π π π ϕ = π π ω π π π ϕ

MODELO DE EXAMEN
1ª EVALUACIÓN
1. Un punto material oscila en torno al origen de coordenadas en la dirección del eje
Y, según la siguiente expresión (donde y se expresa en cm, y t, en s):
π
π
y = 2 ⋅ sen ⋅ t +  originando una onda armónica que se propaga en el sentido
2
4
positivo del eje X. Sabiendo que dos puntos materiales de dicho eje que oscilan
con un desfase de π radianes están separados una distancia mínima de 20 cm,
determina:
a) La amplitud y la frecuencia de la onda armónica.
b) La longitud de onda y la velocidad de propagación de la onda.
c) La expresión matemática que representa la onda armónica.
d) La expresión de la velocidad de oscilación en función del tiempo para el
punto material del eje X de coordenadas x = 80 cm.
Solución:
Datos: y (t ) = 2 sen (
π
4
Si ∆y = 0,2 m
t+
π
2
)
(cm, s) (1)
∆ϕ = π rad
a) De la ecuación (1) obtenemos: A = ? ν= ?
A = 2 cm = 0,02 m
ω=
π
4
s-1
ν = 1 /T
b) λ= ?
ω=
2π
→
T
2π π
=
T
4
Despejando T = 8 s
ν = 1/8 Hz
vP = ?
A λ le corresponden 2 π radianes. Por lo tanto la mitad (π radianes) le han de
corresponder a la mitad de la longitud de onda λ/2.
El ejercicio nos dice que ∆ϕ = π rad le corresponde a 0,2 m, luego esa será la
mitad de la longitud de onda. Es decir, la longitud de onda será el doble 0,4m.
λ = 0,4 m
Podemos verlo de otra forma. La onda armónica generada será:
y = A sen(ωt − kx + ϕ 0 ) Fase es el paréntesis
La diferencia de fase:
∆ϕ = (ωt − kx1 + ϕ 0 ) - (ωt − kx 2 + ϕ 0 ) = k ∆x
Los términos ω· t y ϕ0 se van al restar.
Sustituyendo los datos ∆y = 0,2 m
∆ϕ = π rad
π
π = k · 0,2 k =
0,2
= 5π m −1
Sustituyendo en k calculamos la longitud de onda:
k = 2 π /λ
λ = 0,4 m
vP = λ/ T
vP = 0,4 / 8 = 0,05 m/s
c) La onda generada en el sentido positivo de las X:
π
π
y = A sen(ωt − kx + ϕ 0 ) =2sen ( t − 5π x + )
4
2
d) Derivando obtenemos la velocidad:
v =
dy
= A ⋅ ω cos(ωt − kx + ϕ 0 )
dt
v ( x, t ) = 0,02
π
4
cos(
π
4
t − 5π x +
π
2
)
En el punto x = 80 cm = 0,8m
v (0,8, t ) = 0,02
π
7π
π
π
π
π
cos( t − 5π 0,8 + ) =0,02 cos( t −
)
4
4
2
4
4
2
2. Fobos es un satélite de Marte que gira en órbita circular de 9 380 km de radio,
respecto al centro del planeta, con un período de revolución de 7,65 horas. Otro
satélite de Marte, Deimos, gira en una órbita de 23 460 km de radio. Determina:
a) La masa de Marte.
b) El período de revolución del satélite Deimos.
c) La energía mecánica del satélite Deimos.
Datos: Constante de Gravitación Universal: G = 6,67 · 10-11 N · m2· kg-2.
Masa de Fobos = 1,1 · 1016 kg.
Masa de Deimos = 2,4 · 1015 kg
Solución
Datos:
Fobos R = 9380 km = 9,38 · 106 m
T = 7,65 h = 27540 s
Deimos
R = 23460 km = 2,34 · 106 m
a) Masa de Marte:
G⋅
M M ⋅ mF
v2
=
·
m
F
RF
RF2
Además v =
2π RF
(II)
TF
v2 = G
MM
(I)
RF
Igualando (I) y (II):
MM=
4π 2RF
TF2 ⋅ G
MM = 6,44 · 1023 kg
b) Aplicamos la 3ª Ley de Kepler:
3
RF3 RD3
El problema nos da todos los datos.
=
TF2 TD2
2
R /T = cte
Despejando
TD = 109080 s
EC + EP = ET
−G
M M ⋅ mD 1
M ⋅ mD 1
M
1 M ⋅ mD
+ mD ⋅ v D2 = −G M
+ mD ⋅ G M = − G M
RD
2
RD
2
RD
2
RD
Sustituimos todos los valores y nos da: ET = - 2,2 · 1021 J
3. Una ventana cuya superficie es de 1 m² está abierta a una calle cuyo ruido
produce un nivel de intensidad de 60 dB. ¿Qué potencia acústica penetra por la
ventana?
Solución
Datos:
S = 1 m2; β = 60 dβ; P =?
Recordamos que la potencia es la intensidad por la superficie. Si calculamos la
intensidad, como conocemos la superficie el problema estaría resulto.
La intensidad la podemos deducir de la sonoridad:
60 dβ = 10 log I/ I0
Sabemos que I0 = 10-12 W/ m2, por lo tanto:
106 = I / 10-12;
P = 10-6 · 1 = 10-6 W
106 · 10-12 = I;
I = 10-6 W · m-2
4. ¿Qué implica el hecho de que la Tierra se mueva bajo la acción de una fuerza
central? ¿En qué parte de su órbita elíptica alrededor del Sol es mayor la
velocidad de un planeta? Razona la respuesta.
Solución
El hecho de que la Tierra se mueva bajo la acción de una fuerza central,
implica que su momento angular permanece constante.
La velocidad de un planeta es mayor en el perihelio, como se deduce del
Principio de Conservación del momento angular.
L=rxmv
El módulo de dicho vector viene dado por:
L = r · m · v · sen ϕ
Siendo ϕ el ángulo formado por r y v
Si L = cte La = Lp
ra · m · va = rp · m · vp
Lo cual implica:
r · v = constante
Consulta tu libro de texto.
r y v son inversamente proporcionales