u v v u ⌈ ⌉ - ⌈ ⌉ =

ETSI de CAMINOS, C. Y P. DE MADRID
Segundo Curso – MÉTODOS - Matemáticas
Primer Examen Parcial
26 de enero de 2010
Alumno
nº matrícula:
NORMAS DEL EXAMEN: 1) Cada ejercicio debe resolverse en la hoja del enunciado: no se admiten hojas adicionales. 2) Debe escribirse con tinta
azul o negra: no se admite escritura a lápiz ni en color rojo. 3) El DNI del alumno debe estar a la vista sobre la mesa. 4) No está permitido levantarse
ni hablar hasta que se hayan recogido los últimos ejercicios y se salga del aula de examen. 5) Se puede disponer sólo del Formulario oficial de la
asignatura (sin informaciones adicionales de ningún tipo) y del papel en blanco para uso como borrador. 6) No se hacen aclaraciones.
_______________________________________________
Ejercicio nº 2.- En el plano euclídeo 2, dotado de una referencia cartesiana {O; (x, y)}, se introducen unas
coordenadas curvilíneas, (u, v), para los puntos del primer cuadrante, {x>0, y>0}, de manera que {x = u  v
, y = u  v }. Se pide:
 
 
 
1) Deducir, en la base canónica cartesiana {i, j}, la base natural, {gu,gv}, y la recíproca, {gu,gv}, la matriz
de Gram del sistema, G, su determinante y el dominio de regularidad de sistema. [3 puntos].
2) Deducir la ecuación cartesiana e identificar como curvas las líneas coordenadas del sistema que pasan
por un punto genérico de coordenadas curvilíneas (u0, v0). Particularizar para el punto (u0, v0) = (3, 1) y
dibujarlas en ese caso. [2 puntos]
3) Calcular los símbolos de Christoffel del sistema disponiéndolos en forma matricial [kij(u, v)] de modo
que k = índice de matriz, i = índice
de columna. [2 puntos]
 de fila, j = índice

4) Dado el campo vectorial f = u2gu + 2uvgv, determinar su divergencia, su rotacional (en el espacio 3
que alberga al plano 2 del problema) y las componentes contravariantes de su derivada covariante respecto
de u. [3 puntos]
Solución: 1) Se tiene r(u, v) =
_gu =
r
u
 1 i 1 j
2 u v
2 u v
uvi+
gv =
;_
r
v
u  v _j, de donde se deduce la base natural derivando:
 1 i  1 j ; J(u,
2 u v
2 u v
g = det(J) =
de donde:
 uv
J 1(u, v) = 
y además
 u  v
u
u  v   g

v
 u  v    g
La matriz de Gram del sistema es:
V
D
U
1
2 u2  v2
1
u v
1
u v
1 
2 u v 
1  ;
2 u v 
(base orientada negativamente);
 g u  u  v i  u  v j



v
 
 g  u  v i  u  v j
 i , j
v

2(u 2 v2 )

u

2(u 2 v2 ) 
 2(u 2uv2 )
G(u, v) = [g
_j] =   v
_ i ·g
 2(u 2 v2 )

v) =
 | | 

  ( x, y )   2


g
g



 
 u v
  (u , v )  
 | | 
2

  i , j

1
2(u 2 v2 )
 u v 
1
 v u  ; g = detG = 4(u 2 v2 ) 


El dominio de regularidad lo constituyen los puntos (u, v) para los que están definidas
biunívocamente las coordenadas cartesianas, existe la base natural y es,
efectivamente, base. Se exigen, pues, las condiciones:
1
 0 (para que
u + v > 0, u  v > 0 (para la determinación de (x, y) y de la base),
2 2
2 u v
sean base)
(u, v)  D = {(u, v)
lo que conduce a:
2
: u > |v| >0}
(figura) #.
2) Denotamos : D   = {(x, y){x>0, y>0} 2 / x = u+v, y = uv }, la
relación que introduce las coordenadas (u, v) en el primer cuadrante de 2, como indica el enunciado. Así:
i) L.C.u por (u0, v0) = ({u = t+u0, v = v0}) = {(x, y) / x = t + u0 + v0 , y = t + u0  v0}
y para identificar la curva, eliminamos t, observando que x2y2 = 2v0 = cte. 
Y
L.C.u es el arco de hipérbola

x2
2 v0

2
y
 2v  1; x  0, y  0 de centro O, y
0
asíntota a la diagonal principal;
ii) L.C.v por (u0, v0) = ({u = u0, v = t + v0}) = {(x, y) / x = u0 + t + v0 , y =
u0  t  v0}
X
y eliminamos t observando ahora que x2+y2 = 2u0 = cte.  L.C. v es el arco de
2 6
2
circunferencia x 2  y 2  2u0 ; x  0, y  0 de centro O y radio 2u0 .
En el punto correspondiente a (u0,v0) = (3,1), es decir, en (x0, y0) = (2, 2) resultan los arcos en el primer
cuadrante de las curvas
2






2
y2
L.C.u(3,1): x2  2  1; x  0, y  0 , L.C.v(3,1): x2  y2  6; x  0, y  0
(figura) #.
ETSICCP - 2ºcurso
2
Métodos-matemáticas
3) Para calcular los símbolos de Christoffel directamente en la disposición pedida se aplica [kij] = J1· Jj ,
u
de manera que se calculan las derivadas de la matriz jacobiana J(u, v) obtenida en 1):
J
u
4


4

;
1
3
u v 
1
uv
4 uv
1
u v
4


4
1
3
3
4
3
J
v


1
3
u v 
1
uv
1
3
4 uv
1
u v
3
4
3
Y efectuamos:
J
u
1
k
[ i1] = J ·
J
v
1
k
[ i2] = J ·
=
=
 u v
u  v  4

·
 u  v  u  v   4
 u v
u  v  4

·
 u  v  u  v   4
1


1
3
uv 
 4(u1v)  4(u1v)
=  1
1
 4(uv)  4(uv)


1
3
uv 
 4(u1v)  4(u1v)
=  1
1
 4(uv)  4(uv)
1
uv
3
4 uv
1
u v
3
4
1
3
1
uv
3
4 uv
1
u v
3
4
3
 2(u2 uv2 )
 v
 2(u2 v2 )
1
1
 2(u2vv2 )
4(uv)  4(uv) 
 =  u
1
1
4(uv)  4(uv) 
  2(u2 v2 )
 4(u1v) 
=
1
1
4(uv)  4(uv) 

1
4(uv)

=
u
2 2 
2(u v ) 
u

2(u2 v2 )
=
v
2 2 
2(u v ) 
v
2(u2 v2 )
1
2(u2 v2 )
u
v

1
2(u2 v2 )
v
u

v

u
u

v
Para rescribirlos en la disposición pedida deben disponerse en [1ij] las dos primeras filas de las matrices
anteriores en columnas; y las dos segundas filas en las columnas de [2ij]. Pero esto produce el mismo
resultado (singularmente en este caso):


[1ij] =
1
2(u2 v2 )
u
v

v
2
 ; [ ij] =
u
1
2(u2 v2 )
v
u

u

#.
v
4) i) Se da el campo en contras curvilíneas, _f = u2g
_v ; para la divergencia se aplica
_u + 2uvg
· f 
=
1
g

 i
 u

gf i =

 2u u 2  v2 u 2
2
u v 
(u 2  v 2 )


2
2

2 u 2  v 2  u 
 
2u
u 2 v2

2u u 2  v2  2uv
2
1
u 2  v2
 2v
2 u2 v2
(u 2  v2 )
u 2  






v



2
1
u 2  v2
 2u32uv2 u3  2u32uv2 2uv2 
u 2 v 2
u 2 v2
  3u3  2uv2
u v 
(u 2  v 2 )


u 2  v2


2
2
ii) Para el rotacional, se pasa primero a covas el campo a covas:
fu
 fu 
 u3  2uv2 
1
1
 u v   u2 
 f   G· v   2(u 2 v2 )   v u · 2uv   2(u 2 v2 )  u 2v   _f =
 v
f 
De esta manera:
 f 
=
 u2 v 2
gu
1 
g u
gv

v

z
k
fu
fv
0
=2
 2 u32v 22uv23  k  
 ( u v ) 
u2 v2
u2 v2

 u

u2v
2 ( u2 v 2 )
2 uv ( u 2  v 2 )
( u2 v 2 ) 2
k
 

v
2 uv
u2 v 2

2uv   =

u 3  2 uv 2
2 ( u2 v2 )

k
=
1
2( u 2  v 2 )
u2 v2

(u 3  2uv 2 ) g u  u 2 vg v 
 2 u3v 2 uv 3 2 u3v ( 24 u32v 2 4 uv3  2 u3v 4 uv3 )  k =
( u v )


k
iii) Para la derivada de _f en contras, efectuamos la derivada covariante de _f en contras:
f
 f i ,u g i 
u


f i
u
 f1 
 u2 
 u v   u 2 
1
 f h  i h1 g i   2,u    

·

2
2
u 2uv
2( u  v )  v  u   2uv 




 f ,u 


 
 2u 
 u 3  2uv 2 
=    2(u21v2 )  2

2 
 2v 
 u v  2u v 

f
3
2
2
 2u   u 2 2uv2 g u  2v  u2 v 2 g v
u
2( u  v )
2( u  v )
_______________________________________________________________
#.