UNIVERSIDAD MARIANO GÁLVEZ DE GUATEMALA FACULTAD DE INGENIERÍA EN SISTEMAS DE INFORMACIÓN INGENIERÍA EN SISTEMAS DE INFORMACIÓN 15/11/2015 JORNADA DIARIA VESPERTINA Cálculo 1 Curso: Código: Pre-requisitos: 1. JUSTIFICACIÓN Las bases de la ingeniería descansan en los conceptos y habilidades del cálculo diferencial e integral, ya que permite el entendimiento, análisis y diseño de aplicaciones en las diversas áreas de la ingeniería aplicada. Las herramientas de límites, derivada e integrales son esenciales en cursos posteriores del área de ciencias de la ingeniería y en cursos del área profesional. 2. DESCRIPCIÓN El curso introduce al estudiante a los temas de cálculo mediante conceptos intuitivos para luego abordarlo de manera formal. Se iniciará con el concepto de límite para el análisis de funciones y continuidad. En la unidad siguiente se introducirá el tema de derivada como una aplicación de la pendiente de una función en un punto y se trabajará en desarrollar en el estudiante la habilidad de encontrar la derivada de funciones y ecuaciones algebraicas y trigonométricas. En la siguiente unidad se trabajará en las aplicaciones de derivadas, utilizándola como una herramienta de análisis y solución de problemas. Se introduce el tema de antiderivada y se aborda el tema de integral definida como el área bajo una curva; en esta unidad se espera que el estudiante adquiera habilidad para el desarrollo de antiderivadas e integrales definidas. 3. OBJETIVO GENERAL Que el estudiante desarrolle su capacidad de análisis y pensamiento lógico para emplearlos en la formulación y resolución de problemas del Cálculo, haciendo énfasis en los conceptos que servirán como base para el estudio de cursos posteriores. 4. COMPETENCIAS Al finalizar el curso, el estudiante habrá será capaz de: 4.1 Adjudicar los significados correctos a los símbolos, expresiones, reglas y convenciones de cálculo. 4.2 Resolver con competencia problemas de aplicación. 4.3 Entender y explicar los conceptos de límite, derivada, antiderivada e integral definida, así mismo tendrá habilidad en el desarrollo de estas herramientas. 4.4 Identificar las propiedades de cada función y las de sus gráficas, mediante análisis diferencial. 4.5 Graficar funciones sin dificultad, mediante herramientas de cálculo. 5. CONTENIDOS Unidad 1 Límites 1.1 1.2 Cálculo y conceptos intuitivos de límite. 1.1.1 Método numérico 1.1.2 Método grafico 1.1.3 Casos usuales del cálculo de límites: presencia de un agujero; comportamiento asintótico; discontinuidad de una función por salto; comportamiento oscilante. Cálculo analítico de límites. 1.2.1 Propiedades de los límites. 1.2.2 Teoremas sobre límites. 1.2.3 Estrategias de cálculo de límites: cálculo de límites con agujero mediante factorización, racionalización, otros; cálculo de límites que presentan discontinuidad; cálculo de límites que presentan asíntotas verticales. 1.3 1.4 Continuidad, límites laterales o unilaterales. 1.3.1 Definición de continuidad en un punto. Definición de continuidad en un intervalo abierto. 1.3.2 Límites laterales y continuidad en un intervalo cerrado. 1.3.3 Propiedades de continuidad. Límites infinitos 1.4.1 Definición de límites infinitos 1.4.2 Asíntotas verticales. Cálculo y grafica de funciones con asíntotas verticales. Unidad 2 Derivación 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 Definición de derivada por el concepto de pendiente de la recta tangente a la curva de una función. Cálculo de la derivada de una función por definición de límite. Diferenciabilidad y continuidad. Reglas básicas de derivación. Reglas del producto y del cociente. Derivadas de orden superior. Regla de la cadena. Derivación implícita. Cálculo de la ecuación de una recta tangente a la función y grafica de la situación. Unidad 3 Aplicaciones de la derivada 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 Extremos de una función. 3.1.1 Teorema del valor extremo. 3.1.2 Extremos relativos y valores críticos de la primera derivada. Teorema de Rolle y teorema del valor medio. Concavidad y criterio de la segunda derivada. Límites al infinito. 3.4.1 Definición de límites al infinito. 3.4.2 Asíntotas horizontales. 3.4.3 Teorema sobre límites al infinito. Análisis y trazo de graficas de funciones. Solución de problemas de optimización. Unidad 4 Integración 4.1 4.2 4.3 Antiderivadas, primitivas e integrales indefinidas. 4.1.1 Antiderivadas o primitivas. 4.1.2 Integral indefinida y teoremas básicos de integración. 4.1.3 Ecuaciones diferenciales Integral definida. 4.2.1 Definición de integral como el área que se forma entre la curva de una función y el eje de las abscisas. 4.2.2 Cálculo de una integral por el límite de una sumatoria. 4.2.3 Propiedades de la integral definida. 4.2.4 Teorema fundamental del cálculo. Regla de la cadena para la integral o regla de la sustitución. Unidad 5 Funciones logarítmicas, exponenciales y otras funciones trascendentes 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 Funciones exponenciales y logarítmicas. Graficas y propiedades. Función exponencial natural y función logaritmo natural. Graficas y propiedades Definición de logaritmo y leyes de logaritmos. Cambio de base en logaritmos. Ecuaciones logarítmicas y exponenciales. Reglas de derivadas e integrales de funciones exponenciales y logarítmicas. Funciones trigonométricas inversas. Propiedades. Reglas de derivadas e integrales de funciones trigonométricas inversas. 6. EVALUACIÓN Primer Parcial Segundo Parcial Laboratorios, tares y trabajos de investigación Examen Final Nota Final 7. BIBLIOGRAFÍA 7.1 Texto: Larson, et al. “Cálculo”, Octava edición. Mc Graw Hill. 10 puntos 20 puntos 20 puntos 50 puntos 100 puntos Otras referencias: 7.2 Stewart, J. et al. “Cálculo de una variable, Trascendentes Tempranas”, Sexta edición, Cencage Learning. México.