Soluciones

Seminario de problemas-Bachillerato. Curso 2011-12. Hoja 15
82. Se define una sucesión (pn ) como sigue: p1 = 2, y para n ≥ 2, pn es el mayor divisor primo
del número p1 p2 · · · pn−1 + 1. Prueba que ningún pn es igual a 5.
Solución.
Según la definición, p1 = 2, p2 = 3, p3 = 7. Para n ≥ 3, pn es un divisor primo de
2 · 3 · · · pn−1 + 1, luego pn 6= 2, 3, . . . , pn−1 .
Si fuera pn = 5, el mayor divisor primo de 2 · 3 · · · pn−1 + 1 serı́a 5, y como 2 y 3 no dividen
a este número, serı́a necesariamente 2 · 3 · · · pn−1 + 1 = 5k con k > 1. Entonces,
2 · 3 · · · pn−1 = 5k − 1 = (4 + 1)k − 1 = 4̇,
absurdo, pues el exponente de 2 en 2 · 3 · · · pn−1 es 1, ya que salvo el primero, ningún otro
factor puede ser 2.
83. Sean r, s y t las raı́ces de la ecuación x(x − 2)(3x − 7) = 2. (a) Demuestra que r, s y t
son números reales positivos. (b) Calcula arctg r + arctg s + arctg t.
Solución.
(a)
(b) Usamos la fórmula trigonométrica
tg(a + b + c) =
tg a + tg b + tg c − tg a tg b tg c
.
1 − tg a tg b − tg a tg c − tg b tg c
Llamando Ω = arctg r + arctg s + arctg t, se tiene entonces
tg(Ω) =
r + s + t − rst
.
1 − (rs + rt + st)
1
Ahora,
1
13
14
2
(x − r)(x − s)(x − t) =
x(x − 2)(3x − 7) − 2 = x3 − x2 + x −
3
3
3
3
da, por identificación de coeficientes (Cardano) el sistema de relaciones

 r + s + t = 13
3
rs + r + st = 14
3

rst = 23 ;
con esto tenemos
tg(Ω) =
13
3
− 23
= −1,
1 − 14
3
luego Ω = 3π
+ kπ con cierto k entero. Como r, s, t > 0, arctg r, arctg s, arctg t < π2 , luego
4
Ω < 3π
. Entonces, Ω = 3π
.
2
4
84. Un cono circular recto tiene vértice V y B es un punto en la circunferencia de la base.
La generatriz V B mide 91. La longitud mı́nima de las curvas situadas sobre la superficie
del cono que parten del punto B y vuelven a B tras rodear completamente el cono es 70.
Se corta el cono en dos partes por un plano paralelo a la base. Una de las partes es un
cono de generatriz 26. Sobre la superficie lateral de la otra parte se toman tres puntos y
se mide sobre la superficie la menor distancia entre cada par de puntos. Prueba que una
al menos de esas tres distancias es no mayor que 325
.
8
Solución.
La medida de las lı́neas sobre la superficie del cono se conserva al desarrollar la superficie
en un plano, y las curvas de longitud mı́nima entre dos puntos de la superficie se realizan
en la representación plana con segmentos de lı́neas rectas; lo mismo vale para el desarrollo
del tronco de cono, excepto entre algunos pares de puntos situados en la región no convexa
limitada por trazos rojos en la figura siguiente:
Desarrollo plano del cono: sen α =
5
;
13
cos α =
2
12
.
13
Consideremos la división en zonas del desarrollo plano del tronco de cono en cuestión
que se ve trazada en la figura; dados tres puntos sobre la superficie lateral del tronco de
cono, podemos considerar esta superficie dividida en dos partes por un plano arbitrario
en principio RP R paralelo a las bases y entonces, o bien dos de los puntos están en una
zona como la A = BM P R de la figura (limitada por dos segmentos de generatrices y
dos arcos de circunferencia) o bien dos de ellos están en una zona como la B = RP N A.
La máxima distancia entre dos puntos de A es la diagonal BP , y la máxima distancia
entre dos puntos de B (incluyendo aquellos puntos de las partes de arriba de las zonas
para los que la mı́nima distancia sobre la superficie no se realiza en lı́nea recta en el
desarrollo plano) es la diagonal AP . Eligiendo el plano de corte RP R de modo que sea
BP = AP = d, siempre tendremos, entre tres puntos cualesquiera sobre la superficie del
tronco de cono, dos a una distancia menor o igual que d. Veamos que d = 325
, lo que
8
termina la solución del problema. En los 4V AN y 4V BM se tiene:
s
1 − 12
13
AN = 2 · 26 · cos β = 2 · 26 · sen(α/2) = 2 · 26 ·
2
√
1
= 2 · 26 · √ = 2 26;
26
√
1
BM = 2 · 91 · cos β = 2 · 91 · √ = 7 26;
26
Por otra parte, llamando x = N P , del teorema del coseno en los triángulos AN P y BP M
3
resulta, respectivamente:
√
√
d2 = (2 26)2 + x2 + 2 · 2 26 · x · cos β
= 104 + x2 + 4x,
√
√
d2 = (7 26)2 + (65 − x)2 − 2 · 7 26 · (65 − x) · cos β
= 4589 + x2 − 116x.
Igualando, 120x = 4485, luego x =
299
8
yd=
4
√
104 + x2 + 4x =
325
.
8