Unidad_04a_sol4¼B_ESO

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SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES
DE CADA EPÍGRAFE
Pág. 1
Página 86
En una comarca hay una cierta especie de vegetal que se encuentra con frecuencia. Se ha estudiado la cantidad media de ejemplares por hectárea que hay a distintas alturas. El resultado se da en la gráfica adjunta. A la vista de ella, responde
a las siguientes preguntas:
300
NÚMERO DE EJEMPLARES
200
100
ALTURA (m)
500
1000
1500
¿Cuál es el número medio de ejemplares a 500 m? ¿Y a 1200 m?
A 500 metros de altura, el número medio de ejemplares es de 225, y a 1 200 metros es de 100.
¿A qué altura hay mayor número de ejemplares?
El mayor número de ejemplares se encuentra a 700 m de altura.
La comarca estudiada, ¿entre qué alturas se encuentra?
La comarca estudiada se encuentra entre los 400 m y los 1 700 m de altura.
En otra comarca de características similares hay alturas de 2 000 m. ¿Cuántos
ejemplares de esas plantas crees que se encontrarán en esas cotas?
En una altura de 2 000 m no habrá ningún ejemplar.
Haz una descripción global de la función, de modo que se diga con brevedad
cómo evoluciona el número de ejemplares por hectárea con la altura.
El número de ejemplares aumenta hasta que la altura es de 700 m, momento en
el que el número de ejemplares comienza a disminuir, tendiendo a no existir
prácticamente ninguno por encima de los 1 600 m de altura.
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1 Haz una gráfica en la que se vea representado el recorrido de Alberto, desde su
casa hasta el colegio, en función del tiempo:
De casa salió a las 8:30 y fue seguidito hasta casa de su amigo Iker. Lo esperó un
rato sentado en el banco y luego se fueron juntos, muy despacio, hacia el colegio.
Cuando ya estaban llegando, se dio cuenta de que se había dejado la cartera en
el banco; volvió corriendo, la recogió y llegó al colegio a las 9 en punto.
Unidad 4. Funciones elementales I
SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES
DE CADA EPÍGRAFE
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Pág. 2
RECORRIDO
COLEGIO
IKER
CASA
8:45
9:00
8:30
2
TIEMPO
(h)
TABLA DE PRECIOS: APARCAMIENTO “LA TRANQUERA”
PRIMERA HORA:
Gratis
0,5 €
1€
2 € más por cada hora
10 horas
SEGUNDA HORA:
TERCERA HORA:
CUARTA HORA EN ADELANTE:
ESTANCIA MÁXIMA:
• Di cuánto cuesta dejar el coche:
a) 0,5 hora
b) 1,5 horas
c) 2,5 horas
d) 5 ,5 horas
• Representa gráficamente la variación del coste en función del tiempo.
a) 0,5 h es gratis.
b) 1,5 h cuesta 0,5 €.
c) 2,5 h cuesta 0,5 + 1 = 1,5 €.
d) 5,5 h cuesta 0,5 + 1 + 2 + 2 + 2 = 7,5 €.
La variación del coste en función del tiempo viene dada por la gráfica:
€
2
1,5
1
0,5
1
3
x
y
0
0
1
2
2
1,6
2
3
3
1,2
4
5
6
7
8
9
10 11
HORAS
4
10
0,94 0,396
Construye una tabla similar a la anterior para valores negativos de x y representa la curva completa desde x = –10 hasta x = 10.
Unidad 4. Funciones elementales I
SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES
DE CADA EPÍGRAFE
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Pág. 3
y=
4x
2
x +1
x
y
–1
–2
–2
–1,6
–3
–1,2
–4
–0,94
–10
–0,396
2
1
–8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
–1
–2
4 Dando valores a x desde –10 a 10, representa y = √x 2 + 9 .
y = √x 2 + 9
x
y
–10
10,44
–8
8,54
16
–6
6,7
14
–4
5
12
–2
3,6
0
3
2
3,6
4
4
5
2
6
6,7
8
8,54
10
10,44
10
8
y = √x 2 + 9
6
–10 –8 –6 –4 –2
2
4
6
8
10
Página 89
1 En la liquidación de Hacienda, halla la cuota correspondiente para ganancias de:
a) 3 690 €
b) 13 000 €
d) 37 951 €
e) 100 000 €
Unidad 4. Funciones elementales I
c) 22 640 €
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Pág. 4
a) 3 690 · 0,18 = 664,2 €
Cuota: 664,2 €
b) 13 000 €
Cuota: 2 880 €
c) 22 640 – 13 000 = 9 640 €
Cuota: 2 880 + 0,28 · 9 640 = 5 579,2 €
d) 37 951 – 25 000 = 12 951 €
Cuota: 6 240 + 0,37 · 12 951 = 11 031,87 €
e) 100 000 – 67 000 = 33 000 €
Cuota: 23 940 + 0,48 · 33 000 = 39 780 €
Página 91
1 Halla el dominio de definición de:
a) y =
a) y =
1
x 2 + 2x – 8
x2
b) y = √x – 5
1
+ 2x – 8
2
–2 ± √ 4 + 32 –2 ± 6
=
=
2
2
–4
Los valores x = 2 y x = – 4 anulan el denominador, luego no pertenecen al
dominio de definición.
x 2 + 2x – 8 = 0 → x =
Por tanto, Dom f = (–∞, –4) U (–4, 2) U (2, +∞).
b) y = √x – 5
x – 5 ≥ 0 → x ≥ 5. El dominio de definición es Dom f = [5, +∞).
Página 93
1 De la función de la derecha di:
a) En qué intervalos es creciente y en cuáles es decreciente.
b) Cuáles son sus máximos y mínimos relativos.
a) Creciente: (–5, –3) U (5, +∞)
Decreciente: (–∞, –5) U (–3, 5)
b) Máximos: (–3, 4)
Mínimos: (–5, 3), (5, –2)
Página 95
1 La cantidad de radiactividad que posee una sustancia se reduce a la mitad cada
año. La gráfica adjunta describe la cantidad de radiactividad en un cierto cuerpo de la sustancia.
¿A cuánto tiende la radiactividad con el paso del tiempo?
Unidad 4. Funciones elementales I
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RADIACTIVIDAD
Con el paso del tiempo, la radiactividad tiende a
0, ya que cada año se reduce la mitad.
1
TIEMPO (años)
1 2
2 La cisterna de unos servicios públicos se llena y se va-
30
cía, automáticamente, cada dos minutos, siguiendo el
ritmo de la gráfica adjunta.
VOLUMEN
(l )
20
a) Dibuja la gráfica correspondiente a 10 min.
10
b) ¿Cuánta agua habrá en la cisterna en los siguientes
instantes?:
I) 17 min
a)
30
II) 40 min 30 s
VOLUMEN
TIEMPO
1
III) 1 h 9 min 30 s
2
(l )
20
10
(min)
10
TIEMPO
1
2
3
4
5
6
7
8
9
b) I) Como 17 = 2 · 8 + 1, f (17) = f (1) = 20.
A los 17 minutos habrá 20 l de agua.
II) 40 min 30 s = 40,5 min → 40,5 = 2 · 20 + 0,5 →
→ f (40,5) = f (0,5) = 10 → A los 40 min 30 s habrá 10 l.
III)1 h 9 min 30 s = 69,5 min → 69,5 = 2 · 34 + 1,5 →
→ f (69,5) = f (1,5) = 20 → En 1 h 9 min 30 s habrá 20 l .
Página 96
1 Halla gráficamente la pendiente de la recta que pasa por (–3, –2) y (5, 4).
(5, 4)
m = 4 – (–2) = 6 = 3
5 – (–3) 8 4
Cuando x avanza 4, y sube 3.
Unidad 4. Funciones elementales I
6
(–3, –2)
8
(min)
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Pág. 6
2 Halla gráficamente la pendiente de la recta que pasa por (–2, 6) y (4, 2).
6
(–2, 6)
–4
m = 2 – 6 = –4 = –2
4 – (–2)
6
3
(4, 2)
6
Cuando x avanza 3, y baja 2.
–2
4
Página 97
3 Halla las pendientes de las rectas que pasan por estos pares de puntos:
a) (3, 1) y (7, 5)
b) (3, 5) y (7, –2)
c) (3, –2) y (7, 8)
d) (1, –5) y (10, 11)
a) m = 5 – 1 = 4 = 1
7–3 4
b) m = –2 – 5 = –7
7–3
4
c) m = 8 – (–2) = 10 = 5
7–3
4
2
d) m = 11 – (–5) = 16
10 – 1
9
4 Halla las pendientes de:
a) y = – 2 x
3
b) y = 3x + 5
7
c) 4x – 5y + 2 = 0
d) – x + 4y + 5 = 0
a) m = – 2
3
b) y = 3 x + 5 → m = 3
7
7
7
c) y = 4x + 2 → m = 4
5
5
d) y = x – 5 → m = 1
4
4
Página 98
1 Representa:
b) y = 2 x
3
a) y = 2x
a)
c) y = – 1 x
4
d) y = – 7 x
3
b)
1
1
1
Unidad 4. Funciones elementales I
1
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SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES
DE CADA EPÍGRAFE
Pág. 7
c)
d)
1
1
1
1
2 Representa:
a) y = 3
b) y = –2
c) y = 0
d) y = –5
y=3
1
y=0
1
y = –2
y = –5
3 Representa:
b) y = 2 x + 2
3
a) y = 2x – 3
a)
c) y = – 1 x + 5
4
d) y = –3x – 1
b)
1 1
1
1
c)
d)
1
1
1
Unidad 4. Funciones elementales I
1
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SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES
DE CADA EPÍGRAFE
Pág. 8
4 Un móvil, en el instante inicial, está a 3 m del origen y se aleja de este con una
velocidad de 2 m/s. Halla la ecuación de su posición en función del tiempo y
represéntala.
y = 3 + 2x, donde y es la distancia al
origen en metros y x es el tiempo en
segundos.
1
1
5 Un móvil que inicialmente llevaba una velocidad de 8 m/s frena con una aceleración de –1 m/s2. Escribe la ecuación de la velocidad en función del tiempo y
represéntala.
y = 8 – x, donde y es la velocidad en m/s y x es el tiempo en segundos.
8
1
1
8
Página 99
1 Halla la ecuación de cada una de las siguientes rectas:
a) Pasa por (–3, –5) y tiene una pendiente de 4 .
9
b) Pasa por el punto (0, –3) y tiene una pendiente de 4.
c) Pasa por (3, –5) y por (– 4, 7).
a) y + 5 = 4 (x + 3) → y = 4 x – 11
9
9
3
b) y + 3 = 4x → y = 4x – 3
c) m = 7 – (–5) = 12 = – 12
–4 – 3
–7
7
y + 5 = – 12 (x – 3) → y = – 12 x + 1
7
7
7
Unidad 4. Funciones elementales I
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SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES
DE CADA EPÍGRAFE
Pág. 9
Página 100
1 Escribe la ecuación que corresponde a esta gráfica:
5
5
10
El primer tramo de la función está definido para x ≤ 3, y (–1, 4) y (1, 5) están
en ese tramo: m = 1
2
y – 5 = 1 (x – 1) → y = 1 (x + 9)
2
2
El segundo tramo es la recta constante y = 6, definida para 3 < x ≤ 7.
El último trozo de función pasa por (10, 3) y (13, 0), y está definida para x > 7 →
→ m = –3 = –1
3
y = –1(x – 13) = 13 – x
 1
(x + 9)
—
 2
Luego: y = 
6
 13 – x

si x ≤ 3
si 3 < x ≤ 7
si x > 7
2 Representa la función cuya expresión analítica es la siguiente:
 –3

y=  x–3

 2
si x ≤ 0
si 0 ≤ x ≤ 5
si x ≥ 5
Di cuál es la pendiente de cada uno de los tramos que forman la función.
La pendiente en el primer y último tramo es 0; en el segundo tramo es m = 1.
1
1
Unidad 4. Funciones elementales I
5