Capítulo 1 - Colegio Sagrado Corazón de Granada

Tema 1.
Introducción
1.1 Definición de vector
1.2 Operaciones con vectores
1.3 Expresión en función de los vectores unitarios
1.4 Introducción a la trigonometría: cálculo de las componentes de un vector
1.5 Introducción a la derivación
1.6 Representación de números: cifras significativas
1.1. Definición de vector
1.1.1. Necesidad de utilizar vectores
Desde el principio de los tiempos el hombre ha tenido la necesidad de indicar lugares;
hacia donde se encontraba el río, en qué dirección estaba la caza o a qué distancia se
encontraba una ciudad. Para ello fue necesario llegar a una serie de acuerdos para que todo el
mundo interpretase del mismo modo las indicaciones o los mapas; se debe establecer una
dirección de referencia (el Norte, el lugar por donde sale el Sol, ...) y una unidad de medida
(kilómetros, millas, ...). En física se utilizan los vectores para representar las magnitudes
vectoriales, es decir, aquellas que para quedar completamente especificadas deben incluir una
dirección y un sentido, como por ejemplo señalar posiciones, direcciones de movimiento,
sentido en que actúan fuerzas, etc. En primer lugar se va a establecer el concepto de
dimensión y su relación con la cantidad de números necesarios para indicar posiciones.
Supongamos que estamos en una carretera y el coche ha sufrido una avería. Para
indicar a la grúa donde debe auxiliarnos sólo hay que dar el kilómetro en que nos encontremos.
Dicho número indica la distancia desde el principio de la carretera. Somos capaces de
determinar exactamente y sin confusión un punto indicando un solo número. Se dice que
estamos en una dimensión, es decir en una línea. Matemáticamente una dimensión se
representa mediante la recta numérica, donde existen números positivos, negativos y el cero.
Supongamos ahora que estamos en el mar. Para conocer la posición exacta de un
barco es necesario dar dos coordenadas que indican la abertura en grados desde dos líneas
imaginarias comunes para todo el mundo, el Ecuador y el meridiano de Greenwich. Son
necesarios dos números y estamos en dos dimensiones es decir en un plano. En un plano ideal
Tema 1: Introducción al cálculo vectorial
los ejes coordenados actúan como referencia y un punto está claramente definido por sus
coordenadas que son un par de números.
Para determinar la posición de un avión tendríamos que dar dos datos como en el caso
del barco pero no se sabría exactamente donde está puesto que no se conocería su altitud. En
este caso se necesitan tres números y por eso estamos en tres dimensiones, es decir en el
espacio. Para determinar un punto en el espacio tridimensional se usan tres ejes (X, Y, Z), y
por lo tanto son necesarias tres coordenadas.
Figura 1.1. Representación en una, dos y tres dimensiones
1.1.2. Definición de vector
Para indicar las posiciones se emplean los vectores. Se define un vector como un
segmento orientado. Un vector tiene las siguientes características:
- módulo: indica la longitud del vector;
- dirección: es la inclinación respecto del eje x de la línea recta sobre la que se apoya;
- sentido: dada una dirección, una de las dos posibles orientaciones;
- origen y extremo: son los dos extremos del vector (principio y fin respectivamente);
dirección
Y
A (6,5) extremo
5

v
2

v  BA  (6  3 , 5  2)  (3,3)

módulo = | v | =
B (3,2) origen
3
6
32  32  18  4.24
X
Figura 1.2. Elementos que caracterizan un vector
2
Daniel González
Colegio Sagrado Corazón. Física 1º Bachillerato
Las componentes de un vector se definen como la diferencia entre las coordenadas del
extremo menos las coordenadas del origen. Dos vectores con las mismas componentes son
idénticos en módulo dirección y sentido.
Existen dos tipos de vectores:
- fijos: son aquellos que tienen un origen y un extremo concretos, que son los que lo
determinan.
- libres: son aquellos que se pueden mover por el plano (o el espacio). Son los que
generalmente se usan y están determinados por sus componentes. No tienen
definidos ni origen ni extremo.
Estableceremos una diferencia entre coordenadas y componentes y para simplificar lo
haremos en el plano, pero la diferencia se puede aplicar al espacio:
-
coordenadas; par de números que representan un punto del plano. Ejemplo (6, 4)
-
componentes; par de números que representan a un vector. Coordenadas del
extremo menos las del origen. Ejemplo (6,4)
Si no se especifica a qué nos estamos refiriendo no se puede saber si (6,4) es un punto o un
vector, por eso se expresan:
a  6,4 

b  6,4 
‘a’ representa un punto
‘ b ’ representa un vector
(6,4) son coordenadas
(6,4) son componentes


Se relacionan porque si el vector ‘ b ’ tiene su origen en (0, 0) (origen de coordenadas), señala
al punto ‘a’.
Figura 1.3. Diferencias entre coordenadas y componentes.
Daniel González
3
Tema 1: Introducción al cálculo vectorial
1.2. Operaciones con vectores
1.2.1. Módulo de un vector
Para calcular el módulo de un vector se calcula la raíz cuadrada de los cuadrados de
cada una de sus componentes. El módulo de un vector siempre es mayor que cero puesto que
las componentes negativas elevadas al cuadrado se convierten en términos positivos.
Ejemplos:


u  (4,3)  u  4 2  32  16  9  25  5


v  (2,-4, 5)  v  22  (-4)2  52  4  16  25  45  6.08...
1.2.2. Suma y resta numérica
Para sumar dos vectores numéricamente se suman las primeras componentes entre sí,
las segundas entre sí, etc. La resta se hace de forma similar pero restando las componentes.
No es posible sumar o restar vectores que tienen diferentes dimensiones. El módulo de la
suma de vectores no es la suma de los módulos de los vectores.
Ejemplos
(3, 5, 0) + (6, 9, 2) = (3+6, 59, 02) = (9, 4, 2)
(4, 7) + (1, 6) + (8, 5) = (4 + 1 + 8 , 7 + 6 5) = (5 , 8)
(4 , 5 , 3)  ( 1, 6, 2) = (41 , 5 + 6 , 3 + 2) = (3 , 1 , 5)
1.2.3. Suma y resta gráfica
En lo que sigue hay que tener en cuenta que se está trabajando con vectores libres y
por lo tanto se pueden desplazar libremente por el plano siempre que conserven el módulo, la
dirección y el sentido. La suma y la resta de vectores dan como resultado otro vector de la
misma dimensión. No se pueden sumar ni restar vectores de dimensión diferente.
Para sumar dos vectores gráficamente se unen el origen de uno en el extremo del otro.
El vector suma se obtiene uniendo el origen y el extremo de los vectores que quedan libres
(figura 1.4b). Otra alternativa es aplicar la regla del paralelogramo; se unen los orígenes y se
forma un paralelogramo. El vector suma tiene su origen en los orígenes de los vectores que se
suman y su extremo en el vértice opuesto del paralelogramo (figura 1.4c). Para restar vectores
se unen los orígenes de ambos y el vector diferencia es aquel que tiene su origen en el
sustraendo y su extremo en el minuendo.
Figura 1.3. a) vectores libres, b) suma, c) regla del paralelogramo, d) diferencia
4
Daniel González
Colegio Sagrado Corazón. Física 1º Bachillerato
1.2.4. Producto de un número por un vector
Para multiplicar un número (escalar) por un vector se multiplica el número por cada una
de las componentes del vector. El resultado es otro vector con la misma dirección y,
generalmente, módulo y sentido diferentes. Si el escalar es positivo se conserva el sentido
(figura 1.5b y 1.5d) y si es negativo el sentido cambia (figura 1.5c). Si el valor absoluto del
número es mayor que la unidad aumenta el módulo (figuras 1.5b y 1.5c) y si es menor que la
unidad el módulo disminuye.
Ejemplos:
3 · (2, 5) = (6, 15)
– 4 · (7, 0, 3) = (– 28 , 0 , 12)
0.5 · (4, –6) = (2, –3)
Figura 1.5. Producto de un número por un vector
1.2.5. Producto escalar de vectores
El producto escalar de dos vectores se representa con el símbolo '  ', y se calcula
multiplicando las componentes entre sí (primera por primera, segunda por segunda, ...) y
sumando los resultados. Es importante tener muy en cuenta que el resultado de un producto
escalar es un número y no un vector.
Ejemplo:
(3, 4)  (5, 2) = 3 · 5 + 4 · 2 = 15 + 8 = 23
(6, 0, 2)  (3, 9, 5) = 6 · 3 + 0 · 9 + (2) · 5 = 18 + 0  10 = 8
Otra forma de calcular el producto escalar en multiplicando los módulos de los vectores por el
coseno del ángulo que forman.
 
 
u  v  u · v · cos 
El producto escalar de dos vectores perpendiculares siempre vale cero al ser cos 90º =0.
1.3. Expresión en función de los vectores unitarios
En muchas ocasiones conviene poder expresar un vector como una suma de vectores.
Para ello se emplean tres vectores muy sencillos que representan las direcciones de los ejes
Daniel González
5
Tema 1: Introducción al cálculo vectorial
coordenados. Estos vectores se denominan vectores unitarios porque su módulo vale la


unidad y son perpendiculares entre sí. Al vector en el eje x se le llama i , el del eje y es j y el

del eje z es k . A continuación se va a demostrar cómo se puede pasar de un modo de
representación a otro:

v  (4,  6, 10)
 (4, 0, 0)  (0,  6, 0)  (0, 0, 10)
 4(1, 0, 0)  6(0,1, 0)  10(0, 0, 1)
 

 4 i  6 j  10k
El cambio se puede realizar de manera inmediata:

v  (2,  3, 8)  2ˆi  3ˆj  8kˆ

u  (1, 0,  4)  ˆi  4kˆ
1.4. Introducción a la trigonometría: componentes de un vector
1.4.1 Definición de las funciones seno y coseno
Se van a estudiar ahora dos funciones, seno y coseno, que son fundamentales en
física. Su interés radica en que intervienen en las descomposiciones vectoriales que nos van a
permitir resolver gran cantidad de ejercicios.
Supóngase que se tiene una circunferencia de radio 'R' y cuyo centro está en el origen
de un sistema de referencia. Se traza un radio que formará un ángulo ‘’ con la horizontal.
Este radio define dos segmentos 'a' y 'b'. Se ve claramente que la longitud de a y de b depende
del radio R y del ángulo .
a comienza valiendo cero y aumenta,
conforme aumenta , hasta valer R.
R
a

b comienza valiendo R y disminuye hasta
valer cero.
b
Estos
cambios
se
recogen
en
dos
funciones, el seno para a (cateto opuesto)
y le coseno para b (cateto contiguo).
Figura 1.6. Definición de seno y coseno
6
Daniel González
Colegio Sagrado Corazón. Física 1º Bachillerato
Se definen las funciones seno y coseno de la siguiente manera:
sen  
a
R
cos  
b
R
Despejando a y b se obtiene:
a  R sen 
b  R cos 
Con lo anterior se puede averiguar cuánto miden a y b a partir del valor de R y . Esto
es muy práctico para averiguar las componentes de un vector a partir de su longitud y el ángulo
que forma con cualquiera de los ejes.
1.4.2. Medida de ángulos
En física los ángulos se suelen medir en radianes, que es su unidad en el sistema
internacional. El valor en radianes de un ángulo equivale a la longitud del arco subtendido por
dicho ángulo en una circunferencia de radio unidad. En la siguiente tabla se relacionan los
valores de ángulos en grados y radianes:
Grados
Radianes
0º
0
90º

2
R
180º


270º
3
2
360º
2
x
2
360
xº
x
360
2
x rad

L
L
 L  R
R
Figura 1.7. Definición del ángulo en radianes
Es importante configurar la calculadora en función del tipo de ángulo con el que se va a
trabajar. En la pantalla aparecerá "DEG" si la calculadora opera con grados y "RAD" si está en
radianes.
Daniel González
7
Tema 1: Introducción al cálculo vectorial
1.4.3. Descomposición de vectores
En muchas ocasiones interesa expresar un vector como suma de dos componentes
que estarán en direcciones que resultarán cómodas para trabajar. Supóngase que se tiene un
vector e interesa descomponerlo como suma de otros dos que están en la dirección de los ejes
'x' e 'y'. El vector forma un ángulo  con la horizontal como se muestra en la figura 1.8.
y
y

v

vy

v


vx
x
x
Figura 1.8. Descomposición de un vector
 



Se puede ver fácilmente que v  v x  v y , pero, ¿cuánto valen v x y v y ?

Si se conocen las componentes de v es muy sencillo;

v x  (a , 0)  a î

v  (a , b)  a î  b ĵ

v y  (0 , b)  b ĵ

Si se conocen el módulo y el ángulo que forma con la horizontal de v ;



| v x |= | v | cos  ˆi 

solo componente 'x'
→


v x = | v | cos  ˆi


 v y | = | v | sen  ˆj

solo componente 'y'
→


v y = | v | sen  ˆj
Esto último es muy práctico para sumar vectores cuando no se conocen las
componentes de dichos vectores.
Si se quieren obtener los valores del ángulo y del módulo a partir de las componentes:
v  a2  b 2

v  (a , b)  a î  b ĵ
b
  tan 1  
a
8
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Ejemplos

1) Obtén las componentes del vector v  7,4 
Componente del eje ‘x’ = 7 →
Componente del eje ‘y’ = 4 →

v x  7,0 

v y  0,4 



v x  v y  7,0   0,4   7,4   v

2) Obtén las componentes del vector w que forma un ángulo =60º con el eje x y cuyo
módulo vale 10.
wx = w cos(
al ser el cateto contiguo
wx = 10 cos(60) = 10 · 0.5 = 5
wy = w sen(
al ser el cateto opuesto
wy = 10 sen(60) = 10 · 0.866... ≈ 8.7

w  5, 8.7 

3) Obtén el módulo y el ángulo que forma con el eje ‘x’ el vector u  8,3 

2
2
Módulo: u  8  3  64  9  73  8.54...
3
8
Ángulo: α  tan 1    20.56 o
La descomposición de vectores también se utiliza para sumar los vectores de los que
sólo se conocen el módulo y el ángulo que forman con los ejes como por ejemplo los de la


Figura 1.9. En primer lugar se descomponen los vectores u y v en los ejes ‘x’ e ‘y’ de esta


manera se hace que las componentes u x y v x sean paralelas en el eje ‘x’ y lo mismo ocurre
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9
Tema 1: Introducción al cálculo vectorial
Figura 1.9. Descomposición de vectores.


con las componentes u y y v y en el eje ‘y’. Hay que tener en cuenta que a veces las
componentes de un vector pueden ser negativas, tal como ocurre con la componente ‘x’ del

vector v . Al calcular el valor del seno o coseno en la calculadora aparece automáticamente el
signo correspondiente. Atendiendo a los ángulos de este ejemplo se obtiene lo siguiente:

u  u x ˆi  u y ˆj  u cos α ˆi  u sen α ˆj   u cos α , u sen α


v  v x ˆi  v y ˆj  v cos β ˆi  v sen β ˆj   v cos β , v sen β

En este caso el término ‘cos ’ es negativo al ser > 90º. Sumando los vectores

componente a componente se obtiene que el vector suma, al que llamaremos w , será:
  
w  u  v  u cos α  v cos β, u sen   v sen   u cos α  v cos βˆi  u sen   v sen ˆj
1.5. Introducción a la derivación
1.4.1 Definición de derivada
En muchas situaciones interesa conocer cómo es la evolución de los valores de una
función; si crecen o decrecen, o si estos cambios se producen de forma rápida o lenta. Esta
información la proporciona la función derivada o simplemente la derivada de una función. Si
la función es f, su derivada se expresa como f’ o como
10
df(x)
. La derivada de una función se
dx
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define como el límite del cociente entre los valores de la función entre el intervalo en el que se
calculan dichos valores cuado el intervalo tiende a cero.
Matemáticamente se expresa:
f' (x) 
df(x)
f x   f x  h 
 lim
h0
dx
h
Figura 1.10. Derivada de una función.
La derivada se interpreta de la siguiente manera:

Si f’(x) > 0 → f(x) es una función creciente.

Si f’(x) < 0 → f(x) es una función decreciente.

Si f’(x) = 0 → f(x) es una función constante.

Si f’(x) > 0 y f’(x)↑↑ → f(x) es una función que crece rápidamente.

Si f’(x) > 0 y f’(x)↓↓ → f(x) es una función que crece lentamente.
La interpretación geométrica de la derivada es la pendiente de la recta tangente a la
curva en el punto en el que se calcula.
Figura 1.11 Interpretación geométrica de la derivada.
Daniel González
11
Tema 1: Introducción al cálculo vectorial
En la práctica la función derivada no se calcula como el límite, sino mediante tablas de
equivalencia de las funciones. Aquí sólo vamos a calcular la derivada de funciones
polinómicas, y para ello vamos a usar dos propiedades, la derivada de un monomio y la
derivada de la suma.
Derivada de un monomio:
f(x) = k x
m
→ f’(x) = mk x
7
f(x) = 5x → f’(x) = 35x
m-1
6
Derivada de la suma:
f(x) = g(x) + p(x) → f’(x) = g’(x) + p’(x)
f(x) = 3x
10
2
9
+ 8x → f’(x) = 30x + 16x
Con esto resulta fácil derivar cualquier polinomio:
4
2
p(x) = 5x + x – 3x
3
p’(x) = 20x + 2x – 3
3
q(x) = 8x – 5x – 20
2
q’(x) = 24x – 5
9
4
r(x) = – x + 3x + x – 10
8
3
r’(x) = –9x + 12x +1
1.6. Representación de números: cifras significativas
En muchas ocasiones los números que se obtienen tienen demasiadas cifras. Por ejemplo:
3.5262
0.00007924
54220000000000
3.52584632165
0.000079324654652
54215421654654
3.52156265548662
0.0000791654684651365465
54225468641654
Las tres columnas de números anteriores representan prácticamente las mismas cantidades a
pesar de que el tercer número de cada columna tiene muchas más cifras que el primero. A
partir de una determinada cifra, las que vienen detrás no aportan prácticamente nada al
resultado. Además, se puede ver que no tiene nada que ver el valor del número: la primera
columna es un número intermedio, la segunda es un número muy pequeño y la última es un
número muy grande.
Para representar un número de muchas cifras se emplean tres cifras significativas, que son sus
tres primeras cifras. La cuarta cifra redondea a la tercera. Los números representados en las
tres columnas quedarían:
12
3.53
0.0000792
54200000000000
3.53
0.0000793
54200000000000
3.52
0.0000792
54200000000000
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Colegio Sagrado Corazón. Física 1º Bachillerato
Incluso de este modo los números de la segunda y tercera columna son incómodos de
representar debido a que tienen muchos ceros. En estos casos se emplea la notación
científica, que consiste en representar al número mediante la mantisa (tres cifras con la coma
decimal tras la primera) y un potencia de base 10. A veces la potencia de base 10 se expresa
con la letra ‘e’.
0.0000792 = 7.92 · 10
–5
= 7.92e–5
13
54200000000000 = 5.42 · 10
= 5.42e13
Ejemplo
1) Expresa correctamente las siguientes cantidades y pasa a notación científica los
número superiores a 10.000 e inferiores a 0.01.
7
78562452 = 7860000 = 7.86 · 10 = 7.86e7
6
1323562 = 1320000 = 1.32 · 10 = 1.32e6
2155.546546 = 2160
42.573879 = 42.6
1.546563265 = 1.55
0.46532165 = 0.465
–4
0.000654653216 = 0.000655 = 6.55 · 10
= 6.55e–4
0.00000063121656 = 0.000000631 = 6.31 · 10
Daniel González
–7
= 6.31e–7
13
Tema 1: Introducción al cálculo vectorial
Ejercicios
(Usar papel cuadriculado para las representaciones de los vectores)
1. Un vector tiene su origen en el punto (3, 4) y su extremo en el punto (2, 1).
a) representa gráficamente el vector.
b) calcula las componentes del vector
c) calcula el módulo, y comprueba con una regla que mide lo que has calculado
2. Completa
Vector
Extremo
Origen
(3,2)
(0,6)
(8,3)
(–4,5)
(–2, )
(4,1)
Módulo
( ,5)
(–6,–7)
(–4,2)
3. Realiza las siguientes operaciones con vectores numéricamente:
a) (2, 3, 0) + (5, 3, 7) + (2, 0, 6)
b) (4, 1, 13, 18) + (3, 0, -43, 19)  (20,  23, 5, 6)
c) 3(2, 5) + 2(8, 0)  7 (1, 2)


4. Sabiendo que u  (3 , - 2, - 5) y v  2ˆi  4ˆk determina numéricamente las siguientes

 
  




  


operaciones: u  v, u  v, u  v, 2u  4v, 3u  2v  ˆk, u , v , u  v y 6u
5. Calcula numérica y gráficamente los resultados de las siguientes operaciones. Comprueba
que ambas soluciones son el mismo vector.
a) (2, 3) + (4, 2)
b) (4, 4) + (5, 4)
c) (2, 5)  (6, 1)
d) (1, 5)  (4, 2)
6. De los vectores (3, 5, 2) y (9, 0, 5).
a) calcula los módulos
b) calcula el producto escalar
c) calcula numéricamente mediante el producto escalar el ángulo que forman.
7. Representa el vector (4, 3)
a) descomponlo gráficamente en dos vectores uno sobre el eje 'x' y el otro sobre el eje 'y'
b) calcula numéricamente el valor de las dos componentes
c) calcula numéricamente el módulo de las componentes
d) calcula numéricamente el ángulo que forma el vector con el eje 'x'
14
Daniel González
Colegio Sagrado Corazón. Física 1º Bachillerato
e) usa regla y transportador para comprobar que coinciden las medidas del dibujo y los
resultados de los apartados anteriores
8. El módulo de un vector vale 35, y forma un ángulo de 30º con la horizontal. Expresar dicho
vector en sus componentes.
9. Calcular el módulo y el ángulo que forma con la horizontal de un vector cuyas componentes
son (6, 4).
10. Calcula qué ángulo forman los vectores (–3, 5) y (6, 8)
11. Calcula cuánto tiene que valer A para que los vectores (A, 3) y (–9, –6) sean
perpendiculares. Representa ambos vectores.
12. Expresa en componentes los siguientes vectores.
a) módulo = 12 y  = 20º con el eje x
b) módulo = 50 y  = –74º con el eje x
c) módulo = 30 y  = 16º con el eje y
13. Calcula las componentes de dos vectores cuyos módulos valen 15 y 25 y que forman
ángulos de 30º y 80º respectivamente con el eje x. Suma ambos vectores.
14. Calcula la suma de tres vectores cuyos módulos valen 5, 10 y 20 y los ángulos 15º, 35º y
150º con el eje x.
15. Dos vectores de módulo 20 forman entre sí 50º de ángulo. Sitúalos en los ejes coordenados
y súmalos.
2
16. Averigua si la función f(x) = 4x – 12x – 8 es creciente o decreciente en los puntos x=1 x=3.
¿En qué punto es más rápido el crecimiento o el decrecimiento?
3
17. Repite el ejercicio anterior con la función f(x) = x – 2x.
18. Deriva las siguientes funciones:
a) f(x) = 6x
10
4
5
2
c) f(x) = 3x + 12x – x + x
3
2
d) f(x) = x
– 8x + 3x
b) f(x) = – x + 2x – 6x + x – 3
4
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19. Se denomina segunda derivada al resultado de derivar dos veces una función. Calcula la
segunda derivada de la función a) del ejercicio anterior. ¿Cómo sería la tercera derivada?
Daniel González
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Tema 1: Introducción al cálculo vectorial
20. Expresa con tres cifras significativas los números siguientes:
46546832135 – 13237989 – 465.132165 – 1.235465 – 0.065468 – 0.0006421354
21. Expresa en notación científica los números siguientes:
7946135653 – 213532165 – 0.00000032135 – 213.663265 – 1.0654165 – 0.0061356
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Daniel González