Ejercicio 144 Triángulos Applet CabriJava (2270-405) Sea P un punto no situado en los lados del triángulo ABC. La cónica que pasa por los puntos medios de los tres lados y por los puntos medios de AP , BP y CP , pasa por el ortocentro si P está en la cónica circunscrita de perspector el punto X1249 de ETC. SOLUCIÓN: Si P (u : v : w), en coordenadas baricéntricas, la ecuación de la cónica que pasa por los puntos medios de los lados (0 : 1 : 1), (1 : 0 : 1) y (1 : 1 : 0) y por los puntos medios de AP (2u + v + w : v : w) de BP (u : u + 2v + w : w) y de CP (u : v : u + v + 2w), tiene por ecuación (−vwx2 + u(v + w)yz) + (−wuy 2 + v(w + v)zx) + (−uvz 2 + w(u + v)xy = 0. Si pasa por el ortocentro H(SB SC : SC SA : SA SB ) las coordenadas de P satisfacen a la ecuación SB SC (S 2 − 2SB SC )yz + SC SA (S 2 − 2SC SA )zx + SA SB (S 2 − 2SA SB )xy = 0. que es una cónica circunscrita y el triángulo formado por las tangentes a ella en los vértices es perspectivo con ABC, con centro de perpectividad en el punto (X1249 de ETC): ´ ¡ S 2 − 2SB SC S 2 − 2SC SA S 2 − 2SA SB ¢ ¡ SA SB − SB SC + SC SA : : = : ··· : ··· , SA SB SC SA o bien µ 3a4 − 2a2 (b2 + c2 ) − (b2 − c2 )2 3b4 − 2b2 (c2 + a2 ) − (c2 − a2 )2 3c4 − 2c2 (a2 + b2 ) − (a2 − b2 )2 : : −a2 + b2 + c2 a2 − b2 + c2 a2 + b2 − c2 ¶ . Observaciones: — Cortando la cónica, que pasa por los seis puntos del enunciado, por la recta del infinito x + y + z = 0 podemos averiguar cuál es su género: ³ ´ p p −uw ± −uvw(u + v + w) : −vw ∓ −uvw(u + v + w) : (u + v)w . Si ∆ = −uvw(u + v + w), será género parábola si ∆ = 0; esto ocurre si el punto P (u : v : w) está sobre las rectas que contiene los lados (parábolas degeneradas en un par de rectas paralelas: lados correspondientes del triángulo y su triángulo medial) o si P está en la recta del infinito (parábola cuyo eje tiene la dirección determinada por P ). Será género hipérbola si hay una coordenada de P negativa y género elipse en los otros casos. Como el determinante de la matriz asociada a la cónica es proporcional a uvuw(u + v)(v + w)(w + u), la cónica es degenerada cuando P está en los lados o en las paralelas a ellos por los vértices. No hay elipses degeneradas en el producto de rectas imaginarias conjugadas. Si P está en la recta paralela a un lado por el vértice opuesto, las hipérbolas degeneran en el producto de dos restas. Por ejemplo, si está en la paralela por A a BC, la cónica es el producto de la recta que pasa por los puntos La Laguna, Lunes 27 de Julio del 2009 Pág. 1/2 Angel Montesdeoca medios de AB y AC (contine a laos punto medios de P B y P C) y la recta que pasa por los otros dos puntos medios que quedan (de BC y AP ). — Para que la cónica que pasa por los seis puntos del enunciado sea una circunferencia, ha de ocurrir que los coeficientes de x2 , y 2 , z 2 , yz, zx, xy sean proporcionales a los de la ecuación general de una circunferencia a2 yz + b2 zx + c2 xy − (x + y + z)(px + qy + rz) = 0, es decir: {−vw, −uw, −uv, u(v + w), v(u + w), (u + v)w} = λ{−p, −q, −r, a2 − q − r, b2 − p − r, c2 − p − q}. Resolviendo este sistema, se obtiene: 1 2 1 1 −a + b2 + c2 , q = a2 − b2 + c2 , r = a2 + b2 − c2 . 4 4 4 ¢ ¡ 4 (u : v : w) = a − (b2 − c2 )2 : b4 − (c2 − a2 )2 : c4 − (a2 − b2 )2 . p= Con lo que se concluye que, cuando P es el ortocentro, la cónica es la circunferencia de los nueve puntos (o de Euler). http://webpages.ull.es/users/amontes/pdf/ejtr2270.pdf La Laguna, Lunes 27 de Julio del 2009 Pág. 2/2 Angel Montesdeoca