Espacios vectoriales. Propiedades. Antes de ver la definición

Espacios vectoriales. Propiedades.
Antes de ver la definición, estudiemos unos ejemplos de espacios vectoriales para ver las propiedades comunes.
R2=RxR={(x,y)/x,y∈R}≡ conjunto de todos los pares de números reales
Dos pares son iguales si lo son sus componentes, es decir: (x,y)=(x',y')⇔x=x' e y=y'
En R2 se definen las siguientes operaciones:
Operación interna: suma: (x,y)+(x',y')=(x+x',y+y')
Operación externa: Producto por números reales: k(x,y)=(kx,ky)
Estas operaciones cumplen las siguientes propiedades:
r
r
r
Sean u =(x,y), v =(x',y') y w =(x'',y'')
r r
r r
r r
1: Asociativa: ( u + v ) + w = u + ( v + w ) : [(x,y)+(x',y')]+(x'',y'')=(x,y)+[(x',y')+(x'',y'')]
r r r r
2: Conmutativa: u + v = v + u : (x,y)+(x',y')=(x',y')+(x,y)
r r r
3: Elemento neutro: 0=(0;0)
ya que u + 0 = u : (x,y)+(0,0)=(x,y)
r
r
r
r
r
4: Elemento opuesto: el opuesto de u =(x,y) es - u =(-x,-y) ya que u + ( −u ) = 0 , es decir: (x,y)+(0,0)=(x,y)
r r
r
r
5: k [u + v ] = ku + kv : k[(x,y)+(x',y')]=k(x,y)+k(x',y')
r
r
r
6: ( k + h )u = ku + hu : (k+h)(x,y)=k(x,y)+h(x,y)
r
r
7: k [hu ] = ( kh )u : k[h(x,y)]=(kh)(x,y)
r r
8: 1 ⋅ u = u : 1(x,y)=(x,y)
R3=RxRxR={(x,y,z)/x,y,z∈R}≡ conjunto de todas las ternas de números reales
con la operación interna, suma:(x,y,z)+(x',y',z')=(x+x',y+y',z+z') y la operación externa, producto por nºreales:
k(x,y,z)=(kx,ky,kz) también se cumplen las 8 propiedades anteriores.
En general Rn=RxRx...n veces...xR={ (x1,x2,...,xn)/xi∈R,∀i=1,...,n} con las operaciones:
suma: (x1,x2,...,xn)+(x'1,x'2,...,x'n)=(x1+x'1,x2+x'2,...,xn+x'n)
producto por números reales:k(x1,x2,...,xn)=(kx1,kx2,...,kxn)
también se cumplen las 8 propiedades anteriores.
Pasemos a definir un espacio vectorial de forma general.
Definición
r r r
Sea V = {u ,v ,w ,.....} un conjunto no vacío de elementos, a los que les llamaremos vectores.
En este conjunto definimos las siguientes operaciones:
r r
Suma: u + v ∈V (es una operación interna)
r
Producto por números reales: ku ∈V (es una operación externa)
El conjunto V con las operaciones "+" y "⋅R" es un espacio vectorial si se cumplen las ocho propiedades
siguientes:
r r
r r
r r
1: Asociativa: ( u + v ) + w = u + ( v + w )
r r r r
2: Conmutativa: u + v = v + u
r
r
3: Elemento neutro: Existe un elemento al que nombraremos 0 , tal que para cualquier otro elemento u , se
r
r
r
cumple u + 0 = u
r
r
r
r
r
r
4: Elemento opuesto: para todo u , existe otro elemento - u (opuesto de u ) tal que u +(- u )= 0
r r
r
r
5: k [u + v ] = ku + kv
r
r
r
6: ( k + h )u = ku + hu
r
r
7: k [hu ] = ( kh )u
r r
8: 1 ⋅ u = u
El espacio vectorial V definido así, lo designaremos por (V,+,⋅R) o V(R) o símplemente V.
Los elementos de V se llaman vectores y los elementos de R escalares.
1
Ejemplos de espacios vectoriales
- El conjunto de vectores libres del plano V2, con las operaciones de suma de vectores y producto por un número
real usuales.
- El conjunto de los polinomios con coeficientes reales, de grado menor o igual que n, con las operaciones usuales
de suma de polinomios y producto de un polinomio por un número real.
- El conjunto de las sucesiones de números reales con las operaciones usuales de suma de sucesiones y
producto de una sucesión por un número real.
- El conjunto de las funciones reales continuas definidas en un intervalo, con las operaciones de suma de
funciones y producto de una función por un número real.
- El conjunto de los números complejos con las operaciones usuales de suma de complejos y producto de un
complejo por un número real.
Otras propiedades
Propiedades de los ceros:
r r
1: 0 ⋅ 0 = 0
r r
2: k ⋅ 0 = 0
r r
r r
3: k ⋅ u = 0 ⇔ k = 0 ó u = 0
Propiedades de los signos:
r
r
r r
4: u − ( +v ) = u − v
r
r
r r
5: u − ( −v ) = u + v
r
r
6: k ( −u ) = −ku
r
r
7: − k ( u ) = −ku
r
r
8: − k ( −u ) = ku
Propiedades simplificativas:
r r r r
r r
9: u + v = u + w ⇒ v = w
r
r
r r
10: ku = kv ⇒ u = v si k ≠ 0
r
r
r r
11: ku = hu ⇒ k = h si u ≠ 0
Ejercicios
1.- En R4, determinar el vector (x,y,z,t) en cada caso:
a) (x,y,z,t)=5(6,-1,8,4)-3[(1,2,-5,3)-5(4,3,-1,2)]
b) 6(x,y,z,t)=8(1,-1,2,0)+7[(2,3,-5,6)-(1,-5,3,7)]+(-1,-3,-6,0)
c) 4[(1,-1,2,3)+4(x,y,z,t)]=-5(2,-6,3,1)-[(8,3,-5,2)-2(1,-2,0,0)]
2.- En R2 se definen las operaciones:
suma: (x,y)+(x',y')=(x+x',y+y')
producto por escalares: k(x,y)=(k2 x,ky)
Estudiar si R2 con estas operaciones tiene estructura de espacio vectorial
3.- Sea A={(x,y,y)/x,y∈R}. Sobre A se definen las operaciones:
suma: (x,y,y)+(x',y',y')=(x+x',y+y',y+y')
producto por escalares: k(x,y,y)=(kx,ky,ky)
Estudiar si A con las operaciones así definidas es un espacio vectorial.
Subespacios vectoriales. Características
Sea V un espacio vectorial real. Una parte W de V no vacía, se dice que es un subespacio vectorial de V, cuando
es espacio vectorial respecto de las operaciones definidas en V, es decir, en W se deben verificar las 8
propiedades de un espacio vectorial.
Ejemplos: En R2 consideremos: W1={0}xR={(0,y)/y∈R}≡ eje y ; W2={Rx{0}={(x,0)/x∈R}≡ eje x
W1 y W2 son subespacios vectoriales de R2
En R3 consideremos W={(x,y,0)/x,y∈R}: W es un subespacio vectorial de R3
Caracterización
Para probar que un subconjunto no vacío de un espacio vectorial es un subespacio vectorial, no hace falta
comprobar las ocho propiedades, ya que según el siguiente teorema, se pueden reducir a dos.
Teorema: La condición necesaria y suficiente para que un subconjunto no vacío W de V, sea un subespacio
vectorial, es que se verifiquen las propiedades:
r r
r r
1) ∀u ,v ∈ W ⇒ u + v ∈ W
r
r
2) ∀u ∈ W ,∀k ∈ R ⇒ ku ∈ W
2
Corolario: La condición necesaria y suficiente para que un subconjunto no vacío W de V, sea un subespacio
r r
r
r
vectorial, es que se verifique: ∀λ , µ ∈ r y ∀u,v ∈ W ⇒ λu + µv ∈ W
Ejemplos:
a)Sea V un espacio vectorial y W1 y W2 subespacios vectoriales de V.
Entonces W1∩W2 es un subespacio vectorial de V.
"La intersección de subespacios es un subespacio."
4
b)La unión de subespacios no es en general un subespacio. Por ejemplo los subespacios de R :
4
W1={(x,y,z,o)}; W2={(x,y,0,t)}; W1∪W2 no es un subespacio de R .
{
}
4
c) A = (x , y , z ,t ) ∈ R 4 / x + + z + t = 0 es un subespacio de R .
Entre los subespacios vectoriales de un espacio vectorial V se encuentran dos muy particulares, los llamados
triviales que son el mismo V y el formado sólo por el vector nulo 0.
Los subespacios no triviales se llaman subespacios propios.
Ejercicios:
3
1: En R , determinar cuáles de los siguientes conjuntos son subespacios vectoriales:
a) A = (x , y , z ) ∈ R 3 / x = y = 0
b) B = (x , y , z ) ∈ R 3 / x + y − z = 0
{
{
}
}
{
{
}
}
{
}
e) E = (x , y , z ) ∈ R 3 / x + 2 y = 0
c) (x , y , z ) ∈ R / x = 1 d) D = (x , y , z ) ∈ R / y
2: En R los únicos subespacios existentes son los triviales.
3: W1 y W2 subespacios vectoriales de V, entonces
r
r r r
r
r
W1 + W 2 = {z ∈ V / z = x + y con x ∈ W1 , y ∈ W 2 } es un subespacio vectorial de V.
r
r
r
4: Sea W un subespacio vectorial de V y sea λ1v ∈ W , v ∈ V tal que v ∉ W .
r
Demostrar que ∀λ ∈ R , λ ≠ 0 ⇒ λv ∉ W
r
Demostración: Si λ1 ∈ R es tal que λ 1v ∈W , entonces por ser W un subespacio vectorial, y aplicando la
r
propiedad 2 del teorema de caracterización, al multiplicar λ1v por cualquier número real, también estará en W; en
r
r
1
particular
( λ1v ) = v ∈ W lo cual está en contradicción con la hipótesis.
3
3
3
λ1
Dependencia e independencia lineal
Combinación lineal de vectores
r r
r
r
Un vector u de V, es combinación lineal de los vectores u1 ,u 2 ,...,u n de V si puede expresarse
r
r
r
r
u = a1u1 + a2 u 2 + L + an u n siendo ai∈R, ∀i=1,...,n
Consecuencias:
r
r
1) Todo vector es combinación lineal de sí mismo: u = 1 ⋅ u
r
r
r
r
2) El vector 0 es combinación lineal de cualquier conjunto de vectores: 0 = 0u1 + 0 u 2 + L + 0 u n
Ejemplos:
r
r
a) u =(2,2,2) es combinación lineal de v =(1,1,1)
r
r
r
b) u =(5,7) es combinación lineal de v =(1,1), w =(2,3)
r
r
r
r
c) u =(3,4,5) es combinación lineal de a =(1,0,0), b =(0,1,0), c =(0,0,1)
d) En el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual que 2, expresar el polinomio
2
2
p(x)=5x -3x+7 como combinación lineal de los polinomios 2x ,4x y 3.
Vectores linealmente independientes
r r
r
Un conjunto de vectores u1 ,u 2 ,...,u r de un espacio vectorial V, se dice libre o linealmente independiente (l.i.) si al
r
r
r
r
hacer α1 u1 + α 2 u 2 + L + α r u r = 0 se tiene necesariamente α i = 0 ,∀i = 1,....,r
2
r
r
Ejemplo: u =(5,0), v =(0,7) son l.i. en R
3
Vectores linealmente dependientes
r r
r
Un conjunto de vectores u1 ,u 2 ,...,u r de un espacio vectorial V, se dice ligado, o linealmente dependiente (l.d.), si
r
r
r
r
existen escalares α1,α2,...,αr no todos nulos tales que α1 u1 + α 2 u 2 + L + α r u r = 0
También son l.d. si uno de ellos se pede poner como combinación lineal de los restantes, y en caso contrario son
l.i.
En el caso de Rn , la dependencia lineal equivale a la proporcionalidad de las componentes de los vectores. Por
ejemplo: (1,2,3) y (4,8,12) son l.d.
Ejercicios:
1) Estudiar la dependencia lineal de (1,2,3),(2,1,3) y (1,0,1).
2) "
"
"
" " (3,3,2),(1,1,-1) y (2,2,3).
4
3) Determinar la expresión general de los vectores de R que son combinación lineal de :
a) el vector (-1,2,3,1) b) los vectores (3,1,0,5) y (1,0,0,-5)
Propiedades
r r
r
1) S= { u1 ,u 2 ,...,u r } l.i. ⇒ cualquier subconjunto no vacío de S es l.i.
r r
r
r
r
r r
r r
r
2)S= { u1 ,u 2 ,...,u r } l.d. ⇒ cualesquiera v1 ,....,v s , el conjunto S'= { u1 ,u 2 ,...,u r ,v1 ,....,v s } es l.d.
r
3) Todo conjunto de vectores que contenga el 0 es l.d.
4) Un vector es l.i. ⇔ es no nulo
Sistemas de generadores
r r
r
Sea S= { u1 ,u 2 ,...,u r } un conjunto de vectores de V y sea L(S) el conjunto de todas las combinaciones lineales
r
r
r
posibles de esos r vectores. L( S ) = { a1u1 + a2 u 2 + L + ar u r / ai ∈ R }
L(S) es un subespacio vectorial ya que:
- L(S)≠∅
- La suma de combinaciones lineales es otra combinación lineal.
- El producto de una combinación linesl por un escalar es otra combinación lineal.
Definición
r r
r
Sea S= { u1 ,u 2 ,...,u r } un conjunto de vectores de un espacio vectorial V.
Se llama subespacio engendrado por S, y se designa por L(S), al subespacio vectorial de V formado por todas las
r
r
r
combinaciones posibles de los vectores de S. Es decir, L( S ) = { a1u1 + a2 u 2 + L + ar u r / ai ∈ R }
r r
r
L(S) también se denota por u1 ,u 2 ,....,u r
r
Los vectores u i , i = 1,...,r , se dice que forman un sistema de generadores de L(S).
Ejemplos:
3
a) W={(x,y,z)∈R /y=0}. Probar que {(1,0,0),(0,0,1)} es un sistema de generadores de W.
3
r
r
r
b) u =(1,0,0), v =(0,1,0), w =(0,0,1) es un sistema de generadores de R .
2
c) {p(x)=x , q(x)=x, r(x)=1} son un sitema de generadores de P2(x).
Teorema de Steinitz
r r
r
r
r
Sea V un espacio vectorial, sea S= { u1 ,u 2 ,...,u m } un sistema de generadores de V. Sea H= v1 ,....,v r l.i.
Entonces r≤m y se pueden sustituir los vectores de S por los de H, convenientemente elegidos, de forma que el
conjunto resultante sigue siendo un sistema de generadores de V.
Dicho de otra manera, el núnero de vectores l.i. de un espacio vectorial es menor o igual que el número de
vectores de cualquier sistema de generadores de dicho espacio vectorial.
Teorema
4
r r
r r
Sea S= { u1 ,u 2 ,...,u n ,v } un sistema de generadores de V.
r
r
r r
r
Si v es combinación lineal de los restantes vectores de S, y se suprime v , el conjunto S'= { u1 ,u 2 ,...,u n }
resultante también es un sistema de generadores de V.
Base y dimensión de un espacio vectorial. Coordenadas
2
En R hemos visto que B={(1,0),(0,1)} es un sistema generador y además es l.i. Por cumplir estas dos condiciones
se dice que B es una base.
Definición
r r
r
Sea V un espacio vectorial. Un conjunto de vectores B= { u1 ,u 2 ,...,u n } es una base de V, si:
a) B es un sistema generador de V.
b) B es l.i.
Ejemplo: {(1,0),(0,1),(4,3)} es sistema generador pero no es l.i., por lo tanto no es base de R2 .
Teorema
r r
r
r
B= { u1 ,u 2 ,...,u n } es base ⇔ todo vector x de V se puede escribir de manera única como combinación lineal de
r
r
r
r
los vectores de B; x = λ1 u1 + λ2 u 2 + L + λn u n de manera única.
r
r
Los números (λ1,λ2,...,λn) que son únicos para x se les llama coordenadas de x en la base B.
Es evidente que el mismo vector tendrá coordenadas distintas en otra base.
Teorema de la base
Todas las bases de un mismo espacio vectorial tienen el mismo número de elementos.
- En un espacio vectorial no puede haber un conjunto de vectores l.i. con más elementos que los que tiene
una base.
- En un espacio vectorial no puede haber un conjunto de vectores que sea sistema de generadores, con
menos elementos que los de una base.
- Por lo tanto, el número de vectores que componen una base es el máximo número de vectores l.i. y el
mínimo número de vectores sistema de generadores.
Ejemplo:
3
3
En R una base es {(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)} formada por 3 vectores. Entonces no puede haber en R más de 3
vectores l.i. ni menos de 3 vectores que sean sistema de generadores.
Dimensión
Se llama dimensión de un espacio vectorial V, al número de elementos que forman una cualquiera de sus bases.
Se escribe dim(V).
2
3
n
Ejemplo: dim(R )=2, dim(R )=3, dim(R )=n
Ejercicios:
3
Determinar el vector de R cuyas coordenedas en la base B={(2,0,0),(0,4,0),(0,0,-1)} son:
a) (3,1,5) b) (-6,3,2)
c) (-5,-4,6)
Rango de un conjunto de vectores
r r
r
Sea S= { u1 ,u 2 ,...,u s } un conjunto de vectores. Se llama rango de S y se denota rg(S), al número máximo de
vectores l.i. de S.
Tambiém podemos decir que rg(S) es la dimensión del subespacio generado por S; rg(S)=dim L(S)
Teorema
r r
r
r
Sea S= { u1 ,u 2 ,...,u i ,...,u n }
r r
r
r
W = L ( u1 , u2 ,..., ui ,..., u s )
un conjunto de vectores que generan el espacio vectorial W, es decir,
Sea S' el conjunto obtenido al aplicar sobre S las siguientes transformaciones de Gauss:
5
a) Cambiar el orden de los vectores de S.
b) Multiplicar un vector de S por un número distinto de cero.
c) Suprimir un vector que sea combinación lineal de los demás.
d) Sustituir un vector por la suma de él más otro multiplicado por un número real.
e) Sustituir un vector por una combinación lineal de él y los restantes, siempre que el coeficiente de
dicho vector sea distinto de cero.
Entonces: 1) S'engendra el mismo subespacio que S, es decir W.
2) rg(S')=rg(S)
Ejemplo:
4
r r r r
S= { u1 ,u 2 ,u 3 ,u 4 } un subconjunto de R
r
r
r
r
u1 =(1,0,1,1), u 2 =(2,1,0,3), u 3 =(1,-1,3,2), u 4 =(4,1,2,5)
Sea H el subespacio engendrado por S, es decir H=L(S)
Aplicando el método de reducción de Gauss se tiene:
r
r r
r r
= (1,0,1,1)
u1 =(1,0,1,1)
v1 = u1
w1 = v1
r
r
r
r
r
r
u 2 =(2,1,0,3)
v 2 = u 2 -2 u1 = (0,1,-2,1)
w2 = v2
r
r
r r
r
r
r
u 3 =(1,-1,3,2)
v 3 = u 3 - u1 = (0,-1,2,1)
w3 = v3 + v2
r
r r
r
r
r r
u 4 =(4,1,2,5)
v 4 = u 4 -4 u1 = (0,1,-2,1)
w4 = v4 - v2
= (1,0,1,1)
= (0,1,-2,1)
= (0,0,0,2)
= (0,0,0,0)
r r r r
r r r r
r r r r
Los tres conjuntos de vectores { u1 ,u 2 ,u 3 ,u 4 } ; { v1 ,v 2 ,v 3 ,v 4 } ; { w1 ,w 2 ,w 3 ,w 4 } engendran el mismo subespacio
vectorial H y por consiguiente tienen el mismo rango.
r r r
Como { w1 ,w 2 ,w 3 } es l.i. estos vectores forman una base del subespacio H.
Por tanto: 1) rg(S)=3
2) dim(H)=3
r r r
3) una base de H es { w1 ,w 2 ,w 3 }
Ejercicio:
r r r r
r
r
r
r
S= { u1 ,u 2 ,u 3 ,u 4 } donde u1 =(1,1,2,0), u 2 =(2,-1,0,1), u 3 =(5,-1,2,2), u 4 =(3,0,2,1)
Sea H=L(S)
Hallar: a) rg(S)
b) una base de H
c) ecuaciones paramétricas de H
r
d) ¿Pertenece x =(2,11,16,-3) al subespacio H?
6