manejo de expresiones algebraicas

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MANEJO DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Al finalizar el capítulo el alumno
manejará expresiones algebraicas
para la solución de problemas
34
Reforma académica 2003
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MAPA CURRICULAR
Matemáticas I
Aritmética y
Álgebra
Módulo
72 h
1. Solución de
problemas de
números reales.
2. Manejo de
expresiones
algebraicas.
Unidad de
aprendizaje
17 h
27 h
3. Solución de
ecuaciones de
primer y segundo
grado y sistemas
de ecuaciones de
primer grado.
28 h
1.1 Identificar los subconjuntos de los números reales de acuerdo
con su clasificación.
1.2 Resolver problemas mediante el desarrollo de operaciones con
números reales.
Resultados
del
aprendizaje
2.1 Realizar operaciones con expresiones algebraicas de acuerdo
con los procedimientos establecidos.
2.2 Simplificar expresiones algebraicas utilizando productos
notables y factorización.
3.1 Resolver problemas que involucren la solución de una ecuación
de primer grado de acuerdo con los procedimientos
establecidos.
3.2 Resolver problemas que involucren la solución de sistemas de
ecuaciones de primer grado de acuerdo con los procedimientos
establecidos.
3.3 Resolver problemas que involucren la solución de ecuaciones de
segundo grado de acuerdo con los procedimientos
establecidos.
Reforma académica 2003
2h
15 h
17 h
10 h
8h
10 h
10 h
35
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SUMARIO
•
¾ Conceptos algebraicos
¾ Operaciones con expresiones
algebraicas
¾ Productos notables
¾ Factorización
Cuando se utilizan letras para representar
números se les conoce como variables o
literales, ya que la letra puede ser
sustituida por un número específico o
por varios valores; por ejemplo, en las
fórmulas matemáticas se utilizan las
variables.
RESULTADO DEL APRENDIZAJE
2.1
2.2
2.1
Realizar
operaciones
con
expresiones
algebraicas
de
acuerdo con los procedimientos
establecidos.
Simplificar
expresiones
algebraicas utilizando productos
notables y factorización.
REALIZAR OPERACIONES
CON EXPRESIONES
ALGEBRAICAS DE
ACUERDO CON LOS
PROCEDIMIENTOS
ESTABLECIDOS.
2.1.1.
CONCEPTOS
ALGEBRAICOS
Las matemáticas son una herramienta a
través de la cual se puede representar la
realidad. Como esto tiene una lógica,
necesita de un lenguaje propio para
facilitar su entendimiento. En el
presente capítulo exploraremos algunas
formas de abstracción de la realidad
que nos permite el uso adecuado de los
números en comunión con las literales.
36
Variables
Conocemos la fórmula para obtener el
área de un rectángulo como: A = b × a;
donde A es el área o resultado de
multiplicar el valor que tenga la base del
rectángulo por la altura del mismo, a y b
se sustituyen por valores dependiendo
del rectángulo que se trate
Para simbolizar cuatro
niñas podemos escribirlo como 4n,
donde n es la variable asignada a niñas.
•
Constantes
Cuando dentro de una fórmula con
variables se tiene un número a éste se le
denomina como constante, pues no
cambiará al irse modificando los valores
asignados a las diferentes variables.
Por ejemplo, en el caso de la fórmula
para el perímetro de un cuadrado:
Reforma académica 2003
L
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P es la variable para perímetro, 4 será
una constante y L significa lo que mide
el lado.
En el caso de que cada lado del
cuadrado valga 8, se sustituye L por 8,
quedando
Un coeficiente es el número o letra que
antecede a la variable y se encuentra
multiplicándola, es decir, nos indica
cuantas veces se repite la variable.
En el caso de 3g, el coeficiente es 3 y nos
dice que se multiplique a g por 3, es
decir que se sume 3 veces g
P = 4 × 8 resultando entonces a P el
valor de 32.
3g = g + g + g
6ab = ab + ab + ab
4h = h + h + h + h
Pero si cada lado mide 7
P = (4)(7) = 28, en este caso el
perímetro será igual a 28, pero la
constante de que el cuadrado tiene
cuatro lados se seguirá cumpliendo.
•
Expresiones algebraicas
Una vez conocida la función de una
variable, lo siguiente es identificar
cómo
podemos
utilizarla.
Las
expresiones algebraicas son operaciones conformadas con variables y
constantes, éstas pueden ser de uno o
varios términos.
•
Exponente
El exponente nos indicará cuantas veces
se multiplicará la variable o constante
que lo contenga
a4 = a × a × a × a
Cualquier cantidad elevada a la cero
potencia es igual a 1
100 = 1
30 = 1
1300 = 1
Realización del ejercicio
En este caso, podemos simbolizar tres
pelotas como 3p y dos carritos como
2c, quedando 3p + 2c.
Ahora bien, un término es la parte de la
expresión algebraica separada por un
signo que pueden ser el +, - o igual.
3g + 6ab + 4h
•
Coeficiente
El Alumno:
Escribirá en lenguaje
algebraico situaciones de la vida diaria
Ejemplo:
En este semestre se llevan 5 horas de
clase de matemáticas, 3 horas de inglés,
2 horas de laboratorio, 4 horas de física y
4 horas de química a la semana,
quedaría expresado de la siguiente
forma:
Reforma académica 2003
37
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6d monomio de primer grado
5m + 3i + 2l + 4f +4q
en donde cada literal significa la
primera de letra de la materia.
•
Términos semejantes
Los términos son semejantes cuando las
variables que contienen son iguales y
con los mismos exponentes, en cuyo
caso se podrán sumar o restar sus
coeficientes.
6dp monomio de segundo grado, ya que
el exponente de d es de 1 más el
exponente de 1 de p 3jr2 monomio de
tercer grado por la suma del exponente 2
de la r más el exponente 1 de j.
•
Binomios
Se diferencia un binomio cuando la
expresión algebraica tiene dos términos
5t + 4jt
3f + 4gd
4b + 2b + 7b = 13b
A está suma se le conoce como reducir
los términos, en el caso siguiente:
4b + 2ab + 7b + 6b2
los términos 4b y 7b se pueden reducir
sumándolos, pero el término 2ab ya no
es semejante al contener la variable b;
en el caso de 6b2 el término b se
encuentra al cuadrado, por lo tanto la
expresión algebraica quedaría
2
4b + 2ab + 7b + 6b =
11b + 2ab + 6b2
2.1.1.1 MONOMIOS Y
POLINOMIOS
•
Trinomio
Trinomio es el nombre que se le asigna a
la expresión algebraica con tres términos
7g + 3yu + 2d
2k + 6t +2abc
•
Polinomio
En cambio, corresponde el término
polinomio a la expresión algebraica
compuesta de dos o más términos, es
decir, puede ser un binomio, trinomio o
contener más términos.
Investigación
documental
Monomios
Cuando la expresión algebraica consta
de un solo término se le conoce como
Monomio y el grado de éste es la suma
de los exponentes que tengan sus
variables.
38
•
El Alumno:
Realizará un trabajo escrito con los
conceptos
básicos
de
álgebra,
explicándolos con sus propias palabras.
Reforma académica 2003
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2.1.2 OPERACIONES CON
EXPRESIONES
ALGEBRAICAS
•
Suma y resta de polinomios
Para poder realizar sumas o restas entre
los términos de una expresión
algebraica, es necesario que estos
términos sean semejantes, en cuyo caso
lo que se realiza es sumar o restar
dependiendo del signo que se tenga los
coeficientes de los términos y escribir
sus literales.
5x7 + 2x5 + 7x4 + 3x3 descendente
3x3 + 7x4 + 2x5 + 5x7 ascendente
Este polinomio es de grado 7, por ser el
mayor
4. Se
colocan
los
términos
semejantes unos debajo de otros
para reducir
Ejemplo:
Suma de los siguientes polinomios:
6a2b2 + 3ab – 5
a2b2 – 5ab – 2
-5a2b2 – 4ab
15ad + 3ad – 8ad = 10ad
En este caso se suman y restan los
números 15 + 3 – 8 y se le adicionan
las variables ad.
Ya se encuentran ordenados y se
acomodan por términos semejantes
A la acción de realizar la suma y resta
de términos de polinomios se le conoce
como
reducción
de
términos
semejantes. Cuando se suman y restan
varios polinomios la metodología es:
1. Realizar la reducción de cada
polinomio
2. Ordenar cada polinomio, lo que
significa escribir sus términos en
orden alfabético
3. A
continuación
ordenar
los
polinomios de acuerdo con su
grado, determinado por el término
de mayor grado y se ordena de
forma creciente o decreciente
El polinomio:
5x7 + 3x3 + 2x5 + 7x4
quedaría
6a2b2 + 3ab – 5
a2b2 – 5ab – 2
-5a2b2 – 4ab
2a2b2 + 6ab – 7
El resultado de la suma de polinomios
será:
2a2b2 + 6ab – 7
Para restar polinomios, se le cambian los
signos al polinomio sustraendo de
acuerdo con los términos y se suman los
polinomios.
Ejemplo:
(2a2b2 + 6ab – 7) – (6a2b2 + 3ab – 5)
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39
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Se cambian los signos del polinomio
que restamos:
Cuando
los
monomios
tengan
coeficientes, éstos deben multiplicarse
-6a2b2 - 3ab + 5
6bc3 × 2bde = 12b2c3de
luego se suman los polinomios:
(2a2b2 + 6ab – 7) + (-6a2b2 - 3ab + 5)
Ya se encuentran ordenados y se
acomodan por términos semejantes:
Para el producto de monomios se debe
cumplir con las leyes de la multiplicación
(conmutativa, asociativa, distributiva).
•
Multiplicación de polinomios
Multiplicación de monomios
Uno de los ejercicios más difíciles de la
presente unidad es la multiplicación de
polinomios. Para resolver una ecuación
de este tipo se multiplica cada uno de los
términos del primer polinomio por los
del segundo polinomio empezando por
el de la izquierda.
Para multiplicar monomios con las
mismas
literales
se
suman
los
exponentes de las literales, el resultado
será el exponente con la misma literal,
es decir, si se tiene el producto de
(a + b)(c + d)
a+b
c+d
c(a + b) = ac + bc
d(a + b) = ad + bd
e2 × e5 × e3 = e2+5+3= e10
ac + bc + ad + bd
2a2b2 + 6ab – 7
-6a2b2 - 3ab + 5
-4a2b2 + 3ab – 2
•
(a2 + ab + 1)(a2 +ab)
a2 + ab + 1
a2 + ab
ab2 × a2b × a3b2 = a1+2+3b2+1+2 = a6b5
Cuando se tienen literales diferentes se
transcriben al resultado o producto y se
ordenan alfabéticamente
af × eg = afeg = aefg
ac2 × cd3e = ac3d3e
nótese que en el caso de la literal c que
se presentaba en ambos términos se
realizó la suma de sus exponentes, las
demás literales que eran diferentes se
transcribieron con sus exponentes.
40
a2(a2+ab+1) = a4 + a3b + a2
ab(a2+ab+1) = a3b + a2b2 + ab
a4 +2a3b + a2 + a2b2 + ab
nótese
que
se
tienen
términos
semejantes y se pueden reducir.
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Una vez más, en la multiplicación de
polinomios se cumple con las leyes
antes descritas de los signos.
•
División de un monomio entre
un monomio
Ahora la contraparte, para la división de
monomios con la misma literal, sólo se
requiere restar al exponente del
dividendo el del divisor y tomarlo como
el exponente del cociente con la misma
literal.
•
División de un polinomio entre
un monomio
Podría pensarse que se trata de términos
muy diferentes, sin embargo, ya se ha
visto la posibilidad de mezclar y realizar
operaciones con los diferentes tipos de
polinomios y monomios. Para llevar a
cabo esta operación se requiere ir
dividiendo cada término del polinomio
entre el monomio
8b2c + 6b5 +4b3c =
2bc
g8 / g5 = g8 – 5 = 3 = g3
8b2c + 6b5 + 4b3c =
2bc
2bc
2bc
Se debe recordar que todo número o
literal con exponente cero será igual a
uno.
e7g5 / e5g5 = e7 – 5 = 2g5 – 5 = 0 =
e2g0 = e2(1) = e2
En el caso de tener coeficientes, estos
se dividen, si no son divisibles se dejan
expresados
7c d = 7 c
2c2d
2
2
4c = 2 c
2c2d
d
División de un polinomio entre
un polinomio
Los polinomios se ordenan según la
misma literal y se efectúa la operación
a + b cociente
a + 2ab + b a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
divisor
-a3 - 2a2b - ab2
a2b + 2ab2 + b3
- a2b - 2ab2 - b3
0 residuo
2
Si una de las literales sólo se encuentra
en el denominador, ésta no puede
dividir al numerador y se deja indicada
en el denominador:
8
•
(a3 + 3a2b + 3ab2 + b3) / (a2 + 2ab + b2)
6b6d2 = 3b2d
2b3d
4
4b + 3b4 + 2 b2
c
6
2
La metodología es la siguiente:
ƒ
Obtener el primer término del
cociente, dividiendo el primer
Reforma académica 2003
41
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término del dividendo entre el
primer término del divisor
a3 / a 2 = a
ƒ
Multiplicar el divisor por
primer término del cociente
2
el
3
2
2
a + 2a b + ab
Restar
este
producto
al
dividendo, al resultado de esta
resta se le conoce como primer
residuo
3
2
2
a + 3a b + 3ab + b
-a3 - 2a2b - ab2
- a2b + 2ab2 + b3
ƒ
Buscar el segundo término del
cociente dividiendo el primer
término del primer residuo entre
el primer término del divisor
Repetir los pasos anteriores,
multiplicar el divisor por el
segundo término del cociente
2
El Alumno:
Resolverá problemas
cotidianos en donde se
tengan dos incógnitas susceptibles de
resolver por cualquiera de los métodos
de ecuaciones simultáneas
Ejemplo:
3
(a2b + 2ab2 + b3) / a2 = b
ƒ
Trabajo individual
2
(a + 2ab + b ) * (a) =
ƒ
Realizar la práctica número 3.
“Manejo de operaciones con
expresiones algebraicas”.
2
(a + 2ab + b ) * (b) =
a2b + 2ab2 + b3
y se le resta al primer residuo, en
caso de requerirse se continuaría
de la misma manera.
Una compañía con dos tiendas compra
seis camionetas grandes y cinco
pequeñas para entregar sus productos.
La primera tienda recibe cuatro
camionetas grandes y dos pequeñas con
un costo total de $160,000. La segunda
tienda recibe dos camionetas grandes y
tres pequeñas con un costo total de
$128,000 ¿Cuál es el costo de cada tipo
de camioneta?
Planteamiento
Las dos incógnitas son el costo y el tipo
de camioneta
X = costo de la camioneta grande
Y = costo de la camioneta pequeña
De la primera tienda se tiene
4x + 2y = $160,000
Realizar la práctica número 2.
“Aplicación de operaciones y
de la segunda tienda
expresiones algebraicas”.
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2x + 3y = $128,000
el costo de la camioneta grande es de
$28,000
Utilizando el método de eliminación
Las soluciones son:
Se multiplica la segunda ecuación por
-2, quedando
Costo de la camioneta grande = $28,000
Costo de la camioneta pequeña =
$24,000
-4x -6y = -256000
2.2
sumando las ecuaciones
4x + 2y = 160000
-4x – 6y = - 256000
- 4y = - 96000
SIMPLIFICAR EXPRESIONES
ALGEBRAICAS UTILIZANDO
PRODUCTOS NOTABLES Y
FACTORIZACIÓN
2.2.1 PRODUCTOS NOTABLES
•
despejando y
Cuadrado de un binomio
(a + b)2 = (a + b) × (a + b) =
y = - 96000/- 4
a+b
a+b
a2 + ab
ab + b2
a2 + 2ab + b2
y = 24000
el costo de la camioneta pequeña es de
$24,000
sustituyendo en la ecuación 1
4x + 2(24000) = 160000
4x + 48000= 160000
4x = 16000 – 48000
4x = 112000
x = 112000/4
Como se puede ver, el cuadrado de la
suma de dos literales es igual al
cuadrado de la primera más dos veces la
primera por la segunda más el cuadrado
de la segunda.
Cuando el binomio tiene signo negativo
en uno de sus términos
(a - b)2 = (a - b) * (a - b) =
x = 28000
a-b
a-b
a2 - ab
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43
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- ab + b2
a - 2ab + b2
(a + b) (a + c)
2
•
Producto de dos binomios
conjugados
Al realizar el producto de la suma por la
diferencia de dos números se obtendrá
como resultado el cuadrado del primer
término menos el cuadrado del
segundo término.
(a + b) (a – b) = a2 – b2
a+b
a+c
a2 + ab
ac + bc
2
a + ab + ac + bc
a2 + a (b + c) + bc
Ejemplo:
(a + 3) (a + 2)
a+3
a+2
2
a + 3a
2a + (3)(2)
2
a + 5a + 6
a+b
a–b
a2 + ab
- ab - b2
a2
- b2
Estudio individual
Ejemplo:
(2c – 3d) (2c + 3d) = 4c2 – 9d2
2c – 3d
2c + 3d
4c2 - 3d
+ 3d - 9d2
2
4c
- 9d2
•
Ejemplo:
Producto de dos binomios que
tienen un término en común
El resultado que se obtendrá de
multiplicar dos binomios con un
término en común será igual al
cuadrado del término en común más el
producto del término en común por la
suma algebraica de los dos términos
diferentes, más el producto de los dos
términos diferentes.
44
El Alumno:
Aplicará productos notables
en la simplificación de expresiones
algebraicas.
Se requiere conocer el área de un terreno
rectangular para venderlo a $100.00 por
metro cuadrado; sus dimensiones son:
largo (3x + 4) metros y ancho (3x – 3).
A = largo × ancho
(3x + 4) (3x – 3) = (3x)2 + 3x (4 – 3) + 4
(- 3) = 9x2 + 3x – 12
el área es 9x2 + 3x – 12 m2
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•
Binomio al cubo
ƒ
Al realizarse el cubo de un binomio de
términos que se suman se obtiene:
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
El cubo del primer término
Más el triple del cuadrado del
primero por el segundo
Más el triple del cuadrado del
segundo por el primero
Más el cubo del segundo
(a + b )3
a-b
a-b
a2 + ab
- ab + b2
2
a - 2ab + b2
a-b
3
2
a - 2a b +ab2
- a2b + 2ab2 - b3
a3 - 3a2b + 3ab2 - b3
(a + b )3
a+b
a+b
a2 + ab
ab + b2
2
a + 2ab + b2
a+b
3
a + 2a2b +ab2
a2b + 2ab2+ b3
a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
(a2 + 5)3
Realizar la práctica número 4.
“Aplicación de productos
2.2.2. FACTORIZACIÓN
a2 + 5
a2 + 5
a4 + 5a2
5a2 + 52
4
a + 10a2 + 25
a2 + 5
a6 + 10a4 + 25a2
5a4 + 50a2+ 5(25)
a6 + 15a4 + 75a2 + 125
En el caso de que el binomio sea una
resta de términos se obtendría:
ƒ
ƒ
Más el triple del cuadrado del
segundo por el primero
Menos el cubo del segundo
término.
El cubo del primer término
Menos el triple del cuadrado del
primero por el segundo
Factorizar un número entero significa
expresarlo como el producto de otros
números enteros
•
Monomio factor común
Recordando que los números primos sólo
son divisibles entre sí mismos y la
unidad, para que un divisor sea factor
primo debe ser divisible únicamente
entre sí mismo y la unidad.
Si se quiere encontrar el Máximo Común
Divisor (MCD) de dos o más monomios,
se encuentra el MCD de los coeficientes y
de las variables que aparecen en todos
Reforma académica 2003
45
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los monomios se eligen las que se
encuentren
elevadas
al
menor
exponente.
Por ejemplo:
Por ejemplo:
Se puede comprobar al verificar que el
segundo término corresponda al doble
de la multiplicación de la raíz de los otros
dos términos
8a3b2 = 2 × 4a3b2
4a3b2 = 2 × 2a3b2
2a3b2 = 2 × a3b2
3 2
a b =a×a×a×b×b
4c2 + 8cy + 4y2
8cy = 2
los factores primos de 8a3b2 son 2, a y b
•
En este caso 18, 6 y 15 son divisibles
entre 3 y los tres términos tienen
solamente en común la literal a, por lo
tanto los factores de estos tres
monomios son 3 y a
Trinomio que es un cuadrado
perfecto
ƒ
Diferencia de dos cuadrados
La diferencia de cuadrados se factoriza
como el producto de la suma de sus
raíces cuadradas por su diferencia
a2 - b2 = (a + b) ( a – b)
4c4 – 4d2 = (2c2 + 2d) (2c2 – 2d)
•
se
La suma o diferencia de las raíces
de los términos cuadrados según
el signo del doble del producto
de ambos términos
a2 + 2ab +b2 = (a + b)2
a2 - 2ab +b2 = (a - b)2
Para factorizar un trinomio cuadrado
perfecto
se
requiere,
primero,
determinar si en realidad corresponde
al cuadrado de un binomio con
términos semejantes.
46
= 2 (2c)(2y)
4c2 + 8cy + 4y2 = (2c + 2y)
18ab, 6ac, 15ad
Un trinomio cuadrado perfecto
descompone en:
4y2
como sí corresponde, se tiene:
Ejemplos de varios monomios
•
4c2
Polinomio que es un cubo
perfecto
La suma de dos cubos se descompone
como el producto de un binomio por un
trinomio en donde:
ƒ
ƒ
El binomio es la suma de dos
términos que corresponden a la
raíz cúbica del binomio resultante;
Y el trinomio es el cuadrado de la
primera raíz, menos el producto
de ambas raíces, más el cuadrado
de la segunda
(a + b) (a2 – ab +b2) = a3 + b3
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5(x + 6)
Por ejemplo:
8a3 + 125 =
2. Propiedad
multiplicación
Conmutativa
el binomio sería la raíz cúbica
de
la
de
la
5(x + 6)
2a + 5
y el trinomio
(2a)2 – (2a) (5) + 52
= 4a2 – 10a + 25
por lo tanto
8a3 + 125 = (2a + 5) (4a2 – 10a + 25)
La diferencia de dos cubos se
descompone también como el producto
de un binomio por un trinomio donde:
ƒ
ƒ
3. Propiedad
multiplicación
conmutativa
6(xy)
4.
Propiedad
multiplicación
asociativa
de
la
6(xy)
Escriba cada expresión
multiplicación repetitiva
como
una
x3 x4
(y/5)4
El binomio es la diferencia de
dos términos que corresponden
a la raíz cúbica del binomio
resultante;
Y el trinomio es el cuadrado de la
primera raíz, menos el producto
de ambas raíces, más el
cuadrado
5.
6.
(a - b) (a2 + ab +b2) = a3 – b3
Utilice las propiedades de los exponentes
para simplificar las siguientes expresiones
Realizar la práctica número 5.
“Manejo de la factorización”.
RESUELVE LOS SIGUIENTES
EJERCICIOS
Utilice la propiedad indicada
1. Propiedad Distributiva
Escriba cada
exponencial
7.
8.
expresión
en
notación
(5x) (5x) (5x) (5x)
(y × y × y) ( z × z × z)
9.
33y4 × y2
10.
11.
12.
(-4x)2
(-5z2)3
(xy)(3x2y3)
Realice las sumas de los siguientes
polinomios
13.
(5x2 – 3x + 4) + (-3x2 –4)
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14.
(2b -3) + (b2 –2b)+ (7 –b2)
Restas de polinomios
15.
16.
(x2 – x + 3) – (x – 2)
(-2x3-15x+25) – (2x3-13x+12)
19.
20.
21.
22.
23.
24.
4x4 – 4x3 +6x – 9
(x + 8) (x – 8)
(4y + 3z) (4y –3z)
(x +2y) (x – 2y)
(x – 2)2
(3x – 5y)2
Multiplicaciones de polinomios
17.
18.
19.
(x3 – 3x + 2)(x – 2)
(u + 5)(2u2 + 3u – 4)
(2x2 – 3)(2x2 – 2x + 3)
Factorice
20.
21.
22.
23.
24.
x2 – 64
16y2 – 9z2
x2 – 4y
x2 – 4x + 4
9x2 – 30xy + 25y2
RESULTADOS
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
48
5x + 5 × 6
5x+30
(x + 6)5
(xy)6
(6x)y
(x x x) (x x x x)
(y/5) (y/5) (y/5) (y/5)
(5x)4
x3y3
27y6
16x2
–125z6
6x3y4
2x2 –3x
4
x2 –2x + 5
–4x3 –2x +13
x4 –2x3 – 3x2 +8x – 4
2u3 + 13u2 + 11u – 20
Reforma académica 2003
Colegio Nacional de Educación Profesional Técnica
PRÁCTICAS Y LISTAS DE COTEJO
DESARROLLO DE LA PRÁCTICA
Unidad de
aprendizaje:
2
Práctica número:
4
Nombre de la
práctica:
Aplicación de productos notables.
Propósito de la
práctica:
Al finalizar la práctica, el alumno aplicará productos notables en
expresiones algebraicas.
Escenario:
Aula
Duración:
3h
Materiales
Maquinaria y equipo
Herramienta
• Cartulina
• Plumones
• Hojas blancas
tamaño carta.
• Lápiz y goma.
Reforma académica 2003
49
Colegio Nacional de Educación Profesional Técnica
Procedimiento
­ Aplicar las medidas de seguridad e higiene en el desarrollo de la práctica.
• Limpiar el área de trabajo.
• Evitar la manipulación de líquidos y alimentos cerca de los documentos de
trabajo
1. Resolver reunidos por equipos los siguientes ejercicios de acuerdo a las
instrucciones del PSA, repartiéndose el trabajo de manera equitativa de acuerdo al
número de equipos formados en el grupo.
Serie 1: Desarrollar las siguientes expresiones y comprobar el resultado por
multiplicación:
a).
( 2a + 3 )
b).
( 3a + 4b )
c).
(2x
d ).
( 4a b + 3c d )
3
2
2
=
2
e).
=
5
+ 4 y6 ) =
2
2
3⎞
⎛1
f ). ⎜ x + ⎟ =
4⎠
⎝2
+ 3y2 ) =
2
2
( 3x
3 2
g ).
=
( 4 xy
2
+ 2x2 y ) =
2
Serie 2: Desarrollar las siguientes expresiones y comprobar el resultado por
multiplicación:
a ). ( 2 a − 4) =
2
b ). ( 4 − 2 x) =
2
c ). (5x − 3y) =
2
(
d ). 3x 3 − 2 y 2
)
2
=
2
⎛1
e ). ⎜ a −
⎝4
2⎞
⎟ =
3⎠
(
)
f ) 4 a 5 − 3b 2
(
2
=
)
2
g ). 3ab 2 − 2 a 2b =
50
Reforma académica 2003
Colegio Nacional de Educación Profesional Técnica
Procedimiento
Serie 3: Desarrollar las siguientes expresiones y comprobar el resultado por
multiplicación:
2. Exponer por equipo sus resultados, al término del tiempo fijado por el PSA.,
utilizando las cartulinas para una explicación con el material de tipo mural.
3. Presentar conclusiones por equipo.
4. Elaborar un resumen de productos notables.
5. Elaborar de manera individual el reporte escrito de la práctica que deberá incluir las
conclusiones de la misma.
4 Utilizar las hojas por ambas caras y las de desecho colocarlas en el recipiente
destinado para su posterior envió a reciclaje.
Reforma académica 2003
51
Colegio Nacional de Educación Profesional Técnica
LISTA DE COTEJO DE LA PRÁCTICA NÚMERO 4:
Aplicación de productos notables
Fecha: ______________
Nombre del alumno: __________________________________________________________
Instrucciones: A continuación se presentan los criterios a verificar en el desempeño
del alumno.
De la siguiente lista marque con una 9 aquellas actividades que hayan sido
cumplidas por el alumno durante su desempeño.
Desarrollo
Si
­ Aplicó las medidas de seguridad e higiene en el desarrollo
de la práctica.
• Limpió el área de trabajo
• Evitó la manipulación de líquidos y alimentos cerca de los
documentos de trabajo.
1. Elaboró por equipos los ejercicios de acuerdo a las
instrucciones del PSA
- Resolvió la serie 1 de ejercicios
- Resolvió la serie 2 de ejercicios
- Resolvió la serie 3 de ejercicios
2. Elaboró en cartulinas los ejercicios.
3. Cada equipo nombró un relator.
- El relator expuso al grupo los resultados de sus ejercicios
- Resolvieron dudas y preguntas
4. Elaboró el resumen de productos notables.
5. Elaborar de manera individual el reporte escrito de la
práctica que deberá incluir las conclusiones de la misma.
4 Colocó las hojas desechables en el recipiente destinado para
las mismas.
Observaciones:
PSA:
Hora de inicio:
Hora de término:
Evaluación:
52
Reforma académica 2003
No
No
Aplica
Colegio Nacional de Educación Profesional Técnica
DESARROLLO DE LA PRÁCTICA
Unidad de
aprendizaje:
2
Práctica número:
5
Nombre de la
práctica:
Manejo de la Factorización.
Propósito de la
práctica:
Al finalizar la práctica, el alumno aplicará la factorización en la
simplificación de expresiones algebraicas.
Escenario:
Aula
Duración:
4h
Materiales
• Cartulina
Maquinaria y equipo
Herramienta
• Plumones
• Hojas blancas
tamaño carta.
• Lápiz y goma.
Reforma académica 2003
53
Colegio Nacional de Educación Profesional Técnica
Procedimiento
­ Aplicar las medidas de seguridad e higiene en el desarrollo de la práctica.
• Limpiar el área de trabajo.
• Evitar la manipulación de líquidos y alimentos cerca de los documentos de
trabajo.
1. Resolver reunidos por equipos los siguientes ejercicios de acuerdo a las
instrucciones del PSA, repartiéndose el trabajo de manera equitativa de acuerdo al
número de equipos formados en el grupo.
1.) 5a2 + a =
2.) m2 + 2mx + x2
=
3.) a2 + a - ab - b =
4.) x2 - 36 =
5.) 9x2 - 6xy + y2 =
6.) x2 - 3x - 4 =
7.) 6x2 - x - 2 =
8.) 1 + x3 =
9.) 27a3 - 1 =
10.) x5 + m5 =
11.) a3 - 3a2b +
5ab2 =
12.) 2xy - 6y + xz 3z =
13.) 1 - 4b + 4b2 =
14.) 4x4 + 3x2y2 +
y2 =
15.) x8 - 6x4y4 + y8
=
16.) a2 - a - 30 =
17.) 15m2 + 11m 14 =
18.) a6 + 1 =
19.) 8m3 - 27y6 =
20.) 16a2 - 24ab +
9b2
21.) 1 + a7 =
22.) 8a3 - 12a2
+6a - 1
23.) 1 - m2 =
24.) x4 + 4x2 - 21
25.) 125a6 + 1
26.) a2 + 2ab +
b2 - m2
27.) 8a2b +
16a3b - 24a2b2
28.) x5 - x4 + x 1=
29.) 6x2 + 19x 20
30.) 25x4 - 81y2
=
31.) 1 - m3 =
32.) x2 - a2 + 2xy + y2
+ 2ab - b2
33.) 21m5n - 7m4n2 +
7m3n3 - 7m2n
34.) a ( x + 1 ) - b ( x
+1)+c(x+1)
35.) 4 + 4 ( x - y ) + (
x - y )2
36.) 1 - a2b4 =
37.) b2 + 12ab + 36a2
=
38.) x6 + 4x3 - 77 =
39.) 15x4 - 17x2 - 4 =
40.) 1 + ( a - 3b )3 =
2. Exponer por equipo sus resultados, al término del tiempo fijado por el PSA.,
utilizando las cartulinas para una explicación con material de tipo mural.
3. Presentar conclusiones por equipo.
4. Elaborar un resumen de factorización.
5. Elaborar de manera individual el reporte escrito de la práctica que deberá incluir las
conclusiones de la misma.
4 Utilizar las hojas por ambas caras y las de desecho colocarlas en el recipiente
destinado para su posterior envió a reciclaje.
54
Reforma académica 2003
Colegio Nacional de Educación Profesional Técnica
LISTA DE COTEJO DE LA PRÁCTICA NÚMERO 5:
Manejo de factorización
Fecha: ______________
Nombre del alumno: __________________________________________________________
Instrucciones: A continuación se presentan los criterios a verificar en el desempeño
del alumno.
De la siguiente lista marque con una 9 aquellas actividades que hayan sido
cumplidas por el alumno durante su desempeño.
Desarrollo
Si
No
No
Aplica
­ Aplicó las medidas de seguridad e higiene en el desarrollo
de la práctica.
• Limpió el área de trabajo
• Evitó la manipulación de líquidos y alimentos cerca de
los documentos de trabajo.
1. Elaboró por equipos los ejercicios de acuerdo a las
instrucciones del PSA
- Resolvió la serie de ejercicios
2. Elaboró en cartulinas los ejercicios.
3. Cada equipo nombró un relator.
- El relator expuso al grupo los resultados de sus
ejercicios
- Resolvieron dudas y preguntas.
4. Elaboró el resumen de factorización.
5. Elaborar de manera individual el reporte escrito de la
práctica que deberá incluir las conclusiones de la misma.
4 Colocó las hojas desechables en el recipiente destinado
para las mismas.
Observaciones:
PSA:
Hora de inicio:
Hora de término:
Evaluación:
Reforma académica 2003
55
Colegio Nacional de Educación Profesional Técnica
SOLUCIÓN DE ECUACIONES DE
PRIMER Y SEGUNDO GRADO Y
SISTEMAS DE ECUACIONES DE
PRIMER GRADO
Al finalizar el capítulo el alumno
resolverá problemas que
involucren ecuaciones de primer,
segundo grado y sistemas de
ecuaciones de primer grado para
la solución de problemas
56
Reforma académica 2003
Colegio Nacional de Educación Profesional Técnica
MAPA CURRICULAR DEL MODULO
Matemáticas I
Aritmética y
Álgebra
Módulo
72 h
1. Solución de
problemas de
números reales.
2. Manejo de
expresiones
algebraicas.
Unidad de
aprendizaje
17 h
27 h
3. Solución de
ecuaciones de
primer y segundo
grado y sistemas
de ecuaciones de
primer grado.
28 h
1.1 Identificar los subconjuntos de los números reales de acuerdo
con su clasificación.
1.2 Resolver problemas mediante el desarrollo de operaciones con
números reales.
Resultados
del
aprendizaje
2.1 Realizar operaciones con expresiones algebraicas de acuerdo
con los procedimientos establecidos.
2.2 Simplificar expresiones algebraicas utilizando productos
notables y factorización.
3.1 Resolver problemas que involucren la solución de una ecuación
de primer grado de acuerdo con los procedimientos
establecidos.
3.2 Resolver problemas que involucren la solución de sistemas de
ecuaciones de primer grado de acuerdo con los procedimientos
establecidos.
3.3 Resolver problemas que involucren la solución de ecuaciones de
segundo grado de acuerdo con los procedimientos
establecidos.
Reforma académica 2003
2h
15 h
17 h
10 h
8h
10 h
10 h
57