k - de la UVa

TEMA 5. Reflexión y refracción de ondas
Propagación de la luz. rincipios de Huygens y Fermat
Reflexión y refracción de ondas planas
Aplicaciones:
reflexión total
guías de luz
dispersión de la luz en prisma
Polarización
Ecuación de una onda sinusoidal que se propaga en una dirección arbitraria del espacio
= osen(k·r-t)
k es el vector de ondas, indica la dirección de propagación.
r es el vector posición
del punto del espacio que es alcanzado por la perturbación.
Esta función de ondas es solución de la ecuación de ondas en tres dimensiones:
2
2
2
2
 ξ x, y, z, t   2 [  ξ(x, y, z, t)   ξ(x, y, z, t)   ξ(x, y, z, t) ]
v
2
 z2
 x2
t
 y2
En le caso de una onda em, las magnitudes físicas cuya perturbación se propaga son los campos
eléctrico y magnético respectivamente.
K
E=Eosen(k·r-t)
B=Bosen(k·r-wt)
r
Principio de Huygens
Un frente de ondas es una superficie formada por todos los puntos que se ven alcanzados
por el movimiento ondulatorio simultáneamente y se encuentran en el mismo estado de
perturbación. Todos los puntos del frente de ondas tienen la misma fase.
= osen(k · r-t)
los frentes de onda cumplen que K.r-t=cte
En el caso de ondas planas se trata de planos perpendiculares a k.
Para una onda esférica se trata de esferas centradas en la fuente.
Huygens: cuando el frente de ondas alcanza una superficie, todos los puntos
se convierten en centros (secundarios) emisores de ondas.
Principio de Fermat. La trayectoria seguida por la luz para pasar de un
punto a otro (camino óptico) es la que corresponde al menor tiempo.
Los tiempos de propagación entre puntos correspondientes de un frente
de ondas son iguales.
La distancia entre puntos correspondientes depende de la velocidad
de propagación de la onda en esa dirección.
En un medio isótropo y homogéneo, la trayectoria (rayos) de las ondas
sigue líneas rectas.
Los rayos son siempre perpendiculares a los frentes de
ondas. La relación de ortogonalidad entre rayos y
frentes de onda se conserva en todo el camino de
propagación: Th. De Malus
Reflexión y refracción de ondas planas
La reflexión y la refracción se producen cuando una onda alcanza una
superficie de discontinuidad que separa dos medios de distinta naturaleza 
distinta velocidad de propagación. Al alcanzar la superficie de discontinuidad se
produce una onda reflejada y otra transmitida (refracción).
Los ángulos i, r y t son los ángulos de incidencia,
reflexión y refracción.
n
ui
i
r
ur
El plano formado por ui y la normal a la superficie
de discontinuidad, n, es el plano de incidencia.
ui, ur y ut están en el plano de incidencia.
Los ángulos de incidencia y reflexión son iguales
Ley de la reflexión
ut
t
Los ángulos de incidencia y refracción están
relacionados por la siguiente expresión
seni/sent=v1/v2
Ley de la refracción (ley de Snell)
Estas leyes se pueden demostrar haciendo uso del teorema de Malus
B
i r
i r
t
A
A’’
B’
A’
t
seni=senr
Ley de la reflexión
AB frente de onda de la onda incidente
A’’B’ frente de ondas de la onda reflejada
A’B’ frente de ondas de la onda refractada
BB’=v1t
AA’=v2t
AA’’=v1t
BB' v1 t

AB' AB'
AA' ' v1 t
sen θr 

AB' AB'
AA' v2 t

sen θ t 
AB' AB'
sen θi 
sen θi v1

sen θ t v2
Ley de la refracción. Ley de Snell
Reflexión especular
Reflexión difusa
Estudio analítico de la reflexión y refracción
i= iosen(ki · r-it)
kr
ki
r
O
kt
r= rosen(kr · r-rt)
t= tosen(kt · r-tt)
En la superficie de discontinuidad la amplitud debe ser igual a los dos lados:
i+r=t  iosen(ki · r-it)+rosen(kr · r-rt)=tosen(kt · r-tt)
Las fases tienen que ser iguales: ki
i= r=t
ki · r= kr · r=kt · r
· r-it= kr · r-rt=kt · r-tt
( ki - kr) · r=0 ley de la reflexión
(ki -kt ) · r=0
ley de la refracción
( ki - kr) · r=0
(ki -kt ) · r=0
( ki - kr) • r=0
(ki -kt ) • r=0
( ki - kr) =0
( ki - kr) r
( ki - kt) =0
( k i - k t)  r
( ki - kr) y (ki -kt ) son vectores normales a la
superficie de discontinuidad
Representamos los vectores k en esta base
n
nxt
t
ki=kinn+kitt
kr=krnn+krtt+krc(nxt)
kt=ktnn+kttt+ktc(nxt)
r = rtt+rc (nxt)
Ley de la reflexión
( ki - kr).r= (kit- krt)rt-krcrc=0
Ley de la refracción
( ki - kt).r= (kit- ktt)rt-ktcrc=0
Expresiones válidas para cualquier r, tambien para r sin componente tangencial
krc=0
ktc=0
ki=kinn+kitt
kr=krnn+krtt
kt=ktnn+kttt
Además:
kit- krt =0
kit- ktt =0
ki, kr y kt están en el mismo plano: plano de incidencia
kit= krt= ktt las tres componentes tangenciales
son iguales
ki2=kin2+kit2
kr2=krn2+krt2
kt2=ktn2+ktt2
ki=kinn+kitt
kr=krnn+krtt
kt=ktnn+kttt
Además, i=r=t=v1=/k1, v2=/k2
kr=ki
krn2= kr2 - krt2 = ki2- krt2 = ki2 - kit2 =kin2
krn=+kin
krt=kit
Al ser una onda reflejada tomamos la solución negativa
i r
krn= -k1cosi=k1cosr
krt=k1seni=k1senr
=r
Onda transmitida
ktt=k2sent=kit=k1seni
sen θi k 2 v1 n 2
  
sen θ t k1 v2 n1
n2>n1
v1>v2
seni>sent;
i>t;
seni<sent;
i<t;
n2<n1
v1<v2
sent<1; cuando seni=n2/n1sent=1, t=90o
Reflexión total
La reflexión interna total juega un papel fundamental en los dispositivos
Que generan luz, como los diodos emisores de luz (LEDs)
Prisma. Descomposición de la luz. Espectro
Un prisma óptico es un dispositivo formado por dos superficies planas que forman entre sí un
ángulo  y que separan dos medios con diferente índice de refracción.
Angulo que se desvía un rayo de luz monocromática (de una sola longitud de onda) que incide
formando un ángulo i sobre la cara de un prisma óptico cuyo índice de refracción es n y cuyo
ángulo es A si el prisma está en el aire (n aire = 1)
1ª superficie
seni = n.sen t
2ª superficie
n.sen ’t = sen ’i
=/2-t’t t+’t=
 = (i +’i) - .
Se puede demostrar teórica y experimentalmente que el ángulo de desviación mínima se produce
cuando los ángulos de incidencia y emergentes son iguales, es decir, cuando dentro del prisma la
trayectoria del rayo luminoso es paralela a la base del prisma.
t + ’t -  = 0
i-t + ’i – ’t -  =0
i
’i
t
’t
Con un segundo prisma invertido
se recompone la luz blanca
Guías de luz
La luz se puede guiar mediante estructuras cuyo índice de refracción es mayor que el de su
entorno. Mediante la reflexión total la luz no puede escapar del medio de mayor índice,
y por consiguiente se puede guiar
Cleaved reflecting surface
W
L
Stripe electrode
Oxide insulator
p-GaAs (Contacting layer)
p-Al xGa1-xAs (Confining layer)
p-GaAs (Active layer)
n-Al xGa1-xAs (Confining layer)
n-GaAs (Substrate)
Elliptical
laser
beam
2
1
Current
paths
Substrate
3
Substrate
Electrode
Cleaved reflecting surface
Active region where J > Jth.
(Emission region)
Schematic illustration of the the structure of a double heterojunction stripe
contact laser diode
© 1999 S.O. Kasap, Optoelectronics (Prentice Hall)
Amplitudes
En la superficie de discontinuidad se tiene que cumplir que
En x=0: Eiosen(-t)+Erosen(-t)= Etosen(-t)
Eio+Ero=Eto
Falta una ecuación:
La obtenemos del campo magnético y la relación
con el campo eléctrico.
Para incidencia normal (i=0) y con E perpendicular al plano de
incidencia
Ei  E r  Et
Z
Z
1
Ei//
Ei
Ei
2
1/ 2
 1(2) 

  1(2) 


Z 1( 2)  
 Er  Z  Z  n   n n n
   Z Z   n  n  n n
 Ei 
2 n
 E t  2Z
2n



  Z Z  n  n n n
 Ei 
2
1
2
1
1
2
1
2
1
2
2
1
1
2
2
1
2
1
2
2
1
2
1
2
1
1
2
1
(   )
1
2
ki
E
E
E
E
ro
R
io
to
T
io
T siempre es positivo, la onda incidente y la refractada (transmitida) siempre están en fase,
R puede ser positivo ó negativo, según que n1 sea mayor ó menor que n2. Pueden
estar en fase ó en oposición de fase.
La intensidad de la onda es
(1/)-1/2 Eo2= 1/2 ()1/2 Eo2
I=ve, e=1/2 vo2 =1/2
2
R E
E
2
ro
2
io
 v v   v  2 v v  v


v v 

v v 
2
2
1
1
1
2
2
Coeficientes de
2
2
2
2
1
reflexión (reflectividad)
1
1/ 2
 2 
  E
 
T 2
 1 
  E
 
 1
to
2
4v
v
v v  v 
1
1/ 2
R  T 1
y
2
2
2
2
2
io
2
1

4 v1 v2
v v 
2
2
1
transmisión (transmitancia)
Incidencia normal
Polarización
La luz es una onda transversal. Esto quiere decir que la magnitud
física asociada a la propagación (campo eléctrico o magnético, en este
caso) oscila en una dirección perpendicular a la de propagación.
Para las ondas transversales, por tanto, la dirección de oscilación no
es única y puede ser cualquiera de las infinitas direcciones
perpendiculares a la de propagación.
La luz natural, normalmente se compone de una mezcla de ondas
cuyos planos de oscilación (también su fase) difieren de unas a otras.
Ese tipo de luz se denomina no coherente y se dice que está
despolarizada.
En otras fuentes de luz, como los láseres, las fases de todas las ondas
que los componen son iguales (coherencia) y, normalmente, los
campos eléctricos o magnéticos oscilan en una dirección definida
(polarización).
Según como sea la polarización, las ondas se pueden
clasificar en:
Linealmente polarizadas: La dirección de polarización
es única y no cambia con el tiempo.
Circularmente
polarizadas.
La
dirección
de
polarización rota de forma que evoluciona según una
hélice circular.
Elípticamente polarizadas. El extremo del vector
campo va dibujando una elipse a medida que avanza.
Se puede entender esta polarización como una
situación intermedia entre una polarización lineal y una
circular.
Mecanismos de Polarización:
Partiendo de luz no polarizada, existen distintos fenómenos que dan lugar a la emergencia de luz polarizada:
•Polarización por absorción
•Polarización por reflexión
•Polarización por dispersión
•Polarización por birrefringencia (también llamada doble reflexión)
Polarización por absorción:
Algunas medios sólo permiten el paso de luz polarizada en una determinada
dirección denominada «eje de transmisión». Estos medios, denominados
polarizadores, tienen esta propiedad porque sus moléculas se encuentran
organizadas espacialmente de la forma adecuada, como ocurre en algunos
cristales ó en materiales tipo «cristal líquido».
Cuando a uno de estos materiales llega una luz despolarizada, la componente
perpendicular a esa dirección preferente es absorbida permitiendo sólo el paso de
la componente en la dirección paralela. Típicamente, en una luz completamente
despolarizada a la entrada, obtenemos luz polarizada lineal a la salida. En el
proceso, la intensidad de la luz se reduce a la mitad.
:
La luz no polarizada se propaga a lo largo del eje z e incide sobre una lámina
polarizadora con eje de transmisión en x.
A su salida tendremos una luz polarizada en la dirección x y con un campo
eléctrico cuya amplitud será E.
Al incidir sobre una segunda lámina cuyo eje de transmisión está girado un
ángulo  respecto de la 1ª, su dirección de polarización cambiará a la nueva
dirección, pero con la consiguiente pérdida de intensidad.
Antes de incidir sobre esa lámina la amplitud se puede descomponer según el eje
de la 2ª lámina en componente paralela y perpendicular:
Ley de Malus
En la primera lámina, la luz incidente será una mezcla homógenea de
todas las posibles direcciones de oscilación, por lo que el ángulo
promedio es 45º por lo que a su salida tendremos:
Polarización por reflexión:
Cuando la luz no polarizada incide en la superficie de separación de dos medios (no
metálicos), la luz reflejada está parcialmente polarizada.
La luz transmitida sólo está débilmente polarizada independientemente del ángulo de
incidencia.
El grado de polarización depende del ángulo de incidencia y de los índices de los medios.
Existe un ángulo de incidencia, el ángulo de polarización o ángulo de Brewster, para el que
la luz reflejada está completamente polarizada.
En este caso la dirección de polarización es perpendicular al plano de incidencia.
En incidencia de polarización el rayo reflejado y el refractado son perpendiculares entre sí.
La relación entre este ángulo y los índices del medio será:
p
Las gafas polarizadas evitan deslumbramientos aprovechando el efecto de polarización
principalmente horizontal de la luz reflejada en, por ejemplo, el suelo, la nieve y el agua, no así
en superficies metálicas.
Polarización por dispersión:
La dispersión de la luz se produce cuando esta incide sobre un obstáculo que la absorbe y
que posteriormente se convierte en fuente de ondas re-emitiendo ondas con la misma
frecuencia que las absorbidas. Típicamente, la dispersión genera ondas que se propagan
en todas las direcciones. La luz dispersada en las direcciones perpendiculares a la del haz
incidente son emitidas con polarización lineal. El estudio analítico del fenómeno excede el
nivel previsto.
Polarización por birrefringencia:
La birrefringencia o doble refracción es un fenómeno complejo y poco frecuente cuyo
origen está en la anisotropía de los pocos materiales que la presentan. La anisotropía
implica que la velocidad de propagación de la luz en estos materiales depende de su
estado de polarización y de la propia dirección de propagación.
Cuando un rayo incide en estos materiales, se puede dividir en dos rayos – ordinario y
extraordinario. Estos rayos están polarizados en direcciones mutuamente
perpendiculares.
Solo hay una dirección de propagación en el interior del
material en el que no aparece este fenómeno. Esta
dirección define el eje óptico del material. Cualquier otra
dirección de propagación que forme un ángulo dado con
el eje óptico presentará el fenómeno.
Por el contrario, si se incide perpendicularmente
simultáneamente a la cara del cristal y al eje óptico los
dos rayos se propagan en la misma dirección, y a distinta
velocidad. Las ondas emergen de ese sistema con un
desfase y polarizaciones perpendiculares entre si.
Basandose en ese fenómeno, las láminas birrefringentes
son un extraordinario método de obtener luz polarizada
circular. Si la anchura de la lámina es tal que el desfase
a la salida es exactamente de un cuarto de onda, lámina
cuarto de onda. La incidencia de una luz polarizada
formando 45º con el eje óptico genera luz polarizada
circular a la salida.
Si el espesor es justo el necesario para generar un
desfase de 180º, lámina de media onda, en las mismas
condiciones de incidencia que antes, lo que tenemos a la
salida es luz polarizada lineal pero con su eje girado 90º