25 - Angelfire

Modelos de Transporte:
Problemas de asignación y
de transbordo
M. En C. Eduardo Bustos Farías
Problemas de Asignación
2
Problemas de Asignación:
Son problemas balanceados de transporte en los cuales
todas las ofertas y todas las demandas son iguales a
1.
Consiste en determinar la asignación óptima de agentes
u objetos indivisibles a n tareas.
Son indivisibles en el sentido de que ningún agente se
puede dividir en varias tareas.
La restricción importante, para cada agente, es que
será designado a una y solo una tarea.
3
„
„
Uno de los problemas que utilizan el modelo
de transporte, es el de asignación, el cual se
refiere a la disposición de algunos recursos
(equipos o personas) para la realización de
ciertos productos o tareas a un costo
diferenciado.
El problema consiste en minimizar los costos
por asignación de recursos para el
desempeño de actividades.
4
Problemas de Asignación
Definición del Problema
* m trabajadores deben ser asignados a m trabajos.
* Un costo unitario (o ganancia) Cij es asociado al trabajador i
que realizara el trabajo j.
* Minimizar el costo total ( o maximizar la ganancia total) de la
asignación de trabajadores a sus respectivos empleos que le
corresponde a cada uno, tratando de que esta asignación
sea la óptima posible.
EJEMPLO 1
Electrónica Ballston
Problema de asignación
6
Electrónica Ballston
Existen 5 diferentes proyectos eléctricos sobre 5
líneas de producción que necesitan ser
inspeccionadas.
El tiempo para realizar una buena inspección de un
área de pende de la línea de producción y del área
de inspección.
La gerencia desea asignar diferentes áreas de
inspección a inspectores de productos tal que el
tiempo total utilizado sea mínimo.
Datos
* Tiempo de inspección en minutos para la línea de
ensamble de cada área de inspección.
Linea
Ensamble
1
2
3
4
5
A
10
11
13
14
19
B
4
7
8
16
17
Area de Inspección
C
6
7
12
13
11
D
10
9
14
17
20
E
12
14
15
17
19
RED QUE REPRESENTA EL PROBLEMA
Línea de ensamble
S1=1
1
Área de Inspección
A D1=1
S2=1
2
B
D2=1
S3=1
3
C D3=1
S4=1
4
D
D4=1
S5=1
5
E
D5=1
Supuestos restricciones
* El número de trabajadores es igual al número de empleos.
* Dado a que el problema esta balanceado, cada trabajador es
asignado sólo una vez y cada trabajo tiene exactamente un solo
trabajador.
* Para un problema desbalanceado se debe agregar un
trabajador “ficticio” (en el caso de que existan más trabajos que
trabajadores) o un empleo “ficticio” (en el caso de que existan
más trabajadores que trabajos), quedando así el problema
balanceado.
Solución mediante el método
Húngaro
Problema:
El profesor Michell ha terminado 4 capítulos de su libro y esta
pensando en pedir ayuda para terminarlo. El ha elegido a 4 secretarias
que podrían tipearle cada uno de sus capítulos. El costo asociado
refleja la velocidad de la secretaria y la exactitud con la que realiza el
trabajo. Además los capítulo difieren en la cantidad de hojas y en la
complejidad. ¿Qué puede hacer el profesor si conoce la siguiente
tabla:
Capítulos
Secretaría
13
14
15
16
Juana
96
99
105 108
María
116
109
107
96
Jackeline
120
102
113 111
Edith
114
105
118 115
Restricciones del Método
* Solo problemas de minimización.
* Número de personas a asignar m es igual al número de
lugares m.
* Todas las asignaciones son posibles
* Una asignación por persona y una persona por asignación
Matriz de Costos
Secretaría
Juana
María
Jackeline
Edith
Capítulos
13
14
96
99
116
109
120
102
114
105
15
16
105 108
107
96
113 111
118 115
Restar el Menor valor de cada fila
Secretaría
Juana
María
Jackeline
Edith
Capítulos
13
14
15
0
3
9
20
13
11
18
0
11
9
0
13
16
12
0
9
10
Restar el menor valor de cada columna en la matriz
anterior
Secretaría
Juana
María
Jackeline
Edith
Capítulos
13
14
15
0
3
0
20
13
2
18
0
2
9
0
4
16
12
0
9
10
Trazar el mínimo número de líneas que cubran los
ceros de la matriz obtenida en el punto anterior.
Secretaría
Juana
María
Jackeline
Edith
Capítulos
13
14
15
0
3
0
20
13
2
18
0
2
9
0
4
16
12
0
9
10
Si el número de líneas es igual al número de filas se
esta en la solución óptima, sino identificar el menor
valor no rayado restarselo a los demás números no
rayados y sumarlo en las intersecciones.
Pare este caso corresponde al valor 2
Secretaría
Juana
María
Jackeline
Edith
Capítulos
13
14
15
0
5
0
18
13
0
16
0
0
7
0
2
16
14
0
9
10
Las asignaciones corresponde a los valores donde
existen 0
Juana
María
Jackeline
Edith
Cap. 13
Cap. 16
Cap. 15
Cap. 14
*Costo Asignación: 96 + 96 +113 +105 =410
Casos especiales
* Cuando un trabajador no puede realizar un empleo en
particular
* Cuando un trabajador puede ser asignado a más de un
trabajo.
* Un problema de maximización.
EJEMPLO 2
PROBLEMA DE ASIGNACIÓN
17
„
La gerencia general de una
compañía, como parte de su
auditoria anual, decidió que cada
uno de los cuatro vicepresidentes
visite e inspeccione una de las 4
plantas durante las 2 primeras
semanas de octubre.
18
19
SOLUCIÓN
20
Solución
„
„
Enumeración completa
Usar el método húngaro
a) Por enumeración completa, se hace una lista
de las posibles soluciones, se calcula su costo
asociado y se escoge la mejor.
F = vicepresidente de finanzas
M = vicepresidente de mercadotecnia
O = vicepresidente de operaciones
P = vicepresidente de personal
21
F puede asignarse a cualquiera de
las 4 plantas
M puede enviarse a cualquiera
„
de las 3 plantas restantes
O puede enviarse a cualquiera
„
de las 2 planta restantes
P se asigna a la única planta
„
disponible
„
22
b) Método Húngaro
23
Pasos del método húngaro:
1. Reducción en renglones: Elabore una nueva
matriz eligiendo el costo mínimo de cada
renglón y restándolo de cada costo de ese
renglón.
2. Reducción en columnas: Elija el elemento de
costo mínimo en cada columna y réstelo a
cada elemento de la columna.
3. Determine si la matriz es reducida:
Encuentre el número mínimo de líneas rectas
que se pueden trazar sobre los renglones y
las columnas para cubrir todos los ceros. Si
este número es igual al de los renglones (o
columnas), se dice que la matriz es reducida.
Continúe al paso 5. Si el número de rectas es
24
menor que el de renglones (o columnas)
continúe con el paso 4.
Pasos del método húngaro:
4. Reducciones posteriores: Encuentre la menor
de las celdas no cubiertas (sin línea recta).
Reste el valor de esta celda a todas las celdas
no cubiertas. Agréguelo al valor de las celdas
que se encuentran en las intersecciones de
las restas dibujadas en el paso 3.
5. Localización de la solución óptima: Las
celdas de costo cero se eligen, una por
columna y renglón a fin de hallar una
asignación óptima. Se suman los sotos
originales de las celdas con asignación para
saber el costo total.
25
26
27
28
Formulación matemática del
modelo de Asignación
29
Existen n personas las cuales pueden
desempeñar cualquier actividad de un
conjunto de n actividades y conocemos
el costo cij de asignación de la actividad
i a la persona j.
i = 1,…, m
j = 1,…, n
El problema es determinar de todas las
asignaciones posibles las de costo total
mínimo.
30
1. Variables de decisión:
xij = 1, si la actividad i es asignada
a la persona i
0, si i no es asignada a j
2. Función objetivo:
m
Mín
n
Z = ∑∑ Cij xij
i =1 j =1
31
3. Restricciones:
32
EJERCICIO PARA RESOLVER
33
„
„
„
En una empresa se utilizan tres clasificaciones
para trabajadores (W1, W2 y W3) de acuerdo
a un convenio firmado con el sindicato.
Cada trabajador tiene un costo diferente por
cada trabajo, tal y como aparece en la tabla
matriz siguiente:
¿Cuál es la mejor asignación de trabajadores
a los diversos trabajos, a fin de reducir al
mínimo los costos?
34
35
EJERCICIO PARA RESOLVER
36
„
„
„
„
Una empresa dedicada a la publicidad debe cubrir
seis grandes pedidos de folletos impresos en una sola
página.
Las cantidades requeridas son las siguientes: 28000,
15000, 15000, 20000, 38000 y 44000,
respectivamente.
Los tres equipos disponibles pueden producir 50 000;
70 000 y 60 000 páginas diariamente.
¿Cuál es la mejor asignación de equipos a los
diversos trabajos, a fin de reducir al mínimo los
costos?
37
38
Problemas de Transbordo
39
Problemas de Transbordo
Son problemas de transporte en los que
se agregan puntos de transbordo.
Los puntos de transbordo son puntos que
pueden tanto recibir mercadería de
otros puntos como enviar mercadería a
otros puntos.
„
40
„
„
Es una extensión al problema de
transporte en el cual se agregan nodos
intermedios (nodos de transbordo),
para tomar en consideración
localizaciones como por ejemplo
almacenes.
En este tipo más general del problema
de transporte de distribución, los
embarques pueden ser efectuados entre
cualquier par de tres tipos generales de
nodos: de origen, de transbordo o de
41
destino.
Características
„
„
„
La oferta o suministro disponible en
cada origen es limitada.
En cada destino la demanda está
definida o especificada.
El objetivo en el problema de
transbordo es de determinar cuantas
unidades deberán embarcarse por cada
uno de los arcos de la red, de manera
que todas las demandas-destino se
satisfagan al costo de transporte
mínimo posible.
42
Ejemplo
43
Encontrar la formulación de programación lineal para el problema
de transbordo planteado en el modelo de redes, tal que
minimice los costos de transporte.
44
SOLUCIÓN
45
1. Variables de decisión: xij = número de
unidades embarcadas del origen i al
destino j, pasando por los nodos de
transbordo que se especifican.
i = 1, 2, 3, 4
j = 3,.., 8
2. Función objetivo:
Mín Z = 2 x + 3x + 3x + x + 2 x + 6 x
13
14
23
24
35
36
+ 3x37 + 6 x38 + 4 x45 + 4 x46 + 6 x47 + 5 x48
46
3. Restricciones
a) De los nodos origen:
x13 + x14 ≤ 600
x23 + x24 ≤ 400
b) De los nodos de transbordo:
− x13 − x23 + x35 + x36 + x37 + x38 = 0
− x14 − x24 + x45 + x46 + x47 + x48 = 0
47
c) De los nodos destino:
x35 + x45 = 200
x36 + x46 = 150
x37 + x47 = 350
x38 + x48 = 300
xij ≥ 0
∀ij
48
Variantes del problema de
transbordo
49
Igual que en los problemas de transporte
se pueden formular problemas de
transbordo con varias variantes:
„ Suministro total no igual a la demanda
total
„ Maximización de la función objetivo
„ Rutas con capacidad limitada
„ Rutas inaceptables
50
„
Las modificaciones a los modelos
de programación lineal requeridas
para aceptar estas variaciones son
idénticas a las que se mencionaron
para el problema de transporte.
51
Aplicación del problema de
transporte a planeación de la
producción
52
„
„
„
La empresa Miller Electronics Co. Fabrica
videojuegos.
No tiene inventario inicial en octubre y en
diciembre no desea ningún inventario final.
Pueden fabricarse los juegos en horas
normales y en tiempo extra.
La demanda aumenta en diciembre, no puede
ser satisfecha con la sola producción de ese
mes, por lo que deben utilizarse inventarios
para transportar capacidad previa de
producción hacia el futuro.
53
54
Solución
55
56