vreuh txh iudfflöq gh vx uhqwd glvsrqleoh ghvwlqdu
d frqvxpr | dkruur2lqyhuvlöq d od hyroxflöq ixwxud gh od uhqwd qdflrqdo1
Hvwh wlsr gh sodqwhdplhqwr frqylhuwh ho dqäolvlv hq glqäplfr1 Ho frpsr0
qhqwh glqäplfr vxujh srutxh odv ghflvlrqhv gh lqyhuvlöq gh kr| dihfwdq do
vwrfn gh fdslwdo surgxfwlyr pdôdqd/ jhqhudqgr xq wudgh0r hqwuh frqvxpr
suhvhqwd | pd|ru uhqwd ixwxud1 Hq hvwh fdsðwxor/ vlq hpedujr/ odv ghflvlrqhv
gh frqvxpr2dkruur vh frqvlghuduäq frpr h{öjhqdphqwh gdgdv/ plhqwudv txh
hq ho vljxlhqwh fdsðwxor hvwxglduhprv orv ixqgdphqwrv plfurhfrqöplfrv gh
hvd ghflvlöq frqvxpr2dkruur1
Ndogru +4<96, hvwxglö orv surfhvrv gh fuhflplhqwr hq xq frqmxqwr gh sdðvhv
| hvwdeohflö xqd vhulh gh uhjxodulgdghv hpsðulfdv gh odujr sod}r +hv ghflu/
vreuh od whqghqfld/ qr vrq revhuydflrqhv vreuh ho frpsruwdplhqwr fðfolfr gh
odv hfrqrpðdv,/ txh vxhohq ghqrplqduvh orv Khfkrv Hvwlol}dgrv gh Ndogru1
Hvwrv vrq=
41 Ho SLE shu fäslwd fuhfh d or odujr gho wlhpsr d xqd wdvd frqvwdqwh1
51 Ho vwrfn gh fdslwdo sru wudedmdgru fuhfh d xqd wdvd frqvwdqwh1
61 Ho udwlr fdslwdo vreuh SLE vh pdqwlhqh frqvwdqwh1
6<
73
FDSÐWXOR 61
DVLJQDFLÖQ GH OD UHQWD \ FUHFLPLHQWR
71 Ho uhqglplhqwr gho fdslwdo vh pdqwlhqh frqvwdqwh1
81 Od sduwlflsdflöq gh orv idfwruhv hq od uhqwd qdflrqdo hv frqvwdqwh1
Hvwh frqmxqwr gh khfkrv hvwlol}dgrv hv frqvlvwhqwh frq ho prghor sursxhvwr
sru Vrorz +4<89, | Vzdq +4<89,1 Ghvsxìv yhuhprv od fdsdflgdg gh hvwh
prghor gh h{solfdu rwur frqmxqwr gh khfkrv hvwlol}dgrv vreuh ghvduuroor/ hvr
vhuä do qdo gho fdsðwxor1
615 Hvshflfdflöq gho prghor Vrorz0Vzdq
Od lghd eävlfd gh hvwh prghor hv dqdol}du/ hq xq hqwruqr glqäplfr/ föpr
od dvljqdflöq gh od uhqwd yd d dihfwdu d od glqäplfd pdfurhfrqöplfd | do
htxloleulr hq ho odujr sod}r1 Hvhqfldophqwh/ sduwlprv gho vxsxhvwr gh txh
od dvljqdflöq gh od uhqwd gh orv lqglylgxrv vh surgxfh sursruflrqdophqwh/ hv
ghflu/ orv lqglylgxrv hq fdgd shulrgr ydq d dkruudu xqd iudfflöq +wdvd gh
dkruur, frqvwdqwh gh vx uhqwd1 D sduwlu gh dtxð vh sxhgh dqdol}du föpr odv
wdvdv gh dkruur dihfwdq d od hyroxflöq gh od uhqwd1 Od fodyh hvwä hq frqvlghudu
od lqyhuvlöq qr vöor frpr xq frpsrqhqwh päv gh od ghpdqgd djuhjdgd gho
shulrgr/ vlqr txh od lqyhuvlöq qhwd lpsolfd xq lqfuhphqwr gho vwrfn gh fdslwdo
surgxfwlyr hq ho ixwxur1 Dvð plvpr/ hv iäflo ghwhuplqdu ho sdsho gh dvshfwrv
frpr ho fuhflplhqwr gh od sreodflöq/ od wdvd gh ghsuhfldflöq gho fdslwdo r od
lqwurgxfflöq gh surjuhvr wìfqlfr h{öjhqr1
Vx ixqgdphqwr udglfd hq xqd ixqflöq qhrfoävlfd gh surgxfflöq djuhjdgd
t| ' 8 Eg| c u| / grqgh t| uhsuhvhqwd ho rxwsxw wrwdo gho shulrgr |/ txh vh
g / | idfwru wudedmr/
u / phgldqwh od ixqflöq gh surgxfflöq 8 1 Vxsrqjdprv txh 8 vdwlvidfh odv
rewlhqh d wudyìv gh od frpelqdflöq gh idfwru fdslwdo/
|
|
surslhgdghv ghvfulwdv hq ho fdsðwxor 2 +surgxfwlylgdghv pdujlqdohv srvlwlydv
| ghfuhflhqwhv/ uhqglplhqwrv frqvwdqwhv d hvfdod | odv frqglflrqhv gh Lqdgd,1
Sdud vhu frqvlvwhqwh frq orv khfkrv hvwlol}dgrv gh Ndogru wudqvirupduhprv
od ixqflöq gh surgxfflöq djuhjdgd/ glylglhqgr sru od fdqwlgdg gh wudedmr/
sdud h{suhvdu ho SLE hq wìuplqrv shu fäslwd1 Revhuyh txh ho khfkr hvwlol}dgr
qýphur 8 lpsolfd txh od hodvwlflgdg gh vxvwlwxflöq hqwuh fdslwdo | wudedmr
gheh vhu fhufdqd d od xqlgdg +frpr hv ho fdvr gh od ixqflöq Free0Grxjodv,1
Hqwrqfhv/ gdgr ho vxsxhvwr gh Uhqglplhqwrv Frqvwdqwhv d Hvfdod/ vh
sxhgh h{suhvdu ho rxwsxw sru wudedmdgru hq vx irupd lqwhqvlyd/ frpr ixqflöq
&
g *u ,=
g t
+ ' u ' 8 u c  ' s E& gho udwlr fdslwdo0wudedmr +
|
|
'
|
|
|
|
|
|
|
6151
74
HVSHFLILFDFLÖQ GHO PRGHOR VRORZ0VZDQ
Sdud uhdol}du hvwd wudqvirupdflöq edvwd frq hvfrjhu b ' *u / pxowlsolfdu
b od fdqwlgdg gh idfwruhv surgxfwlyrv xwlol}dgrv | ho uhvxowdgr hv lqphgldwr1
Sru vxsxhvwr/ dvxplprv txh s E& ' f fxdqgr & ' f1
|
Hvwdprv dgrswdqgr od frqyhqflöq gh ghqrwdu d odv yduldeohv hq pd|ýv0
fxod sru vx ydoru djuhjdgr | hq plqývfxod d vx ydoru hq wìuplqrv shu fäslwd1
s vhuä
s E& : f / s E& f 1 Dkrud/ ho surgxf0
wr pdujlqdo gho fdslwdo | gho wudedmr txhgdq frpr= Y8*Yg ' s E& : f |
Y8*Yu ' s E& &s E& : f1
Gdgrv orv vxsxhvwrv vreuh
8
hv lqphgldwr revhuydu frpr od ixqflöq
fuhflhqwh | hvwulfwdphqwh föqfdyd/
Hmhpsor Free0Grxjodv=
k 3k
| | 1
g u
41
Frqvlghuh od ixqflöq
Od sduwlflsdflöq gho fdslwdo hq od uhqwd hv
Hq wìuplqrv shu fäslwd txhgd
+| ' &|k1
k
8 Eg c u |
|
'
| od gho wudedmr

k
1
Hv iäflo frpsuredu txh vdwlvidfh odv surslhgdghv dqwhv ghvfulwdv1
Vxsrqjdprv txh hvwdprv hq ho fdvr gh xqd hfrqrpðd fhuudgd/ gh irupd
txh odv h{sruwdflrqhv qhwdv vrq qxodv1 Dvð plvpr/ vxsrqjd txh qr h{lvwh vhf0
wru sýeolfr1 Glfkr gh rwud pdqhud/ odv ghflvlrqhv gh frqvxpr h lqyhuvlöq gho
vhfwru sýeolfr odv lqwhjuduhprv frq odv ghflvlrqhv gh orv krjduhv vlq glvwlqjxlu
hqwuh hoorv1 Gh hvwd pdqhud ho dkruur qdflrqdo frlqflgh frq od lqyhuvlöq1
Dkrud sodqwhdprv txh od uhqwd vh dvljqd gh od irupd päv vhqflood txh
srghprv lpdjlqdu= h{lvwh xqd wdvd gh dkruur ghwhuplqdgd h{öjhqdphqwh
r 5 Efc 
iudfflöq 
frqvwdqwh/ gh irupd txh/ hq hvwd hfrqrpðd/ ho frqvxpr vhuä od
r gh od uhqwd qdflrqdo/ ghvwlqduðd d dkruur2lqyhuvlöq/
U
|
|
'
rt 1
' E
rt / | ho uhvwr gho rxwsxw vh
|
|
Ilqdophqwh/ vxsrqjdprv txh od sreodflöq fuhfh d xqd wdvd h{öjhqd |
?> hv ghflu/ u n ' E n ?u / d sduwlu gh xqd sreodflöq gdgd hq ho
prphqwr lqlfldo uf 1 Sru frqyhqflöq ghqrwdprv | ' f do prphqwr lqlfldo1
Dvð/ gdgr txh od lqyhuvlöq euxwd/ txh ghqrwdprv sru U / hv od vxpd gh
frqvwdqwh
|
|
|
lqyhuvlöq qhwd päv od ghsuhfldflöq | vxsrqlhqgr txh ho fdslwdo vh ghsuhfld d
xqd wdvd frqvwdqwh/
B 5 Efc / rewhqhprv txh ho vwrfn gh fdslwdo hyroxflrqd
vhjýq od vljxlhqwh Oh| gh Prylplhqwr=
g n ' U
|
|
n E
Bg
grqgh glfkd hfxdflöq sxhgh uhhvfuleluvh frpr
Bg
|
+ghsuhfldflöq, ljxdo d
U
|
+614,
|
g n g
+lqyhuvlöq euxwd,1
|
|
+lqyhuvlöq qhwd, päv
75
FDSÐWXOR 61
DVLJQDFLÖQ GH OD UHQWD \ FUHFLPLHQWR
Hq hvwh fdvr od lqyhuvlöq euxwd hv ljxdo do dkruur qdflrqdo
U
|
'
7 1 Gdgrv
|
orv vxsxhvwrv vreuh od dvljqdflöq gh od uhqwd/ ho dkruur djuhjdgr hv ljxdo d xqd
iudfflöq frqvwdqwh gho rxwsxw djuhjdgr/ hv ghflu/
7
'
|
r8 Eg c u 1 Hqwrqfhv/
|
|
g n ' r8 Eg c u n E Bg
|
|
+615,
|
u | xwlol}dqgr ho khfkr gh txh u n
?u / srghprv uhhvfulelu hvwd h{suhvlöq hq wìuplqrv shu fäslwd=
Glylglhqgr hvwd h{suhvlöq sru
E n
|
|
|
'
|
& nE n ? ' rs E& n E B&
|
|
+616,
|
/ txh hv od Oh| gh Prylplhqwr gho udwlr fdslwdo0wudedmr1
S
|
Ho frqvxpr shu fäslwd vhuä od iudfflöq 
' E
rs E& 1
r gho rxwsxw shu fäslwd/ hqwrqfhv
|
Iljxud 4=
Surgxfflöq/ frqvxpr | dkruur shu fäslwd
f(k)
Renta per
cápita
Consumo per cápita
s f(k)
Inversión per cápita
Capital per cápita
Uhrughqdqgr od h{suhvlöq +616, srghprv h{suhvdu od wdvd gh fuhflplhqwr
gho fdslwdo shu fäslwd frpr xqd ixqflöq frqwlqxd gho ydoru gho fdslwdo shu
fäslwd=
}&
grqgh
}&
'
n
&|
&|
 ' n

?
r
s E&| &|
E
?
n B
+617,
ghqrwd od wdvd gh fuhflplhqwr gho fdslwdo shu fäslwd1
Gdgdv odv surslhgdghv gh od ixqflöq s E srghprv ghprvwudu odv vljxlhqwhv
vljxlhqwhv surslhgdghv=
41 Od frqwlqxlgdg gh glfkd ixqflöq hv lqphgldwd d sduwlu gh od frqwlqxlgdg
gh
sE
6151
76
HVSHFLILFDFLÖQ GHO PRGHOR VRORZ0VZDQ
51 Od ixqflöq }& hv ghfuhflhqwh hq & 1 Sdud loxvwudu hvwh sxqwr edvwd frq
revhuydu txh od iudfflöq s E& *& hv ghfuhflhqwh hq & 1 Glihuhqfldqgr hvh
frflhqwh rewhqhprv=
_s & *&
_&
E 61
E E 2
+618,
f
1 Gdgr txh s Ef ' f | s E4 ' 4/ ho uh0
vxowdgr vh rewlhqh lqphgldwdphqwh gh dsolfdu ho Whruhpd gh O*Kùslwdo1
Hqwrqfhv/ xwlol}dqgr odv frqglflrqhv gh Lqdgd/ rewhqhprv *4 s E&& '
*4
& <f
*4
& <f
s E& &
s &
'
4/ &
s & &s & &
'
E '
*4
<"
4|&
s E&
&
*4
<"
' f
s E&
&
' *4
&<"
s &
E '
& <f
4
Sru wdqwr/ gdgdv odv surslhgdghv h{sxhvwdv/ vdehprv txh h{lvwh xq ýqlfr
ydoru gho fdslwdo shu fäslwd txh vdwlvidjd od h{suhvlöq/ rs E& *& ' ? n B 1 Hq
hvh fdvr/ }& ' f1 Päv dýq/ sdud ydoruhv gh fdslwdo shu fäslwd wdo txh rs E& :
E? n B & rewhqhprv } & : f | do uhyìv rewhqhprv }& f vl rs E& E? n B & 1
Hq ghqlwlyd/ sdud qlyhohv gh fdslwdo shu fäslwd vxflhqwhphqwh edmrv
od wdvd gh fuhflplhqwr hv srvlwlyd | ylfhyhuvd> päv dýq/ h{lvwh xq qlyho gh
fdslwdo shu fäslwd wdo txh od wdvd gh fuhflplhqwr hv fhur/ hv ghflu/ hq shulrgrv
vxevljxlhqwhv vh yroyhuðd d rewhqhu hvh plvpr qlyho gh fdslwdo shu fäslwd1
Ghqluhprv xqd vlwxdflöq gh Hvwdgr Hvwdflrqdulr frpr dtxhood vlwxdflöq
sdud od fxdo/ vl od hfrqrpðd hpslh}d hq hvd vlwxdflöq/ qr kdeuðd qlqjýq fdpelr
hq ho wlhpsr hq ho ydoru gh odv yduldeohv shu fäslwd1 Hv ghflu/ odv sulqflsdohv
yduldeohv shu fäslwd shupdqhfhuðdq frqvwdqwhv d or odujr gho wlhpsr/
+|
'
+W / ;|/
&W/
}& ' }+ ' f1 Sru wdqwr/ odv pdfurpdjql0
+g| c t|, fuhfhuðdq d od plvpd wdvd txh fuhfh od
?1
Hqwrqfhv/ hq hvwdgr hvwdflrqdulr
h{suhvlöq=
'
r or txh hv or plvpr
wxghv hq wìuplqrv devroxwrv
sreodflöq/
&|
&|n
'
&|
'
rs E& W ' E? n B& W
&W
r
}&
' f/ | rewhqhprv od
+619,
Hq wìuplqrv lqwxlwlyrv glfkd h{suhvlöq lpsolfd txh ho dkruur2lqyhuvlöq
shu fäslwd hv h{dfwdphqwh ho qhfhvdulr sdud frpshqvdu od ghsuhfldflöq | ho
fuhflplhqwr gh od sreodflöq/ gh irupd txh ho vwrfn gh fdslwdo shu fäslwd hv
frqvwdqwh1
77
FDSÐWXOR 61
DVLJQDFLÖQ GH OD UHQWD \ FUHFLPLHQWR
Iljxud 5= Hvwdgr Hvwdflrqdulr
f(k)
y*
y0
Consumo est. estacionario
(δ + n) k
s f(k)
Inversión est. estacionario
k0
k*
Od hyroxflöq glqäplfd gh hvwh sureohpd sxhgh dqdol}duvh juäfdphqwh
gh irupd px| vhqflood1 Yìdvh od Iljxud 5/ grqgh &f ghqrwd ho udwlr fdslwdo0
wudedmr lqlfldo | & W ghqrwd ho udwlr fdslwdo0wudedmr gh hvwdgr hvwdflrqdulr1 Vh
revhuyd txh sdud xq ydoru lqlfldo gho udwlr fdslwdo0wudedmr lqihulru do gh hvwdgr
hvwdflrqdulr rs E&f : E? n B &f | sru wdqwr }& : f/ hv ghflu/ ho udwlr fdslwdo0
wudedmr dxphqwd frqyhujlhqgr d vx ydoru gh odujr sod}r1 Dvlplvpr/ sdud
ydoruhv lqlfldohv gh glfkr udwlr vxshulruhv d & W ho dujxphqwr lqyhuvr dsolfd1
Hq ho odujr sod}r/ od hfrqrpðd frqyhujhuðd d vx qlyho gh fdslwdo | uhqwd shu
fäslwd gh hvwdgr hvwdflrqdulr1
616
Dqäolvlv gho Hvwdgr Hvwdflrqdulr
Ho dqäolvlv gho hvwdgr hvwdflrqdulr qrv shuplwh frqrfhu fxäo vhuðd ho frpsru0
wdplhqwr gh hvwd hfrqrpðd hq ho odujr sod}r1 Hq hvh vhqwlgr/ hqwhqghprv sru
odujr sod}r od vlwxdflöq hq od fxäo od hfrqrpðd/ d sduwlu gh fxdotxlhu sxq0
wr lqlfldo/ kd uhdol}dgr vx surfhvr gh frqyhujhqfld | vh hqfxhqwud |d hq +r
vxflhqwhphqwh fhufd gh, vx hvwdgr hvwdflrqdulr14
Ho ydoru gh hvwdgr hvwdflrqdulr gh odv sulqflsdohv pdfurpdjqlwxghv hq
wìuplqrv shu fäslwd ylhqh gdgr sru odv h{suhvlrqhv vljxlhqwhv=
rs E& W
4 Vhjýq
'
E? n B &
W
+61:,
odv surslhgdghv glqäplfdv gho prghor/ od frqyhujhqfld do hvwdgr hvwdflrqdulr
hv dvlqwöwlfd1 Hv ghflu/ sduwlhqgr gh xqd vlwxdflöq lqlfldo ixhud gho hvwdgr hvwdflrqdulr
od hfrqrpðd vh luðd dfhufdqgr d ìvwh surjuhvlydphqwh/ shur qxqfd vh dofdq}duðd ho hvwdgr
hvwdflrqdulr hq wlhpsr qlwr1 Vlq hpedujr/ vð srghprv dupdu txh hq xq shulrgr gh
wlhpsr qlwr od hfrqrpðd hvwduðd duelwuduldphqwh fhufd gh vx hvwdgr hvwdflrqdulr1
6171
78
HVWÄWLFD FRPSDUDGD
+W
SW
'
'
s E& W s E& W E? n B& W
+61;,
+61<,
Ghvgh xq sxqwr gh ylvwd gh hvwäwlfd frpsdudwlyd srghprv revhuydu föpr
fdpelrv hq od wdvd gh fuhflplhqwr gh od sreodflöq ?/ hq od wdvd gh ghsuhfldflöq
B
| hq od wdvd gh dkruur
flrqdulr
&W/
r/
dihfwduðdq do udwlr fdslwdo0wudedmr gh hvwdgr hvwd0
ho rxwsxw sru wudedmdgru gh hvwdgr hvwdflrqdulr
sru wudedmdgru SW 1
Pd|ru
?
hvwdflrqdulr1
r
B
+W
| ho frqvxpr
lpsolfdq xq phqru qlyho gho udwlr fdslwdo0wudedmr hq hvwdgr
Frpr frqvhfxhqfld/ wdqwr od uhqwd shu fäslwd frpr ho frq0
vxpr shu fäslwd hq ho odujr sod}r vrq phqruhv fxdqwr pd|ruhv vhdq glfkrv
sduäphwurv1 Xqd pd|ru wdvd gh dkruur
r
lpsolfd xq pd|ru qlyho gho udwlr
fdslwdo0wudedmr gh hvwdgr hvwdflrqdulr |/ sru wdqwr/ pd|ru uhqwd shu fäslwd>
hq fdpelr/ vx hihfwr vreuh ho frqvxpr shu fäslwd hv xq srfr päv frpsohmr
gh dqdol}du1 Hvh hv ho dvshfwr txh dqdol}dprv hq ho dsduwdgr vljxlhqwh1
Hmhpsor Free0Grxjodv
Gdgd od ixqflöq gh surgxfflöq
hvwdgr hvwdflrqdulr/
s E& |
'
&|k/
yhprv txh ho fdslwdo gh
& / vhuä ätxho txh vdwlvidjd od hfxdflöq=
r&k ' E? n B&
W
+6143,
Ghvshmdqgr/ rewhqhprv ho ydoru gho fdslwdo gh hvwdgr hvwdflrqdulr=
r 3 k
& ' ?nB
W
+6144,
Dvð plvpr/ od uhqwd shu fäslwd gh hvwdgr hvwdflrqdulr vhuðd=
r 3kk
+ ' ?nB
W
+6145,
Sru ýowlpr/ ho frqvxpr shu fäslwd hq hvwdgr hvwdflrqdulr hv=
r 3kk
S ' E r ? n B
W
/ plhqwudv txh ho dkruur2lqyhuvlöq vhuðd od iudfflöq
617
61714
+6146,
r gho rxwsxw shu fäslwd1
Hvwäwlfd frpsdudgd
Fdpelr hq od wdvd gh qdwdolgdg r ghsuhfldflöq
Fdpelrv hq od wdvd gh qdwdolgdg r hq od wdvd gh ghsuhfldflöq dfwýdq gh od plv0
pd pdqhud1 Xq lqfuhphqwr gh fxdotxlhud gh hvrv sduäphwurv lpsolfduðd xqd
79
FDSÐWXOR 61
DVLJQDFLÖQ GH OD UHQWD \ FUHFLPLHQWR
uhgxfflöq hq ho odujr sod}r gho fdslwdo shu fäslwd/ uhqwd shu fäslwd/ frqvxpr
shu fäslwd/ hwf1
Yìdvh od Iljxud 6/ grqgh d sduwlu gh xq hvwdgr hvwdflrqdulr lqlfldo & W frq
xqd uhqwd shu fäslwd dvrfldgd + W / xq lqfuhphqwr gh od vxpd gh orv sduäphwurv
B n ? lpsolfd xq hvwdgr hvwdflrqdulr qdo & WW frq xqd uhqwd shu fäslwd qdo
+WW 1
Iljxud 6= Lqfuhphqwrv hq
?rB
f(k)
y*
(δ ' + n') k
y **
(δ + n) k
s f(k)
k **
k*
Hvwd jxud loxvwud föpr hq xq frqmxqwr gh sdðvhv frq ljxdo whfqrorjðd
h ljxdo wdvd gh dkruur/ ghelìudprv revhuydu txh orv sdðvhv frq pd|ru wdvd
gh fuhflplhqwr gh od sreodflöq +r pd|ru wdvd gh ghsuhfldflöq gho fdslwdo,
whqghuðdq hq ho odujr sod}r d xqd phqru uhqwd shu fäslwd1
Dqdol}dprv dkrud txì rfxuuluðd d or odujr gho surfhvr gh wudqvlflöq gh xq
hvwdgr hvwdflrqdulr d rwur sdud xqd hfrqrpðd1 Vxsrqjdprv txh txhuhprv
dqdol}du odv lpsolfdflrqhv sdud xqd hfrqrpðd gh xqd fdðgd gh od wdvd gh
fuhflplhqwr gh od sreodflöq1 Vhjýq od Iljxud 5 vhuðd dqäorjr d vxsrqhu txh
lqlfldophqwh hvwdprv hq & WW | sru odv ud}rqhv txh vhdq +qr lqfoxðgdv hq ho
dqäolvlv, od wdvd d od fxdo fuhfh od sreodflöq fdh1 Hqwrqfhv/ sdud ho qlyho
gh fdslwdo lqlfldo gdgr revhuyduðdprv txh d fruwr sod}r frqvxpr h lqyhuvlöq
shu fäslwd vljxhq vlhqgr orv plvprv/ shur dkrud od lqyhuvlöq euxwd vxshud
od ghsuhfldflöq shu fäslwd judfldv d od fdðgd gh od wdvd gh fuhflplhqwr gh od
sreodflöq rs E& WW : E? n B& WW1 Sru wdqwr/ do kdehu xq lqfuhphqwr phqru gh
sreodflöq vh surgxfluä xq dxphqwr gho fdslwdo shu fäslwd gh pdôdqd1 Dvð/
vh lqlflduðd xq surfhvr gh fuhflplhqwr gh od hfrqrpðd/ hq ho fxdo frqvxpr/
lqyhuvlöq | rxwsxw shu fäslwd fuhfhuðdq kdvwd dofdq}du vx qxhyr qlyho gh
hvwdgr hvwdflrqdulr/ & W / frq uhqwd +W 1
6171
7:
HVWÄWLFD FRPSDUDGD
61715
Fdpelr hq od wdvd gh dkruur
Od Iljxud 7 loxvwud xq fdvr hq ho fxdo/ frq xq hvwdgr hvwdflrqdulr lqlfldo
& W | xqd uhqwd shu fäslwd lqlfldo + W / vh surgxfh xq lqfuhphqwr gh od wdvd
gh dkruur ghvgh r d r 1 Revhuydprv txh hq ho odujr sod}r hvd pd|ru wdvd gh
dkruur lpsolfd xq hvwdgr hvwdflrqdulr frq xq pd|ru qlyho gh fdslwdo shu fäslwd
& | xqd pd|ru uhqwd shu fäslwd + 1 Dkrud elhq/ qr srghprv hvwdeohfhu
+juäfdphqwh, hq txì fxdqwðd fdpelduä ho frqvxpr shu fäslwd1 Sru xq odgr
kd| xqd pd|ru uhqwd shu fäslwd/ shur sru rwur od iudfflöq gh hvd uhqwd shu
fäslwd txh vh ghvwlqd d frqvxpr hv phqru1 Ho hihfwr frqmxqwr gh hvrv grv
hihfwrv gh vljqr frqwudulr ghwhuplqd ho vljqr gho fdpelr hq ho frqvxpr shu
fäslwd1 Od suö{lpd vhfflöq hvwxgld suhflvdphqwh hvd sureohpäwlfd1
WW
WW
Iljxud 7= Lqfuhphqwrv hq od wdvd gh dkruur/
r :r
f(k)
y **
(δ + n) k
y*
s' f(k)
s f(k)
k*
k **
Hq wìuplqrv gh od uhodflöq hqwuh wdvdv gh dkruur | uhqwd d odujr sod}r
odv lpsolfdflrqhv hpsðulfdv gh hvwh dqäolvlv vrq odv vljxlhqwhv1 Vl wxylìudprv
xq frqmxqwr gh hfrqrpðdv frq ljxdo whfqrorjðd/ wdvdv gh ghsuhfldflöq | gh
fuhflplhqwr gh od sreodflöq/ ghehuðdprv revhuydu txh dtxhoodv hfrqrpðdv frq
pd|ru wdvd gh dkruur +r pd|ru udwlr lqyhuvlöq0rxwsxw, ghelhudq whqhu qlyhohv
gh uhqwd shu fäslwd pd|ruhv1
Hq fxdqwr d od wudqvlflöq glqäplfd dvrfldgd d xq lqfuhphqwr gh od wdvd gh
dkruur/ odv lpsolfdflrqhv vrq odv vljxlhqwhv1 Hq ho fruwr sod}r/ do dxphqwdu od
wdvd gh dkruur ho frqvxpr shu fäslwd fdhuðd/ frpr frqvhfxhqfld od lqyhuvlöq
euxwd shu fäslwd vxshuduðd od ghsuhfldflöq shu fäslwd | od hfrqrpðd fuhfhuðd
+fdslwdo/ uhqwd | frqvxpr shu fäslwd fuhfhuðdq/ ghvsxìv gh od fdðgd lqlfldo gho
frqvxpr, kdvwd dofdq}du xq qlyho gh fdslwdo shu fäslwd | uhqwd shu fäslwd
pd|ru1 Frpr khprv glfkr dqwhv/ qr h{lvwhq jdudqwðdv gh txh ho frqvxpr gho
hvwdgr hvwdflrqdulr qdo vhd vxshulru do gho hvwdgr hvwdflrqdulr lqlfldo1
7;
FDSÐWXOR 61
ÖQ GH OD UHQWD \ FUHFLPLHQWR
DVLJQDFL
618 Od Uhjod gh Rur | od Hflhqfld Glqäplfd
Kdvwd dkrud wrgr ho dqäolvlv hvwded khfkr sdud xqd wdvd gh dkruur ghwhu0
plqdgd h{öjhqdphqwh1 Sdud ghwhuplqdu fxäo hv od wdvd gh dkruur öswlpd
ghelìudprv dqdol}du odv ghflvlrqhv gh frqvxpr | dkruur gh orv lqglylgxrv
ghvgh ho sxqwr gh ylvwd gh hohfflöq lqwhuwhpsrudo1 Ho suö{lpr fdsðwxor lq0
wurgxfh orv ixqgdphqwrv gh od hohfflöq lqwhuwhpsrudo gh orv djhqwhv1 Vl orv
lqglylgxrv ydorudq ho frqvxpr shu fäslwd | qr od uhqwd shu fäslwd/ srghprv
sodqwhduqrv od suhjxqwd gh fxäo hv od wdvd gh dkruur txh pd{lpl}d ho frqvxpr
gh odujr sod}r1 Hvd suhjxqwd vð od srghprv uhvsrqghu frq ho lqvwuxphqwdo gho
prghor gh Vrorz1 Shur Àdwhqflöq$/ hvwr qr txlhuh ghflu txh or öswlpr ghvgh ho
sxqwr gh ylvwd gh orv djhqwhv vhd qhfhvduldphqwh pd{lpl}du vx frqvxpr hq
ho odujr sod}r1 Gh prphqwr srvsrqhprv od uhvsxhvwd d hvwd suhjxqwd sdud
fdsðwxorv yhqlghurv1
Ho remhwlyr gh od Uhjod gh Rur/ hvwdeohflgd sru Skhosv +4<94,/ hv ghwhu0
plqdu fxäo hv od wdvd gh dkruur d od fxdo fruuhvsrqgh xq pd|ru frqvxpr hq
ho odujr sod}r +hq hvwdgr hvwdflrqdulr,1 Hvwr qr lpsolfd txh glfkd wdvd gh
dkruur vhd qhfhvduldphqwh öswlpd/ gdgr txh qr khprv hvshflfdgr hq qlqjýq
prphqwr fxäohv vrq odv suhihuhqfldv gh orv lqglylgxrv1 Vlq hpedujr/ vð txh hv
xqd vlwxdflöq gh uhihuhqfld txh qrv shuplwh hydoxdu fxäqgr hq xqd hfrqrpðd
h{lvwh xqd vreuhdfxpxodflöq gh fdslwdo/ jhqhudqgr lqhflhqfld ghvgh ho sxqwr
gh ylvwd glqäplfr/ frpr yhuhprv d frqwlqxdflöq1
Khprv ylvwr txh d fdgd ydoru gh od wdvd gh dkruur fruuhvsrqgh xq flhuwr
fdslwdo gh hvwdgr hvwdflrqdulr | hvd uhodflöq hv fuhflhqwh1 Sru wdqwr/ srgh0
prv ghqlu lpsolflwdphqwh ho udwlr fdslwdo0wudedmr gh hvwdgr hvwdflrqdulr fr0
pr ixqflöq gh od wdvd gh dkruur/ & W Er/ d sduwlu gh od frqglflöq gh hvwdgr
hvwdflrqdulr=
rs E& WEr ' E? n B & WEr
+6147,
Hqwrqfhv/ ho frqvxpr gh hvwdgr hvwdflrqdulr frpr ixqflöq gh r hv=
SW Er
SW Er
'
'
s E& W Er rs E& WEr
s E& W Er E? n B& W Er
+6148,
Ghqlprv od wdvd gh dkruur gh od Uhjod gh Rur frpr ätxhood txh pd{lpl}d
ho frqvxpr gh hvwdgr hvwdflrqdulr1 Hv ghflu/ od vroxflöq do sureohpd=
SW Er ' s E& WEr E? n B & WEr
4@
r
Glihuhqfldqgr frq uhvshfwr d
r
+6149,
rewhqhprv od frqglflöq gh sulphu rughq=
_&
ds E& Er E? n Bo
_r
W
W
'f
+614:,
6181
7<
OD UHJOD GH RUR \ OD HILFLHQFLD GLQÄPLFD
D od wdvd gh dkruur gh od uhjod gh rur/
gh hvwdgr hvwdflrqdulr +or ghqrplqdprv
vdehprv txh
&-
vdwlvidfh=
r- / fruuhvsrqgh xq flhuwr fdslwdo
&- ,1 Gdgd od frqglflöq +614:,/
s E&- ' ? n B
Hvwr qrv shuplwh rewhqhu
srguðdprv rewhqhu
r- 1
&-
+614;,
xqd yh} frqrflgd od ixqflöq
s E/ | ghvsxìv
Gh khfkr/ od wdvd gh dkruur hq hvwdgr hvwdflrqdulr
vh rewlhqh d sduwlu gh od h{suhvlöq=
r'
E? n B&
+614<,
s E& Hqwrqfhv/ gdgr txh ho vwrfn gh fdslwdo gh od uhjod gh rur ylhqh gdgr sru
od h{suhvlöq +614;,/ vxvwlwx|hqgr rewhqhprv=
r-
s E&- &-
s E&- '
+6153,
Hvwd h{suhvlöq lpsolfd txh od wdvd gh dkruur txh pd{lpl}d ho frqvxpr hq
ho odujr sod}r hv ljxdo d od frqwulexflöq uhodwlyd gho fdslwdo hq ho rxwsxw1 Hq
ho fdvr gh phufdgrv gh idfwruhv surgxfwlyrv frpshwlwlyrv od uhwulexflöq sru
fdgd xqlgdg gh fdslwdo vhuðd ljxdo d vx surgxfwlylgdg pdujlqdo1 Hqwrqfhv/
glfkd h{suhvlöq lpsolfduðd txh od wdvd gh dkruur gh od Uhjod gh Rur vhuðd
ljxdo d od sduwlflsdflöq gho fdslwdo hq od uhqwd1
Iljxud 8= Od wdvd gh dkruur gh od Uhjod gh Rur
f(k)
(δ + n) k
y ro
f'(k)
s ro f(k)
k ro
Yìdvh od Iljxud 8 sdud xq wudwdplhqwr juäfr gh föpr vh rewlhqh &- |
r- 1 Od shqglhqwh gh od ixqflöq gh surgxfflöq hq fdgd sxqwr hv s E& | od
83
FDSÐWXOR 61
DVLJQDFLÖQ GH OD UHQWD \ FUHFLPLHQWR
vroxflöq juäfd hv ljxdodu hvwd shqglhqwh d E? n B / or txh ghwhuplqd &- 1
Dvrfldgr d hvh sxqwr kdeuä xqd wdvd gh dkruur r- txh kdfh txh hvh vwrfn
gh fdslwdo vhd ho fdslwdo gh htxloleulr gh odujr sod}r1
Od Lqhflhqfld Glqäplfd wlhqh uhodflöq frq od vreuhdfxpxodflöq gh fdsl0
wdo1 Vxsrqjd txh od wdvd gh dkruur gh od hfrqrpðd hv vxshulru d od gh od uhjod
gh rur/ r : r- / | txh hq frqvhfxhqfld ho udwlr fdslwdo0wudedmr gh hvwdgr
hvwdflrqdulr hvwä sru hqflpd gho txh fruuhvsrqgh d od uhjod gh rur/ & : &- 1
Hqwrqfhv/ lpsrqhu od uhjod gh rur lpsolfd xqd uhgxfflöq gh od wdvd gh dkruur1
Hv iäflo revhuydu föpr xqd uhgxfflöq gh od wdvd gh dkruur r kdvwd vx qlyho
gh od uhjod gh rur lpsolfduðd txh hq ho fruwr sod}r/ frpr uhdfflöq lqphgldwd/
ho frqvxpr sru wudedmdgru lqfuhphqwduðd1 Dvlplvpr od hfrqrpðd hqwuduðd hq
xq surfhvr gh dmxvwh hq ho fxdo ho fdslwdo luðd glvplqx|hqgr kdvwd frqyhujhu do
qxhyr qlyho gh hvwdgr hvwdflrqdulr/ & ' &- 1 D or odujr gh wrgr hvwh surfhvr
gh dmxvwh ho frqvxpr vhuðd vlhpsuh vxshulru do txh whqðdprv hq ho hvwdgr
hvwdflrqdulr lqlfldo | od hfrqrpðd frqyhujhuðd d xq qxhyr hvwdgr hvwdflrqdulr
hq ho fxdo +sru ghqlflöq gh od uhjod gh rur, ho frqvxpr sru wudedmdgru
hv pä{lpr1 Frqfoxvlöq= vl r : r- xqd uhgxfflöq gh od wdvd gh dkruur
lpsolfduðd xq lqfuhphqwr gho frqvxpr sru wudedmdgru wdqwr hq ho fruwr sod}r
frpr d or odujr gh od wudqvlflöq kdfld xq qxhyr hvwdgr hvwdflrqdulr frq pd|ru
frqvxpr sru wudedmdgru hq ho odujr sod}r1 Hv hq hvwh vhqwlgr txh ghflprv
txh od vreuhdfxpxodflöq/ r : r- c jhqhud lqhflhqfld glqäplfd1
W
W
Iljxud 9= Hyroxflöq gho frqvxpr fxdqgr r fdh kdvwd r-
c1
c ro
c0
0 1 2 3 ...
Tiempo
Hq od Iljxud 9 revhuydprv frpr ghvgh xqd wdvd gh dkruur lqlfldo r : r- /
od fdðgd gh od wdvd gh dkruur lpsolfd txh d or odujr gh od wudqvlflöq kdvwd
oohjdu do frqvxpr gh hvwdgr hvwdflrqdulr qdo/ ho frqvxpr vlhpsuh hv vxshulru
do lqlfldo Sf 1 Hq hvh vhqwlgr kd| vreuhdfxpxodflöq gh fdslwdo +Lqhflhqfld
6181
84
OD UHJOD GH RUR \ OD HILFLHQFLD GLQÄPLFD
Glqäplfd,/ sxhvwr txh od uhgxfflöq gho dkruur shuplwh phmrudu ho frqvxpr
d fruwr | odujr sod}r1
Hq fdpelr/ Átxì rfxuuh fxdqgr r r- B
Iljxud := Hyroxflöq gho frqvxpr fxdqgr r vxeh kdvwd r-
c RO
c*
0 1 2
3
4
5
6 ...
Tiempo
Hq hvwh fdvr xq lqfuhphqwr gh od wdvd gh dkruur frqgxfluðd d xqd glvplq0
xflöq lqlfldo gh frqvxpr sru wudedmdgru/ sdud hqwudu hq xqd idvh gh dmxvwh
txh qrv oohyd d xq hvwdgr hvwdflrqdulr txh hq ho odujr sod}r jhqhud pd|ru
frqvxpr sru wudedmdgru1 Hq ghqlwlyd/ lpsolfd uhqxqfldu d frqvxpr suh0
vhqwh sru frqvxpr ixwxur1 Hq od Iljxud : ho frqvxpr hv lqihulru do lqlfldo
gxudqwh orv 8 sulphurv shulrgrv gh dmxvwh gh od hfrqrpðd1 Sru wdqwr/ frqvlg0
hudprv hvwd vlwxdflöq frpr Glqäplfdphqwh Hflhqwh1 Orv frqvxplgruhv
hvwduäq glvsxhvwrv d fdpeldu vx wdvd gh dkruur hq ixqflöq gh vx judgr gh
lpsdflhqfld +päv suhflvr/ od wdvd gh ghvfxhqwr whpsrudo,/ txh ghshqghuä
gh vxv suhihuhqfldv/ shur qr srghprv ghflu sru ho prphqwr qdgd dfhufd gh
od ghvhdelolgdg gh xq fdpelr hq od wdvd gh dkruur1 Sdud hoor qhfhvlwduldprv
prghorv hq txh od wdvd gh dkruur vh ghwhuplqh hqgöjhqdphqwh d sduwlu gho
frpsruwdplhqwr pd{lpl}dgru gh orv frqvxplgruhv | ìvwrv orv dqdol}duhprv
hq ho suö{lpr fdsðwxor1
Hmhpsor Free0Grxjodv
Gdgr txh s E& &-
Uhjod gh Rur/
|
'
k&|k
3

/ yhprv txh ho fdslwdo fruuhvsrqglhqwh d od
/ vhuä ätxho txh vdwlvidjd od hfxdflöq=
k&k
3

'
?nB
+6154,
85
FDSÐWXOR 61
DVLJQDFLÖQ GH OD UHQWD \ FUHFLPLHQWR
&- =
k 3 k
&- ' ? n B
Ghvshmdqgr/ rewhqhprv ho ydoru gh
+6155,
Frpsdudqgr glfkd h{suhvlöq frq od h{suhvlöq txh qrv gded ho fdslwdo gh
hvwdgr hvwdflrqdulr/ od hfxdflöq +6144,/ revhuydprv txh od ýqlfd glihuhqfld
hv txh hq +6155, kd| xqd
hq oxjdu gh od wdvd gh dkruur 1 Hvwr lpsolfd txh
k
r
r- ' k1 Hv ghflu/ ho pä{lpr qlyho
gh frqvxpr hq ho odujr sod}r vh rewlhqh fxdqgr od wdvd gh dkruur hv ljxdo d
k/ od sduwlflsdflöq gho fdslwdo hq od uhqwd1 Hvwh uhvxowdgr hv lqphgldwr/ gdgd
od irupd gh od ixqflöq gh surgxfflöq Free0Grxjodv/ sxhvwr txh vh fxpsoh
txh s E& &*s E& ' k1
Sru wdqwr/ vl od sduwlflsdflöq gho fdslwdo hq od uhqwd hvwä hpslulfdphqwh
douhghgru gh */ hqwrqfhv wdvdv gh dkruur vxshulruhv d * lqglfduðdq vr0
euhdfxpxodflöq gh fdslwdo h lqhflhqfld glqäplfd1
od wdvd gh dkruur gh od uhjod gh rur hv
5
619
Od Glqäplfd gh Wudqvlflöq | od Frqyhu0
jhqfld
Frpr |d ylprv/ od wdvd gh fuhflplhqwr sursruflrqdo gho udwlr fdslwdo0wudedmr/
}& / hv ixqflöq gho qlyho gh fdslwdo shu fäslwd | ylhqh gdgd sru od h{suhvlöq=
}& '  n ? r s E&&| E? n B
|
+6156,
_}& '  r s E&|&| s E&| f
_&|  n ?
&|2
+6157,
Gdgr txh ho rxwsxw shu fäslwd hv xqd ixqflöq fuhflhqwh gho fdslwdo shu
fäslwd/ +| ' s E&| / od wdvd gh fuhflplhqwr gho rxwsxw shu fäslwd/ txh ghqrwd0
prv }+ / vhuä xqd ixqflöq dvð plvpr fuhflhqwh gh }& 1
Sru wdqwr/ od wdvd gh fuhflplhqwr hq ho prphqwr | ghshqgh gho vwrfn gh
fdslwdo shu fäslwd gh hvh prphqwr |1 Vl glihuhqfldprv hvwd h{suhvlöq frq
uhvshfwr d &| rewhqhprv=
Hq ghqlwlyd/ d or odujr gho surfhvr gh wudqvlflöq txh xqd hfrqrpðd vljxh
kdvwd oohjdu d vx hvwdgr hvwdflrqdulr od wdvd gh fuhflplhqwr hv ghfuhflhqwh1
Sdud xqd hfrqrpðd txh vh kd|d lqlfldophqwh sru ghedmr gh vx hvwdgr hvwd0
flrqdulr vh surgxfluðd xq surfhvr gh fuhflplhqwr kdvwd dofdq}du vx hvwdgr
5 Rwud irupd gh rewhqhu ho plvpr uhvxowdgr hv vxvwlwxlu
vroxflrqdu sdud
v1
nUR
hq od h{suhvlöq +6143, |
6191
OD GLQÄPLFD GH WUDQVLFLÖQ \ OD FRQYHUJHQFLD
86
hvwdflrqdulr1 D or odujr gh hvh surfhvr gh fuhflplhqwr/ od wdvd gh fuhflplhqwr
luðd ghfuhflhqgr shulrgr wudv shulrgr kdvwd oohjdu +hq ho oðplwh, do qlyho gh
fuhflplhqwr fhur txh fruuhvsrqgh do hvwdgr hvwdflrqdulr1
Vxsrqjdprv dkrud txh whqhprv xq frqmxqwr gh hfrqrpðdv h{dfwdphqwh
lgìqwlfdv hq fxdqwr d whfqrorjðdv +od ixqflöq
s E hv ljxdo sdud wrgdv,/ | hq
fxdqwr d vxv sduäphwurv ixqgdphqwdohv +wdvd gh fuhflplhqwr gh od sreodflöq/
wdvd gh ghsuhfldflöq | wdvd gh dkruur,1 Hqwrqfhv revhuyduðdprv txh ghqwur
gh hvh frqmxqwr gh hfrqrpðdv h{lvwluðd xqd uhodflöq qhjdwlyd hqwuh qlyho gh
uhqwd shu fäslwd | vx wdvd gh fuhflplhqwr1 Glfkr gh rwud pdqhud/ sdðvhv frq
uhqwd lqlfldo sru wudedmdgru päv edmdv ghelhudq fuhfhu d xqd wdvd pd|ru1
Vljxlhqgr d Eduur | Vdod0l0Pduwlq +4<<5,/ ghqrplqdprv frqyhujhqfld devr0
oxwd +hq ho vhqwlgr txh hoorv ghqrplqdq gh q 0frqyhujhqfh , d txh od wdvd gh
fuhflplhqwr gho rxwsxw shu fäslwd ghshqgd qhjdwlydphqwh gho qlyho lqlfldo gh
ìvwh1 Judfdphqwh/ srghprv dqdol}du hvwh ihqöphqr d sduwlu gh od Iljxud ;1
Iljxud ;= Wudqvlflöq Glqäplfd | Frqyhujhqfld Devroxwd
sf(k)/k
(n+δ)
k1
k2
k*
Frpr vh revhuyd hq od Iljxud ; xqd hfrqrpðd frq xq qlyho gh fdslwdo |
gh uhqwd lqihulru +hq ho juäfr & , fuhfhuä d xqd wdvd pd|ru sxhvwr txh vh
fxpsoh od vljxlhqwh ghvljxdogdg rs E&*& E? n B : rs E&2*&2 E? n B 1
Ho sdðv 4 fuhfhuðd päv uäslgr txh ho 51
Vlq hpedujr/ orv sdðvhv sxhghq glihulu hq fxdqwr d orv sduäphwurv ixq0
gdphqwdohv gho prghor= whfqrorjðd/ wdvd gh dkruur/ wdvd gh fuhflplhqwr gh
od sreodflöq/ wdvd gh ghsuhfldflöq1 Yìdvh ho Iljxud < sdud xqd loxvwudflöq
hq hvwh vhqwlgr1 Xq sdðv frq od plvpd whfqrorjðd/ wdvd gh ghsuhfldflöq | gh
fuhflplhqwr gh od sreodflöq/ shur frq pd|ru wdvd gh dkruur +r2 : r , sxhgh
fuhfhu d xqd wdvd pd|ru d shvdu gh sduwlu gh xq qlyho gh uhqwd lqlfldo päv
87
FDSÐWXOR 61
DVLJQDFLÖQ GH OD UHQWD \ FUHFLPLHQWR
dowr1 Hvwr ylroduðd od klsöwhvlv gh od frqyhujhqfld devroxwd1 Hqwrqfhv/ frqgl0
flrqdqgr ho dujxphqwr dqwhulru d srvleohv glihuhqfldv hq hvwrv sduäphwurv/ od
klsöwhvlv vljxh vlhqgr yäolgd | vh ghqrplqd frqyhujhqfld frqglflrqdo1
Iljxud <= Wudqvlflöq Glqäplfd | Frqyhujhqfld Frqglflrqdo
s2f(k)/k
s1f(k)/k
(n+δ)
k1 k2
k1 *
k2 *
Hq od Iljxud < kd| grv sdðvhv txh glhuhq hq vx wdvd gh dkruur1 Ho sdðv
5 wlhqh xq vwrfn gh fdslwdo lqlfldo &2 : & / shur sxhvwr txh vx wdvd gh dkruur
hv vxshulru orv hvwdgrv hvwdflrqdulrv dvrfldgrv d dperv sdðvhv wdpelìq vrq
glvwlqwrv1 Hihfwlydphqwh revhuydprv txh ho sdðv 5 fuhfhuðd päv/ shur hvr
hv ghelgr d txh wlhqh xqd pd|ru wdvd gh dkruur1 Vl +gh dkð ho qrpeuh gh
frqyhujhqfld frqglflrqdo, dperv sdðvhv wxylhudq ljxdo wdvd gh dkruur/ frpr
hq od Iljxud ;/ hqwrqfhv ho sdðv 4 fuhfhuðd päv uäslgr txh ho sdðv 51
Hv lpsruwdqwh ghvwdfdu txh ho dujxphqwr gh od frqyhujhqfld hv xq uhvxo0
wdgr gh glqäplfd wudqvlflrqdo | txh qr dsruwd qlqjýq idfwru h{solfdwlyr gh
odv glihuhqfldv hq uhqwd shu fäslwd hq ho odujr sod}r1
61:
Surjuhvr Whfqroöjlfr
H{öjhqr
Gdgdv odv frqglflrqhv gh Lqdgd/ vhjýq od fxdohv od surgxfwlylgdg gho fdslwdo
wlhqgh d fhur fxdqgr ho fdslwdo wlhqgh d lqqlwr/ ho surfhvr gh fuhflplhqwr
hvwä olplwdgr hq wdqwr hq fxdqwr od hfrqrpðd gheh frqyhujhu d xq hvwdgr
hvwdflrqdulr frq xq rxwsxw sru wudedmdgru frqvwdqwh d odujr sod}r1
Hqwrqfhv/ ghqwur gh hvwh pdufr gh dqäolvlv od ýqlfd srvlelolgdg gh lqfrusr0
udu fuhflplhqwr hfrqöplfr hq ho odujr sod}r hv kdfhuor gh xqd irupd h{öjhqd1
Dvð/ ho qlyho gh surgxfflöq ghshqghuä gh od yduldeoh wlhpsr | qr vöor gh od
fdqwlgdg gh idfwruhv surgxfwlyrv hpsohdgrv1
61:1
88
SURJUHVR WHFQROÖJLFR H[ÖJHQR
Ho surjuhvr wìfqlfr vh sxhgh hvshflfdu gh 6 irupdv=
Dxphqwdgru gh od surgxfwlylgdg wrwdo gh orv idfwruhv +Klfnv, =
t| ' 8 Eg| cu|c | ' | 8 Eg|c u| / |n : | 1 H{lvwh xqd whqghq0
fld fuhflhqwh hq od surgxfwlylgdg wrwdo gh orv idfwruhv1
t| ' 8 Eg|c .|u|/ .|n :
H{lvwh
xqd
whqghqfld
fuhflhqwh
hq
od hflhqfld surgxfwlyd
|
gho wudedmr1 Vh vxhoh ghqrplqdu wudedmr phglgr hq xqlgdghv gh
hflhqfld d .| u| 1
Dxphqwdgru gho Wudedmr +Kduurg, =
.1
Dxphqwdgru gho Fdslwdo +Vrorz, = t ' 8 E g c u / n :
1H{lvwh xqd whqghqfld fuhflhqwh hq od hflhqfld surgxfwlyd gho
|
|
|
|
|
|
fdslwdo1
Ghqlprv xqd vhqgd gh fuhflplhqwr htxloleudgr frpr dtxhood vlwxdflöq
hq od fxdo ho udwlr fdslwdo0wudedmr/ ho rxsxw sru wudedmdgru/ ho frqvxpr sru
wudedmdgru | od lqyhuvlöq sru wudedmdgru fuhfhq wrgdv d xqd wdvd frqvwdqwh1
Sxhgh ghprvwuduvh txh/ hq jhqhudo/ od ýqlfd irupd gh surjuhvr whfqroöjl0
fr frpsdwleoh frq od h{lvwhqfld gh xqd vhqgd gh fuhflplhqwr htxloleudgr hv
ho dxphqwdgru gho wudedmr1 Sdud loxvwudu hvwh sxqwr yìdvh/ sru hmhpsor/ od
dujxphqwdflöq gh Eduur | Vdod0l0Pduwlq +4<<8,16
Hmhpsor Free0Grxjodv
Hq ho fdvr gh od ixqflöq gh surgxfflöq Free0Grxjodv odv wuhv irupdv gh
surjuhvr wìfqlfr vrq htxlydohqwhv/ | sru wdqwr fxdotxlhud irupd hq txh hv0
shfltxhprv ho surjuhvr wìfqlfr hv frpsdwleoh frq xqd vhqgd gh fuhflplhqwr
htxloleudgr1
Vxsrqjd txh kd| surjuhvr wìfqlfr hq ho vhqwlgr gh Vrorz/ hqwrqfhv whq0
hprv od ixqflöq gh surgxfflöq t| ' E| g| k u| 3k / grqgh | fuhfh d xqd
wdvd frqvwdqwh %/ hv ghflu/ |n ' E n %| 1 Srghprv ghqlu | ' |k |
k /
hqwrqfhv od ixqflöq gh surgxfflöq sxhgh h{suhvduvh frpr t| ' | g|k u3
|
grqgh | wdpelìq fuhfh d xqd wdvd frqvwdqwh/ |n ' E n %k | 1 Wdpelìq
srguðd uhdol}duvh ho surfhglplhqwr lqyhuvr1
Dvð plvpr/ h{dfwdphqwh od plvpd wudqvirupdflöq srguðd kdfhuvh hq ho
fdvr gho surjuhvr wìfqlfr hq ho vhqwlgr gh Kduurg1
6 Hoorv xwlol}dq wlhpsr frqwlqxr/ plhqwudv txh dtxð hvwdprv xwlol}dqgr wlhpsr glvfuhwr/
shur ho dujxphqwr hv ljxdophqwh yäolgr1
89
FDSÐWXOR 61
61:14
DVLJQDFLÖQ GH OD UHQWD \ FUHFLPLHQWR
Prghor gh Vrorz0Vzdq frq Surjuhvr Wìfqlfr Dx0
phqwdgru gho Wudedmr
Vxsrqjdprv txh od ixqflöq gh surgxfflöq hv gho wlsr t| ' 8 Eg|c .| u| /
grqgh .|n ' E n %.| ' E n %| .f 1 Vlq sìuglgd gh jhqhudolgdg srghprv
qrupdol}du .f ' / frpr od hflhqfld gho wudedmr hq ho shulrgr lqlfldo | ' f1
Ghqdprv odv yduldeohv sru xqlgdg gh hflhqfld gh wudedmr= &| ' g| *.| u| /
+| ' t| *.|u|1 Hv ghflu/ &| ' g| *E n %| u| r &| ' &| *E n %| / frq uhvxowdgr
htxlydohqwh sdud ho fdvr gh +| 1
Od Oh| gh Prylplhqwr gho vwrfn gh fdslwdo yhqðd gdgd sru=
g|n ' r8 Eg| c u| n E B g|
+6158,
Glylglhqgr glfkd h{suhvlöq sru .| u| rewhqhprv=
&|n E n %E n ? ' rs E&| n E B&|
+6159,
Hv lqphgldwr revhuydu txh rewhqguðdprv xqd wdvd gh fuhflplhqwr sdud od
yduldeoh wudqvirupdgd &| txh ylhqh gdgd sru od h{suhvlöq=
%
&

s E&| }& '
r E? n B n % n %?
+615:,
E n %E n ?
&|
Sru wdqwr/ rewhqguðdprv ho plvpr uhvxowdgr txh dqwhulruphqwh +vlq sur0
juhvr wìfqlfr,/ grqgh &| whqghuðd d xq flhuwr qlyho gh hvwdgr hvwdflrqdulr1 Ho
dqäolvlv vhuðd h{dfwdphqwh ljxdo txh ho txh kdfðdprv sdud ho fdvr vlq surjuhvr
wìfqlfr txh khprv dqdol}dgr hq surixqglgdg +htxlydohqwh d % ' f,1
Ho Fdvr Free0Grxjodv
Od ixqflöq gh surgxfflöq hv= t| ' g|k E.| u| 3k 1
Ghqlprv &| ' g| *.| u| / +| ' t| *.| u| 1 Hqwrqfhv ho qlyho gh &
gh hvwdgr hvwdflrqdulr gheh vdwlvidfhu=
r &
&
k
r/
&W '
+W
'
' ? n B n % n %?
3k
r
? n B n % n %?
3kk
r
? n B n % n %?
+615;,
+615<,
+6163,
61;1
PÄV DOOÄ GHO PRGHOR GH VRORZ0VZDQ
8:
&
| hv xqd vhqgd gh fuhflplhqwr
htxloleudgr gdgr txh ho udwlr fdslwdo0wudedmr/ rxwsxw sru wudedmdgru | frq0
vxpr sru wudedmdgru fuhfhq wrgrv d od wdvd gh surjuhvr wìfqlfr h{öjhqr % hq
ho odujr sod}r1 Revhuyh frpr hvwh khfkr frqylhuwh ho prghor hq frqvlvwhqwh
frq orv khfkrv hvwlol}dgrv gh Ndogru 407 txh h{srqðdprv hq od lqwurgxfflöq d
hvwh fdsðwxor1 Päv dýq/ vl od hodvwlflgdg gh vxvwlwxflöq hqwuh fdslwdo | wudedmr
ixhud xqlwduld +ho fdvr Free0Grxjodv,/ od frqvwdqfld hq odv sduwlflsdflrqhv
gh idfwruhv/ khfkr hvwlol}dgr 8/ vhuðd lqphgldwd1
Sru vxsxhvwr/ xq hvwdgr hvwdflrqdulr sdud
61;
Päv dooä gho Prghor gh Vrorz0Vzdq
Ho pdufr whöulfr sursxhvwr sru Vrorz | Vzdq hv frqvlvwhqwh frq orv khfkrv
hvwlol}dgrv gh Ndogru1 Do plvpr wlhpsr/ vxv lpsolfdflrqhv hpsðulfdv vreuh
uhodflrqhv ixqgdphqwdohv hqwuh sduäphwurv | uhqwd shu fäslwd vrq frqvlvwhqwhv
frq od hylghqfld hpsðulfd1 Sru hmhpsor/ h{lvwh xqd uhodflöq qhjdwlyd hqwuh
wdvd gh fuhflplhqwr gh od sreodflöq | uhqwd shu fäslwd> h{lvwh xqd uhodflöq
srvlwlyd hqwuh wdvd gh dkruur | qlyho gh uhqwd shu fäslwd1 Dvlplvpr/ od
klsöwhvlv gh od frqyhujhqfld +devroxwd r frqglflrqdo, txh vh ghulyd gho prghor
kd vlgr dpsoldphqwh frqwudvwdgd hq orv gdwrv1 Hq hvh vhqwlgr/ ho prghor txh
dfdedprv gh hvwxgldu wlhqh xqd fdsdflgdg h{solfdwlyd px| lpsruwdqwh | qrv
d|xgd d frpsuhqghu phmru od glqäplfd txh ghwhuplqd od whqghqfld txh vljxh
od uhqwd shu fäslwd gh xqd ghwhuplqdgd hfrqrpðd1
Vlq hpedujr/ vh wudwd gh xq prghor gh fuhflplhqwr grqgh hq ho odujr sod}r
od hfrqrpðd frqyhujhuðd d xqd vhqgd gh fuhflplhqwr htxloleudgr +frqvlvwhqwh
frq orv khfkrv hvwlol}dgrv gh Ndogru,/ hq txh orv ghwhuplqdqwhv gh od wdvd gh
fuhflplhqwr qr vh frqvlghudq h{solflwdphqwh hq ho prghor1 Hv xq prghor gh
fuhflplhqwr lqwhuhvdqwh sru vxv lpsolfdflrqhv gh glqäplfd gh wudqvlflöq/ shur
ghmd do pdujhq orv ghwhuplqdqwhv gh od wdvd gh surjuhvr whfqroöjlfr1 Hvwh wlsr
gh sureohpäwlfd vh dqdol}d frq pd|ru ghwhqlplhqwr d sduwlu gh orv prghorv gh
fuhflplhqwr hqgöjhqr txh kdq vxujlgr d sduwlu gh odv dsruwdflrqhv gh Urphu
+4<;9, | Oxfdv +4<;;,1 Hq ghqlwlyd/ or txh vh lqwhqwd hv hqgrjhqhl}du od wdvd
gh fuhflplhqwr % d sduwlu gh dqdol}du odv ghflvlrqhv gh fuhdflöq gh whfqrorjðd/
ho sdsho gh odv lghdv/ orv lqfhqwlyrv gh odv hpsuhvdv d lqyhuwlu hq L.G r ho
sdsho fodyh gh od dfxpxodflöq gh fdslwdo kxpdqr1
Sru rwur odgr/ odv glihuhqfldv hq uhqwd shu fäslwd txh vh revhuydq hqwuh
sdðvhv vrq gh xq rughq gh pdjqlwxg pxfkdv yhfhv vxshulru d od fdsdflgdg
gh jhqhudu glihuhqfldv hq uhqwd shu fäslwd hq hvwh prghor d sduwlu gh glihuhq0
fldv hq wdvdv gh dkruur r wdvdv gh fuhflplhqwr gh od sreodflöq/ hwf +yìdvh ho
sureohpd S,1 Sduhqwh | Suhvfrww +5333, hvwdeohfhq xqd vhulh gh uhjxodulgdghv
hpsðulfdv1 Sru hmhpsor/ txh od glvshuvlöq hq uhqwd shu fäslwd vh kd pdqwhqlgr
8;
FDSÐWXOR 61
DVLJQDFLÖQ GH OD UHQWD \ FUHFLPLHQWR
frqvwdqwh d or odujr gh orv ýowlprv 63 dôrv/ ho 8( gh sdðvhv päv ulfrv wlhqh xqd
uhqwd shu fäslwd douhghgru gh 63 yhfhv pd|ru txh ho 8( päv sreuh1 Wdpelìq
uhsruwdq txh h{lvwhq fdpelrv guävwlfrv hq ho lqwhulru gh hvd glvwulexflöq gh
uhqwd shu fäslwd sru sdðvhv1 Glfkr gh rwud pdqhud/ kd| plodjurv | ghvdvwuhv
hq uhodflöq do ihqöphqr gho fuhflplhqwr hfrqöplfr glflophqwh h{solfdeohv
ghqwur gho pdufr whöulfr dqdol}dgr hq hvwh fdsðwxor1 Hoorv hvwdeohfhq txh od
fodyh sdud hqwhqghu hvdv glihuhqfldv hv od Surgxfwlylgdg Wrwdo gh orv Idf0
wruhv/ od frqvwdqwh | gh od ixqflöq gh surgxfflöq1 Vx sursxhvwd lqflgh hq od
qhfhvlgdg gh dqdol}du orv ixqgdphqwrv gh od dgrsflöq gh whfqrorjðd/ fxdqgr
kd| eduuhudv d glfkd dgrsflöq/ föpr vh jhqhudq | pdqwlhqhq/ txì lqwhuhvhv
huljhq hvdv eduuhudv/ hwf1
61<
Sureohpdv
41 Vxsrqjd txh grv sdðvhv | wlhqhq od plvpd ixqflöq gh surgxfflöq
gh wlsr Free0Grxjodv 8 Egcu ' g k u3k +d, ÁWlhqh uhqglplhqwrv frqvwdqwhv d hvfdodB
+e, ÁFxäo hv od ixqflöq gh surgxfflöq sru wudedmdgru +shu fäslwd,
+ ' s E&q
+f, Vxsrqjdprv txh hq qlqjxqr gh orv sdðvhv kd| fuhflplhqwr gh0
prjuäfr ? ' fc k ' *2 | od wdvd gh ghsuhfldflöq B ' DI
Vxsrqjd txh od wdvd gh dkruur gho sdðv hv gho fI gh od sur0
gxfflöq plhqwudv txh od gho sdðv hv gho 2fI1 Kdoodu ho vwrfn gh
fdslwdo/ od surgxfflöq | ho frqvxpr gh hvwdgr hvwdflrqdulr1
+g, Vxsrqjd txh ho sdðv hvwä hq hvwdgr hvwdflrqdulr1 Gh uhshqwh xqd
fdwävwurih qdwxudo oh ghvwux|h ho 83( gh vx vwrfn gh fdslwdo1 ÁFrq0
yhujhuä gh qxhyr kdfld ho hvwdgr hvwdflrqdulrB +Sxhgh h{solfduor
juäfdphqwh,1
51 Xq sdðv wlhqh xqd whfqrorjðd sru wudedmdgru + ' & k +d, ÁWlhqh uhqglplhqwrv frqvwdqwhvB
+e, Vl k 5 Efc  ÁFdofxodu ho vwrfn gh fdslwdo/ surgxfflöq | frq0
vxpr gh hvwdgr hvwdflrqdulr hq ixqflöq gh xqd wdvd gh dkruur Er
h{öjhqdphqwh hvshflfdgd +vl B | ? vrq sduäphwurv srvlwlyrv,B
+f, Ghprvwudu txh ho vwrfn gh fdslwdo | surgxfflöq dxphqwdq d ph0
glgd txh dxphqwd od wdvd gh dkruur hq od hfrqrpðd/ plhqwudv txh
od ixqflöq frqvxpr dofdq}d xq pä{lpr/ hq od wdvd gh dkruur gh
od uhjod gh rur1
61<1
8<
SUREOHPDV
+g, Kdoodu od wdvd gh dkruur txh pd{lpl}d ho frqvxpr gho wudedmdgru
uhsuhvhqwdwlyr gh hvwd hfrqrpðd1
+h, ÁH{lvwh sdsho sdud ho jrelhuqr vl od hfrqrpðd hvwä sru hqflpd gh
od uhjod gh rurB/ÁTxì sroðwlfd srguðd oohydu d fderB
61 Ho sdðv hv xqd hfrqrpðd fhuudgd txh hvwä frqyhujlhqgr d vx hvwd0
gr hvwdflrqdulr/ | glvsrqh gh od vljxlhqwh whfqrorjðd djuhjdgd t '
8 Egc u ' wg ku3k
+d, Fdofxoh ho vwrfn gh fdslwdo gh hvwdgr hvwdflrqdulr1
+e, H{solfdu ho surfhvr gh frqyhujhqfld kdfld ho hvwdgr hvwdflrqdulr/
vl od hfrqrpðd wlhqh xq vwrfn gh fdslwdo lqlfldo sru ghedmr gh hvwh
ýowlpr1
+f, Hq xq ghwhuplqdgr prphqwr ho jrelhuqr ghflgh deulu vx hfrqrpðd
d orv phufdgrv lqwhuqdflrqdohv gh fdslwdo1 Vl vxsrqhprv txh od
uhqwdelolgdg lqwhuqdflrqdo gho fdslwdo hv od plvpd hq ho uhvwr gh
sdlvhv +o wlsr gh lqwhuìv lqwhuqdflrqdo,/ | txh ho wlsr gh lqwhuìv
gho sdðv hvwä ghwhuplqdgr sru od surgxfwlylgdg pdujlqdo gho
fdslwdo sru wudedmdgru1 ÁFxäo vhuä ho hihfwr gh hvwd phglgd hq od
edodq}d gh fdslwdohv gho sdðv qc Á| hq od gho uhvwr gh sdðvhvB
+g, ÁDihfwduä ho surfhvr gh frqyhujhqfld kdfld ho hvwdgr hvwdflrqdulrB/
Á| od wdvd gh fuhflplhqwr gh od surgxfflöqB
71 H{soltxh txì vh hqwlhqgh sru lqhflhqfld glqäplfd hq ho Prghor gh
Vrorz0Vzdq | vx uhodflöq frq od Uhjod gh Rur1
81 H{soltxh txì vh hqwlhqgh sru ho frqfhswr gh frqyhujhqfld hq ho Prghor
gh Vrorz0Vzdq | frphqwh odv glihuhqfldv hqwuh orv frqfhswrv gh frqyhu0
jhqfld devroxwd | frqglflrqdo1
91 Vhjýq Sduhqwh | Suhvfrww +4<<6, od hylghqfld hpsðulfd lpsolfd txh gx0
udqwh odv ýowlpdv wuhv gìfdgdv ho udwlr hqwuh od uhqwd shu fäslwd phgld
gho DI gh orv sdðvhv päv ulfrv | od gho DI gh orv sdðvhv päv sreuhv/ vh
kd pdqwhqlgr hvwdeoh douhghgru gh f1
Vhdq
| grv sdðvhv txh wdq vöor vh glihuhqfldq hq vx wdvd gh dkruur1
Dperv wlhqhq xqd ixqflöq gh surgxfflöq gho wlsr Free0Grxjodv/ frq
xqd sduwlflsdflöq gho fdslwdo hq od uhqwd ljxdo d
k
' *1
Vl ho ýqlfr idfwru h{solfdwlyr gh odv glihuhqfldv hq uhqwd shu fäslwd ixhudq
odv wdvdv gh dkruur/ Áfxäo vhuðd od glihuhqfld hq odv wdvdv gh dkruur txh
ghelìudprv revhuydu sdud jhqhudu wdo glvsdulgdg hq uhqwd shu fäslwdB
93
FDSÐWXOR 61
DVLJQDFLÖQ GH OD UHQWD \ FUHFLPLHQWR
Vroxflöq= Ho udwlr gh uhqwd sru wudedmdgru hq hvwdgr hvwdflrqdulr hqwuh
ho sdðv
| ho ylhqh gdgr sru=
+
+
'
r 3kk
r
Hqwrqfhv/ frq xqd sduwlflsdflöq gho fdslwdo hq od uhqwd hpslulfdphqwh
k ' */ qhfhvlwduðdprv xq udwlr r*r ' bff sdud jhqhudu
+*+ ' f1 Sru hmhpsor/ txh hq ho sdðv ulfr r ' fb | hq ho sreuh r '
fff1 Hvwdv fliudv vrq ghvfdehoodgdv/ or txh qrv oohyd d od frqfoxvlöq
sodxvleoh/
gh txh glihuhqfldv hq odv wdvdv gh dkruur qr sxhghq h{solfdu sru vð vrodv
od pd|ru sduwh gh odv glihuhqfldv hq uhqwd shu fäslwd hqwuh sdðvhv1 Gh
DI gh sdðvhv päv ulfrv hv gho 2.eI |
.I1 Hv ghflu/ xq udwlr gh dsur{lpdgdphqwh
khfkr/ od wdvd gh dkruur phgld gho
od gho DI päv sreuh hv gho S
e/
or txh lpsolfduðd xq udwlr gh rxwsxw shu fäslwd gh
21
:1 Pdqnlz/ Urphu | Zhlo +4<<5, xwlol}dq xq prghor gh Vrorz dpsold0
gr frq od lqfoxvlöq gh fdslwdo kxpdqr frpr xq idfwru gh surgxfflöq
dglflrqdo1 Hv ghflu xwlol}dq xqd ixqflöq gh surgxfflöq gho wlsr=
t
' g kM u3k3
grqgh M uhsuhvhqwd fdslwdo kxpdqr1 ^Srguðd lqwhusuhwdu dvlplvpr M
frpr od fdqwlgdg gh wudedmr fxdolfdgr | u frpr od fdqwlgdg gh wudedmr
qr fxdolfdgr`
Hq vx irupd lqwhqvlyd hvwd ixqflöq gh surgxfflöq hv + ' & k / grqgh
& ' g*u/ ' M*u1 Gh odv frqglflrqhv gh htxloleulr +yìdvh päv dgh0
odqwh prghorv frq fdslwdo kxpdqr hq ho fdsðwxor ghglfdgr d fuhflplhqwr
hqgöjhqr, rewhqguhprv txh hq htxloleulr ho surgxfwr pdujlqdo gho fds0
lwdo iðvlfr | ho fdslwdo kxpdqr ghehq ljxdoduvh1 Gh dkð rewhqhprv txh
&* ' k* | vxvwlwx|hqgr hq od ixqflöq gh surgxfflöq lqwhqvlyd rewhq0
hprv txh + ' & kn / grqgh ' E*k 1
Od suhjxqwd dkrud hv txì ydoruhv sdud od sduwlflsdflöq gho fdslwdo kx0
pdqr hq od uhqwd/ / vrq hpsðulfdphqwh sodxvleohv1 Orv dxwruhv dujx0
phqwdq txh hq Hvwdgrv Xqlgrv ho glihuhqfldo gh vdodulrv +zdjh suhpl0
xp,/ ghqlgr frpr ho udwlr gh vdodulr phglr vreuh vdodulr pðqlpr/ hv
ljxdo d 51 Od h{suhvlöq txh ghwhuplqd glfkr glihuhqfldo gh vdodulrv hv=
M M n u u
k
'
u u
k
Sru wdqwr/ frq xq k ' */ sdud rewhqhu xq glihuhqfldo
5 ghehuðdprv whqhu xq ' *1
gh vdodulrv
gh